G5 Concursos - Curso PraPassar

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Introdução
Tabela-verdade
Lógica: Estudo do pensamento e suas operações, do raciocínio e da
demonstração.
Uma ferramenta de auxílio na identificação do valor lógico de
uma proposição composta é a tabela-verdade. Nela são preenchidas
todas as combinações possíveis para os valores lógicos das proposições simples e os valores lógicos das proposições compostas. O número de linhas de uma tabela-verdade será de 2nº de proposições simples (sem
contar o cabeçalho com os títulos das proposições).
Proposição: Declaração ou sentença, composta por palavras ou símbolos, e que possui o valor lógico verdadeiro ou falso.
Ex.: “O professor é lindo.”
“O Fluminense venceu o último jogo.”
“Nasci na cidade do Rio de Janeiro.”
“Sou fluminense”
“Faz frio hoje.”
“Chove lá fora.”
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
2 proposições = 22
= 4 linhas
“Te darei um beijo.”
“Te darei um tapa.”
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
3 proposições = 23
= 8 linhas
“4 > 8”
“3,1415  ”
Nem toda sentença é uma proposição, ou seja, não pode
receber o valor lógico verdadeiro ou falso:
Sentença exclamativa: “Carácoles!” ; “Eita!”
Sentença interrogativa: “Você conhece o Mário?” ; “Amanhã choverá?”
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição é verdadeira ou
falsa; não há um terceiro valor lógico.
Princípio da Não-Contradição: Nenhuma proposição é verdadeira e
falsa ao mesmo tempo.
Sim ples ou Com posta: Uma proposição simples (átomo) não pode
ser dividida em outras proposições. Uma proposição composta (molécula) utiliza conectivos e pode ser dividida em outras proposições.
p = “O professor é lindo.”
q = “O Fluminense venceu o último jogo.”
“O professor é lindo ou o Fluminense venceu o último jogo.”
Onde
e
p = “O professor é lindo”
q = “o Fluminense venceu o último jogo”
“Se nasci na cidade do Rio de Janeiro então sou fluminense.”
Onde
e
r = “nasci na cidade do Rio de Janeiro”
s = “sou fluminense”
“Faz frio hoje e chove lá fora.”
Onde
e
r = “Nasci na cidade do Rio de Janeiro.”
s = “Sou fluminense.”
t = “Faz frio hoje.”
t = “Faz frio hoje”
u = “chove lá fora”
“Ou te darei um beijo, ou te darei um tapa.”
Onde
v = “te darei um beijo”
e
x = “te darei um tapa”
u = “Chove lá fora.”
v = “Te darei um beijo.”
x = “Te darei um tapa.”
y = “4 > 8”
s
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Uma proposição composta (molécula) é formada por duas ou
mais proposições simples (átomos) que são ligadas entre si através de
conectivos.
Sim bologia: Proposições são simbolizadas por letras minúsculas.
Ex.:
r
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
Proposições
Compostas
As sentenças exclamativas, interrogativas e imperativas
estão fora do escopo da lógica e não serão abordadas.
Princípio da Identidade: Uma proposição verdadeira é verdadeira e
uma proposição falsa é falsa.
q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
4 proposições = 24
= 16 linhas
Sentença imperativa: “Não encha o saco.” ; “Fale com a minha mão.”
Princípios das
Proposições
p
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
“4 > 8 se e som ente se 3,1415  .”
Onde
z = “3,1415  ”
PROF. ANDRÉ BARRETO / [email protected] / RACIOCÍNIO LÓGICO
e
y = “4 > 8”
z = “3,1415  ”
Conectivos
São utilizados para “unir” proposições simples (átomos) e
criar proposições compostas (moléculas).
Conectivo
Lê-se
Conjunção
e
Sím bolo Conjunto

Diagram a
p q
Interseção
p q
Disjunção

ou
União
Lei: Uma proposição composta (molécula) conjuntiva só será verdadeira se todas as suas proposições simples (átomos) forem verdadeiras.
Se pelo menos uma de suas proposições simples (átomo) for falsa, a
proposição composta (molécula) conjuntiva será falsa.
Disjunção “ou” ; ()
Considerando-se a proposição composta “O professor é
lindo ou o Flum inense venceu o últim o jogo.”, podemos analisar o
conectivo disjunção (ou ; ). A proposição composta anterior é formada
por duas proposições simples:
Proposição composta:
p-q
“O professor é lindo ou o Fluminense venceu
o último jogo.”
p = “O professor é lindo”
q = “O Fluminense venceu o último jogo”
Disjunção
Exclusiva

ou ... ou
Diferença
Conectivo: ou = 
q-p
Representação lógica:
“p  q”
Lê-se:
p ou q
pq
Condicional

