LISTA DE EXERCÍCIOS Funç˜ao raiz quadrada, funç˜oes da forma y

LISTA DE EXERCÍCIOS
06
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
Função raiz quadrada, funções da forma y = f (x) =
√
a2 − x2 , funções potência
[01] Determine o domı́nio natural (efetivo/maximal) de cada uma das funções indicadas abaixo.
p
√
√
(c) f (x) = −x,
(a) f (x) = 2 x − 3,
(b) f (x) = |x| − 1,
p
p
√ √
(d) f (x) = |x|,
(e) f (x) = x/(x2 − 1),
( f ) f (x) = x/ x2 − 1.
[02] Considere a sentença
√
⇒
a=b
a = b2 .
(a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e
um contraexemplo caso ela seja falsa.
(b) Escreva a recı́proca da sentença. A recı́proca é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
[03] (Resolvendo equações com raı́zes quadradas) Ao se resolver uma equação envolvendo raı́zes
quadradas, é comum “elevarmos cada lado da equação ao quadrado”. Por exemplo, para resolver
a equação
√
x + 3 = x + 1,
é comum considerar a equação
√
( x + 3)2 = (x + 1)2 ,
isto é,
x + 3 = (x + 1)2 .
√
+ 1 é solução de x + 3 =
Contudo, pelo exercı́cio anterior, vale que toda solução de x + 3 = x √
(x + 1)2 , mas nem toda solução de x + 3 = (x + 1)2 é solução de x + 3 = x + 1. Neste
exemplo,√x = −2 é solução da equação x + 3 = (x + 1)2 , mas x = −2 não é solução da
equação x + 3 = x + 1. Assim, cuidado! Como o processo de “elevar cada lado de
uma equação ao quadrado” gera uma implicação e não uma equivalência, nem toda
solução da equação final é solução da equação inicial! É preciso tirar a “prova real”
das soluções calculadas no final!
Resolva as equações indicadas a seguir.
√
√
√
(a) x − 1 = x − 3,
(b) x2 − 3 = x − 3,
[04] Considere a sentença
a≤
√
⇒
b
(c) x +
√
x − 2 = 4.
a2 ≤ b.
(a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e
um contraexemplo caso ela seja falsa.
(b) Escreva a recı́proca da sentença. A recı́proca é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
√
[05] Resolva a desigualdade x ≤ 3 x − 2.
1
[06] Considere a função
2x
√
f (x) =
x2
x+1− √
2 x+1
.
x+1
(a) Determine o domı́nio natural (efetivo) de f .
(b) Mostre que
f (x) =
x (3 x + 4)
√
2 (x + 1) x + 1
para todo x no domı́nio natural (efetivo) de f .
(c) Determine (caso existam) os valores de x para os quais f (x) > 0.
[07] Desenhe os gráficos das funções
√
f (x) = 1 − x2 ,
√
g(x) = − 1 − x2
e
h(x) =
√
7 − x2 .
[08] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma
calculadora gráfica.
(a) y = x2 ,
(b) y = x5 ,
(c) y = x8 .
[09] (Sugerido por Maurı́cio Quintanilha da Silva) Considere uma função f : R → R ı́mpar.
(a) Mostre que se f é crescente no intervalo [0, +∞[, então f também é crescente no intervalo ] − ∞, 0].
(b) Usando a identidade
xn2 − xn1 = (x2 − x1 )(x2n−1 + x2n−2 x1 + ∙ ∙ ∙ + x2 x1n−2 + x1n−1 )
mostre que f (x) = xn é crescente no intervalo [0, +∞), com n ∈ N ı́mpar.
(c) Usando os itens (a) e (b), mostre que f (x) = xn é crescente em R, com n ∈ N ı́mpar.
[10] Qual número é maior? 23000 ou 32000 ? Justifique sua resposta!
2
[11] Considere a função y = f (x) = x2 e dois números reais a e b positivos. Mostre que a ordenada do
ponto de interseção da reta que passa pelos pontos (−a, f (−a)) e (b, f (b)) com o eixo y é igual
ao produto a b dos números a e b.
y
y = x2
a b
b
x
Usando esta propriedade, é possı́vel criar uma “máquina” de multiplicar números. A figura abaixo
ilustra tal “máquina” elaborada pelo Laboratório de Ensino de Matemática da UFPE (a foto foi
tirada na V Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, na UFPB, em outubro de 2010).
