2002

1
−−→
a2Q1: Dados os pontos A, B e C de E 3 tais que AB = (−5, 3, −8)
−→
e AC = (2, 3, −6). Assinale a alternativa correta:
a) o ângulo B ÂC é obtuso
b) o ângulo AĈB é obtuso
−−→ −−→
c) o ângulo entre AB e BC é agudo
−→ −−→
d) o ângulo entre AC e BC é obtuso.
e) todos os ângulos internos do triângulo ABC são agudos
a2Q2: Toda solução da equação diferencial y 000 −3y 00 +4y 0 −2y = 0
é da forma:
a) y = et (c1 + c2 (cos t + sen t)), com c1 , c2 ∈ IR
b) y = et (c1 (1 + cos t) + c2 sen t), com c1 , c2 ∈ IR
c) y = c et (1 + cos t + sen t), com c ∈ IR
d) y = et (c1 (1 + sen t) + c2 cos t), com c1 , c2 ∈ IR
e) y = et (c1 + c2 cos t + c3 sen t), com c1 , c2 , c3 ∈ IR
π
. Sabendo
3
que |~u| = 2, |~v | = 1 e que θ é a medida em radianos do ângulo
entre ~u + ~v e ~u − ~v , temos que cos θ vale:
3
a) − √
24
3
b) − √
21
3
c) √
21
1
d)
7
3
√
e)
24
a2Q3: A medida em radianos do ângulo entre ~u e ~v é
2
a2Q4: Sejam ~u, ~v , w
~ ∈ V 3 tais que {~u, ~v } é L.I., ~u ⊥ w
~ e ~v ⊥ w.
~
Assinale a afirmação verdadeira:
a) {~u, ~v , w}
~ é uma base positiva de V 3
b) {~u, ~v , w}
~ é uma base negativa de V 3
c) ~u ∧ ~v = λw
~ para algum λ ∈ IR
d) {~u, ~v , w}
~ é L.I.
e) w
~ = λ~u ∧ ~v para algum λ ∈ IR
a2Q5: Considere as seguintes afirmações:
(I) |~u + ~v | = |~u − ~v | se e somente se ~u ⊥ ~v .
(II) Se ~u, ~v e w
~ pertencem a V 3 e ~u + ~v + w
~ = 0 então
~u ∧ ~v = ~v ∧ w
~ =w
~ ∧ ~u.
−−→ −→
|AB ∧ AC|
(III) A altura do ∆ABC relativa ao lado AB é h =
.
−−→
|AB|2
a) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
b) As três afirmações são falsas.
c) As três afirmações são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
a2Q6: Considere ~x, ~y , ~z ∈ V 3 e suponha que ~x 6= ~0 e que {~x, ~z} é
L.D. Assinale a afirmação falsa:
~z · ~x
a) proj~x~z =
~x
|~x|2
b) [~x, ~y , ~z] = 0
c) ~x ∧ ~z = ~0
d) ~x · ~z = 0
e) proj~x~z//~x
3
a2Q7: Suponhamos fixada uma base ortonormal positiva
−−→
B = {~i, ~j, ~k} de V 3 . Considere o ∆ABC tal que AB = (1, 1, 0)B
−→
e AC = (0, 1, 1)B . Então, a altura do ∆ABC relativa à base AB
é:
√
a) √
3
b) √
2 3
6
c)
2
√
3
d)
√2
e) 2
a2Q8: Fixada uma orientação de V 3 , seja E uma base ortonormal
positiva de V 3 . Dados ~x = (1, 1, 1)E , ~y = (−1, 1, 1)E e
~z = (2, 1, −1)E , considere o tetraedro ABCD tal que
−−→
−→
−−→
−−→ −→
AB = ~x, AC = 3 proj~z ~y e AD = 3(AB ∧ AC). Podemos afirmar
que o volume do tetraedro ABCD é:
a) 14
5
b)
3
c) 10
7
d)
3
e) 7
−−→ −→ π −−→
a2Q9:A medida em radianos do ângulo entre AB e AC é e AD
4→
−→
−−→
−−→
−→
−−
é ortogonal a AC e a AB. Sendo |AB| = 1, |AC| = 4, |AD| = 3
−−→ −→ −−→
−−→ −→ −−→
e (AB, AC, AD) base negativa, então os valores de [AB, AC, AD]
e da altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC são, respectivamente:
√
a) 2√
e3
b) −6
√ 2e3
c) 6 2√e 1
d) −6
√ 2e1
e) 6 2 e 3
4
a2Q10: No paralelepı́pedo retângulo, conforme figura, suponha
−−→
−−→
−−→
|AB| = 5, |BC| = 4, |BF | = 3 e seja E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } base positiva
−
−
→
−−→
−−→
de V 3 . Sendo ~e1 //BC, ~e2 //BF e ~e3 //BA com |~e1 | = |~e2 | = |~e3 | =
−−→ −−→ −−→
1. Podemos afirmar que o produto misto [BG, BA, BF ] é:
1
30
b) -60
1
c)
60
d) 60
1
e) −
60
a) −
a2Q11: Sejam E = {~i, ~j, ~k} uma base ortonormal positiva e ~v
π
π
tal que as medidas dos ângulos entre ~i, ~j e ~k com ~v são , θ e
4
3
respectivamente. Sabendo-se
que
~
v
é
unitário
e
que
θ
é
agudo,
√
então a projeção de ~u = ( 2, −1, −5) na direção de ~v é:
√
a) −(1,
2, 1)
√
b) ( √
2, 1, 1)
c) −( 2, 1,
√1)
d) −(1,
√ 1, 2)
e) (1, 2, 1)
a2Q12: Dada a equação diferencial linear y 00 −3y 0 +2y = 0. Então
a solução y = y(t) que verifica y(0) = −1 e y 0 (0) = 2 é:
a) y(t) = −e2t + te2t
b) y(t) = −3et + 2e2t
c) y(t) = −4et + 3e2t
d) y(t) = 3et − 4e2t
e) y(t) = 2et − 3e2t
5
a2Q13: Considere as afirmações:
(I) Se ~u ∧ ~v + ~v ∧ w
~ +w
~ ∧ ~u = 0 então [~u, ~v , w]
~ = 0.