se ... então
Tabela-Verdade com Palavras:
Pertinência
p=q

Bicondicional se e somente se
Igualdade
Conjunção “e” ; ()
Considerando-se a proposição composta “Faz frio hoje e
chove lá fora.”, podemos analisar o conectivo conjunção (e ; ). A
proposição composta anterior é formada por duas proposições simples:
Proposição composta: “Faz frio hoje e chove lá fora.”
p = “Faz frio hoje”
q = “chove lá fora”
Conectivo:
Representação lógica:
Lê-se:
“p  q”
É verdade que:
“faz frio hoje e chove lá fora”?
Sim
Não
Não
Não
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
p q p q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
2 proposições = 22
= 4 linhas
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p q
V
V
F
F
F
F
F
F
p r
V
F
V
F
F
F
F
F
Sim
Não
Sim
Não
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
p q p q
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
2 proposições = 22
= 4 linhas
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p q
V
V
V
V
V
V
F
F
p r
V
V
V
V
V
F
V
F
q r
V
V
V
F
V
V
V
F
p q r
V
V
V
V
V
V
V
F
Lei: Uma proposição composta (molécula) disjuntiva será
verdadeira se pelo menos uma das suas proposições simples (átomos)
forem verdadeiras. Se todas as proposições simples (átomo) forem
falsas, a proposição composta (molécula) disjuntiva será falsa.
peq
É verdade que:
“chove lá fora”?
Sim
Não
Sim
Não
É verdade que:
“o professor é lindo ou o
Fluminense venceu o último
jogo”?
Sim
Sim
Sim
Não
É verdade que:
“o Fluminense venceu o último jogo”?
e = 
Tabela-Verdade com Palavras:
É verdade que:
“faz frio hoje”?
Sim
Sim
Não
Não
É verdade
que:
“o professor é
lindo”?
Sim
Sim
Não
Não
q r
V
F
F
F
V
F
F
F
p q r
V
F
F
F
F
F
F
F
Expressões Equivalentes a Proposição Conjuntiva:
Disjunção Exclusiva
“ou ... ou” ; ()
Considerando-se a proposição composta “Ou te darei um
beijo, ou te darei um tapa.”, podemos analisar o conectivo disjunção
exclusiva (ou ... ou ; ). A proposição composta anterior é formada por
duas proposições simples:
Proposição composta: “Ou te darei um beijo, ou te darei um tapa.”
p = “te darei um beijo”
q = “te darei um tapa”
Conectivo:
Representação lógica:
Lê-se:
Equivalente:
Com Sím bolos
Com Palavras
p mas q.
Faz frio hoje mas chove lá fora.
PROF. ANDRÉ BARRETO / [email protected] / RACIOCÍNIO LÓGICO
ou ... ou = 
“p  q”
ou p ou q
“(p  q)  (p  q)”
Tabela-Verdade com Palavras:
É verdade que:
“te darei um
beijo”?
Sim
Sim
Não
Não
É verdade que:
“te darei um
tapa”?
Sim
Não
Sim
Não
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
É verdade que:
“ou te darei um beijo ou te darei
um tapa”?
Não
Sim
Sim
Não
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
p q p q
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
2 proposições = 22
= 4 linhas
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
F
V
V
F
p
V
V
V
V
F
F
F
F
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
p q
F
V
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p  q
F
V
F
F
p q
F
F
V
V
V
V
F
F
p r
F
V
F
V
V
F
V
F
p  q
F
F
V
F
q r
F
V
V
F
F
V
V
F
p q r
F
F
F
V
F
V
V
F
(p   q)  ( p  q)
F
V
V
F
(p   q)  ( p  q)
F
V
V
F
Lei: Uma proposição composta (molécula) disjuntiva exclusiva será verdadeira se apenas uma única das suas proposições simples
(átomos) for verdadeira. Se nenhuma ou mais de uma das proposições
simples (átomo) forem verdadeiras, a proposição composta (molécula)
disjuntiva exclusiva será falsa.
Condicional
“se ... então” ; ()
Considerando-se a proposição composta “Se nasci na cidade do Rio de Janeiro então sou flum inense.”, podemos analisar o
conectivo condicional (se ... então ;  ). A proposição composta anterior é formada por duas proposições simples:
Proposição composta: “Se nasci na cidade do Rio de Janeiro então
sou fluminense.”
p = “nasci na cidade do Rio de Janeiro”
q = “sou fluminense”
Conectivo:
Representação lógica:
Lê-se:
Recíproca:
Contrapositiva:
Equivalente:
se ... então = 
p
V
V
V
V
F
F
F
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
q p
V
V
F
V
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p q
V
V
F
F
V
V
V
V
p r
V
F
V
F
V
V
V
V
q r
V
F
V
V
V
F
V
V
q  p
V
F
V
V
(p  q)  r
V
F
V
V
V
F
V
F
p  q
V
F
V
V
p  (q  r)
V
F
V
V
V
V
V
V
Expressões Equivalentes a Proposição Condicional:
Com Sím bolos
Com Palavras
Se nasci na cidade do Rio de Janeiro, sou
fluminense.
Sou fluminense, se nasci na cidade do Rio de
q, se p.
Janeiro.
Quando se nasce na cidade do Rio de Janeiro,
Quando p, q.
se é fluminense.
Nascer na cidade do Rio de Janeiro implica ser
p implica q.
fluminense.
p é condição suficien- Nascer na cidade do Rio de Janeiro é condição
te para q.
suficiente para ser fluminense.
q é condição neces- Ser fluminense é condição necessária para
sária para p.
nascer na cidade do Rio de Janeiro.
Se nasce na cidade do Rio de Janeiro somente
p somente se q.
se se é fluminense.
Todos que nascem na cidade do Rio de Janeiro
Todo p é q.
são fluminenses.
Se p, q.
Lei: Uma proposição composta (molécula) condicional só
será falsa quando a proposição antecedente (à esquerda) do conectivo
for verdadeira e a proposição conseqüente (à direita) do conectivo for
falsa.
. Ate n ção :
pq