[12] Por que
√
4
1 = 1?
√
4
√
16 é diferente de −2, apesar de (−2)4 ser igual a 16? E por que 5 −243 = −3?
√
4
[14] Um aluno deu o seguinte argumento para provar que a4 = a, para todo a ∈ R:
[13] Por que
√
4
(1)
(2)
1
1
(3)
(4)
a4 = (a4 ) 4 = a4∙ 4 = a1 = a.
O argumento do aluno está correto? Em caso negativo, especifique quais igualdades estão erradas.
√
[15] Mostre que se n ∈ N e n é par, então f (x) = n x = x1/n é uma função crescente em [0, +∞).
3
[16] Mostre que se n ∈ N e n é ı́mpar, então f (x) =
√
n
x = x1/n é uma função crescente em R.
[17] Sejam x1 , . . . , xn números reais não negativos. As médias aritmética e geométrica destes n
números são definidas, respectivamente, por
v
u n
n
X
uY
√
x1 + ∙ ∙ ∙ + xn
1
n
n
MA =
x i e M G = x1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ x n = t
xi .
=
n
n i=1
i=1
(a) Calcule as médias aritmética e geométrica dos números x1 = 1, x2 = 1/2 e x3 = 1/4. Qual
média é maior?
(b) Considere um bloco retangular B cujas arestas medem a, b e c. Qual é a medida da aresta
do cubo cujo volume é igual ao volume do bloco retangular B?
(c) Mostre que se x1 = ∙ ∙ ∙ = xn = α ≥ 0, então as médias aritmética e geométrica são ambas
iguais a α: MA = MG = α.
Observação: é possı́vel demonstrar (usando, por exemplo, indução) que a média geométrica de
n números não negativos é sempre menor do que ou igual a média aritmética destes n números.
Mais ainda: as duas médias são iguais se, e somente se, os n números são todos iguais.
√
[18] A notação n xm , com n, m ∈ N, n ı́mpar e x ∈ R, pode ser lida da seguinte maneira:
√
n
xm denota o único número real que elevado a n é igual a xm .
Como podem ser lidas as notações indicadas abaixo?
√
(a) n xm , com n, m ∈ N, n par e x ≥ 0.
√
(b) ( n x)m , com n, m ∈ N, n par e x ≥ 0.
p√
(c) n m x, com n, m ∈ N, m e n ı́mpares e x ∈ R.
√
(d) n∙m x, com n, m ∈ N, m e n ı́mpares e x ∈ R.
√
√
√
3
3
3
a
+
b
≤
b. Dica: use a identidade (x1 + x2 )3 =
a
+
[19] Mostre que para todo a, b ≥ 0, vale que
√
√
n
3
2
2
3
n
x1 + 3 x1 x2 + 3 x1 x2 + x2 , com x1 = a e x2 = b.
[20] Demonstre todas as propriedades das raı́zes n-ésimas apresentadas em sala de aula.
[21] Seja f (x) = 1/xn , com n ∈ N. Mostre que f é uma função decrescente no intervalo ]0, +∞[.
Mostre também que se n é par, então f é crescente no intervalo ] − ∞, 0[ e que se n é ı́mpar,
então f é decrescente no intervalo ] − ∞, 0[.
[22] Sabemos que se a e b são números naturais, então (xa )b = xa∙b = (xb )a para todo x ∈ R. Mostre
que esta identidade é falsa se a e b são números racionais.
[23] Na análise forense de incidentes envolvendo explosivos, muitas vezes é necessário estimar a quantidade de explosivo usada a partir dos danos observados à infraestrutura. Certamente esta não é
uma tarefa simples. No entanto, a base de cálculos práticos é a lei de Hopkinson, que afirma que
a distância de perturbação do centro de uma explosão é proporcional à raiz cúbica da energia
dissipada na explosão. No caso de explosivos quı́micos, em vez da energia, podemos considerar a massa total dos explosivos. Além disso, como resultado de medidas empı́ricas (Kinney e
Graham, Explosive Shocks in Air, Springer-Verlag, 1985), essa lei pode ser estendida para uma
4
fórmula simples, que dá o diâmetro D da cratera (em metros) que resulta de uma carga explosiva
colocada ao nı́vel do solo em função da massa M dos explosivos (em quilogramas de TNT):
D = 0.8 M 1/3 .
