Contagem I - Projeto Fermat

Contagem I
Contar pode parecer uma coisa fácil, mas em alguns problemas essa tarefa é complicada. A ideia mais intuitiva
é analisar a situação caso a caso, analisando todas as possibilidades independentes, como veremos nos exemplos a
seguir.
Exemplo 1
Solução:
Quantos casais podem ser formados com 3 homens e 5 mulheres?
Se escolhermos um homem qualquer, há 5 possibilidades de casais com esse homem (um com cada
uma das 5 mulheres). Da mesma forma, para os outros dois homens também encontraremos 5 possibilidades.
Assim, encontraremos um total de 5 + 5 + 5 = 15 possibilidades de casais.
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Exemplo 2
Solução:
Quantos são os múltiplos positivos de 5 ou 7 menores que 22?
Os múltiplos de 5 são {5; 10; 15; 20} (4 possibilidades), enquanto os de 7 são {7; 14; 21} (3 possibilidades).
Assim, no total há 3 + 4 = 7 múltiplos de 7 ou 5 menores que 22.
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Teorema 1. (Princípio Aditivo) Conforme visto nos exemplos anteriores, se há dois eventos independentes A e
B, com x possibilidades para A e y para B, então ocorrerá A ou B em x + y possibilidades.
Exemplo 3
(OBMEP) Daniel escreveu a lista, em ordem crescente, de todos os números inteiros de 1 a 100 que
são múltiplos de 7 ou têm o algarismo 7. Os três primeiros números da lista são 7, 14 e 17. Quantos números
possui essa lista?
Solução:
Vemos que há 14 múltiplos de 7 entre 1 e 100: {7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91; 98}. Além
disso, a quantidade de números com o algarismo 7 nas unidades entre 1 e 100 é 10: {7; 17; 27; 37; 47; 57; 67; 77; 87; 97}.
Analogamente, com 7 nas dezenas são 10 possibilidades: {70; 71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79}.
Queremos achar o tamanho do conjunto que contém todos os elementos dos três conjuntos acima. Assim,
vemos que pelo Princípio Aditivo, essa quantidade será (considerando que o 77 aparece nos 3 conjuntos e o 70 e
o 7 aparecem em dois conjuntos cada, devemos tirar 2 setenta e setes, um setenta e um sete):
10 + 10 + 14 − 2 − 1 − 1 = 30.
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Teorema 2. (Princípio Multiplicativo) Sejam A e B eventos consecutivos e independentes, com x possibilidades
para A e y possibilidades para B, então ocorre A e B de x · y maneiras.
Exemplo 4
Solução:
Maria tem 4 vestidos, 2 chapéus e 5 pares de sapatos. De quantas maneiras Maria pode se vestir?
Pelo Princípio Multiplicativo, essa quantidade é 4 · 2 · 5 = 80 maneiras.
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Exemplo 5
Uma bandeira com três listras verticais (como a bandeira da Itália) pode ser colorida com 5 cores
diferentes. De quantas maneiras pode ocorrer essa coloração de modo a que duas listras adjacentes têm cores
diferentes?
Solução:
Para a primeira lista temos 5 possibilidades. Para a segunda temos 4 (todas menos a que já foi colorida
na primeira). Analogamente, a terceira também pode ser colorida com 4 cores (todas menos a da 2ł listra). Pelo
Princípio Multiplicativo, há 5 · 4 · 4 = 80 possibilidades no total.
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Uma ideia bastante útil na contagem é separar a situação em casos, alternando o Princípio Multiplicativo e
o Aditivo.
Exemplo 6
(OBMEP) De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros de 1 a 19, de modo que o
maior e o menor sejam ímpares e o outro seja par?
Solução:
Precisamos analisar todos os casos do número par. Se esse número for 2, há 1 ímpar menor que ele
e 9 maiores que ele, totalizando 9 × 1 = 9 casos. Se o número for 4, há 2 ímpares menores que ele e 8 maiores,
totalizando 8 · 2 = 16 casos. Da mesma forma vemos que para o par sendo 6, são 3 · 7 = 21 casos. Assim é fácil
ver que o total são 9 · 1 + 8 · 2 + 7 · 3 + 6 · 4 + 5 · 5 + 4 · 6 + 3 · 7 + 2 · 8 + 1 · 9 = 165 possibilidades.
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Exemplo 7
(OBMEP) Tio Paulo trouxe cinco presentes diferentes, entre os quais uma boneca, para distribuir
entre suas sobrinhas Ana, Bruna, Cecília e Daniela. De quantos modos ele pode distribuir os presentes entre as
sobrinhas de modo que todas ganhem pelo menos um presente e a boneca seja dada para Ana?
Solução:
Devemos dividir o problema em dois casos:
1. Se Ana recebe dois presentes (sendo um deles a boneca), há 4 possibilidades para o segundo presente de Ana.
Para as três sobrinhas restantes, há 3 presentes disponíveis. Assim, há um total de 3 · 2 · 1 = 6 possibilidades.
Ao todo, são 4 · 6 = 24 possibilidades.
2. Se Ana recebe apenas a boneca, sobrarão 4 presentes a serem distribuídos para as três sobrinhas. Uma das
três receberá exatamente dois presentes, enquanto as outras duas receberão apenas um. Para as duas que
receberão um único presente há 4 · 3 = 12 possibilidades, enquanto os outros dois restantes irão obrigatoriamente para a sobrinha que receberá 2 presentes. Como há 3 possibilidades para quem terá 2 presentes, o
total são 12 · 3 = 36 possibilidades.
