1 a1Q1: Seja ABCDEFGH um cubo de aresta unitária de E

1
a1Q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unitária de E 3 e
−−→ −−→ −−→
considere o espaço V 3 orientado pela base {CD, CB, CH}. Então
podemos afirmar que:
−−→ −−→ −→
a) EB ∧ ED = GA
−−→ −−→ −→
b) EB ∧ ED = AG
−−→ −−→ −−→
c) EB ∧ ED = EH
−−→ −−→ −→
d) EB ∧ ED = EA
−−→ −−→ −−→
e) EB ∧ ED = EG
→
a1Q2: Sejam B uma base ortonormal positiva de V 3 , −
u = (−3λ, −2λ, λ)B
→
−
→
−
→
e v = (1, 0, −1)B . Se u forma um ângulo agudo com −
v e a
→
−
→
−
área do paralelogramo determinado por u e v é 6, então o valor
de λ é:
√
2
a) √2
b) 3
√
2
c)
2
√
d) - 3
√
e) 3 2
→
→
→
a1Q3: Sejam −
u,−
v e−
w três vetores de V 3 .
→
−
→
−
→
−
→
−
Se x = ( w ∧ v ) ∧ u então:
→
→
→
a) {−
x,−
u,−
v } é linearmente dependente.
→
−
→
−
→
b) { x , w , −
u } é linearmente dependente.
→
−
→
−
→
−
c) { x , w , v } é linearmente dependente.
→
→
→
→
→
→
d) {−
x,−
w,−
v } é linearmente dependente se e somente se {−
u,−
v ,−
w}
é linearmente dependente.
−
→
→
e) {→
v ,−
w,−
u } é linearmente dependente.
2
a1Q4: Considere as seguintes afirmações:
(I) O volume do tetraedro ABCD é dado por
1 −−→ −→ −−→
V = |AB ∧ AC.AD|.
3
(II) Quaisquer que sejam A, B, C, D em E 3 , temos que
−−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→
AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0.
(III) Seja ABC um triângulo de área 1. Então a distância de um
ponto D de E 3 ao plano determinado por A, B e C é dada por
1 −−→ −−→ −−→
|AB ∧ BC.CD|.
2
Podemos afirmar que:
a) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
b) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
c) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
d) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras.
e) Apenas (I) é verdadeira.
→ →
−
→
a1Q5: Sejam −
a , b ,−
c vetores de V 3 . Considere as afirmações:
→
→
→
(I) Se −
a não é o vetor nulo então −
a .−
a > 0.
→ → −
−
→ →
−
→
→
(II) Se −
a ∧ b =−
a ∧→
c então {−
a , b ,−
c } é linearmente
dependente.
→ →
−
→
(III) Se {−
a , b ,−
c } é linearmente dependente então
→ → −
−
→
−
a ∧ b =−
a ∧→
c.
Temos que:
a) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras.
b) As afirmações (II) e (III) são falsas.
c) As afirmações (I) e (III) são falsas.
d) Somente (I) é verdadeira.
e) Somente (III) é falsa.
3
→
−
→
a1Q6: Sejam B uma base ortonormal de V 3 , −
a = (0, 1, 1)B , b =
→
−
→
→
→
(0, 1, 0)B , −
c = (1, 1, 0)B . Seja −
u um vetor unitário tal que −
u. b >
→
→
→
0, −
u é ortogonal a −
c e a projeção ortogonal de −
u sobre o vetor
1
1
→
−
→
a é (0, , )B . Então as coordenadas de −
u são:
2 2
2 2 1
a) (− , , )B
3 3 3
2 2 1
b) (− , , − )B
3 3 3
c) (0, 0, 1)B
1 1 1
d) ( , , )B
3 3 3
e) (0, 1, 0)B
a1Q7: Considere as seguintes afirmações:
(I) Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa AC e cateto
−−→ −−→ −−→
unitário AB, e seja X ∈ E 3 tal que AX ∧ AB = BC. Então existe
−−→ −−→ −−→
−−→
λ ∈ IR tal que AX = AB ∧ BC + λAB.
(II) Sejam A e B pontos de E 3 com AB unitário, m ∈ IR e X ∈ E 3
−−→ −−→
−−→ →
−−→
−−→
→
tais que AX.AB = m. Então AX = −
u + mAB, em que −
u ⊥ AB.
(III) Dados A, B e C pontos não-colineares de E 3 , seja A a área
1
−−→ −−→
do triângulo ABC. Então ||AB ∧ BC|| = A.
2
Podemos afirmar que:
a) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras.
b) Apenas (III) é verdadeira.
c) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
d) As afirmações (I), (II) e (III) são falsas.
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
4
a1Q8: Assinale a afirmativa falsa:
a) Uma matriz mudança de base sempre tem determinante
diferente de zero.
b) Existem somente duas maneiras de orientar o espaço V 3 .
→
→
c) Os vetores −
u e−
v são linearmente dependentes se e somente
→
−
→
−
→
−
→
se | u . v | = || u || ||−
v ||.
d) Se o ângulo entre dois vetores é 180o então eles são paralelos.
e) Um vetor pode ser representado somente por um número finito
de segmentos orientados.
