Teoria da Decisão CET602 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

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PROBABILIDADE.doc
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Teoria da Decisão - CET 602
Engenharia da Produção – UESC
3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Quando se atribuem valores de probabilidade a todos os possíveis valores de uma variável
aleatória X, tanto por uma listagem como por uma função matemática, o resultado é uma
distribuição de probabilidade.
-
Variável aleatória: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao
acaso, que não estão sob o controle do observador.
A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser igual a 1.
-
Variável aleatória discreta: todos os possíveis valores dessa variável podem ser listados
numa tabela com as possibilidades correspondentes.
-
Variável aleatória contínua: não podem ser listados todos os possíveis valores fracionários
da variável, e desta forma as possibilidades determinadas por uma função matemática f(X)
são retratadas, tipicamente, por uma função densidade ou por uma curva de probabilidade.
3.1 Distribuições discretas
3.1.1 Distribuição binomial
É uma distribuição discreta de probabilidade aplicável sempre que o processo de
amostragem é do tipo do de Bernoulli, tal que:
-
são realizadas n provas, ou séries de tentativas, ou observações e constituídas de eventos
independentes;
-
cada prova é uma prova de Bernoulli, ou seja, em cada tentativa existem dois resultados
possíveis e mutuamente exclusivos. Eles são chamados por conveniência, sucesso ou
fracasso;
-
a probabilidade p de sucesso em cada prova ou tentativa é constante (logo, q também é,
sendo q = 1 - p).
A distribuição binomial pode ser utilizada para determinar a probabilidade de se obter um
dado número de sucesso em um processo Bernoulli. Três valores são necessários: o número de
sucesso X; o número de tentativas, ou observações (n); e a probabilidade de sucesso em cada
tentativa (p).
A fórmula para se determinar a probabilidade de um certo número de sucessos X em uma
distribuição binomial é:
Exemplo: a probabilidade de que um provável cliente aleatoriamente escolhido faça uma compra é 0,20. Se
um vendedor visita seis prováveis clientes, a probabilidade de que ele fará exatamente quatro vendas é determinada
de que forma?
3.1.2 Distribuição de Poison
É útil para descrever as probabilidades do número de ocorrências num campo ou intervalo
contínuo (em geral tempo ou espaço).
Ex.: acidentes por dia, clientes por hora, chamadas telefônicas por minuto.
A fórmula de Poison:
em que:
e = 2,7183
Exemplo: Um processo mecânico produz tecido para tapetes com uma média de dois defeitos por m .
Determine a probabilidade de um m ter exatamente um defeito, admitindo que o processo possa ser aproximado por
uma distribuição de Poison X = 1 (número de ocorrência)
2
2
3.2 Distribuições contínuas
Como uma variável contínua (ex.: tempo) inclui, em seus resultados, valores tanto inteiros
como não-inteiros, não pode ser adequadamente descrito por uma distribuição discreta.
Dado o círculo (q ilustra o conceito de variável contínua).
Não se pode esperar que o ponteiro, ao girar, venha a para exatamente num dos valores
inteiros do círculo.
Se o círculo está dividido em 8 mil partes iguais, a probabilidade de o ponteiro parar em
qualquer valor particular é tão pequena, para fins prático, que deve ser considerada
aproximadamente igual a zero (isso devido o âmbito infinito de possibilidades).
Assim é que a análise das variáveis contínuas tende a focalizar a probabilidade de uma
variável aleatória tomar um valor num determinado intervalo. A proporção da área incluída entre
dois pontos quaisquer identifica a probabilidade de que a variável aleatória contínua selecionada
assuma um valor entre dois pontos.
Então, enquanto a probabilidade de o ponteiro parar no ponto três, ou no quatro, é
aproximadamente zero, a de ele para entre esses dois números não é zero, como o círculo está
dividido em oito setores iguais, atribui-se a probabilidade de 1/8 ao resultado.
Analogamente, entre os pontos quatro e seis (1/4 do círculo), a probabilidade é de 25% ao
evento.
3.2.1 Distribuição normal
As distribuições normais representam, com boa aproximação, as distribuições de
freqüências observadas de muitos fenômenos naturais e físicos.
Ela é simétrica (em relação a sua média) e mesocúrtica, descrita como tendo uma forma de
sino, como é exemplificada pela função densidade de probabilidade, nunca toca o eixo horizontal,
prolonga-se de - a +, cada curva de distribuição normal fica especificada por sua média e seu
desvio padrão, a área total sob qualquer curva normal representa 100% de probabilidade associada
a variável. As probabilidades se referem sempre a intervalos de valores.
