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BC0209–Fenômenos Eletromagnéticos
Terceiro quadrimestre de 2013
Prof. José Kenichi Mizukoshi
Aula 15 (versão 08/01/2014)
Lei da indução de Faraday
amperı́metro
■
Considere um circuito formado por uma
espira de fio conectada a um amperı́metro.
Conforme observados por M. Faraday em 1831 e por J. Henry, aproximadamente na mesma época, uma
corrente elétrica é induzida no circuito quando há o movimento do ı́mã
em relação à espira.
I
➠ uma corrente elétrica é induzida em
um circuito quando o campo magnético
variar com o tempo.
Aula 15
I
2 / 23
Lei da indução de Faraday
■
Considere agora um outro aparato, com
o ı́mã sendo substituı́do por uma espira
conectada a uma bateria. Mantendose as duas espiras em repouso, o ponteiro do amperı́metro deflete momentaneamente quando a chave é fechada
ou aberta.
➠ Uma corrente elétrica é induzida no circuito secundário quando há
variação de corrente elétrica no circuito primário.
■
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Em ambos os experimentos, uma fem é induzida em um circuito quando o
fluxo magnético através da superfı́cie limitada pelo circuito varia com o tempo.
3 / 23
Lei da indução de Faraday
■
Os resultados anteriores podem ser explicados pela lei da indução de
Faraday, a qual afirma que
“A intensidade da fem induzida em um circuito é igual à taxa com que o
fluxo magnético que o atravessa varia com o tempo“.
Matematicamente,
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Z
dΦB d
~ · dA
~
=
B
|E| = dt
dt
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Lei de Lenz
■
O sentido (sinal) da fem induzida é determinado pela lei de Lenz, cujo
enunciado é:
“A polaridade da fem induzida em uma espira é tal que produz uma corrente
cujo campo magnético gerado por ela se opõe à variação do fluxo magnético
através da espira, na tentativa de manter o fluxo original.”
■
Levando-se em conta a lei de Lenz, a lei de Faraday é dada por
Z
dΦB
d
~ · dA
~
E =−
=−
B
dt
dt
~
dA
~ é
■ De acordo com a nossa notação, o sentido de dA
determinado através da “regra da mão direita”.
1111
0000
0000
1111
0000
1111
I
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E
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Lei da indução de Faraday: exemplo
Ex. 1 Considere uma espira de raio r = 0,32 m e
resistência R = 2,5 Ω, paralela ao plano xy, locali~ = Bz k̂,
zada numa região com campo magnético B
tal que
Bz (t) = −4,0 − 5,6t + 2,2t2
~
B
y
x
onde t é dado em segundos e Bz em tesla.
Determine a intensidade e o sentido da corrente na espira em t = 1 s e t = 2 s.
Solução
■
~ = −dAz k̂, com dAz > 0 (ou seja, aponta para dentro da
Adotando dA
página) e sabendo-se que a área da espira é constante, pela lei de Faraday
Z
Z
dB
d
z
2 dBz
~
~
E =−
B
· dA} =
dAz ⇒ E = πr
{z
|
dt
dt
dt
| {z }
= −Bz dAz
= πr2
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Lei da indução de Faraday: exemplo
dBz
■ Como
= −5,6 + 4,4t, temos que
dt
E = πr2 (−5,6 + 4,4t)
dBz
< 0).
■ Para t = 1 s, obtemos E = −0,39 V (E < 0, pois
dt
~ (para dentro da página), pela
◆ De acordo com a nossa escolha de dA
regra da mão direita o sentido da fem (e portanto da corrente) seria no
sentido horário. Como E < 0, conclui-se que a corrente é no sentido
anti-horário. O seu valor absoluto é dado por
|E|
0,39
I=
=
R
2,5
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⇒
I = 0,16 A
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Lei da indução de Faraday: exemplo
■
Podemos conferir o sentido da corrente através da lei de Lenz. A variação do
fluxo magnético com o tempo é dada por
dΦB
dBz
= −πr2
dt
dt
Para t = 1 s ela é positiva, ou seja, há um aumento do fluxo para dentro da
página. No intuito de conter esse aumento, surge na espira uma corrente
induzida, a qual produzirá um campo magnético no sentido para fora da
página. Pela regra da mão direita, essa corrente precisa estar no sentido
anti-horário.
■
Para t = 2 s, obtemos E = 1,03 V. Segue que
E
I=
R
⇒
I = 0,41 A
Como E > 0, conclui-se que a corrente está no sentido horário.
