2016

Nesta prova considera-se fixada uma orientação do espaço e um
sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3 , em que E é uma base
ortonormal positiva de V3 . A menos de menção explı́cita em contrário, equações de retas e planos e coordenadas de pontos estão
escritas no sistema Σ e coordenadas de vetores estão escritas na
base E.
Q1. Em Mecânica, se F~1 , F~2 , . . . , F~n ∈ V 3 são forças aplicadas, respectivamente, a pontos A1 , A2 , . . . , An ∈ E 3 , define-se o momento desse sistema de
−
→
forças em relação a um ponto P ∈ E 3 como sendo o vetor MP ∈ V 3 dado
por:
−
→
−−→
−−→
−−→
MP = P A1 ∧ F~1 + P A2 ∧ F~2 + · · · + P An ∧ F~n .
Considere o sistema formado pelas forças
F~1 = (1, 0, 0) e F~2 = (0, 1, 0)
aplicadas, respectivamente, aos pontos
A1 = (0, 0, 0) e A2 = (1, 0, 0)
−
→
e seja MP o momento desse sistema de forças em relação a um ponto P ∈ E 3 .
Assinale a alternativa correta:
−
→
(a) existe um ponto P ∈ E 3 tal que MP = ~0;
−
→
(b) o módulo do vetor MP é independente do ponto P ∈ E 3 ;
−
→
(c) para qualquer ponto P ∈ E 3 , o vetor MP é uma combinação linear de
F~1 e F~2 ;
−
→
−
→
(d) se P ∈ E 3 é um ponto que minimiza o módulo de MP , então MP não é
uma combinação linear de F~1 e F~2 ;
−
→
−
→
(e) se P ∈ E 3 é um ponto que minimiza o módulo de MP , então MP 6= ~0 e
−
→
MP é uma combinação linear de F~1 e F~2 .
Q2. Seja r a reta que passa pela origem e é paralela ao vetor (1, 1, 0). Se
P = (a, b, c) é um ponto do plano
π :x−y−z =0
tal que a distância de P à reta r seja igual a 1, então:
(a) c2 = 1;
(b) c2 = 31 ;
(c) c2 = 2;
(d) c = 0;
(e) c2 = 32 .
Q3. Considere os pontos P = (1, 0, 0), Q = (3, 0, 0) e a reta
r : X = (2, 0, 0) + λ(1, 1, 1),
λ ∈ R.
Seja π um√plano
tal que d(P, π) = d(Q, π) = 1, a reta r não intersecte π e o
ponto 0, 2, 0 não pertença a π. Se a, b, c ∈ R são tais que uma equação
geral para π é
√
ax + by + cz + 2 = 0,
então a + b − c é igual a:
(a) −1;
√
(b) 2;
(c) 2;
(d) 1;
(e) 3.
Q4. Considere a reta
z−1
y−1
=
2
3
e os pontos A = (2, −1, −2) e B = (4, 3, 4). Seja C = (x0 , y0 , z0 ) o ponto de
b e ABC
b sejam congruentes. Temos que x0 +y0 +z0
r tal que os ângulos B AC
é igual a:
r :x−1=
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
27
7 ;
17
7 ;
7
9;
16
7 ;
6
7.
Q5. Considere um tetraedro ABCD no espaço E 3 cujo volume seja igual a
16. Seja M o ponto médio do segmento CD e seja P o ponto do segmento
BD tal que a distância de B a P seja igual ao triplo da distância de P a D.
Temos que o volume do tetraedro ABP M é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
12;
10;
6;
4;
8.
Q6. Considere os vetores ~v = (1, 1, 0), w
~ = (−1, 1, 0), o plano
π : X = (1, 0, 0) + λ~v + µw,
~
λ, µ ∈ R
e a base B = {~v , w,
~ ~v ∧ w}
~ de V 3 . Uma equação geral para o plano π no
sistema de coordenadas (O, B) é:
(a) z = 0;
(b) x + y + z = 0;
√
(c) x − y − z + 2 = 0;
(d) x + y = 0;
(e) x + y + z − 1 = 0.
Q7. Considere o plano π : x + y + z = 1 e seja P = (x0 , y0 , z0 ) o ponto
simétrico à origem O em relação ao plano π, isto é, o ponto P tal que o
−−→
vetor OP seja ortogonal a π e o ponto médio do segmento OP esteja em π.
Temos que x0 + y0 − z0 é igual a:
(a) 2;
(b) 32 ;
(c) 13 ;
(d) −2;
(e) 3.