q  p

p  q .
Bicondicional
“...se, e somente se,...”; ()
Considerando-se a proposição composta “4 > 8 se e somente se 3,1415  .”, podemos analisar o conectivo bicondicional (se e
som ente se; ). A proposição composta anterior é formada por duas
proposições simples:
Proposição composta: “4 > 8 se e som ente se 3,1415  .”
“p  q”
p = “4 > 8”
Se p então q
q = “3,1415  ”
“q  p”
“q  p”
“p  q”
Conectivo:
Representação lógica:
Lê-se:
Tabela-Verdade com Palavras:
É verdade
É verdade que:
É verdade que:
que:
“nasci na cidade do
“Se nasci na cidade do Rio de
“sou fluminenRio de Janeiro”?
Janeiro então sou fluminense”?
se”?
Sim
Sim
Sim
Sim
Não
Não
Não
Sim
Sim
Não
Não
Sim
se e somente se = 
“p  q”
p se e somente se q
Tabela-Verdade com Palavras:
É verdade que: É verdade que:
É verdade que:
“4 > 8”?
“3,1415  ”? “4 > 8 se e somente se 3,1415  ”?
Sim
Sim
Sim
Sim
Não
Não
Não
Sim
Não
Não
Não
Sim
PROF. ANDRÉ BARRETO / [email protected] / RACIOCÍNIO LÓGICO
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
V
q p
V
F
F
V
p q
V
V
F
F
F
F
V
V
p r
V
F
V
F
F
V
F
V
q r
V
F
F
V
V
F
F
V
p
V
V
F
F
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
p
F
V
p
V
F
q
V
F
Expressões Equivalentes a Negação de uma Proposição Sim ples:
Com Sím bolos
Com Palavras
Não é verdade que p. Não é verdade que o professor é lindo.
É falso que p.
É falso que o professor é lindo.
Não é verdade que q.
Não é verdade que faz frio hoje.
É falso que q.
É falso que faz frio hoje.
p qr
V
F
F
F
F
F
F
V
Atenção com a Dupla Negação:
“O professor não é não lindo” = “O professor é lindo”
 (  p) = p
Expressões Equivalentes a Proposição Bicondicional:
Com Sím bolos
Com Palavras
Se p então q e se q então p. Se 4 > 8 então 3,1415   e se 3,1415
(p  q)  (q  p)
  então 4 > 8.
p se e só se q.
4 > 8 se e só se 3,1415  .
p somente se q e
4 > 8 somente se 3,1415   e 3,1415
q somente se p.
  somente se 4 > 8.
p é condição suficiente para q
4 > 8 é condição suficiente para
e q é condição suficiente para 3,1415   e 3,1415   é condição
p.
suficiente para 4 > 8.
q é condição necessária
3,1415   é condição necessária para
para p e p é condição
4 > 8 e 4 > 8 é condição
necessária para q.
necessária para 3,1415  .
Todo 4 > 8 é 3,1415   e todo 3,1415
Todo p é q e todo q é p.
  é 4 > 8.
Todo 4 > 8 é 3,1415  
Todo p é q e reciprocamente.
e reciprocamente.
Lei: Uma proposição composta (molécula) bicondicional será
verdadeira quando todas as suas proposições simples (átomos) tiverem o mesmo valor lógico (verdadeiro ou falso). Se pelo menos uma
das proposições simples (átomo) forem diferentes das outras proposições simples, a proposição composta (molécula) bicondicional será
falsa.
Partícula Negação
não ;  ou ~
A negação de uma proposição, simples ou composta, é feita
através da partícula  . Consideremos as seguintes proposições simples:
Negação da Conjunção
 ( p  q ) = p  q
Considerando-se a proposição composta “Faz frio hoje e
chove lá fora.”, podemos analisar a negação da conjunção (  (pq) ).
A proposição composta anterior é formada por duas proposições simples:
Proposição simples:
q = “Faz frio hoje.”
Negação da proposição simples:  q = “Não faz frio hoje.”
Negação alternativa:  q = “Faz calor hoje.”
Partícula: não =  ou ~
“ p” , “ q” , “~p” , “~q”
não p , não q
Tabela-Verdade com Palavras:
É verdade que:
“o professor é lindo”?
Sim
Não
É verdade que:
“faz frio hoje”?
Sim
Não
“Não é verdade que faz frio hoje e chove lá
fora.”
Proposição composta:
p = “faz frio hoje”
q = “chove lá fora”
Conectivo:
e = 
Partícula: não = 
Representação lógica:
Negação da Conjunção:
“(p  q)”
“p  q”
Resultado da Negação:
Alternativamente:
“Não faz frio hoje ou não chove lá fora.”
“Faz calor hoje ou não chove lá fora.”
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
 (p  q)
F
V
V
V
p
V
V
F
F
 (p  q)
F
V
V
V
Proposição simples:
p = “O professor é lindo”
Negação da proposição simples:  p = “O professor não é lindo”
Negação alternativa:  p = “O professor é feio”
Representação lógica:
Lê-se:
q
F
V
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
 p  q
F
V
V
V
 p  q
F
V
V
V
p q r p  q  (p  q) p  r  (p  r) q  r  (q  r) p  q  r  (p  q  r)
VVV V
F
V
F
V
F
V
F
VVF V
F
F
V
F
V
F
V
VFV F
V
V
F
F
V
F
V
VFF F
V
F
V
F
V
F
V
FVV F
V
F
V
V
F
F
V
FVF F
V
F
V
F
V
F
V
FFV F
V
F
V
F
V
F
V
FFF F
V
F
V
F
V
F
V
É verdade que:
“o professor não é lindo”?
Não
Sim
É verdade que:
“não faz frio hoje”?
Não
Sim