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Lei da indução de Faraday: exemplo
■
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O sentido da corrente induzida é determinado pelo sentido da mudança do
~
campo (a qual muda o fluxo magnético). Observa-se que para 0 ≤ t . 3 s, B
aponta sempre para dentro da página, no entanto nesse intervalo de tempo o
~
dB
sentido (sinal) de
muda.
dt
9 / 23
A fem de movimento
■
Considere um condutor reto de comprimento ℓ,
deslocando-se com velocidade constante em uma
região com campo magnético uniforme.
Os elétrons praticamente livres do condutor sofrem
uma força magnética
~
B
F~E
F~B
~
E
~v
~
F~B = (−e)~v × B
na direção vertical, no sentido para baixo.
■
Devido à ação de F~B , elétrons migram para a extremidade inferior da barra, o
que resulta no acúmulo de cargas negativas nessa região e o acúmulo de
cargas positivas na extremidade oposta. Como consequência, surgirá um
~ dentro do condutor, fazendo com que os elétrons sintam a
campo elétrico E
força elétrica para cima, dada por
~
F~E = (−e)E
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A fem de movimento
■
Na situação de equilı́brio, tem-se que
F~E + F~B = 0
⇒
eE − evB = 0
Como o campo elétrico é uniforme,
Z
~ · d~ℓ = Eℓ
∆V = − E
⇒
⇒
E = vB
∆V = Bℓv
➠ Uma diferença de potencial é mantida entre as extremidades da barra
enquanto o condutor está se deslocando através do campo magnético.
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A fem de movimento: exemplos
Ex. 2 Considere uma barra condutora de comprimento ℓ
girando com uma velocidade angular constante ω em um
~ perpendicular à barra.
campo magnético uniforme B,
Obtenha a diferença de potencial entre as extremidades da
barra.
ω
~
B
~v
Solução
■
Para um segmento de barra de comprimento dr e velocidade v perpendicular ao campo magnético, tem-se
que (veja resultado da pág. anterior)
dV = Bvdr
Como v = ωr, a diferença de potencial entre as extremidades da barra é
Z
Z
Z ℓ
Bωℓ2
rdr ⇒
∆V =
∆V = dV = Bωrdr = Bω
2
| 0 {z }
= ℓ2 /2
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A fem de movimento: exemplos
Ex. 3 Considere a situação em que a barra condutora
faz parte de um circuito fechado.
~
B
A barra pode deslizar sem atrito sobre dois trilhos
condutores paralelos e fixos, cujas extremidades à esquerda estão conectadas por um fio condutor com
uma resistência R.
F~B
Supondo-se que a barra se desloque com velocidade
~v , sob ação de uma força aplicada F~apl para à direita,
obtenha a corrente induzida no circuito.
~v
F~apl
I
y
x
Solução
■
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Conforme visto, surgirá uma diferença de potencial ao longo de um condutor
se deslocando em uma região com um campo magnético. Contudo, desta vez
ocorre a indução de uma corrente elétrica, pois há um circuito fechado.
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A fem de movimento: exemplos
■
~ no sentido de B,
~ a fem induzida é dada por
Tomando dA
Z
dx
d
d
~
~
B · dA = − (Bℓx) = −Bℓ
E =−
dt
dt
dt
Como
■
dx
= v, temos que
dt
E = −Bℓv
Sabendo-se que a resistência do circuito é R, a corrente induzida será
|E|
I=
R
⇒
Bℓv
I=
R
~ foi escolhido para dentro da página,
◆ Como E < 0 e o sentido de dA
segue que a corrente induzida será no sentido anti-horário.
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A fem de movimento: exemplos
Obtenha as potências fornecida pela força aplicada e a dissipada no resistor.
Solução
■ Como há corrente na presença de um campo magnético,
os lados da espira experimentam forças magnéticas. Em
particular, na barra móvel atua uma força magnética
~
B
F~B
F~B = −IℓB ı̂
F~apl
Se a barra estiver se movendo com velocidade constante
~v , temos que
F~B + F~apl = 0
■
⇒
I
IℓB = Fapl
Revisão: potência instantânea de uma partı́cula sob ação de uma força F~ ,
com velocidade ~v :
dW
F~ · d~r
d~r
~
P=
=
=F·
dt
dt
dt
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~v
⇒
P = F~ · ~v
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A fem de movimento: exemplos
■
A potência instantânea fornecida pela força aplicada é dada por
Papl = Fapl v = IℓBv
Utilizando a corrente encontrada na p. 14, obtemos
Papl =
■
Bℓv
Bℓv
R
⇒
Papl
B 2 ℓ2 v 2
=
R
Por outro lado, a potência dissipada no resistor é dada por
Bℓv
PR = Ri = R
R
2
2
⇒
B 2 ℓ2 v 2
PR =
R
ou seja, é igual a potência fornecida pela força aplicada.