→
→
→
a1Q9: Seja E = {−
e1 , −
e2 , −
e3 } uma base ortonormal de V 3 e seja
3
→
−
→
−
→
−
→
→
→
→
v ∈ V tal que v ⊥ e2 + −
e3 , ||−
v || = 2 e o ângulo entre −
v e−
e1
π
→
−
→
−
→
−
é . Denotando por α e β os ângulos que v faz com e2 e e3 ,
4
respectivamente, podemos afirmar que:
π
2π
a) α = β =
ou α = β =
.
3
3
π
2π
2π
π
b) α = , β =
ou α =
,β = .
3
3
3
3
π
2π
c) α =
e β=
.
3
3
2π
π
d) α =
e β= .
3
3
e) α = −
π
3
e
β=−
2π
.
3
5
→
−
→
a1Q10: Sejam B uma base ortonormal positiva, −
a = (1, 0, 1)B , b =
→
→
→
→
(1, 0, 0)B e −
c = (0, 1, 0)B . Seja E = {−
e1 , −
e2 , −
e3 } uma base
→
−
→
−
ortonormal negativa tal que: e1 é paralelo a a e tem o mesmo
→ →
−
→
→
sentido de −
a;−
e2 = β b +γ −
c (β, γ ∈ IR, γ > 0). Podemos afirmar
que:
√
√
√
√
2
2
2
2
, 0,
)B , (0, 1, 0)B , (
, 0, −
)B }.
a) E = {(
2
2
2
2
√
√
√
√
2
2
2
2
b) E = {(
, 0,
)B , (0, 1, 0)B , (−
, 0,
)B }.
2
2
2
2
√
√
√
√
2
2
2
2
c) E = {(−
, 0, −
)B , (0, 1, 0)B , (−
, 0,
)B }.
2
2
2
2
√
√
√
√
2
2
2
2
d) E = {(
, 0,
)B , (0, −1, 0)B , (−
, 0,
)B }.
2
2
2
2
√
√
√
√
2
2
2
2
e) E = {(
, 0,
)B , (0, −1, 0)B , (
, 0, −
)B }.
2
2
2
2
→
→
a1Q11: Sejam B uma base ortonormal positiva, −
u = (1, 0, 1)B , −
v =
→
−
(2, 1, 2)B , w = (0, α, α)B , e V o volume do paralelepı́pedo deter→
→
→
minado por −
u,−
v e−
w . Podemos afirmar que:
a) V = 3 se e somente se α = −3.
b) V = 3 se e somente se α = 3.
c) V = 3 se e somente se α = 3 ou α = −3.
d) V = 3 se e somente se α 6= 3 e α 6= −3.
e) Não existe α ∈ IR tal que V = 3.
a1Q12: Dado o tetraedro OABC, sejam D o ponto médio de AC e
−→ −−→ −−→
M o ponto médio de BD. Denotando por E a base {OA, OB, OC}
de V 3 , temos que:
1 1 1
1 1
−−→
−−→
a) BM = ( , , )
d) BM = (0, − , )
4 2 4 E
2 2 E
3 1 1
1 1 1
−−→
−−→
e) BM = ( , − , )
b) BM = ( , − , )
4 2 4 E
4 2 4 E
3
1
1
−−→
c) BM = ( , , )
4 2 4 E
6
→
→
a1Q13: Sejam −
v e−
w dois vetores linearmente independentes de
3
→
−
→
→
V . Seja u a projeção ortogonal do vetor −
v sobre o vetor −
w.
Considere as afirmações:
→
→
→
→
→
→
(I) ||−
w ||−
u .−
v = ||−
u ||−
v .−
w.
2
→
−
→
−
→
−
(II) u . v = || u || .
→
→
→
→
(III) −
v .−
w =−
u .−
w.
Podemos afirmar que:
a) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (III) é a verdadeira.
c) Apenas a afirmação (I) é a verdadeira.
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
→
−
→
a1Q14: Sejam B uma base ortonormal de V 3 , −
a = (0, 1, 1)
B, b =
√
→
→
(0, 1, 0)B , −
c = (1, 1, 0)B . Seja −
v um vetor de norma 8, que
o
→
−
→
→
→
forma um ângulo de 60 com a e tal que {−
a ,−
c ,−
v } é linearmente dependente. Podemos afirmar que:
→
→
a) −
v = (2, 2, 0)B ou −
v = (−2, 0, 2)B
→
−
→
b) v = (−2, 2, 0)B ou −
v = (−2, 0, 2)B
→
−
→
−
c) v = (2, 2, 0)B ou
v = (−2, 0, −2)B
→
→
d) −
v = (−2, −2, 0)B ou −
v = (2, 0, 2)B
→
−
→
−
e) v = (2, 2, 0)B ou
v = (−2, 2, 0)B
→
→
a1Q15: Sendo −
u e−
v vetores não-nulos de V 3 e θ o ângulo entre
→
−
→
u e−
v , podemos afirmar que:
→
→
→
→
→
→
→
→
a) −
u .−
v = ||−
u || ||−
v ||cosθ, −
u ∧−
v = ||−
u || ||−
v ||senθ.