PROF. ANDRÉ BARRETO / [email protected] / RACIOCÍNIO LÓGICO
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r
F
V
F
V
F
V
F
V
 p  q  r
F
V
V
V
V
V
V
V
 (p  q  r)  p  q  r
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Lei: A negação de proposição composta (molécula) conjuntiva é feita ao se negar as suas proposições simples (átomos) e substituir o conectivo conjunção (e ; ) pelo conectivo disjunção (ou ; ).
Negação da Disjunção
 ( p  q ) = p  q
Considerando-se a proposição composta “O professor é
lindo ou o Flum inense venceu o últim o jogo.” , podemos analisar a
negação da disjunção (  (pq) ). A proposição composta anterior é
formada por duas proposições simples:
 (p  q  r)  p   q   r
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
Lei: A negação de proposição composta (molécula) disjuntiva
é feita ao se negar as suas proposições simples (átomos) e substituir o
conectivo disjunção (ou ; ) pelo conectivo conjunção (e ; ).
Negação da Condicional
 (p  q) = p  q
Considerando-se a proposição composta “Se nasci na cidade do Rio de Janeiro então sou flum inense.”, podemos analisar a
negação da condicional (  (pq) ). A proposição composta anterior é
formada por duas proposições simples:
p = “nasci na cidade do Rio de Janeiro”
q = “sou fluminense”
“Não é verdade que o professor é lindo ou
o Fluminense venceu o último jogo.”
Proposição composta:
p = “o professor é lindo”
q = “Fluminense venceu o último jogo”
Conectivo: ou = 
Partícula: não = 
“p  q”
Resultado da Negação:
“O professor não é lindo e o Fluminense
não venceu o último jogo.”
“O professor é feio e o Fluminense perdeu
o último jogo.”
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
 (p  q)
F
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
V
V
F
 (p  q)
F
F
F
V
p
V
V
F
F
 (p  q)
F
F
F
V
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
 p  q
F
F
F
V
 p  q
F
F
F
V
p q r p  q  (p  q) p  r  (p  r) q  r  (q  r) p  q  r  (p  q  r)
VVV V
F
V
F
V
F
V
F
VVF V
F
V
F
V
F
V
F
VFV V
F
V
F
V
F
V
F
VFF V
F
V
F
F
V
V
F
FVV V
F
V
F
V
F
V
F
FVF V
F
F
V
V
F
V
F
FFV F
V
V
F
V
F
V
F
FFF F
V
F
V
F
V
F
V
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r
F
V
F
V
F
V
F
V
 p  q  r
F
F
F
F
F
F
F
V
p
V
V
F
F
 (p  q)
F
V
F
F
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
p
V
V
F
F
“(p  q)”
“p  q”
“Nasci na cidade do Rio de Janeiro e não
sou fluminense.”
Representação lógica:
Negação da Condicional:
Resultado da Negação:
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
Negação da Disjunção:
Alternativamente:
condicional = 
não = 
Conectivo:
Partícula:
“(p  q)”
Representação lógica:
“Não é verdade que, se nasci na cidade do
Rio de Janeiro, então sou fluminense.”
Proposição composta:
q
V
F
V
F
q
F
V
F
V
p  q
F
V
F
F
p  q
F
V
F
F
Lei: A negação de proposição composta (molécula) condicional é feita ao se manter a proposição antecedente (à esquerda) do
conectivo, trocar o conectivo condicional (se ... então ; ) pelo conectivo conjunção (e ; ) e negar-se (não ; ) proposição conseqüente (à
direita) do conectivo.
Negação da Bicondicional
(p  q) = [(p  q)  (p  q)]
Considerando-se a proposição composta “4 > 8 se e somente se 3,1415  .”, podemos analisar a negação da bicondicional
(  (pq) ). A proposição composta anterior é formada por duas proposições simples:
“Não é verdade que 4 > 8 se e som ente
se 3,1415  .”
Proposição composta:
p = “4 > 8”
q = “3,1415  ”
Conectivo:
Partícula:
Representação lógica:
Negação da Bicondicional:
Resultado da Negação:
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bicondicional = 
não = 
“(p  q)”
“(p  q)  (p  q)”
“4  8 e 3,1415   ou 4 > 8 e não é
verdade que 3,1415  .”
Tabela-Verdade com Sím bolos e Conectivos:
p
V
V
F
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
q
V
F
V
F
q
F
V
F
V
p q
V
F
F
V
p  q
F
F
V
F
 (p  q)
F
V
V
F
 (p  q)
F
V
V
F
p  q
F
V
F
F
Tautologia
Uma proposição composta (molécula) cujo valor lógico é
sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos das proposições simples (átomos) que a compõem, é denominada tautologia.
p   p é uma tautologia:
( p  q)  (p   q)
F
V
V
F
p
V
V
F
F
p
V
V
F
F
Negação
Algum homem é
Todo homem é mentiroso.
mentiroso.
=
=
Algum homem é não
Todo homem é não
mentiroso (ou é honesto).
mentiroso (ou é honesto).
Algum homem é
Nenhum homem é não
mentiroso.
mentiroso (ou é honesto).
p
V
V
F
F
Tabela com Sím bolos:
Quantificador
Universal
Particular
Afirm ação
 x (p(x)  q(x))

