Sétima Lista - Lei de Faraday

Sétima Lista - Lei de Faraday
FGE211 - Fı́sica III
Sumário
• O fluxo magnético através de uma superfı́cie S é definido como
Z
ΦB =
~ · dA
~
B
S
• A Lei da Indução de Faraday afirma que a força eletromotriz (fem)
induzida em uma bobina que contém N espiras é proporcional ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético:
ε = −N
dΦB
dt
• A direção da corrente induzida é dada pela lei de Lenz que afirma
que correntes induzidas produzem campos magnéticos que tendem às
mudanças do fluxo magnético que as induziram.
• A força eletromotriz induzida pela lei de Faraday está associada a um
campo elétrico não-conservativo:
I
ε=
~ nc · d~s
E
.
Dicas para resolução de problemas
Vimos que, devido a lei de Faraday, há uma fem induzida devido a variação
do fluxo magnético:
dΦB
ε = −N
.
dt
Para um condutor, a fem induzida gera uma corrente
I=
ε
,
R
onde R é a resistência do circuito. Para calcular a corrente induzida e sua
direção, os passos abaixo podem ser úteis:
1
~ de tal
1. Para um circuito fechado de área A defina um vetor de área A
forma que ele aponte na direção do seu dedão (para a conveniência
de aplicar a regra da mão direito mais para frente). Calcule o fluxo
magnético através do circuito usando
ΦB =

