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IFQ/UNIFEI
4a Lista de Problemas de Fis403
— Fı́sica Geral III —
o
2 Semestre de 2015
Questões
1) Quais são os vetores que comparecem na equação F = qv×B que formam sempre pares ortogonais
entre si? Quais são os que não precisam ser sempre ortogonais?
2) Imagine que você está sentado numa sala com as costas voltadas para uma parede da qual merge
um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de
elétrons for desviado para sua direita, qual será a direção e o sentido do campo magnético existente
na sala?
3) Se um elétron não sofre desvio algum ao atravessar uma certa região do espaço, podemos afirmar
que não existe campo magnético nessa região?
4) A equação τ = m×B mostra que não existe torque atuando sobre uma espira de corrente quando
seu eixo faz um ângulo de a) 0◦ ou b) 180◦ com o campo magnético externo. Discuta a natureza do
equilı́brio (se é estável, indiferente ou instável) para cada uma dessas posições.
Problemas
1) Mostre como as leis de Kirchhoff das malhas e dos nós (das tensões e correntes) têm suas origens
na teoria eletromagnética. Explique as condições a que elas se aplicam e quais as aproximações usualmente adotadas nas suas aplicações práticas, bem como os limites de validade dessas aproximações.
2) A corrente que flui através da seção reta de um condutor é dada por I = I0 + at. Determine:
a) a expressão da carga que atravessa a seção reta.
b) O valor da carga para t = 1s e para t = 10s, sabendo-se que I0 = 2A, a = 0, 04s−1 e t é dado em
segundos. Resp: a) q = I0 t + 0, 5at2 ,
b) 2, 02C e 22C
3) Um cilindro muito longo de raio R carregado gira com velocidade angular ω constante ao redor
de seu eixo, que coincide com o eixo z. Determine a corrente que ele produz sobre uma região
retangular definida por R/2 < y < 2R e 0 < z < ` quando estiver carregado com a) uma carga
superficial uniforme de densidade σ; b) uma carga volumétrica de densidade ρv = ρ0 ρ/R.
Resp: a) I = σωR`,
b) I = 7ρ0 ωR2 `/24.
4) Considere uma distribuição uniforme de cargas elétricas de densidade volumétrica constante ρ.
Determine a intensidade da corrente elétrica que flui através da superfı́cie de uma esfera imaginária
de raio a, quando o raio da esfera varia de acordo com:
a) a(t) = αt
b) a(t) = α(t0 − t)
c) a(t) = a0 (1 − cos ωt). Resp: a) I = −4πρα3 t2
b)
I = 4πρα3 (t0 − t)2
c) I = −4πρa0 3 ω sen ωt(1 − cos ωt)2 .
5) Numa região do espaço existe uma corrente cuja densidade é dada por J = αz ẑ, onde α é uma
constante. Sendo Q a carga total contida na esfera r = R, determine dQ/dt. Resp: −4παR3 /3
6) Um capacitor cilı́ndrico de comprimento L muito grande, cujos cabos coaxiais possuem raios a e
b (b > a), é preenchido por um dielétrico imperfeito de permissividade e condutividade g. Quando
se aplica ao capacitor uma ddp, existirá assim uma corrente I fluindo radialmente entre as placas.
Determine a relação entre a condutância G e a capacitância C deste dispositivo. (A condutância
é definida como sendo o inverso da resistência, ou seja, a razão entre a corrente que flui entre dois
.
pontos pela ddp aplicada entre os mesmos). Resp: G = g C = 2πgL
b
ln
a
7) A relação que você determinou no exercı́cio anterior é válida em geral para condensadores de
qualquer formato com dielétricos imperfeitos. Prove esta afirmativa e utilize a relação para determinar
a corrente de fuga, em função da ddp aplicada, nos seguintes dispositivos:
a) capacitor de placas planas paralelas;
b) capacitor esférico.
4πgbaV
V
b)I =
Suponha conhecidas as respectivas dimensões. Resp: a) I = gA
d
b−a
8) Um material condutor de espessura h e condutividade g possui a forma de um quarto de uma
arruela de raios interno e externo respectivamente a e b. Determine a resistência entre as suas faces
π
retangulares. Resp: R = 2gh ln(b/a)
9) Determine a resistência de um tronco de cunha cônica definida por R1 ≤ r ≤ R2 e 0 ≤ θ ≤ θ0 ,
R2 − R1
entre as faces r = R1 e r = R2 . O material possui condutividade g uniforme. Resp:
2 θ0
4πgR1 R2 sen
2
10) Um feixe de elétrons de energia K é produzido por um acelerador. A uma distância d da janela
de saı́da do acelerador e perpendicular à direção do feixe, coloca-se uma placa metálica. Determine
o valor mı́nimo do campo magnético que devemos aplicar na região para impedir que os elétrons
atinjam a placa. Como deve
estar
orientado o vetor B? Considere conhecidas a massa m e a carga
2mK 1/2
e do elétron. Resp: Bmin = e2 d2
11) Uma partı́cula neutra instável encontra-se em repouso num laboratório onde existe um campo
magnético uniforme de módulo B. No instante t = 0 a partı́cula decai em duas de mesma massa m.