 x (p(x)  q(x))
 x (p(x)  q(x))
Negação
 x (p(x)  q(x))

 x (p(x)  q(x))
 x (p(x)   q(x))
q
F
V
F
V
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
(p  q)  q
V
V
V
V
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
 (p  q)
F
V
V
V
p   (p  q)
V
V
V
V
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
p q
V
F
V
V
p  q
V
F
V
V
(p  q)  (p   q)
V
V
V
V
(p  q)  ( q   p) é uma tautologia:
Tabela com Proposições:
Particular
(p  q)  (p  q)
V
V
V
V
(p  q)  ( p  q) é uma tautologia:
Afirm ação
Universal
p q
V
V
V
F
p   (p  q) é uma tautologia:
p
V
V
F
F
Tabela com Palavras:
Negação
Algum p é q.
=
Todo p é  q.
Nenhum p é  q.
p  (p  q)
V
V
V
V
(p  q)   q é uma tautologia:
q = “mentiroso”
Afirm ação
Todo p é q.
=
Algum p é  q.
Algum p é q.
p q
V
V
V
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
q
V
F
V
F
p
V
V
F
F
p = “homem”
Quantificador
(p  q)  p
V
V
V
V
(p  q)  (p  q) é uma tautologia:
p
V
V
F
F
Os quantificadores podem ser divididos em duas categorias:
universais e particulares. Os quantificadores universais são aqueles
onde o antecedente à totalidade do conjunto. Os quantificadores particulares são aqueles onde o antecedente refere-se apenas a uma parte
do conjunto. Considerando as proposições simples seguintes:
Particular
p q
V
F
F
F
q
V
F
V
F
p  (p  q) é uma tautologia:
Quantificadores
e suas Negações
Universal
p  p
V
V
(p  q)  p é uma tautologia:
( p  q)  (p   q)
F
V
V
F
Lei: A negação de proposição composta (molécula) bicondicional é feita ao se criar uma proposição composta (molécula) conjuntiva (e ; ) com a proposição simples (átomo) antecedente e a negação
da proposição simples (átomo) conseqüente e outra proposição composta (molécula) conjuntiva (e ; ) com a proposição simples (átomo)
conseqüente e a negação da proposição simples (átomo) antecedente.
Faz-se então uma proposição composta (molécula) maior com a disjunção (ou ; ) das proposições compostas criadas.
Quantificador
p
F
V
p
V
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
p q
V
F
V
V
q  p
V
F
V
V
(p  q)  (q  p)
V
V
V
V
(p  q)  ( p  q)  ( q  p) é uma tautologia:
p
V
V
F
F
q p  q p  q q  p (p  q)  ( p  q)  (q  p)
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
[p  (p  q)]  q é uma tautologia denominada m odus ponens :
PROF. ANDRÉ BARRETO / [email protected] / RACIOCÍNIO LÓGICO
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
p  (p  q)
V
F
F
F
[p  (p  q)]  q
V
V
V
V
[(p  q)   q]   p é uma tautologia denominada m odus tollens:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
p q
V
F
V
V
(p  q)  q
F
F
F
V
[(p  q)]  q]  p
V
V
V
V
[(p  q)  (p  r)]  p é uma tautologia:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
p q
V
V
V
V
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p r
V
F
V
F
F
F
F
F
(p  q)  (p  r)
V
F
V
F
F
F
F
F
[(p  q)  (p  r)]  p
V
V
V
V
V
V
V
V
Contradição ou
Contra-Válida
Uma proposição composta (molécula) cujo valor lógico é
sempre falso, independentemente dos valores lógicos das proposições
simples (átomos) que a compõem, é denominada contradição ou
contra-válida. A negação de uma tautologia é uma contradição.
p   p é uma contradição:
p
V
F
p
F
V
p  p
F
F
(p   q)  (p  q) é uma contradição:
p
V
V
F
F
q
F
V
F
V
q
V
F
V
F
p  q
F
V
V
F
p q
V
F
F
F
(p   q)  (p  q)
F
F
F
F
 [(p  q)  p] é uma contradição:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