(II) Se {~u, ~v , w}
~ é base então {~u ∧ ~v , ~v ∧ w,
~ ~u ∧ w}
~ é base positiva.
(III) |[~u, ~v , w]|
~ ≤ |~u||~v ||w|
~
Podemos afirmar que:
a) apenas (II) e (III) são verdadeiras
b) apenas (I) e (III) são verdadeiras
c) todas as afirmações são falsas
d) todas as afirmações são verdadeiras
e) apenas (I) e (II) são verdadeiras
a2Q14: Considere o cubo unitário ABCDEF GH, conforme figura.
Seja E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } uma base de V 3 onde
−−→
−→
−→
~e1 = AB, ~e2 = AC, ~e3 = AG e F = {f~1 , f~2 , f~3 }
−−→
uma base ortonormal tal que f~1 = ~e1 , f~2 = AD
e F tem orientação contrária à de E.
Então, f~1 , f~2 e f~3 são dadas na base E por:
a) f~1 = (1, 0, 0)E , f~2 = (−1, 1, 0)E , f~3 = (0, 1, −1)E
b) f~1 = (1, 0, 0)E , f~2 = (−1, 1, 0)E , f~3 = (0, 1, 1)E
c) f~1 = (1, 0, 0)E , f~2 = (1, 1, 0)E , f~3 = (0, 1, −1)E
d) f~1 = (1, 0, 0)E ,
e) f~1 = (1, 0, 0)E ,
f~2 = (0, 1 − 1)E , f~3 = (1, 1, 0)E
f~2 = (0, 1, 1)E , f~3 = (1, −1, 0)E
a2Q15: Fixada uma orientação de V 3 , sejam E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } uma
base ortonormal positiva de V 3 e F = {λ~e1 , ~e2 , λ~e1 ∧~e2 } uma base
de V 3 , onde λ ∈ IR e λ 6= 0. Podemos afirmar que:
a) para qualquer λ, F é base negativa de V 3
b) se λ < 0 então F é base negativa de V 3
c) se λ > 0 então F é base negativa de V 3
d) E e F têm orientações contrárias
e) para qualquer λ, F é base positiva de V 3
6
a2Q16: Seja a equação diferencial
(1) y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a1 y 0 + a0 y = 0
consideremos as seguintes afirmações:
(I) O conjunto solução de (1) é um espaço vetorial de dimensão n.
(II) Sejam D0 , D1 , ..., Dn−1 números reais. Então existe uma única
solução y : IR → IR de (1) tal que y(0) = D0 , y 0 (0) = D1 , ...,
y n−1 (0) = Dn−1 .
(III) Existem números reais D0 , ..., Dn−1 tais que não existe uma
solução y : IR → IR de (1) tal que y(0) = D0 , y 0 (0) = D1 , ...,
y (n−1) (0) = Dn−1 .
a) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
b) As três afirmações são verdadeiras.
c) As três afirmações são falsas.
d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
a2Q17: Está fixada uma orientação em V 3 . Seja F = {f~1 , f~2 , f~3 }
uma base de V 3 tal que f~1 · f~2 = 0, |f~1 | = |f~2 | = 1 e f~3 = f~1 ∧ f~2 .
Considere a base G = {~g1 , ~g2 , ~g3 } tal que ~g1 = f~1 + f~2 ,
~g2 = f~2 − proj~g1 f~2 e ~g3 = f~2 ∧ f~1 . Podemos afirmar que:
a) A matriz M de mudança da base de F para G tem determinante
positivo.
b) F e G têm mesma orientação.
c) G é base negativa.
d) F é base negativa de V 3 .
e) {~g1 , ~g2 , f~3 } é base negativa de V 3 .
a2Q18: Sejam E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } e F = {f~1 , f~2 , f~3 } bases de V 3 tais
que f~1 = ~e1 − ~e3 , f~2 = 3~e1 , f~3 = 4~e1 − 3~e2 . As coordenadas de
~v = (1, 2, −1)F na base E são:
a) (3, −3, −1)E
b) (−3, −3, 1)E
c) (3, 3, −1)E
d) (−3, 3, 1)E
e) (3, 3, 1)E
7
a2Q19: Sejam A, B e C pontos de E 3 tais que a área do ∆ABC
−−→
−→
é igual a 2. Se ~a = AB, ~b = AC e ~v = (2~a + ~b) ∧ (2~a + α~b) com
α ∈ IR, então podemos afirmar que:
a) |~v | = 0 se e somente se α = 0 ou α = 2.
b) |~v | = 8 se e somente se α = 0 ou α = 2.
9
7
c) |~v | = 1 se e somente se α = ou α = .
8
4
d) Não existe α ∈ IR tal que |~v | = 1
e) Para todo r > 0, existe um único α ∈ IR tal que |~v | = r.
a2Q20: O vetor w
~ é ortogonal aos vetores ~u e ~v e a medida do
π
ângulo entre ~u e ~v é . Sabendo-se que |~u| = 6, |~v | = 3, |w|
~ =3
6
e que {~u, ~v , w}
~ é uma base negativa de V 3 , então [~u, ~v , w]
~ vale:
a) -27
b) 27
c) -25
d) 29
e) 25