variáveis aleatórias e distribuições de probabilidades

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADES
1. V AR IÁ VEIS ALEATÓRIA S
Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados
correspondentes a algum valor, e tais situações podem ser descritas por uma variável aleatória.
A palavra aleatória indica que só conhecemos aquele valor depois do experimento ter sido
realizado.
Definição de Variável Aleatória
Uma Variável Aleatória é uma variável (geralmente representada por X) que tem
um valor numérico único (determinado aleatoriamente) para cada resultado de um
experimento.
Exemplos de Variáveis Aleatórias
X = número de acidentes de aviões da VARIG dentre sete acidentes aéreos selecionados
aleatoriamente.
X = número de mulheres entre 10 empregados recém admitidos.
X = número de alunos que não compareceram a aula de estatística hoje.
X = altura de um aluno de sexo masculino selecionado aleatoriamente.
X = variação do preço do dólar durante o plano real.
2 VAR IÁ VEL ALEA TÓRIA DISCR ETA (VAD )
Uma variável aleatória tem comportamento discreto quando ela admite um número finito
de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores (admite apenas valores inteiros).
Uma variável aleatória é considerada discreta quando toma valores que podem ser
contados.
Ex: números de acidentes numa semana, números de defeitos em sapatos, número de terremotos,
Números de jogos empatados, números de livros numa estante etc.
DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS
As principais distribuições de probabilidade discretas, são a distribuição Binomial e a de
Poisson. Estas distribuições apresentam expressões para o cálculo das probabilidades, isto é, as
probabilidades f(x) podem ser avaliadas através de um modelo matemático conhecido.
Distribuição Binomial
Consideramos n tentativas independentes, de um experimento aleatório. Cada tentativa
admite dois resultados:
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sucesso com probabilidade p (quando ocorre o evento que estamos interessados) e fracasso
com probabilidade q (quando o evento não ocorre), logo a probabilidade total de fracasso ou
sucesso p  q  1 sendo assim:
a probabilidade de fracasso
q  1 p
Em um experimento binomial as probabilidades são calculadas utilizando-se a fórmula
da probabilidade binomial:
n!
. p x .q n x para x = 1, 2, .................., n
n  x ! x!
n  número de provas
x  número de sucessos em n provas
p  probabilidade de sucesso em qualquer prova
q  probabilidade de falha (fracasso) em qualquer prova ( q  1  p )
Px 
com
Média, Variância e Desvio padrão da distribuição binomial
Média ou valor esperado
  n. p
Variância
Desvio padrão
 2  n. p.q
  n. p.q
Exercícios:
1. Aplicando a fórmula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de obter três
estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dado que 10% população são canhotos.
2. A probabilidade de um cliente aleatoriamente escolhido faça uma compra é 0,20. Se um
vendedor visita seis clientes, a probabilidade de que ele fará exatamente quatro compras será.
3. Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é de 30%, determinar a média e o
desvio padrão da distribuição de peças defeituosas de um total de 800 peças.
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Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é gerada pela observação de experimentos que fornecem
dados, para uma variável aleatória definida como o número de vezes que ocorre um dado evento
em um intervalo de tempo ou em um determinado espaço.
O intervalo de tempo considerado pode ter qualquer duração, como: ano, meses, dias, minutos.
Exemplo: número de chamadas telefônicas em um dia de expediente de um escritório, número
de acidentes de tráfego durante o carnaval;
O espaço considerado pode ter qualquer dimensão, como: uma linha, um plano ou um volume.
Exemplo: número de defeitos em uma chapa metálica; número de partículas dispersas em um
litro de óleo.
Na distribuição de Poisson a probabilidade de um evento ocorrer x vezes em um determinado
intervalo é calculado pela formula:
e   . k
P ( x) 
k!
onde
e

k
2,718
é a freqüência média de sucessos num intervalo de
tempo ou comprimento.
ocorrência de uma amostra
Média, Variância e Desvio padrão da distribuição Poison
Média ou valor esperado
 ou   n. p
Variância
Desvio padrão
2 
  