Para explosões subterrâneas, uma análise mais complexa é necessária.
(a) Calcular o diâmetro aproximado da cratera resultante de uma carga explosiva equivalente
a 60 kg de TNT.
(b) Determine a massa aproximada de TNT responsável por uma explosão que resulta em uma
cratera de 4 m de diâmetro.
(c) Qual deve ser o aumento percentual na massa de um explosivo a fim de dobrar o tamanho
da cratera resultante?
Observação: este exercı́cio foi extraı́do do livro Essential Mathematics and Statistics for Forensic
Science de Craig Adam, publicado pela John Wiley & Sons em 2010.
[24] Funções da forma f (x) = c ∙ xα são muito usadas em Biologia no estudo do tamanho e da forma
dos seres vivos. De fato, os biólogos têm um nome especial para funções deste tipo: funções
alométricas. Por exemplo,
y = 12.03 x0.127
é uma função alométrica que modela o tempo y de incubação (medido em dias) de um ovo em
função de sua massa x (medida em gramas). Sabendo que um ovo de um beija-flor tem em média
massa igual a 0.2 g, use a fórmula acima (e uma calculadora) para estimar o tempo de incubação
deste tipo de ovo.
[25] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma
calculadora gráfica.
√
(c) y = x3 ,
(d) y = 3 x.
(a) y = 3 x,
(b) y = 3x ,
5
Respostas dos Exercı́cios
Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las!
[01] (a) D = [3/2, +∞[, (b) D =] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, (c) D =] − ∞, 0], (d) D = R, (e) D =
] − 1, 0]∪]1, +∞[, ( f ) D =]1, +∞[.
√
[02] (a) A sentença é verdadeira, pois a = ( a)2 = b2 .
√
(b) Recı́proca da sentença: a =√b2 ⇒ a = b. A recı́proca é falsa, pois possui um contraexemplo:
= 1 e b2 = 1, de modo que a = b2 (a = 1 e b = −1 satisfazem
a = 1 e b = −1. Note que a √
a hipótese da recı́proca) mas a = 1 6= −1 = b (a = 1 e b = −1 não satisfazem a tese da
recı́proca).
[03] (a) S = {5}, (b) S = ∅, (c) S = {3}.
[04] (a) A
um contraexemplo: a = −2 e b = 1. Note que a2 = 4 e
√ sentença é falsa, pois possui
√
b = 1, de modo que a ≤ b (a = −2 e b = 1 satisfazem a hipótese da sentença) mas a2 > b
(a = −2 e b = 1 não satisfazem a tese da sentença).
√
(b) Recı́proca da sentença: a2 ≤ b ⇒ a ≤ b. A recı́proca é verdadeira. De fato: sejam a e b
Como a√2 ≥ 0, segue-se
que b ≥ 0. Como a função raiz
dois números reais tais que a2 ≤ b. √
√
2
2
quadrada é √
crescente, segue-se que a ≤ b. Mas a = |a| e a ≤ |a| para todo a ∈ R.
Assim, a ≤ b.
[05] Se x é uma solução da desigualdade,
então 3 x − 2 ≥ 0, isto é, x ≥ 2/3. Em particular, x ≥ 0.
√
Como a função x 7→ x2 e x 7→ x são crescentes no intervalo [0, +∞), segue-se que
√
√
2/3 ≤ x ≤ 3 x − 2 ⇔ 2/3 ≤ x e x2 ≤ ( 3 x − 2)2 .
Mas
√
2/3 ≤ x e x2 ≤ ( 3 x − 2)2 ⇔ 2/3 ≤ x e x2 ≤ 3 x − 2 ⇔ 2/3 ≤ x e x2 − 3 x + 2 ≤ 0 ⇔ x ∈ [1, 2].
√
Desta maneira, S = {x ∈ R | x ≤ 3 x − 2} = [1, 2].
[06] (a) D =] − 1, +∞[.
(b) Observe que
√
x2
4 x ( x + 1)2 − x2
√
2x x + 1 − √
2 x+1
2 x+1
=
f (x) =
x+1
x+1
x (3 x + 4)
√
=
.
2 (x + 1) x + 1
√
=
4 x (x + 1) − x2
√
2 (x + 1) x + 1
(c) f (x) > 0 se, e somente se, x ∈]0, +∞[.
