Operações utilizando um sistema de coordenadas

Centro Universitário do Norte Paulista
Geometria Analítica e Álgebra Linear
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VETORES- Operações utilizando um sistema de coordenadas
As operações com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de
coordenadas retangulares ou cartesianas.
Vetores no R2
Seja V um vetor no plano. Definimos as componentes de V como sendo as
coordenadas (v1,v2) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na
origem. Identificando o vetor com as suas componentes escreve-se
V = (v1, v2)
Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor OP,
que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P.
O vetor nulo 0 = (0,0).
Podemos realizar facilmente as operações: soma de vetores e multiplicação de
vetor por escalar.
y
Componentes do vetor no Plano
v2
V=(v1,v2)
v1
O
x
Soma de dois vetores
Soma de dois vetores no plano
A soma de dois vetores V = (v1,v2) e W = (w1,w2) é dada por
V +W = (v1 + w1, v2 + w2)
A adição de vetores pode ser interpretada geometricamente .Neste sentido, a
soma de dois vetores v e w é um outro vetor z = v + w que pode ser obtido unindo-
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se a extremidade inicial do vetor w, à extremidade final do vetor v, isto é, ao final
de v, coloque o início de w. Assim, z = v + w vai do começo de v ao final de w,
conforme é ilustrado no desenho abaixo.
A multiplicação de um vetor V = (v1 v2) por um escalar α é dada por
αV = (αv1, αv2)
O produto c v de um escalar c por um vetor v , pode ser interpretada,
geometricamene, por uma dilatação ou uma contração do vetor v por um fator | c |.
Se | c | < 1, o módulo do vetor c v é menor do que o módulo do vetor v. Por isso
dizemos que o vetor v sofre uma contração. Da mesma forma, se | c | > 1, o
módulo do vetor cv é maior do que o módulo de v e dizemos que o vetor v sofre
uma dilatação.Se c > 0, o vetor c v tem o mesmo sentido do vetor v . Se c < 0, o
vetor c v tem sentido contrário ao vetor v. Assim, o vetor 2 v tem o dobro do
comprimento do vetor v e o vetor - v , o mesmo comprimento e sentido oposto.
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O vetor - w , dito o simétrico de w , permite definir a subtração de vetores. O vetor
v - w é definido como v - w = v + (- w ). As componentes deste vetor serão dadas
por < >. Para desenhar este vetor, observe que é preciso viajar primeiro ao longo
de v e, então "voltar atrás" ao longo de w. Veja o desenho .
Componentes de um vetor no espaço R3
Seja V um vetor no espaço. Definimos as componentes de V como sendo as
coordenadas (x,y,z) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na
origem. Identificando os vetores com suas componentes escreve-se
V = (x,y,z)
As coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor OP que vai
da origem do sistema de coordenadas ao ponto P.
Exemplo:
Para representar um ponto P (2,3,4) no espaço podemos proceder da seguinte
forma:
1º passo: marcar duas unidades no eixo das abscissas
2º passo: Traça-se uma horizontal ao eixo y com 3 unidades de comprimento
3ºpasso:Traça-se um segmento paralelo ao eixo z com 4 unidades de
comprimento
z
z
y
y
2
2
x
x
3 unidades
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4
z
4
unidades y
2
3
unidades
x
A soma de vetores
Se V = (v1,v2,v3) e W = (w1,w2,w3), então a adição de V com W é dada por
V +W = (v1 + w1,v2 + w2,v3 + w3)
Multiplicação de vetor por escalar
Se V = (v1,v2,v3) e α é um escalar, então a multiplicação de V por α é :
αV = (αv1,αv2,αv3)
Exemplo: Se V = (1,-2, 3), W = (2,4,-1), então
V +W = (1 + 2,-2 + 4,3 + (-1)) = (3,2,2); 3V = (3 .1,3 (-2), 3 . 3) = (3,-6, 9)
Componentes de um Vetor
Quando um vetor V está representado por um segmento orientado com ponto
inicial fora da origem digamos em P = (x1,y1,z1), e ponto final em Q = (x2,y2,z2),
então as componentes do vetor V são dadas por
V = PQ= OQ - OP= (x2 -x1,y2 -y1, z2 - z1)
Portanto, as componentes de V são obtidas subtraindo-se as coordenadas do
ponto Q (extremidade) das do ponto P (origem). O mesmo se aplica a vetores no
plano.
O vetor nulo 0 = (0,0,0).
O módulo do vetor u, de R3 é determinado por :
esta expressão é obtida a partir do cálculo da diagonal de um paralelepípedo
retângulo.