As distribuições normais foram descobertas no século XVIII. Astrônomos e outros
cientistas observavam, não sem certa surpresa, que mensurações repetidas de uma mesma
quantidade (como distância a lua ou a massa de um objeto) tendia a variar, e um grande número
dessas mensurações, em uma distribuição de freqüência, elas se representavam em uma forma
análoga a figura acima. Associada a erros de mensuração, deu-se o nome de “distribuição normal
dos erros”, ou simplesmente “distribuição normal”. Ou distribuição Gaussiana (Karl F. Gauss,
1777-1855) pela sua teoria matemática.
A distribuição de probabilidade normal é importante na inferência estatística por três razões
distintas:
1- as medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem essa distribuição;
2- probabilidades normais podem ser usadas freqüentemente com aproximações de outras
distribuições de probabilidade, tais como a binomial e de Poison;
3-
as distribuições de estatística da amostra tais como a média e a proporção
freqüentemente seguem a distribuição normal independentemente da distribuição da
população.
A fórmula da distribuição normal é:
onde:
 = 3,1416;
e = 2,7183;
 = média da distribuição;
 = desvio padrão da distribuição.
As tabelas de probabilidades normais são baseadas em uma distribuição particular: a
“distribuição normal padronizada”, em que a  = 0 e  = 1, portanto qualquer valor de x
normalmente distribuído pode ser convertido em valores normais padronizados Z pelo uso
da fórmula:
onde:
Z número de desvios padrões a contar da média;
X valor arbitrário;
 = média da distribuição normal;
 = desvio padrão.
Se uma variável tem distribuição normal, cerca de 68% de seus valores cairão no intervalo
de um desvio padrão a contar de cada lado da média, ou seja,
Ex.: para  = 100
 = 10
Exemplo: Sabe-se que a vida útil de um componente elétrico segue uma distribuição normal com média  =
2000 horas e desvio padrão  = 200 horas. A probabilidade de que um componente selecionado dure entre 2000 e
2400 horas é determinada por
3.3 Distribuição normal como aproximação da binomial
Quando número de observações ou de tentativas n for relativamente grande, a distribuição
de probabilidade normal pode ser utilizada para aproximações das probabilidades binomiais. Uma
regra de bolso conveniente é que tal aproximação é aceitável quando n  30, e tanto nP  5 como
n(1-P)  5.
Quando a distribuição normal de probabilidade é usada como uma aproximação da
distribuição de probabilidade binomial, a média e o desvio padrão se baseiam no valor esperado e
na variância do número de sucesso de uma distribuição binomial.
O número de sucesso é:
O desvio padrão do número de “sucesso”é:
Ex.: Para um grande número de clientes potenciais, sabe-se que 20% dos que foram feito contatos pessoalmente pelos
agentes de vendas realizarão uma compra. Se um representante de vendas visita 30 clientes potenciais, podemos
determinar a probabilidade de que 10 ou mais farão uma compra utilizando as probabilidades binomiais da tabela
(Apêndice 1).
3.4 Distribuição de Qui-quadrado
As variáveis aleatórias contínuas, chamadas de qui-quadrado, são aplicadas em diferentes
testes estatísticos. Suas aplicações neste caso são referentes à variação populacional.
A variância amostral (S2) é um estimador para a variância populacional (2).
É possível mostrar que pela divisão de
, com definição de S2 nós obtemos um
estimador não viesado para 2.
As estimativas para 2 obtidas em repetidas amostras de uma mesma população flutuam
em torno da verdadeira variância populacional.
As estimativas para 2 são importantes, já que necessita-se avaliar a estatística “t” usada
para fazer inferência sobre a média populacional.
Em algumas ocasiões o centro de interesse não é a média, mas a variância mesmo.
Na verdade é necessário ser capaz de não encontrar apenas a estimativa pontual para a 2,
mas também construir um intervalo de confiança ou testar uma hipótese referente a este parâmetro.
Para isto é necessário introduzir este outro conjunto de variáveis aleatórias contínuas,
chamado 2.
-
O conjunto dessas variáveis é identificado por um parâmetro v, chamado grau de liberdade
(n-1),
-
;
O gráfico de densidade de cada variável 2 é uma curva assimétrica à direita;
- A variável 2 não assume valores negativos.
Exemplo: considerando um
(qui-quadrado com 10 graus de liberdade).
a) P[
 2,56] = 0,01
b) P[
 16] = (1-0,9) = 0,10
c) P[
 18,3] = (1-0,95) = 0,05
d)
e) P[3,25 
 20,5] = (0,025)-(0,975)
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