−
→
→
→
→
→
→
→
→
→
b) →
u .−
v = ||−
u || ||−
v ||senθ, ||−
u ∧−
v ||2 = ||−
u ||2 ||−
v ||2 − (−
u .−
v )2 .
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
c) −
u .−
v = ||−
u || ||−
v ||cosθ, ||−
u ∧−
v ||2 = ||−
u ||2 ||−
v ||2 + (−
u .−
v )2 .
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
d) −
u .−
v = ||−
u || ||−
v ||cosθ, ||−
u ∧−
v ||2 = ||−
u ||2 ||−
v ||2 − (−
u .−
v )2 .
→
→
→
→
e) −
u ∧−
v é paralelo a −
u e−
v.
7
a1Q16: O sólido da figura é um prisma triangular reto; suas
bases são triângulos equiláteros e suas faces laterais são quadrados de lado 2. Consideremos uma orientação de V 3 de modo
−→ −−→ −−→
−−→ →
→
que {CA, CB, CF } é uma base positiva. Sejam −
u = DE, −
v =
→
−
→
−
→
v −
u ∧−
v −
→ −
−−→ −
−−→ −
→
→ −
→
→
→
DF , w = DC, i = −
, j = −
, k = i ∧ j . Podemos
→
||→
v ||
||→
u ∧−
v ||
afirmar que:
√ −
√
→ →
→
−
→
−
→
→
→
→
→
a) −
u ∧−
v =2 3j, −
w = 2 i + 2 j , (−
u ∧−
v ).−
w = 4 3.
→
→ −
−
→ −
b) { i , j , k } é uma base negativa.
→
→ −
−
→ −
c) { i , j , k } não
uma base ortonormal.
√ é−
√
→ −
→
−
→
−
→
→
→
→
→
d) −
u ∧−
v = −2
3
j
, →
w = 2 i − 2 j , (−
u ∧−
v ).−
w = 4√ 3.
√
→ −
−
→
−
→
−
→
→
→
→
→
e) −
u ∧−
v =2 3j, →
w = 2 i − 2 j , (−
u ∧−
v ).−
w = −4 3.
→
→ −
−
→ −
a1Q17: Seja E = { i , j , k } uma base ortonormal positiva de
→
−
→
−
→
→
→
→
V 3 . Seja F = {−
u,−
v ,−
w } outra base de V 3 , com −
u = i +3k,
→
→ → −
−
→ −
→ −
→
−
v =3j, −
w = i + j + k . A afirmação falsa é:
a) F é uma base positiva de V 3 .
b) F não é uma base ortonormal de V 3 .
c) {(0, 0, 1)E , (1, 0, 0)E , (0, 1, 0)E } é uma base ortonormal
de
V 3.


1 0 1
d) a matriz de mudança de base de E para F é  0 3 1 .
3 0 1
e) a matriz de mudança de base de E para F tem determinante
diferente de 0.
a1Q18: Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 . Considere
−−→
−→
−−→
os vetores AB = (1, 0, 1)E , AC = (2, −1, 0)E e AD = (0, −1, 1)E .
A altura h do tetraedro ABCD relativa ao vértice D é:
√
√
6
6
d) h =
a) h =
12
6
√
√
6
6
b) h =
e) h =
3
2
√
6
c) h =
4
→
→
a1Q19: Sejam B uma base ortonormal positiva, −
v = (1, −1, 0)B , −
w =
→
−
→
−
→
−
→
−
(1, 1, 1)B e a = (1, 0, 2)B . Se u é um vetor ortogonal a v e w , e
→
−
→
u forma um ângulo obtuso com −
a , então podemos afirmar que:
8
−
a) →
u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ 6= 0).
→
b) −
u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ > 0).
→
c) −
u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR).
−
d) →
u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ < 0).
→
e) −
u = (−α, −β, γ) (α, β, γ ∈ IR).
→ →
−
→
a1Q20: Dados os vetores −
a , b ,−
c de V 3 , a afirmação falsa é:
→ →
−
→ →
−
→
−
→
→
a) (−
a − b +−
c ) ∧ (−−
a + b −−
c)= 0.
→
−
→
→
→
b) Se {−
a ,−
c } é linearmente independente e −
a . b 6= 0 então
→
−
→
−
→
→
→
→
(−
a ∧ b)∧−
c 6= −
a ∧(b ∧−
c ).
→
−
→
−
→
→
→
→
c) Se −
a.b =−
a .−
c = −1 então o ângulo entre −
a e b coincide
→
→
com o ângulo entre −
a e−
c e ambos valem π.
→
−
→ →
−
→
→
→
→
d) −
a.b =−
a .−
c se e somente se −
a ⊥(b −−
c ).
→
−
→
→
→
e) (−
a ∧ b)∧−
c é ortogonal a −
c.