Uma delas tem carga +q e se desloca num plano ortogonal ao de B.
a) Qual a carga da outra partı́cula?
b) Qual a direção e o sentido da velocidade da segunda partı́cula relativamente à primeira?
πm
c) Depois de quanto tempo elas colidem? Resp: a) −q
b) −v
c)
qB
12) Um pósitron de 4,5 keV penetra num região de campo magnético uniforme de 0,10 T fazendo um
ângulo de 80◦ com o vetor B.
a) Mostre que a trajetória será uma hélice com eixo na direção de B.
b) Determine o perı́odo de rotação do pósitron, o passo p e o raio r da hélice.
Resp: b) T = 3,6.10−10 s,
p = 2,5 mm,
r = 2,3 mm
13) Um quadrado de lado a delimita uma região de campo magnético de intensidade B, perpendicular
a/2
ao plano do papel. Nela penetram três partı́culas de mesma massa m com
a mesma energia cinética, descrevendo as trajetórias mostradas na figura
ao lado, sendo que duas delas são arcos de circunferência. A partı́cula que
3
descreve a trajetória de raio a/2 possui carga q = +e, onde e é a carga
2
elementar. Determine:
a) O sentido do campo magnético.
1
a/4
b) O valor das outras duas cargas em função de e, explicitando o sinal. Resp:
a) B entrando no plano do papel. b) q2 = 0, q3 = −2e.
14) São dados um plano infinito carregado com uma densidade superficial de cargas uniforme σ
e um fio retilı́neo infinito percorrido por uma corrente estacionária I, paralelo ao plano e a uma
distância d deste. Um elétron percorre uma trajetória retilı́nea paralelamente ao fio, contida num
plano perpendicular ao plano eletrizado e que contem o fio, a meio caminho entre o condutor e o plano
eletrizado. Desprezando qualquer efeito gravitacional, determine a velocidade do elétron (módulo e
sentido relativamente à corrente I). Dica: utilize o resultado obtido em sala para o campo de um fio
retilı́neo infinito. Resp: v = 2πσd
, sentido oposto ao da corrente no fio.
µ I
0 0
15) Uma calha semicircular muito longa possui seção reta em forma de um anel semicircular de
raio R e espessura desprezı́vel. Ela é percorrida longitudinalmente por uma corrente I distribuı́da
uniformemente, que retorna por um fio retilı́neo igualmente longo que coincide com o eixo da calha.
2
Determine a força de interação por unidade de comprimento entre a calha e o fio. Resp: Repulsão de µπ02IR
ao longo do eixo de simetria da calha.
16) A um fio condutor de comprimento L = 10 m é dada a forma de uma espiral logarı́tmica e
disposto de tal forma que, num determinado sistema de coordenadas, sua equação é descrita por
ρ = e2ϕ , em coordenadas cilı́ndricas, no plano z = 0. O condutor é percorrido por uma corrente de
5,0 A.
a) Determine a força que atua sobre o fio, se na região existir um campo magnético externo B =
ẑ 2,5 G.
b) Determine o campo magnético produzido pelo fio na origem do sistema de coordenadas. Resp: a)
F = (1,13 x̂ − 0,38 ŷ)10−2 N
17) A figura ao lado mostra um fio condutor formado por dois segmentos retilı́neos e um arco
de circunferência de 90◦ . Ele é percorrido por uma corrente I e se encontra
y
R
imerso numa região de campo magnético uniforme cuja indução magnética
x
tem módulo B0 , direção perpendicular ao plano do papel e sentido saindo
B
deste ().
a) Calcule a força resultante F sobre o fio;
R
b) O campo magnético produzido por I em C.
I
Resp: a)F = 2IRB0 (x̂ − ŷ),
b)BC = −
µ0 I
ẑ
8R
C
R
18) Um fio infinito disposto na horizontal (adote como sendo o eixo y do seu sistema de coordenadas)
é percorrido por uma corrente I no sentido positivo do eixo y. Uma espira quadrada de lado a, feita
por um fio cuja massa por unidade de comprimento é λ é disposto no plano vertical yz paralelamente
ao fio, com seu lado mais próximo do fio a uma distância a do fio infinito. Qual deve ser a corrente
na espira para que ela permaneça em repouso? (Considerar a ação da gravidade). Resp: I 0 = 16πaλg
µ I
0
19) A figura mostra um cilindro de madeira de massa m, raio R e comprimento L, ao longo do qual
foram dadas N voltas de um condutor, de modo a fazer uma bobina retangular cujo plano contém
o eixo do cilindro. O cilindro é colocado sobre um plano inclinado de um ângulo θ com relação à
horizontal, de modo que o plano da bobina seja paralelo a esse plano. Calcule o menor valor da
corrente i capaz de impedir o cilindro de rolar, na presença de um campo magnético B vertical. Resp:
i=
mg
.
