Apostila conjuntos numéricos

Conjuntos Numéricos
Conjunto
Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos.
Exemplos:



Conjunto dos números naturais pares;
Conjunto formado por meninas da 6ª série do ensino
fundamental de um determinado colégio;
Conjunto dos números primos;
Formas de representar um conjunto
1º caso: Forma de listagem
Exemplo: Conjunto dos números pares positivos P = {2, 4, 6, 8,...}
2º caso: Propriedades dos elementos
Exemplo: Conjunto dos números pares positivo P = { x / x é par e
positivo}
3º caso: Diagrama de Venn
Exemplo: Conjunto dos números pares maiores que 2 e menores ou
igual a 8.
Relação de Pertinência
Para relacionar elemento com conjunto é utilizado o símbolo de 
(pertence) e  (não pertence).
Exemplo:
Se x pertence a um conjunto A, então dizemos que x  A
Se y não pertence a um conjunto A, então dizemos que y  A
Conjunto Vazio
Quando um conjunto não possui elementos então dizemos que o
conjunto é vazio representado por  ou { }.
Exemplo:

 = {x; x ≠ x}
Conjunto Universo
Quando um conjunto é formado por todos os elementos então dizemos
que o conjunto é o universo U
Exemplo:

U={x; x=x}
Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também é elemento de um conjunto
B então dizemos que A  B lê-se (A esta contido em B), ou seja, A é
subconjunto de B.
Observação importante




A  A, todo conjunto esta contido nele mesmo;
  A, o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto;
Se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2 n
subconjuntos;
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A
é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {1,2}, o conjunto das partes de A é dado por
P(A) = {,{1},{2},{1,2}}.
Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos
são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os
chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos Números Naturais
Os números que trabalhamos são distribuídos em forma de conjuntos,
primeiro foi definido os Números Naturais representado pela letra N, o
conjunto dos números naturais é formado por N={0,1,2,3,4,...}, este
conjunto é infinito, ou seja, não tem fim, porém possui inicio que é o
número “zero”. Observou-se que este conjunto não é fechado quanto à
subtração e a divisão, pois nem toda subtração e divisão de números
naturais é um número natural.
Exemplo:




10 – 15 = ?
500 – 800 = ?
12 : 5 = ?
8:7=?
Conjunto dos Números Inteiros
Como podemos vê não existe nenhum número natural que represente a
diferença 10 – 15 lê-se “ dez menos quinze” ou 500 – 800 lê-se
“quinhentos menos oitocentos” assim surgiu à necessidade de se
construir outro conjunto, chamado de Números Inteiros, representado
pela letra Z.
O Conjunto dos números inteiros Z = {...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...}, é
formado por todos os números naturais mais seus opostos, lembrando
que o zero é tido como nulo ou neutro, ele não é nem negativo nem
positivo.
É comum encontrarmos os números inteiros no dia a dia.
Exemplo:



Quando verificamos a situação de débito ou crédito de uma
conta bancária.
Quando medimos a temperatura de um líquido
Quando utilizamos o elevador de um prédio.
Reta Numérica
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento
dos números, que crescem da esquerda para a direita, assim -7 é menor
que -2, 0 é maior que -6 e assim por diante.
Vamos comparar alguns números inteiros



-3 > -8, lê-se “ -3 é maior que -8”
-15 < +10, lê-se “-15 é menor que +10”
-200 < 0, lê-se “-200 é menor que 0”
Observação importante:




Zero é maior que qualquer número negativo;
Menos um é o maior número negativo;
Zero é menor que qualquer número positivo;
Qualquer número positivo é maior que qualquer
negativo;
número
Números opostos ou simétricos
Observe que a distância de -5 até o zero é a mesma do +5 até o zero,
estes números são chamados de opostos ou simétricos.
Exemplos:



-4 é o oposto ou simétrico de 4;
20 é o oposto ou simétrico de -20;
-100 é o oposto ou simétrico de 100;
Adição e Subtração de Números Inteiros
Adição:
1º Passo:

Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;
2º Passo:


Sinais iguais conserva-se o sinal e soma.
Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante
do zero e subtrai.
Exemplos:




(+7)+(+3)= +7 +3 = +10
(- 8)+(- 5) = -8 -5 = - 13
(+12) + (-10) = +12 -10 = + 2
(-30) + (+25) = -30 +25 = - 5
Subtração:
1º Passo:

Tiramos os parênteses e trocamos o sinal do número depois da
subtração
2º Passo:


Sinais iguais conserva-se o sinal e soma.
Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante
do zero e subtrai.
Exemplos:




(+7) - (+3)= +7 -3 = +4
(- 8) - (- 5) = -8 +5 = - 3
(+12) - (-10) = +12 +10 = +22
(-30) - (+25) = -30 -25 = - 55
Observação importante:
Para facilitar o entendimento ao efetuar o 2º passo tanto da adição como
da subtração pode pensar em débito (número negativo) e crédito
(número positivo).
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números inteiros efetuamos o jogo
de sinais como nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:




(-5) x (-7) = + 35
(+5) x (+7) = +35
(+15) : (+3) = + 5
(-15) : (- 3) = + 5
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:




(-5) x (+7) = - 35
(+5) x (-7) = - 35
(+15) : (-3) = - 5
(-15) : (+3) = - 5
Potenciação de Números Inteiros
Uma potência representa a quantidade (n) de vezes que um número (a)
é multiplicado por ele mesmo. Representamos simbolicamente uma
potência por an, onde definimos:


a, como a base
n, como o expoente.
Exemplo:


(+2)x(+2)x(+2)=+8=(+2)3, lê-se “mais dois ao cubo”
2
(-3)x(-3) = +9 = (-3) , lê-se “menos três ao quadrado”
Regras para efetuar uma potência
1ª Caso: Se o expoente for zero, a resposta será igual a 1.
Exemplo:


(-3)0 = 1
(+500)0 = 1
Observação Importante:
Sem os parênteses haverá mudança no resultado:
Exemplo:

- 30 = -1
2º Caso: Se o expoente for natural par, a resposta será sempre positiva.
Exemplo:


2
(-3) = (-3)x(-3)=+9
(+2)4 = (+2)x(+2)x(+2)x(+2) = +16
3º Caso: Se o expoente for natural impar, a resposta terá o mesmo sinal
da base.
Exemplo:


(-3)3 = (-3)x(-3)x(-3)=(+9)x(-3)= - 27
(+2)5= (+2)x(+2)x(+2)x(+2)x(+2)=(+4)x(+4)x(+2)=(+16)x(+2)=+32
Observação Importante:
Sem os parênteses haverá mudança no resultado:


(-2)2 = (-2)x(-2)=+4
-22 = -(2)x(2)= -4
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação é a propriedade inversa da potenciação, logo se 3 2 = 9
então a raiz quadrada de 9 é 3, ou seja,
.
Representamos simbolicamente um radical por
definimos:


a, como radicando
n, como índice.
Exemplo:

, pois 5 x 5 = 25
onde

, pois 7 x 7 = 49

, não existe raiz de número negativo com índice par.

, neste caso o menos esta fora da raiz, portanto
existe resultado que é -9.

, pois (-2)x(-2)x(-2)= - 8

, pois 2 x 2 x 2 = 8
Propriedade:
Exemplo:
Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros
É fundamental para a resolução de uma expressão numérica seguirmos
alguns passos. Priorizamos nesta ordem às operações de potenciação e
radiciação, multiplicação e divisão e por último soma e subtração
obedecendo também à ordem de eliminação dos parênteses, colchetes
e por último as chaves.
Exemplo:
a)
[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5
= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5
= [(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5
= [1.3 + 12] : 5
= [3 + 12 ] : 5
= 15 : 5
=3
Observação importante:
1º) Caso tenha uma expressão com multiplicação e divisão
simultaneamente resolvemos primeiro a operação que vier da esquerda
para a direita.
Exemplo:

–8:2x4
= - 4x4
= - 16
2º) O conjunto dos números inteiros não é fechado quanto a divisão, ou
seja, a divisão entre dois números inteiros nem sempre é um número
inteiro.
Exemplo:


(- 8) : (- 3) = ?
(+20) : (- 7) = ?
Por isso foi necessário que se construísse um terceiro conjunto, o
conjunto dos números racionais.
Conjunto dos Números Racionais
Representado pela letra Q o conjunto dos números racionais é formado
por todo número que pode ser escrito em forma de fração, ou seja,
onde z* são os inteiros não nulos,
assim definimos:


a , como numerador
b, como denominador
Exemplo:





2, pois 2 = 2/1, onde 2 é o numerador e 1 é o denominador;
-1/2 (lê-se “menos um meio”), onde -1 é o numerador e 2 é o
denominador;
3/5 (lê-se “três quintos”), onde 3 é o numerador e 5 é o
denominador;
0,001 = 1/1000 (lê-se “Um milésimo”), onde 1 é o numerador e
1000 é o denominador;
0,333...=3/9=1/3, onde 1 é o numerador e 3 é o denominador;
Adição e Subtração de Números Racionais
Adição
1º Passo:

Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;
2º Passo:

Denominadores iguais, repetimos o denominador e somamos
os numeradores.
Exemplo:

Denominadores diferentes e primos calcula-se o Mínimo
Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando
frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o
exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a
expressão inicial à nova expressão mais um quinto mais cinco terço;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que
substituiu os denominadores 3 e 5.
Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador 1 obtendo 3 o novo
numerador da primeira fração
Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador 5 obtendo 25 o novo
numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações três quinze avos com vinte e cinco quinze
avos
Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3
mais 25 obtendo vinte oito quinze avos.
Observação Importante:
O MMC entre números primos é o produto entre eles.
Números primos são números que são divisíveis apenas por 1 e por ele
mesmo
Alguns números primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,...

Denominadores diferentes e Múltiplos calcula-se o Mínimo
Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando
frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o
exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a
expressão inicial à nova expressão mais dois quinto mais três décimos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 5 e 10 obtendo 10 que
substituiu os denominadores 5 e 10.
Dividimos 10 por 5 e multiplicamos pelo numerador 2 obtendo 4 o novo
numerador da primeira fração
Dividimos 10 por 10 e multiplicamos pelo numerador 3 obtendo 3 o novo
numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações quatro décimos com três décimos.
Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3
mais 25 obtendo vinte oito quinze avos.
Observação Importante:
O MMC entre números múltiplos é o maior número entre eles.
Exemplo:
a) mmc(2,4)=4;
b) mmc(3,9)=9;
c) mmc(20,100)=100;

Denominadores diferentes calcula-se o Mínimo Múltiplo
Comum (MMC), fatoração simultânea, entre os denominadores
encontrando frações equivalentes com mesmo denominador
como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a
expressão inicial à nova expressão mais dois sextos mais três oitavos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 6 e 8 obtendo 24 que
substituiu os denominadores 6 e 8.
Dividimos 24 por 6 e multiplicamos pelo numerador +2 obtendo +8 o
novo numerador da primeira fração
Dividimos 24 por 8 e multiplicamos pelo numerador +3 obtendo +9 o
novo numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações oito vinte quatro avos com dezessete
vinte quatro avos.
Por últimos repetimos o denominador 24 e somamos os numeradores 8
mais 9 obtendo dezessete vinte quatro avos.
Observação Importante:
O MMC utilizando fatoração simultânea.
Exemplo:

mmc(16,18)=24.32 = 144
Subtração:
Na subtração o processo é semelhante, como mostra o exemplo.
1º Passo:

Tiramos os parênteses e trocamos o sinal da fração após a
subtração;
2º Passo:

Tratamos como nos casos da adição.
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses trocando o sinal da fração que aparece após a
subtração e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais um
terço menos três quintos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que
substituiu os denominadores 3 e 5.
Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador +1 obtendo +5 o
novo numerador da primeira fração
Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador -3 obtendo -9 o novo
numerador da segunda fração
Obtemos a expressão mais cinco quinze avos menos nove quinze avos.
Por últimos repetimos o denominador 15 e efetuamos os numeradores
+5 - 9 obtendo menos quatro quinze avos.
Observação importante:
O processo é o mesmo para os diferentes tipos de denominadores.
Multiplicação e Divisão de Números Racionais
Multiplicação
Ao multiplicarmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais
como nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador 1 vezes 3 e denominador com
denominador 5 vezes 7.
Obtemos o resultado mais três trinta e cinco avos.
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
Divisão
Ao dividirmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como
nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por
multiplicação e invertemos a segunda fração;
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 7 e denominador com
denominador 5 vezes 3.
Obtemos o resultado mais sete quinze avos.
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por
multiplicação e invertemos a segunda fração;
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 4 e denominador com
denominador 7 vezes 9.
Obtemos o resultado menos quatro sessenta e três avos.
Potenciação de Números Racionais
Os conceitos vistos para potenciação de números inteiros podem ser
expandidos para números racionais, seguida de algumas propriedades.
Se
an é uma potência de base
a e expoente n então são
válidas a propriedade:
Se a base a é uma fração do tipo
Exemplos:
então:
Radiciação de Números Racionais
Da mesma forma que na potenciação podemos expandir os conceitos de
radiciação já vistos anteriormente para números racionais.
Se
é um radical em que o radicando
Então vale as propriedades:
Exemplos:
a é uma fração do tipo
Também são chamados de números racionais, ou seja, números que
podem ser escritos em forma de fração os seguintes números:


Os decimais;
As dízimas periódicas simples e compostas;
Exemplo:
Como transformar decimal em fração
Exemplo:
Descrição dos passos
Retira-se a vírgula e divide o número obtido por múltiplos de 10 de
acordo com a quantidade de casas depois da vírgula, neste caso por 10,
pois havia apenas uma casa após a vírgula que era o número 1.
Fração Geratriz
Como transformar uma dízima periódica simples em uma fração.
Exemplo:
Descrição dos passos
Neste caso a dízima é chama de periódica simples, pois só possui parte
periódica, desta forma se pega o período que é o número 1 e divide-se
por 9 em outros casos por 99 ou 999 e assim por diante, a quantidade
de nove corresponde a quantidade de algarismos da parte periódica.
Descrição dos passos
Neste caso a dízima é chamada de periódica composta, pois possui
além do período 3 a parte não periódica o número 2, para encontrar a
fração geratriz se pega a parte não periódica junta-se à parte periódica
formando o número 23 subtrai da parte não periódica encontrando o
número 21 que passa a ser o numerador da fração geratriz já o
denominador é formado por 90 em outros casos 990 ou 900 e assim por
diante, a quantidade de nove equivale a quantidade de algarismos da
parte periódica já a quantidade de zero equivale a quantidade de
algarismos da parte não periódica.
Observação importante:
Quando a dízima periódica possui parte inteira devemos fazer como dos
exemplos c e d.
Conjunto dos Números Irracionais
Dizemos que o conjunto dos números irracionais é o que falta no
conjunto dos números racionais para que este fique igual ao conjunto
dos números reais, representado pela letra Qc, ou simplesmente I, os
irracionais são formados por todos os números que não podem ser
escritos em forma de fração, como o número “Pi” =3,14..., muito usado
na geometria, o número neperiano e = 2,718281..., as raízes não exatas
como 2,3 e 5 também são exemplos de números irracionais.
Conjunto dos Números Reais
Representado pela letra R, o conjunto dos números reais é formado pela
união dos números racionais com os números irracionais como
mostramos através do diagrama abaixo.
Observação importante:
Todo número natural é inteiro;
Todo número inteiro é racional;
Nenhum número racional é irracional;
Todo número racional ou irracional é real;