Exercícios:
1. Para fins de impactos de bombas V-1 na Segunda Guerra Mundial, o sul de Londres foi
subdividido em 576 regiões com área de 0,25 km2 cada. O número médio de impacto por região
foi 0,929 bombas. Escolhida aleatoriamente uma região, determine de ela ter sido atingida
exatamente duas vezes.
2. A revendedora XY vende em média () 0,5 carros por dia. Determine a probabilidade de
que, em um dia qualquer, o número de carros vendidos seja igual a 4.
3. Esta sendo planejado a construção de um hospital para um determinado município de
Roraima que ainda não tem hospital próprio. Se neste município tem uma média de 2,25
nascimento por dia, determine a probabilidade de que, em um dia, o número de nascimentos seja
igual a 4.
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3 VAR IÁ VEL ALEA TÓRIA CON TÍNUA (VAC )
Quando uma variável aleatória apresenta um grande número de resultados possíveis, ou
quando a variável aleatória em questão é continua (pode assumir qualquer valor dentro de um
intervalo definido de valores), não se pode usar distribuições discretas como a de Poisson ou
Binomial para obter probabilidades.
Uma variável discreta com muitos resultados possíveis exigiria um esforço muito grande
na utilização de uma fórmula pra obtenção de probabilidades. Como uma variável contínua
inclui, em seus resultados, valores tanto inteiros como não inteiros, não pode ser adequadamente
descrita por uma distribuição discreta. Sendo assim abordagem mais conveniente é construir
uma função densidade de probabilidade, ou curva de probabilidade, baseada na função
matemática correspondente.
DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE CONTÍNUA
Algumas distribuições de probabilidade contínuas são a T-Studend, Qui-Quadrado e F-Snedecor
Sendo a Distribuição Normal a mais importante das distribuições contínuas. Isto se deve ao
fato da maioria dos fenômenos naturais ou dos processos práticos obedecerem a esta
distribuição. Exemplos: a dispersão de medidas em uma produção seriada, as alturas das
pessoas em uma população e vários outros fenômenos físicos.
Distribuição Normal
É mais importantes distribuição de probabilidade contínua, sendo aplicada em inúmeros
fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da inferência estatística. É também
conhecida como distribuição de Gauss, Lapalce ou Lapalce-Gauss.
Seja X uma VAC, X terá distribuição normal se:
f ( x) 
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1 x  2
 

2  
.e
 2
onde os parâmetros  e  são respectivamente sua média e variância. Logo diz-se que N  N(;
2) ou X: N(; 2).
A distribuição Normal possui as seguintes características:
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1. forma campanular, isto é, possui forma de sino, sendo simétrica em relação a média;
2. a variável aleatória pode assumir qualquer valor real;
3. a área total sob a curva é 1; porque essa área corresponde à probabilidade da variável
aleatória assumir qualquer valor real;
4. possui dois pontos de inflexão;
Parâmetros da distribuição
- Média E(X) = ;
- Variância Var(X) = 2
A configuração da curva é dada por dois parâmetros: a média e a variância. Mudando a
média, muda a posição da distribuição. Mudando a variância, muda a dispersão da distribuição,
conforme pode-se ver nas figuras a seguir:
Duas distribuições normais de mesma
variância e com médias diferentes
Duas distribuições normais de mesma
média e com variâncias diferentes
Na prática é mais fácil trabalhar-se com uma transformação das variáveis. Esta nova
variável denomina-se variável normal padronizada, ou reduzida. Sua média é 0 e seu desvio
padrão, 1. Com esta transformação, basta construirmos uma única tabela, a da normal reduzida
e, através dela, obtermos as probabilidades associadas a todas as distribuições X: N(; 2). Esta
transformação é representada pela variável Z, a seguir:
Z
X 
 N ( 0,1)

f (z) 
1
2
.e
1
 z2
2
Desta forma a variável aleatória X transforma-se em variável normal reduzida Z, como
podemos ver graficamente a seguir:
6
68,27%
95,45%
99,73%
Vê-se que a nova origem é 0 e o desvio padrão é a unidade de medida. Essa transformação
não altera a forma da distribuição, apenas refere-se a uma nova escala
A tabela da distribuição normal fornece a probabilidade de Z tomar um valor não superior
a Z0: P(Z  Z0). Tal probabilidade é representada pela área hachurada na figura a seguir:
A importância da distribuição normal padronizada reside no fato de que ela encontra-se
tabelada, facilitando o cálculo.
Exercícios
1. Determinar área sob a curva normal padronizada à esquerda de 1,72.
2. Determinar a área sob a curva normal padronizada abaixo de Z= - 0,53.
3. Calcule as seguintes probabilidades:
a)
P(- 2,3 < Z < 0) =
b) P( 1,50 < Z < 2,32) =
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4. As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídos com =1,60
m e  = 0,30 m. Encontre a probabilidade de 1 aluno medir:
a) Entre 1,50 e 1,80 m;
b) Mais de 1,75 m;
c) Menos de 1,48m;