Finalmente, o Princípio Aditivo diz que totalizam 24 + 36 = 60 maneiras de distribuir os presentes.
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Outra ideia bem importante na resolução de problemas de contagem é a estratégia "tudo menos o que não
interessa". Às vezes quando há um conjunto universo U de todas as possibilidades e se quer saber uma determinada
propriedade contida em U que corresponde a outro conjunto A, é mais fácil calcular o próprio U e o complemento
U − A, tal que A pode ser obtido pela subtração dos conjuntos encontrados. A ideia fica mais clara no exemplo:
Exemplo 8
Solução:
Escrevem-se todos os inteiros de 1 a 9999. Quantos números têm pelo menos um zero?
Vamos achar a quantidade de números que não possuem zero em sua representação decimal. Com 4
algarismos, temos 9 possibilidades para cada casa decimal (todos os algarismos de 1 a 9), totalizando 9 · 9 · 9 · 9 = 94
possibilidades. Da mesma forma, temos 9 · 9 · 9 = 93 possibilidades para 3 algarismos, 9 · 9 = 92 possibilidades com
2 algarismos e 9 possibilidades com 1 algarismo. Assim, no total, são 94 + 93 + 92 + 9 = 7380 números sem o 0 em
sua representação decimal. Como queremos a quantidade de números com pelo menos um zero, essa quantidade
será 9999 − 7380 = 2619.
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Exemplo 9
Solução:
Em um conjunto de 10 pessoas, quantos grupos de 3 podem ser formados?
Esse problema adianta um assunto chamado combinação. A abordagem mais intuitiva é utilizar o
princípio multiplicativo para ver que são 10 · 9 · 8 = 720 maneiras. Entretanto, essa forma conta grupos mais de
uma vez. Por exemplo, ao pegar três pessoas A, B e C, esse método conta as formas ABC, ACB, BAC, BCA,
CAB e CBA, quando na verdade são todas um grupo só das pessoas A, B e C. Assim, vemos que cada grupo é
contado 3 · 2 · 1 = 6 vezes sendo, portanto, o total desejado 720 ÷ 6 = 120.
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Exemplo 10
Solução:
De quantas formas é possível dispor quatro pessoas em uma mesa circular?
Novamente, a abordagem mais óbvia é usar o princípio multiplicativo e achar a quantidade 4 · 3 · 2 ·
1 = 24 conformações. Entretanto, como estamos tratando de uma mesa circular, ela está suscetível a rotações.
Por exemplo, as formações ABCD, BCDA, CDAB e DABC são a mesma formação, já que podem ser obtidas
com rotações. Assim, para cada conformação, foram contadas 4 equivalentes, sendo assim a quantidade real de
possibilidades 24 ÷ 4 = 6.
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Problema 11
De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas em fila?
Problema 12
Quantos são os números de cinco dígitos que são múltiplos de 3 e possuem 6 como um de seus
dígitos?
Problema 13
De quantos modos podemos por três torres de três cores diferentes em um tabuleiro 8 × 8 de modo
que nenhuma delas ataque outra? Obs.: A torre se movimenta na horizontal e vertical.
Problema 14
Quantos são os números pares de três algarismos distintos?
Problema 15
Encontre o número de formas que podemos dispor n pessoas em uma mesa circular.
Problema 16
Quantos anagramas possui a palavra MARCA?
Problema 17
(OBM) Considere todos os números de três algarismos distintos, cada um igual a 0, 1, 2, 3 ou 5.
Quantos desses números são múltiplos de 6?
Problema 18
(OBM) Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos
se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém,
651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?
Problema 19
(OBM) Um número de quatro dígitos é dito paladino se é múltiplo de 9 e nenhum de seus dígitos
é nulo. Quantos números paladinos existem?
Problema 20
(OBM) Um número de quatro dígitos é dito peroba se possui pelo menos dois dígitos vizinhos
com a mesma paridade. Quantos números perobas existem?
Problema 21
(OBMEP) Quantos números inteiros positivos de cinco algarismos têm a propriedade de que o
produto de seus algarismos é 1000?
Problema 22
(Banco de Questões OBMEP) Um país tem 12 ministros. Cada ministro é amigo de 5 ministros e
inimigo de outros 6. Cada comitê é formado por 3 ministros. Um comitê é considerado legítimo de todos os seus
membros são amigos ou se são todos inimigos. Quantos comitês legítimos podem ser formados?
Problema 23
(OBMEP) Com os algarismos 1, 4, 6 e 8 pode-se formar vários números de três algarismos
distintos. Qual é a soma de todos esses números?
Problema 24
(Banco de Questões OBMEP) Dez pontos são marcados ao redor de uma circunferência.
(a) Quantas cordas podem ser formadas ligando dois quaisquer destes pontos? (Uma corda é um segmento de
reta ligando dois pontos sobre uma circunferência.)
(b) Quantos triângulos podem ser formados ligando três quaisquer destes pontos?
Problema 25
(OBM) Quantas permutações de 1, 2, 3, . . . , 9 há com a propriedade de que, para todo 1 ⩽ i < 9,
os números que aparecem entre i e i + 1 (onde i pode aparecer tanto antes como depois de i + 1) são todos menores
do que i? Por exemplo, 976412358 é uma permutação com esta propriedade.