Teste 205 - Técnico Lisboa

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
2o semestre 07/08
2o TESTE DE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
LCEIC-Taguspark, LCERC, LCEGI, LCEE
10 de Maio de 2008 (11:00)
Teste 205
Nome:
Número:
Curso:
O Teste que vai realizar tem a duração total de 90 minutos e consiste de cinco perguntas.
As perguntas estão divididas em alı́neas com as cotações indicadas na tabela abaixo.
O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
1.a)
1.b)
2.a)
2.b)
2.c)
3.a)
3.b)
3.c)
4.a)
4.b)
5.a)
5.b)
5.c)
1.5 Val
1.5 Val
2 Val
1.5 Val
1.5 Val
1.5 Val
1.5 Val
2 Val
1.5 Val
2.5 Val
1 Val
1 Val
1 Val
NOTA FINAL:
1
Problema 1 (3 valores)
Considere a seguinte curva paramétrica α
~ : R → R2 dada por
α
~ (t) = (cos(2t + π), sin(2t + π))
a) Esboce o traço de α
~ para t ∈ [0, π], indicando a posição inicial e final. Determine o
vector velocidade da curva paramétrica.
b) Calcule o comprimento de arco de α
~ para t ∈ [0, π].
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
2
3
Problema 2 (4.5 valores)
Considere o campo vectorial G : R2 → R2
G(x, y) = (−5y, 5x)
e a curva paramétrica
α
~ (t) = (r cos(5t), r sin (5t)),
r > 0.
a) Mostre que o campo vectorial G é uma função de classe C 1 .
b) Verifique que α
~ é uma curva integral do campo vectorial G.
c) Calcule a variação de G ao longo da curva paramétrica ~γ (t) = (cos(5t), sin (5t)), usando
a regra da cadeia.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
4
5
Problema 3 (5 valores)
Considere a função f definida pela expressão

3
 y
f (x, y) = x2 + y 2

0
a) Mostre que a derivada parcial
∂f
∂y
se (x, y) 6= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
não é contı́nua na origem.
b) Calcule o vector gradiente em (0, 0).
c) Verifique que f não é uma função diferenciável na origem.
6
7
Problema 4 (4.5 valores)
Considere a função f : R2 → R definida por
f (x, y) = e−x (x + xy) .
a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 1)
b) Mostre que p = (0, −1) é um ponto crı́tico de f . Classifique-o, usando o critério dos
valores próprios para estudar a positividade da respectiva matriz hessiana.
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar!
8
9
Problema 5 (3 valores)
Sejam f : Rn → R uma função escalar de classe C 2 e D um subconjunto de Rn não-vazio.
Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. No caso de serem verdadeiras,
justifique usando as respectivas definições. No caso de serem falsas, dê um contra-exemplo.
a) Se f não possui pontos crı́ticos, então f não possui extremos locais em D.
b) Se f possui pontos crı́ticos e D é um aberto, então f possui extremos locais em D.
c) Se f possui pontos crı́ticos, então f possui extremos locais em D.
Justifique todos as afirmações que fizer!
10
11