(p  q)  p
V
V
V
V
 [(p  q)  p]
F
F
F
F
 [(p  q)  (p  q)] é uma contradição:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
p q
V
V
V
F
(p  q)  (p  q)
V
V
V
V
 [(p  q)  (p  q)]
F
F
F
F
Contingência
Uma proposição composta (molécula) cujo valor lógico pode
ser verdadeiro ou falso, dependendo dos valores lógicos das propos ições simples (átomos) que a compõem, é denominada contingência.
Em outras palavras, uma proposição composta (molécula) que não é
nem tautologia, nem contradição, é, portanto, uma contingência.
p  (p  q) é uma contingência:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
p  (p  q)
V
F
F
F
(p  q)  (p  r) é uma contingência:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p q
V
V
V
V
V
V
F
F
p r
V
F
V
F
F
F
F
F
(p  q)  (p  r)
V
F
V
F
F
F
F
F
Equivalências lógicas
Quando duas proposições utilizam as mesmas proposições
simples (átomos) e possuem tabelas-verdade iguais, dizemos que são
logicamente equivalentes. A equivalência lógica pode ser representada
simbolicamente com  ou . Considerando as proposições simples
seguintes:
p = “te darei um beijo”
q = “te darei um tapa”
Tabela com Palavras:
Te darei um beijo e te
darei um beijo.
Te darei um beijo ou te
darei um beijo.
Te darei um beijo e te
darei um tapa.
Te darei um beijo e te
darei um tapa.
Te darei um beijo e te
darei um tapa.
Te darei um beijo ou te
darei um tapa.
Te darei um beijo ou te
darei um tapa.
Te darei um beijo ou te
darei um tapa.
Ou te darei um beijo ou te
darei um tapa.
= Te darei um beijo.
= Te darei um beijo.
= Te darei um tapa e te darei um beijo.
Não é verdade que se te der um beijo
então não te darei um tapa.
Não é verdade que se te der um tapa
=
então não te darei um beijo.
=
= Te darei um tapa ou te darei um beijo.
=
=
=
Ou te darei um beijo ou te
=
darei um tapa.
Ou te darei um beijo ou
=
não te darei um tapa.
Se te der um beijo então
=
te darei um tapa.
Se te der um beijo então
=
te darei um tapa.
Te darei um beijo se e
somente se te der um =
tapa.
Te darei um beijo se e
somente se te der um =
tapa.
Te darei um beijo, e te
=
darei um beijo ou um tapa.
Te darei um beijo, ou te
=
darei um beijo e um tapa.
Se não te der um beijo então te darei um
tapa.
Se não te der um tapa então te darei um
beijo.
Ou não te darei um beijo ou não te darei
um tapa.
Te darei um beijo e não te darei um tapa
ou não te darei um beijo e te darei um
tapa.
Ou não te darei um beijo ou te darei um
tapa.
Se não te der um tapa então não te darei
um beijo.
Não te darei um beijo ou te darei um
tapa.
Te darei um tapa se e somente se te der
um beijo.
Se te der um beijo então darei um tapa e
se te der um tapa então darei um beijo.
Te darei um beijo.
Te darei um beijo.
Tabela com Proposições:
pep
p ou p
peq
peq
peq
p ou q
p ou q
p ou q
ou p ou q
ou p ou q
ou p ou não q
se p então q
se p então q
p se e somente se q
p se e somente se q
p e (p ou q)
p ou (p e q)
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
















p
p
qep
não é verdade que se p então não q
não é verdade que se q então não p
q ou p
se não p então q
se não q então p
ou não p ou não q
p e não q ou não p e q
ou não p ou q
se não q então não p
não p ou q
q se e somente se p
se p então q e se q então p
p
p
Tabela com Sím bolos:
p p
p p
p q
p q
p q
p q
p q
p q
p q
p q
p  q
p q
p q
p q
p q
p  (p  q)
p  (p  q)

