~ ·A
~

 B
~ uniforme)
(B

 R ~
~
B · dA
~ nao-uniforme)
(B
Determine também o sinal de ΦB .
2. Avalie a taxa de variação temporal do fluxo magnético (dΦB /dt). Tenha em mente que esta taxa pode variar devido a:
• mudanças no campo magnético (dB/dt 6= 0);
• mudanças na área do circuito se o condutor estiver se movendo
(dA/dt 6= 0);
• mudança na orientação do circuito com relação ao campo magnético
(dθ/dt 6= 0)
Não esqueça de determinar o sinal de dΦB /dt.
3. O sinal da fem induzida é oposto ao sinal de dΦB /dt.
4. A direção da corrente induzida é obtida usando a lei de Lenz.
Questões conceituais
1. Um imã em forma de barra cai no meio de um anel circular como
mostra a figura 1.
Figura 1: Imã em barra caindo no meio de um anel circular condutor.
2
(a) Qualitativamente, qual a mudança do fluxo magnético através do
anel quando a barra está acima e abaixo dele?
(b) Faça um gráfico da corrente induzida no anel como uma função
do tempo, escolhendo I positivo quando a direção é anti-horária
(vista de cima).
2. Dois anéis circulares A e B tem seus planos paralelos um ao outro
como mostra a figura 2. A corrente do anel A está se movendo na
direção anti-horária (vista de cima).
Figura 2: Dois anéis paralelos.
(a) Se a corrente no anel A diminui com o tempo, qual a direção da
corrente induzida no anel B? Os dois anéis vão se atrair ou se
repelir?
(b) Se a corrente no anel A aumenta com o tempo, qual a direção da
corrente induzida no anel B? Os dois anéis vão se atrair ou se
repelir?
3. Uma casca esférica condutora é colocada em um campo magnético
variável. Há uma corrente induzida no equador?
4. Um loop retangular se move através de um campo magnético uniforme
mas a corrente induzida é zero? Como isso é possı́vel?
Problemas
1. Anel retangular perto de um fio
Um fio infinito carrega uma corrente I e é posto a esquerda de um anel
retangular de largura w e altura l como mostra a figure 3.
(a) Determine o fluxo magnético através do anel retangular devido a
corrente I.
(b) Sponha que a corrente é uma função do tempo I(t) = a + bt, onde
a e b são constantes positivas. Qual a fem induzida no anel e qual
a direção da corrente induzida?
3
Figura 3: Anel retangular perto de um fio.
2. Anel com área variável
Um anel quadrado de lado l é posto em um campo magnético uniforme
apontando para dentro da página como mostra a figura 4 (a). Durante
um intervalo de tempo ∆t, o anel é esticado como mostra a figura.
Assuma que a resistência total do anel é R. Ache a corrente induzida
no anel.
Figura 4: Anel quadrado posto em campo magnético uniforme e esticado
pelas suas extremidades.
3. Bastão deslizando
Um bastão condutor de comprimento l é livre para deslizar em duas
barras condutoras paralelas como mostra a figure 5. Dois resistores
R1 e R2 estão conectados nas extremidades das barras. Há um campo
magnético apontando para dentro da página. Suponha que um agente
externe puxe a barra para a esquerda com uma velocidade constante
v. Avalie:
(a) As correntes nos dois resistores.
(b) A potência total dissipada pelos resistores.
(c) A força aplicada necessária para manter a velocidade do bastão
constante.
4
Figura 5: Bastão de comprimento l deslizando sobre duas barras condutoras.
4. Barra se movendo
Uma barra constante de comprimento l se move com velocidade ~v
perpendicular a um fio infinito pelo qual passa uma corrente I como
mostra a figura 6. Qual a diferença de potencial entre as extremidades
da barra?
Figura 6: Barra se movendo perpendicularmente a um fio infinito.
5. Campo magnético variando no tempo
Um anel circular de raio a é colocado em um campo magnético perpendicular a normal do anel como mostra a figure 7. O campo magnético
varia de acordo com a relação B(t) = B0 +bt onde B0 e b são constantes
positivas.
(a) Calcule o fluxo magnético através do anel em t = 0.
(b) Calcule a fem induzida no anel.
(c) Qual a corrente induzida (magnitude e direção) se o a resistência
do anel é R?
(d) Qual a potência dissipada no anel?
6. Anel se movimentando
Um anel retangular de dimensões l e w se move com velocidade constante ~v se afastando de um fio infinito que carrega uma corrente I
5
Figura 7: Anel circular posto em um campo magnético não-uniforme perpendicular a ele.
como mostra a figura‘ 8. Se a resistência total do anel é R, qual a
corrente induzida nele quando o lado inferior está a uma distância r
do fio?
Figura 8: Anel retangular de dimensões l e w se afastando de um fio infinito.
7. Barra deslizando
Uma barra condutora de massa m e resistência R desliza sem atrito
sobre dois trilhos paralelos separados por uma distância l e conectados
a uma bateria que mantêm uma fem constante como mostra a figura
~ saindo
9. Esta região está imersa em um campo magnético constante B
da página. Considerando que a barra está inicialmente em repouso,
mostre que após um tempo t sua velocidade pode ser dada por
v=
1 − e−t/τ ,
Bl
onde τ = mR/B 2 l2 .
6
Figura 9: Barra condutora deslizando sobre trilhos condutores em uma
região com campo magnético constante.
8. Barra em um plano inclinado
Uma barra condutora de massa m e resistência R desliza sobre dois
trilhos condutores inclinados que fazem um ângulo θ com a horizontal
e estão separados por uma distância l, como mostra a figura 10. Esta
~ direcionado
região está imersa em um campo magnético constante B
para cima. A barra é liberada do repouso e começa a deslizar.
Figura 10: Barra deslizando em um plano inclinado em uma região de campo
magnético constante.
(a) Qual a corrente induzida na barra? Qual a sua direção? De a
para b ou de b para a?
(b) Ache a velocidade terminal da barra, vt .
Após chegar na velocidade terminal:
(c) Qual a corrente induzida na barra?
7
(d) Qual a taxa com a qual a energia elétrica é dissipada na barra?
(e) Qual a taxa com que a força gravitacional realiza trabalho na
barra?
9. Barra com uma polia
Uma barra condutora de massa m e resistência R é puxada horizontalmente através de dois trilhos condutores paralelos separados por uma
distância l. Isso é feito através de um fio de massa desprezı́vel conectado a uma polia e a um bloco de massa M , como mostra a figura 11.
~ direcionado para
Nesta região há um campo magnético constante B
cima. A barra é liberada do repouso.
Figura 11: Barra sendo puxada horizontalmente por um bloco de massa M
através de uma polia.
(a) Suponha que em um certo instante a velocidade da barra é v.
Ache a corrente induzida em função de v. Qual a direção da
corrente? De a para b ou de b para a? Ignore o atrito entre as
barras.
(b) Resolva a equação diferencial que rege o movimento dessa barra
e ache a sua velocidade em função do tempo.
10. Barra rodando
Uma barra condutora de comprimento l tem uma de suas extremidades
fixas e está rodando com uma velocidade angular ω em um plano per~ como mostra a figura
pendicular a um campo magnético uniforme B
12.
8
Figura 12: Barra fixa em uma extremidade e rodando em um plano perpendicular a um campo magnético constante.
(a) Um pequeno elemento carregado com uma carga q está a uma
distância r da extremidade fixa. Mostre que a força magnética
nesse elemento é FB = qBrω.
(b) Mostre que a diferença de potencial entre as extremidades da
barra é ∆V = 12 Bωl2 .
11. Anel retangular se movendo em um campo magnético
Um pequeno anel retangular de altura l = 10cm e largura w = 8cm
cuja resistência é R = 2Ω é puxado com velocidade constante v =
2cm/s através de uma região com campo magnético uniforme B = 2T
entrando na página como mostra a figura 13. Em t = 0 a frente
do retângulo adentra a região com campo magnético. Há campo
magnético apenas na região assinalada na figura.
Figura 13: Retângulo se movendo em uma região com campo magnético.
9
(a) Calcule o fluxo magnético e faça um gráfico dele em função do
tempo (de t = 0 até o instante em que o anel sai da região com
campo magnético).
(b) Ache a fem induzida e grafique-a em função do tempo.
(c) Qual a direção da corrente induzida?
12. Força eletromotriz devido a um campo magnético variando
no tempo
~ é posto perpendicularmente a uma
Um campo magnético uniforme B
espira circular de resistência desprezı́vel como mostra a figura 14. O
campo magnético varia no tempo como mostra o gráfico. O raio da
espira é r = 50cm e ela está conectada em série com um resistor de
resistência R = 20Ω
Figura 14: Espira em um campo magnético variando no tempo.
(a) Qual a expressão para a fem induzida em termos de Bz (t)?
(b) Faça um gráfico da fem induzida no circuito em função do tempo.
Nomeie os eixos quantitativamente (números e unidades) e cuidado com os sinais. Note que nomeamos a direção positiva da
fem na figura assumindo que o campo é positivo e saindo da folha. [Resposta parcial: vale 1, 96V, 0V e 0, 98V.]
(c) Grafique a corrente que passa pelo resistor. Não se esqueça de
nomear os eixos quantitativamente e de indicar a direção com que
a corrente flui sobre a espira em cada intervalo de tempo. [Respostas parciais: os valores da corrente são 98mA, 0A e 49mA.]
(d) Faça um gráfico da produção de energia térmica no resistor em
função do tempo. [Respostas parciais: os valores são 192mW,
0W e 48mW.]
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