Q8. Considere as seguintes afirmações:
(I) para quaisquer ~v , w,
~ ~z ∈ V 3 e quaisquer λ, µ ∈ R, vale que:
[~v , λ~v + w,
~ ~z + µw
~ ] = [~v , w,
~ ~z ];
(II) para quaisquer ~v , w,
~ ~z ∈ V 3 , vale que:
(~v ∧ w)
~ ∧ ~z = ~v ∧ (w
~ ∧ ~z );
(III) para quaisquer ~v , w,
~ ~z ∈ V 3 , vale que:
[~v , w,
~ ~z ] = k~v kkwkk~
~ z k.
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
apenas
apenas
apenas
apenas
apenas
as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
a afirmação (III) é verdadeira;
a afirmação (II) é verdadeira;
as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
a afirmação (I) é verdadeira.
Q9. Considere o plano π : x + y − z + 1 = 0 e as retas concorrentes
x − y = 0,
r :x=y =z+1
e
s:
z + 1 = 0.
Se P é o ponto na interseção de r e s, então a distância de P ao plano π é
igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√3 ;
3
√2 ;
3
1
√ ;
6
1
√ ;
3
2
√ .
6
Q10. Sejam ~v , w
~ ∈ V 3 vetores não nulos e P e Q pontos do espaço E 3 .
Considere o sistema de equações
( −−→
P X ∧ ~v = ~0,
−−→
QX · w
~ =0
na incógnita X ∈ E 3 e as seguintes afirmações:
(I) se P 6= Q e ~v · w
~ = 0, então o sistema não tem solução;
(II) se P = Q e ~v · w
~ = 0, então o sistema tem infinitas soluções;
(III) se ~v · w
~ 6= 0, então o sistema tem uma única solução.
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.
Q11. Considere o ponto P = (2, 4, 8), o plano
π :x+y+z+2=0
e a reta
r : X = P + λ(2, 1, 1), λ ∈ R.
Se Q 6= P é o ponto de r tal que d(P, π) = d(Q, π), então a soma das
coordenadas de Q é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
15;
−18;
22;
−2;
14.
Q12. Considere as retas reversas
x − z = −1,
r:
y − 2z = −2
e
s:
x − z = −2,
y + z = 1.
Se P = (x1 , y1 , z1 ) ∈ r e Q = (x2 , y2 , z2 ) ∈ s são os pontos tais que a
distância de P a Q seja mı́nima, então x1 + x2 é igual a:
(a) − 65 ;
(b)
(c)
1
5;
1
6;
(d) − 13 ;
(e)
1
4.
Q13. Seja m ∈ R e considere as retas:
r : X = (1, 1, 1) + λ(1, m, 0),
λ ∈ R,
s : X = (1, 0, 2) + λ(2, m, 1),
λ ∈ R.
Temos que r e s são reversas se, e somente se:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
m 6= 1;
m = 1;
m 6= −1;
m 6= 2;
m 6= 0.
Q14. Considere no espaço E 3 um cubo cujos vértices são A, B, C, D, E,
F , G, H, em que ABCD, ADHE e ABF E são faces desse cubo, como
ilustrado na figura abaixo:
H
G
F
E
D
A
C
B
Sejam B e C as bases de V 3 dadas por:
−−→ −−→ −−→
−−→ −−→ −−→
B = DA, DC, DH
e C = DE, BD, DG .
Se MBC é a matriz real 3 × 3 tal que
MBC [~v ]C = [~v ]B ,
para todo ~v ∈ V 3 , então o determinante de MBC é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1;
−1;
3;
2;
−2.
Q15. Considere as seguintes afirmações:
(I) para quaisquer ~v , w,
~ ~z ∈ V 3 , se ~v e w
~ são linearmente independentes,
~z ∧ ~v = ~0 e ~z ∧ w
~ = ~0, então ~z = ~0;
(II) para quaisquer ~v , w
~ ∈ V 3 , vale que (~v + w)
~ ∧ (~v − w)
~ = −2 w
~ ∧ ~v ;
3
(III) para quaisquer ~v , w
~ ∈ V , se ~v · w
~ = 0 e ~v ∧ w
~ = ~0, então ~v = ~0 ou
~
w
~ = 0.
Assinale a alternativa correta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
apenas
apenas
apenas
apenas
apenas
as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
a afirmação (III) é verdadeira;
a afirmação (I) é verdadeira;
as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
Q16. Seja π o plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e contém a reta
r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 0),
λ ∈ R.
Se s é a reta dada pela interseção de π com o plano y = 0, então um vetor
diretor para s é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(1, 1, 0);
(0, 0, 1);
(1, 0, 0);
(−1, 0, 1);
(1, 0, 1).