d - UFERSA
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO - UFERSA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS - DCEN 1o LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA 1. Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta. −−→ a) (A, B) ∈ AB −−→ −−→ b) AB//CD ⇒ AB//CD −−→ −−→ c) (A, B) v (C, D) ⇔ AB = CD −−→ −−→ d) AB = CD ⇒ A = C e B = D → → → → → → − 2. Use as relações 2(− u +− v ) = 2− u + 2− v e 2− w =− w +→ w para mostrar que a comutatividade da adição de vetores pode ser demonstrada a partir das demais propriedades. 3. Prove que: − → → → → → a) − u +− z =− u ⇒− z = 0 − → → → → → u +− z = 0 ⇒− z = −− u b) − − → → − c) O oposto de → u +− v é −− u −→ v 4. Quais são a origem e a extremidade de um representante do vetor abaixo? −−→ −−→ −→ −−→ −−→ BC + GH − F A − GC + F B −−→ −−→ −−→ −−→ → → 5. Sendo M o ponto médio de AC, N o ponto médio de BD e o vetor − x dado por − x = AB + AD + CB + CD, − − → − prove que → x //M N . 6. Prove que: → → a) (A + − u)−− u =A − → − → → → b) (A − u ) + v = A − (− u −− v) −−→ → → → → c) A + − u =B+− v ⇒− u = AB + − v −→ −−→ 7. Sendo r a razão em que um ponto P divide um segmento orientado não-nulo (A,B) tal que AP = rP B −→ k AP k com P 6= B, assim r = −−→ . Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo k PB k −→ r −−→ (A,B). Prove que r 6= −1 e que AP = AB. 1+r 8. Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases. 9. Prove que: → → → → → a) (− u,− v ) é LD ⇒ (− u,− v ,− w ) é LD − → − → → − → − − → b) ( u , v , w ) é LI ⇒ ( u , v ) é LI. → → → → → → c) (− u,− v ) é LD ⇔ (− u +− v ,− u −− v ) é LD 10. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta. → → − → → a) (− u,− v ,→ w ) é LD ⇒ (− u,− v ) é LD. − → − → − → → − − → b) ( u , v ) é LI ⇒ ( u , v , w ) é LI − → − → − → → → → c) Se − u,→ v e− w não são nulos, então (− u,− v ,− w ) é LD ⇔ (2u, −→ v ) é LD. − → − → → − → − − → d) ( u , v , w ) é LI ⇒ ( u , v ) é LD. 1 − → − → − → → 11. Sejam − u,→ v e− w vetores quaisquer. Prove que (− a , b ,→ c ) é LD. → − → − → − → v 3− w − w → → → → → → a) − a = 2− u + 4− v +− w , b = −− u + + e→ c =− v + 2 4 2 − → → → → → → → → → → − b) − a =− u + 2− v −− w , b = 2− u − 3− v +− w e− c = 7− v − 3→ w − → − → → − → → → − − → → → − → → 12. Suponha que (→ u,− v ,− w ) é LI. Dado t = α− u + β→ v + γ− w . Prove que (− u + t ,− v + t ,− w + t ) é LI ⇔ α + β + γ + 1 6= 0. −−→ −−→ 13. Sejam (A, B) e (C, D) segmentos orientados. Demonstre que AB = CD se, e somente, (A, B) e (C, D) são equipolentes. − → → 14. Demonstre que se, − a e b são vetores quaisquer, então: − → 1h → − → − → i → → a) − a · b = k− a + b k2 − k− a − b k2 ; 4 ³ → − 2 − → − → ´ − → → → b) k a + b k + k− a − b k2 = k− a k2 + k b k2 . − → → 15. Demonstre que, se − a e b são vetores quaisquer, então: − → → − − − a) |→ a · b | ≤ k→ a kk b k (desigualdade de Schwarz); → − − → → − b) k− a + b k ≤ k→ a k + k b k (desigualdade triangular) ¯ − → ¯¯ → − ¯ → → c) ¯k− a k − k b k¯ ≤ k − a − bk 16. Mostre que valem, na soma de vetores, as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro e elemento inverso. − → → → → 17. Escreva t = (4, 0, 13) como combinação linear de − u = (1, −1, 3), − v = (2, 1, 3) e − w = (−1, −1, 4). → − → 18. O vetor − u = (1, −1, 3) pode ser escrito como combinação linear de → v = (−1, 1, 0) e − w = (2, 3, 31 )? − → 19. Verifique se → u e− v são L.I ou L.D. → → a) − u = (0, 1, 0), − v = (1, 0, 1). − → → b) u = (0, 11, 1), − v = (0, −22, −2). − → → 20. Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (→ u,− v ,− w ) de vetores abaixo. → → → a) − u = (1, 0, 1), − v = (1, 2, 1), − w = (0, 0, 1) − → − → → − b) u = (2, 3, 4), v = (3, 1, 9), w = (2, 1, 3) → → → c) − u = (1, 2, 3), − v = (0, 2, 3), − w = (1, 4, 6) → − − 21. Calcule m de modo que − u = (1, 2, 2) seja gerado por → v = (m − 1, 1, m − 2) e → w = (m + 1, m − 1, 2). Em − → − → − → seguida determine m para que ( u , v , w ) seja L.D. → − → → 22. Seja E = (− e1 , → e2 , − e3 ) uma base orotonormal. Calcule k− u k, onde: → a) − u = (1, 1, 1)E − → b) u = (3, 2, 1) E → u = (−1, 3, 5)E c) − − → d) u = 5e1 − 4e2 − 3e3 − → − → → − → → − → → → 23. Sejam E = (− e1 , − e2 , → e3 ), F = ( f1 , f2 , f3 ) e G = (− g1 , − g2 , − g3 ) três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes e justifique sua resposta. a) MEF = MEG ⇒ F = G b) MEF = MF E ⇒ E = F c) MEF = MGF ⇒ E = G d) MEF = I3 ⇒ E = F 2 − → − → → − → − → → → → 24. Sejam E = (− e1 , → e2 , − e3 ), F = ( f1 , f2 , f3 ) e G = (− g1 , − g2 , − g3 ) bases tais que √ → − − → − 2→ e1 = 3 f1 − f3 √ → − − → − 2→ e2 = f 1 + 3 f 3 → − → − e3 = f 2 Escreva todas as matrizes de mudanças de → − − → → g1 = → e1 + − e2 + − e3 → − → − − → g2 = e1 + e2 → − g =e 3 1 base envolvendo E, F e G. − → 25. Determine x de modo que → u e− v sejam ortogonais. − − a) → u = (x, 0, 3), → v = (1, x, 3) − → → b) u = (x + 1, 1, 2), − v = (x − 1, −1, −2) → → c) − u = (x, x, 4), − v = (4, x, 1) − → − d) u = (x, −1, 4), → v = (x, −3, 1) √ → → − 26. Obtenha − u ortogonal a (1, 1, 0) tal que k− u k = 2 e a medida angular em graus entre → u e (1, −1, 0) seja igual a 45. 27. Verdadeiro ou falso, justifique sua resposta. − → → − → a) − u ·→ u =0⇔− u = 0 → − → → − → → b) − u · (→ v −− w) = − u ·→ v −− u ·− w − → − → → → − → c) − u ·− v =0⇔→ u = 0 ou − v = 0 → → → → d) − u = −− v ⇒− u ·− v ≤0 → → → → − → 28. Calcule k2− u + 4− v k2 , sabendo que − u é unitário, k− v k = 2, e a medida angular entre → u e− v é √ √ −−→ −→ 29. Em relação a uma base ortonormal, sabe-se que AB = (2, 3, 1) e AC = (−1, 3, 1). 2π 3 radianos. a) Verifique que A, B, C são vértices de um triângulo. b) Calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A e a área do triângulo ABC. → − → → − − →− → − 30. Mostre que, se − u é unitário, então proj→ u v =(v · u)u. − → → → → → 31. Em cada caso, decomponha → v como soma de dois vetores − p e− q , de modo que − p seja paralelo a − u e− q − → seja ortogonal a u . → → a) − v = (−1, −3, 2), − u = (0, 1, 3) − → − → b) v = (0, 1, 2), u = (0, −1, −2) → → c) − v = (1, 2, −1), − u = (2, −1, 0) → → → → 32. A medida angular entre − u e− v é 30o e suas normas 2 e 3, respectivamente. Calcule k− u ∧− v k. √ − √ √ √ − → → → − → − → 33. Calcule ( 2→ u − 3→ v +− w ) ∧ (− 6− u + 3− v − 3→ w ), sendo (− u,→ v ,− w ) uma base. 34. Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes e justifique a sua resposta. − → − → a) Se G = (− a , b ,→ c ) é uma base ortonormal negativa, então → − − → − − → − → → − → − a ∧ b = −− c b ∧→ c = −→ a − c ∧→ a =−b − → − − → → − → − → → − → −c = b . b ∧→ a =− c c ∧ b =− a a ∧→ → → − → → b) Se E = (− p ,− q ,→ r ) é uma base ortonormal positiva e − u = (1, 2, 5)E e − v = (2, 0, −1)E , então ¯ − ¯ → ¯ − → − ¯ → j k ¯ ¯ i → − − → u ∧ v = ¯¯ 1 2 5 ¯¯ = (−2, 11, −4). ¯ 2 0 −1 ¯ → − → → 35. Calcule − u ∧→ v e− v ∧− u nos casos: → → a) − u = (6, −2, −4), − v = (−1, −2, 1) − → − → b) u = (2, 1, 2), v = (4, 2, 4) → → c) − u = (7, 0, −5), − v = (1, 2, −1) − → − d) u = (1, −3, 1), → v = (1, 1, 4) → − → 36. O produto misto [− u,→ v ,− w ] é α. Mudando-se a orientação de V3 , ele passa a ser β. Qual a relação entre α e β. −→ → → → − → → → − → − 37. Sendo [− u,→ v ,− w ] = 6, calcule [2− u − 3− v +→ w , −u + − v −− w,− v − 3→ w] → → − − 38. Sejam P = (1, −1, 2), − u = (3, −3, 1) e − v = (1, 1, 1). Obtenha a tripla de coordenadas de (P − 2→ u)+→ v. 3 39. Dados A = (2, 5, 3) e B = (1, 1, 0), calcule as coordenadas dos pontos C e D, que determinam em AB três segmentos congruentes. 40. Mostre que os pontos A = (2, 6, −5), B = (6, 9, 7), C = (5, 5, 0) e D = (3, 10, 2) são vértices de um paralelogramo. 41. Calcular a área do triâgulo cujos vértices são: A = (3, 11, 0), B = (−9, −5, 0) e C = (6, −10, 0). 4