Tabela com Sím bolos:
p V
p F
p V
p F
p
p
q p
(p  q)
(q  p)
q p
p  q
q  p
p  q
(p  q)  (p  q)
p  q
q  p
p  q
q p
(p  q)  (q  p)
p
p




p
F
V
p
Leis Distributivas
Considerando as proposições simples seguintes:
p = “te darei um beijo” q = “te darei um tapa” r = “te darei um abraço”
Tabela com Palavras:
Te darei um beijo, e darei um Te darei um beijo e um tapa, ou te
=
tapa ou um abraço. darei um beijo e um abraço.
Te darei um beijo, ou darei Te darei um beijo ou um tapa, e te
=
um tapa e um abraço. darei um beijo ou um abraço.
Tabela com Proposições:
Leis de Identidade
p e (q ou r)  (p e q) ou (p e r)
p ou (q e r)  (p ou q) e (p ou r)
Tabela com Proposições:
peV
peF
p ou V
p ou F




Tabela com Sím bolos:
p
F
V
p
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Resumo dos Conectivos
Conectivo
Lê-se
e
Conjunção
Sím bolo Verdadeiro Quando
pq
(mas)
Disjunção
Disjunção
Exclusiva
ou
ou ... ou
se ... então
Condicional
pq
pq
se e somente se
Bicondicional
(igual a)
Todas as
proposições
são verdadeiras
Pelo menos
uma proposição
é falsa.
Pelo menos
uma proposição
é verdadeira
Todas as
proposições
são falsas
Apenas uma
proposição é
verdadeira
pq
Todos os
outros casos
pq
Todas as
proposições
têm valores
lógicos iguais
(implica)
Falso Quando
02) Leia atentamente as proposições P e Q:
P: o computador é uma máquina.
Q: compete ao cargo de técnico judiciário a
construção de computadores.
Em relação às duas proposições, é correto afirmar que
A) a proposição com posta “P ou Q” é verdadeira.
B) a proposição composta “P e Q” é verdadeira.
C) a negação de P é equivalente à negação de Q.
Negação
Conjunto
(p  q)
p  q
Interseção
p  q
União
(q  p)
qp
p  q
p q
p  q
p  q
p  q
p  q
p  q
pq
(p  q)  (p  q)
qp
p-q
Diferença
A proposição
antecedente é
q  p
verdadeira e
p  q
Pertinência
a proposição
p

q
conseqüente
é falsa
Pelo menos
qp
duas proposições
(p  q)  (p  q) Igualdade
têm valores
(p

q)