2N lB
20) Um fio de cobre de massa m, dobrado em forma de uma letra U de largura l, tem seus extremos
mergulhados em dois vasos contendo mercúrio, como mostra a figura. O fio está submetido
à ação de
Z
um campo magnético B. Se um impulso de corrente, que transporta uma carga q =
i dt, percorre
o fio, este salta bruscamente para cima, atingindo uma altura máxima h. Determine o valor da carga
q, supondo que o tempo de duração da corrente é muito menor do que o tempo que o fio leva para
mp
2gh.
subir e descer. Resp: q = lB
21) Um circuito plano é definido, em coordenadas polares, por:
ρ = a,
0 ≤ ϕ ≤ π;
ρ cos ϕ = −a,
π ≤ ϕ ≤ 3π/2;
ρ cos ϕ = a,
3π/2 ≤ ϕ ≤ 2π.
Ele é percorrido por uma corrente I no sentido de ϕ crescente. Determine B na origem.
Resp:
µ0 I(π + 4)
B = ẑ
4πa
22) Uma bússola tende a oscilar antes de alinhar-se com o campo magnético da Terra. Considere
uma agulha imantada de momento de dipolo magnético m e momento de inércia I, suspensa de forma
a poder oscilar livremente em torno de um eixo vertical, situada num campo magnético horizontal
uniforme B0 . As direções de m e B0 formam inicialmente um pequeno ângulo θ0 . Calcule a frequência
angular de oscilaçãor(desprezando o amortecimento) e mostre que sua determinação permite medir
|m||B0 |
1
|m||B0 |. Resp: ν = 2π
I
23) A Terra se comporta aproximadamente como um dipolo magnético. Determine o seu momento
de dipolo sabendo que a uma latitude de 40◦ seu campo magnético vale 0,23 G. Se esse dipolo fosse
produzido por uma espira circular com raio um terço do da Terra, qual seria a corrente necessária
para tal? Resp: 2,8.109 A
24) A corrente num fio metálico de 10 cm é de 2,0 A na direção dos x positivos. A força no fio, devida
a um campo magnético B, é F = (3,0 ŷ + 2,0 ẑ) N. Se o fio fizer uma rotação de modo que a corrente
passe a fluir na direção dos y positivos, a força sobre ele é F = (−3,0 x̂ − 2,0 ẑ) N. Determinar o
campo magnético B. Resp: B = (10 x̂ + 10 ŷ − 15 ẑ) T
25) Dois pequenos circuitos, um circular de raio b e o outro quadrado de aresta também b, são
m1
I
colocados com seus centro a uma distância a um do outro, a >> b,
I
dispostos como mostra a figura ao lado. Determine o torque que um
m2
exerce sobre o outro se ambos forem percorridos pela mesma corrente
I. Resp: Adotando o eixo da espira circular como z e o eixo que contem os centros das espiras
como y, o torque sobre a espira retangular será −x̂
µ0 Ib3
4a3
a
26) Um dipolo magnético de momento m e dimensões desprezı́veis está situado a uma distância z
acima do plano de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I. O vetor m faz
um ângulo θ com o eixo da espira. Determine a força e o torque atuantes sobre o dipolo. Resp:
F=−
3µ0 ImR2 cos θz
ẑ,
2(R2 + z 2 )5/2
τ =
µ0 ImR2 sen θ
, perpendicular ao plano que contem o eixo z e a direção do dipolo magnético.
2(R2 + z 2 )3/2
27) Considere um circuito fechado de raios a e b (ver figura), percorrido por uma corrente I. Determine:
I
a) B no ponto P .
b
b) O momento de dipolo magnético do circuito.
πI
µ0 I
(a + b)ẑ,
b)m = − (a2 + b2 )ẑ .
Resp: a)BP = −
P
a
4ab
2
I
28) Um disco de plástico de raio R possui uma carga total q distribuı́da uniformemente em sua
superfı́cie. Se o disco gira a uma velocidade angular ω constante
em torno de
seu eixo, determinar:
µ0 ωq 2z 2 + a2
a) O campo magnético num ponto de seu eixo; Resp: B = ẑ 2πa2 √ 2 2 − 2|z|
z +a
b) seu momento magnético.
ωqR2
Resp: m =
ẑ
4
29) Seja uma esfera de raio R e carga total Q girando com velocidade angular ω constante em
torno de um de seus diâmetros. Determine o campo magnético B no seu centro e os seus momentos
magnéticos quando:
1
0 ωQ
a) a carga estiver distribuı́da uniformemente em seu volume; Resp: B = ẑ µ4πR
, m = ẑ ωQR2
5
b) a carga estiver distribuı́da uniformemente em sua superfı́cie.
Resp: B = ẑ
µ0 ωQ
,
6πR
m = ẑ
ωQR2
3
30) Um cone carregado superficialmente com densidade de cargas σ uniforme gira com velocidade
angular ω constante ao redor de seu eixo de simetria. O cone possui raio R e geratriz L. Determine
2
o campo magnético no seu vértice. Resp: B = µ2 0 σωR2 1/2 , na direção do eixo.
(R + L )