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A fem de movimento: exemplos
■
A potência fornecida pela força aplicada pode ser escrita como
Papl = IBℓv = I|E|
que é a potência fornecida pela fem induzida.
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■
Como a potência é energia transferida por unidade de tempo, interpretamos
os resultados acima da seguinte forma: a energia fornecida para puxar a
barra através de uma força F~apl (possivelmente uma energia mecânica), é
transformada em energia eletromagnética (energia fornecida pela fem induzida
ao circuito) e posteriormente transformada em energia térmica através do
efeito Joule no resistor.
■
Resumindo, toda a energia externa transferida ao circuito é dissipada, portanto
a barra se moverá com velocidade constante.
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A fem de movimento: exemplos
Ex. 4 Considere novamente o sistema do exemplo
anterior, onde uma barra de massa m e comprimento
ℓ desloca-se sobre dois trilhos paralelos na presença
de um campo magnético uniforme, apontando para
dentro do plano da figura.
Sabendo-se que desta vez não exista uma força externa aplicada sobre a barra, encontre a sua velocidade em função do tempo, se ela for solta no instante t0 = 0 com velocidade ~vi para à direita.
~
B
F~B
~vi
y
x
I
Solução
■
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Similarmente ao exemplo anterior, o aumento de fluxo do campo magnético
irá induzir uma fem dada por
Z
d
~
~
B · dA = Bℓv
|E| = dt
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A fem de movimento: exemplos
■
A corrente induzida é dada por
|E|
Bℓv
I=
=
R
R
◆ De acordo com a lei de Lenz, a corrente elétrica está no sentido
anti-horário.
■
Força resultante sobre a barra:
F~res = m~a = F~B
onde a força magnética é dada por
2 ℓ2 v
B
ı̂
F~B = −IℓB ı̂ = −
R
F~B
B 2 ℓ2 v
Portanto, ~a =
=−
ı̂ = ax ı̂
m
mR
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A fem de movimento: exemplos
dv
■ Como ax =
, segue que
dt
B 2 ℓ2 v
dv
=−
dt
mR
dv
B 2 ℓ2
=−
dt
v
mR
⇒
⇒
Z
Z
dv
B 2 ℓ2 t
dt
=−
mR 0
vi v
| {z }
| {z }
v
=t
= ln v
v
vi
Logo,
v
vi
B 2 ℓ2 t
v
ln = −
vi
mR
2 2
⇒
v(t) = vi e
ℓ t
− BmR
t
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Aplicação da lei de Faraday: gerador de
corrente alternada
■
■
A figura ao lado mostra uma representação
pictórica de um gerador de corrente alternada.
Bobina
Anéis de
contato
As fontes externas de rotação podem ser e.g.
a queda d’água em uma usina hidrelétrica ou o
vapor de água que gira as pás de uma turbina.
Fonte externa
de rotação
■
Supondo-se que a bobina possui N espiras enroladas, todas com a mesma área A e se a velocidade
dθ
angular
= ω for constante, a fem induzida na
dt
bobina será dada por
=A
z
Z }| {
Z
d
d
~
~
B
· dA} = −N B cos θ dA
E = −N
{z
|
dt
dt
Circuito
externo
Escovas
~
B
~
dA
ω
= B cos θdA
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Aplicação da lei de Faraday: gerador de
corrente alternada
■
Como
dθ
= ω = constante
dt
Logo (tomando θ0 = 0),
E = −N BA(−sen ωt)
⇒
⇒
θ = θ0 + ωt
d
(ωt)
dt
E =N
{z } sen ωt
| BAω
= Emax
O gráfico ao lado exibe o comportamento da fem
induzida em função do tempo.
■
Se a resistência no circuito é R, a corrente induzida será
I=
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E
R
⇒
I(t) =
N BAω
sen ωt
R
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Referências
Aula 15
■
R. A. Serway, e J. W. Jewett Jr., Princı́pios de Fı́sica, Vol. 3, Cengage
Learning;
■
D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane, Fı́sica, Vol. 3, LTC;
■
H. D. Young e R. A. Freedman – Sears e Zemansky, Fı́sica III:
Eletromagnetismo, Pearson Addison Wesley.
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