(q

p)
lógicos diferentes
D)
E)
Diagram a
p q
q  p
Todos os
outros casos
Questões de Concursos
01) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é
A) conjunção.
D) bicondicional.
B) disjunção exclusiva.
E) disjunção inclusiva.
C) condicional.
Equivalente
qp
q-p
pq
p=q
P é equivalente a Q.
P implica Q.
03) Leia atentamente as proposições simples P e Q:
P: João foi aprovado no concurso do Tribunal.
Q: João foi aprovado em um concurso.
Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é:
A) Se não Q, então P.
D) Se Q, então P.
B) Se não P, então não Q.
E) Se P, então não Q.
C) Se P, então Q.
04) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a
pqé
A) ~ q  p
C) q  ~ p
E) ~ q  ~ p
B) ~ p  ~ q
D) ~ (q  p)
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05) Se p e q são proposições, então a proposição p  (~q) é equivalente a
A) ~(p  q)
C) ~(q  ~p)
E) ~(p  ~q)
B) ~q  ~p
D) ~(p  q)
06) O avesso de uma blusa preta é branco. O avesso de uma calça
preta é azul. O avesso de uma bermuda preta é branco. O avesso do
avesso das três peças de roupa é
A) branco e azul.
C) branco.
E) preto.
B) branco ou azul.
D) azul.
07) Em um trecho da letra da música Sampa, Caetano Veloso se refere
à cidade de São Paulo dizendo que ela é o avesso, do avesso, do
avesso, do avesso. Admitindo que uma cidade represente algo bom, e
que o seu avesso represente algo ruim, do ponto de vista lógico, o
trecho da música de Caetano Veloso afirma que São Paulo é uma
cidade
A) equivalente a seu avesso.
C) ruim e boa.
E) boa.
B) similar a seu avesso.
D) ruim.
08) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz:
“No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a
campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele:
− hoje não compro nada.
Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime.”
Embora a dupla negação seja utilizada com certa freqüência na língua
portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente
lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o
acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que
A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e
não tem coisas a declarar sobre o crime.
B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem
coisas a declarar sobre o crime.
C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem
coisas a declarar sobre o crim e.
D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não
tem coisas a declarar sobre o crime.
E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem
coisas a declarar sobre o crime.
09) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
?
F
V
F
F
p q
 (p  q)
p q
 (p  q)
p q
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é
A) p  q
C) p  q
E) p  q
B) ~(p  q)
D) ~(p  q)
10) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se
os juros bancários são altos, então a inflação é baixa”.
Uma proposição logicamente equivalente à do economista é:
A) se a inflação não é baixa, então os j uros bancários não são altos.
B) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos.
C) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa.
D) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa.
E) ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.
11) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central;
q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implica em q, então
A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é
condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação
compradora de dólares por parte do Banco Central.
C) a atuação com pradora de dólares por parte do Banco Central
é condição suficiente par a fazer frente ao fluxo positivo.
D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente
para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não
é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
A)
B)
C)
D)
E)
se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa.
se eu não com prar um a casa, então não ganhei na loteria.
se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria.
só comprarei uma casa se ganhar na loteria.
só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa.
13) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se
os juros bancários são altos, então a inflação é baixa”.
Uma proposição logicamente equivalente à do economista é:
A) se a inflação não é baixa, então os j uros bancários não são altos.
B) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos.
C) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa.
D) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa.
E) ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.
14) Em certa cidade, quem estaciona o carro na rua principal, é obrigatoriamente multado. Nesta cidade, então, é certo que
A) se alguém não estaciona o carro na rua principal, então ele não
pode ser multado.
B) se um a pessoa for multada, então ela estacionou seu carro na
rua principal.
C) se uma pessoa não é multada, então ela não estacionou o carro
na rua principal.
D) uma pessoa não pode ser multada se não estacionar o carro na
rua principal.
E) uma pessoa que não é multada nunca estaciona o carro.
15) As sentenças abaixo são verdadeiras.
• Se vou à Brasília de avião, o vôo atrasa.
• Se o vôo para Brasília atrasa, fico mal-humorado.
Então, também é verdade que
A)
B)
C)
D)
E)
se o vôo para Brasília não atrasa, não estou indo à Brasília.
se não vou à Brasília de avião, fico mal-humorado.
se o vôo para Brasília não atrasa, não fico mal-humorado.
o vôo para Brasília não atrasa e não fico mal-humorado.
vou à Brasília de avião e não fico mal-humorado.
16) De acordo com a legislação, se houver contratação de um funcionário para o cargo de técnico judiciário, então ela terá que ser feita
através concurso. Do ponto de vista lógico, essa afirmação é equivalente a dizer que
A) se não houver concurso, então não haverá contratação de um
funcionário para o cargo de técnico judiciário.
B) se não houver concurso, então haverá contratação de um funcionário para o cargo de técnico judiciário.
C) se não houver contratação de um funcionário para o cargo de
técnico judiciário, então haverá concurso.
D) se não houver contratação de um funcionário para o cargo de
técnico judiciário, então não houve concurso.
E) se houver contratação de um funcionário para o cargo de técnico
judiciário, então não haverá concurso.
17) Seja a sentença ~ { [ (p → q)  r ] ↔ [ q → (~p  r) ] }.
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que
A) o valor lógico dessa sentença é sempre F.
B) nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é V.
C) nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é F.
D) faltou informar o valor lógico de q e de r.
E) essa sentença é uma tautologia.
18) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então
Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:
A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em
Paris’.
C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está
em Paris’.
D) Não é verdade que “Pedro não está em Rom a ou Paulo está
em Paris’.
E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
19)
A)
B)
C)
ar.
D)
E)
Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
Marcos estudar é condição necessária para João não passear.
Marcos estudar é condição suficiente para João passear.
Marcos não estudar é condição necessária para João não pass eMarcos não estudar é condição suficiente para João passear.
Marcos estudar é condição necessária para João passear.
12) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional
“se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa”, necessariamente
será verdadeira a proposição:
PROF. ANDRÉ BARRETO / [email protected] / RACIOCÍNIO LÓGICO
20) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de
vista lógico, o mesmo que dizer que:
A) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
B) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
C) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
D) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
E) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
21) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o
candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a
afirmação da proposição caracteriza:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r
F
V
F
V
F
V
F
V
pq
Proposição A
(p  q)  r
A)
B)
C)
D)
E)
um silogismo.
um a tautologia.
uma equivalência.
uma contingência.
uma contradição.
22) Um exemplo de tautologia é:
A) se João é alto, então João é alto ou Guilherm e é gordo
B) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
C) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
D) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
E) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
p r
Proposição B
q  ( p  r)
PROF. ANDRÉ BARRETO / [email protected] / RACIOCÍNIO LÓGICO
A B
Resposta da 17
 (A  B)
p  r