[08] (a) h, (b) f , (c) g.
[09] (a) Sejam x1 , x2 ∈]−∞, 0], com x1 < x2 . Mas se x1 < x2 , então −x1 > −x2 e, se x1 , x2 ∈]−∞, 0],
então −x1 , −x2 ∈ [0, +∞[. Como, por hipótese, f é crescente no intervalo [0, +∞[, segue-se
que
f (−x1 ) > f (−x2 ).
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Sabemos que, por hipótese, f é uma função ı́mpar. Logo, f (−x1 ) = −f (x1 ) e f (−x2 ) =
−f (x2 ). Assim,
f (−x1 ) > f (−x2 ) ⇒ −f (x1 ) > −f (x2 ) ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
Mostramos então que, para todo x1 , x2 ∈] − ∞, 0], com x1 < x2 , tem-se f (x1 ) < f (x2 ). Logo,
f é crescente no intervalo ] − ∞, 0].
(b) Sejam x1 , x2 ∈ [0, +∞), com x1 < x2 . Temos então que x1 ≥ 0, x2 > 0 e x2 − x1 > 0. Mas
se x1 > 0 e x2 ≥ 0, então
x2n−1 > 0,
x2n−2 x1 ≥ 0,
∙∙∙ ,
x2 x1n−2 ≥ 0,
x1n−1 ≥ 0.
Em particular, x2n−1 + x2n−2 x1 + ∙ ∙ ∙ + x2 x1n−2 + x1n−1 > 0. Portanto,
xn2 − xn1 = (x2 − x1 ) (x2n−1 + x2n−2 x1 + ∙ ∙ ∙ + x2 x1n−2 + x1n−1 ) > 0
| {z } |
{z
}
>0
>0
Mas, se xn2 − xn1 > 0, então xn1 < xn2 . Isto mostra que f é crescente no intervalo [0, +∞[.
(c) Pelos itens (a) e (b), sabemos que f é crescente em [0, +∞[ e em ] − ∞, 0]. Se n ∈ N é
impar, então f (x) > 0 para todo x ∈]0, +∞[ e f (x) < 0 para todo x ∈] − ∞, 0[. Sejam agora
x1 , x2 ∈ R com x1 < x2 . Temos três possibilidades: (1) x1 , x2 ∈ [0, +∞[, (2) x1 , x2 ∈] − ∞, 0]
e (3) x1 ∈] − ∞, 0[ e x2 ∈]0, +∞[. Nos três casos xn1 < xn2 . Logo f é crescente em R.
[10] 32000 é maior do que 23000 , pois 32000 = (32 )1000 = 91000 > 81000 = (23 )1000 = 23000 .
√
[12] 4 1 = 1 porque 1 é um número não negativo e 14 = 1.
√
[13] Apesar de −2 elevado a 4 ser igual a 16, −2 é um número negativo e, por definição, 4 16 é o único
número real não negativo que elevado
a 4 é igual a 16 (uma raiz n-ésima,
com n par, é sempre
√
√
4
5
não negativa). Desta maneira, 16 é igual a 2 e não −2. Agora, −243 = −3 porque −3 é o
(único) número real que elevado a 5 é igual a −243.
1
1
1
1
[14] Apenas a igualdade (2) está errada. Se a = −1, então (a4 ) 4 = ((−1)4 ) 4 = 1 4 = 1 e a4∙ 4 = a1 =
1
1
a = −1. Logo, para a = −1, (a4 ) 4 6= a4∙ 4 .
[15] Sugestão: use o Exercı́cio [19] da Lista 9.
[16] Sugestão: use o Exercı́cio [19] da Lista 9.
1
[22] De fato: sejam a = 2, b = 1/2 e x = −1. Temos que (xa )b = ((−1)2 ) 2 = 11/2 = 1 e xa∙b =
1
(−1)2∙ 2 = (−1)1 = −1, enquanto que (xb )a = ((−1)1/2 )2 não está definido, pois a função x 7→ x1/2
está definida para x ≥ 0 e −1 é menor do que 0.
[23] (a) Aproximadamente 3.1 m. (b) 125 kg. (c) 800%.
[24] Pelo modelo, o tempo de incubação de um ovo de um beija-flor é igual a 12.03 (0.2)0.127 ≈ 10 dias.
[25] (a) G, (b) f , (c) F , (d) g.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 04/11/2016.
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