1 2 3 4 5 A) XB) XC) D) XXX

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
2o semestre 00/01
1o TESTE DE ANÁLISE MATEMÁTICA II
Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores
7 de Abril de 2001 (9H)
Teste 104
Nome:
Número:
Curso:
Turma:
Sala:
O Teste que vai realizar tem a duração de 90 minutos e é constituı́do por 9 perguntas.
As 5 primeiras são de escolha múltipla; cada resposta certa vale 2 valores, cada resposta em
branco vale 0, e cada resposta errada vale -1/3. As 4 últimas perguntas não são de escolha
múltipla e os seus valores figuram na terceira tabela.
Para as 5 primeiras perguntas, marque as suas escolhas na tabela abaixo.
1
A)
B)
C)
D) X
2 3
X
4
5
X
X
X
Os quadros abaixo destinam-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.
Número de Perguntas certas
Número de Perguntas erradas
Nota da Escolha Múltipla
Perg 6
2 Val
Perg 7
2.5 Val
Perg 8
3 Val
Perg 9
2.5 Val
NOTA FINAL:
1
Problema 1 (2 valores)
Sejam f : [0, T ] → R a função contı́nua representada no gráfico e D a decomposição {0 < h <
2 h < · · · < 5 h = T } do intervalo [0, T ] . Designemos por S(f, D) e s(f, D) as respectivas
somas superior e inferior de Darboux.
8
7
4
1
0
h
2h
3h
4h
5 h =T
Considere a lista de afirmações:
Z T
I f (x) dx − 8 h ≥ 4 h
0
II 4 h ≤
Z
T
0
f (x) dx ≤ 12 h
III A soma superior de Darboux é S(f, D) = 4 h
IV) A soma inferior de Darboux é s(f, D) = 12 h
A lista completa de afirmações correctas é:
A) I , IIIeIV
B) II
C) III
D) IeIV
Problema 2 (2 valores)
Seja a seguinte função g em [−1, 2] dada por:
−1 , x ≥ 0
g(x) =
3, x < 0
Considere a lista de afirmações:
I A função g é integrável em [−1, 2] .
II A função g é primitivável em [−1, 2] .
R2
III −1 g(x) dx = 1
IV Duas primitivas de g em [−1, 2] são dadas por G1 = −3x e G2 = x.
A lista completa de afirmações correctas é:
A) I eIII
B) T odas
C) III eIV
2
D) II
Problema 3 (2 valores)
Seja f uma função integrável tal que
Z
Z 2
f (x) dx = −1 ,
1
3
f (x) dx = 3 ,
1
Z
6
f (x) dx = 5
3
Escolha a afirmação correcta:
A) A função f é sempre positiva em [2, 3] .
R2
B) 2 f (x) dx = 2
R6
C) 1 f (x) dx = 5
R6
D) 2 f (x) dx = 9
Problema 4 (2 valores)
Seja a seguinte função F em [− 12 , 12 ] dada por:
Z x
1
√
dt
F (x) =
1 − t2
− 12
Considere a lista de afirmações:
I A função F é diferenciável em [− 12 , 12 ] .
II A função F tem mı́nimo em x = − 21 .
III F 0(0) = −1
IV F (0) = 0
A lista completa de afirmações correctas é:
A) N enhuma
B) IeII
C) II e IV
3
D)
I e III
Problema 5 (2 valores)
Na figura abaixo estão representados os gráficos das funções contı́nuas f (x) , 2 f (x) e −f (x)
definidas no intervalo [a, c] e com um zero no ponto x = b .
1
a
c
b
-1
A área sombreada
é dada
Z b
Z c pelo integral: Z b
Z b
A) −
3 f (x) dx +
3 f (x) dx
B)
3 f (x) dx +
f (x) dx
Zc c
Za b
Zb c
Za b
3 f (x) dx
3 f (x) dx −
f (x) dx
D)
3 f (x) dx +
C) −
a
b
b
a
4
Problema 6 (2 valores)
Determine uma primitiva da seguinte função:
sen x cos x
√
3 + cos 2x
√
Solução: − 21 3 + cos 2x
Problema 7 (2.5 valores)
Determine uma primitiva da seguinte função :
(4 − x2)−3/2
Solução:
1√ x
4 4−x2
Problema 8 (3 valores)
Determine uma primitiva da seguinte função :
e−
Solução: −2 e−
√
x
√
√
( x + 1)
5
x
Problema 9 (2.5 valores)
Seja f a função definida em R por
(
2
−et
f (t) =
0
se t 6= 3/2
se t = 3/2 .
Considere a função real F definida em [0, 2] por
Z x
F (x) =
f (t) dt .
1
0
Calcule a derivada F (x) nos pontos onde esta exista. Justifique todos os cálculos.
6