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1 Conjunto dos números complexos
1
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Operações (na forma algébrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Representação Gráca (O Plano de Argand-Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Polinômios
12
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2
Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3 Equações Polinomiais
25
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Rebaixamento do grau de equações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Relações de Girard (entre raízes da equação P (x) = 0 e seus coecientes) . . . . . . .
28
3.4
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.5
Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
i
Capítulo 1
Conjunto dos números complexos
1.1 Introdução
√
n
Observação 1.1.1
: Sejam n ∈ Z∗+ e par e a ∈ R∗+ . Sabemos que
Observação 1.1.2
: Denindo o número representado por i (chamado unidade imaginária) tal que
−a ∈
/ R.
i2 = −1, temos:
α ∈ R∗ ⇒ (αi)2 = −α2 .
De fato, (αi)2 = α2 i2 = α2 (−1) = −α2 .
Exemplo(s) 1.1.1
:
• (6i)2 = −36 ⇒
√
−36 := ±6i
√
√
√
• ( 2i)2 = −2 ⇒ −2 := ± 2i.
• A equação x2 − 2x + 10 = 0 possui solução nesse novo conjunto.

/2(1 + 3i)
2 + 6i


=
= 1 + 3i
x1 =



2
/2

√
√
De fato, ∆ = b2 −4ac = 4−4(1)(10) = −36 ⇒ ∆ = −36 = ±6i ⇒
e



2
−
6i
/
2
(1 − 3i)


=
= 1 − 3i
 x2 =
2
/2
que são números do tipo a + bi, com a, b ∈ R.
Denição 1.1.1
: Todo número que pode ser escrito na forma a + bi com a, b ∈ R é denominado
número complexo.
1
Números Complexos
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2
Notações:
• C = {z/z = a + bi com a, b ∈ R e i2 = −1}.
• Re(a + bi) := a.
• Im(a + bi) := b.
Observação 1.1.3
:
(a)
R ⊂ C pois ∀a ∈ R temos a = a + 0i (b = 0);
(b)
b = 0 ⇒ z é real;
(c)
b ̸= 0 ⇒ z é dito imaginário;
(d)
a = 0 e b ̸= 0 ⇒ z é dito imaginário puro;
(e)
Sejam z = a + bi ∈ C e w = c + di ∈ C. z = w ⇔ a = c e b = d.
Execício(s) 1.1.1
: Determinar α (α ∈ R) para que o complexo z = (α2 − 1) + (α + 1)i seja
imaginário puro.
Resp. α = 1
1.2 Operações (na forma algébrica)
I- Adição: z = a + bi e w = c + di ⇒ z + w := (a + c) + (b + d)i
Propriedades:
• z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa)
• (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) (associativa)
• 0 + z = z + 0 = z (elemento neutro)
• z + (−z) = 0 (elemento oposto ou simétrico aditivo: −a − bi)
II- Diferença: z = a + bi e w = c + di ⇒ z − w := z + (−w) = a + bi + (−c − di) = (a − c) + (b − d)i.
Propriedades: as mesmas da adição.
III- Produto:
z = a + bi e w = c + di ⇒ z · w = (a + bi)(c + di) := ac + adi + bci − bd =
(ac − bd) + (ad + bc)i.
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3
Propriedades:
• z1 · z2 = z2 · z1 (comutativa)
• (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ) (associativa)
• z · 1 = 1 · z = z (elemento neutro)
• Veremos também que ∀z ∈ C∗ , ∃!z −1 :=
1
∈ C tal que z · z −1 = z −1 · z = 1 (elemento
z
inverso)
Observação 1.2.1
: Além das propriedades citadas acima, a distributividade da multiplicação em
relação à adição permanece válida.
Execício(s) 1.2.1
: Escreva as expressões abaixo na forma algébrica a+bi.
(a)
2i + (1 − 5i) + 7 + (3 + i)
(b)
(2 + 4i)(3 + 2i)
(c)
(3 − 5i)(2 + 4i)3i
(d)
(1 + i)2 − (1 − i)2
Respostas: (a) 11 − 2i; (b) − 2 + 16i; (c) − 6 + 78i; (d) 4i.
Execício(s) 1.2.2
: Determine os reais x e y de modo que se tenha (x + yi)(1 + 3i) = 5 + 5i.
Resp.: x = 2 e y = −1
1
∈ C tal que z · z −1 = z −1 · z = 1.
z
De fato, seja z = a + bi ∈ C∗ . Considere z −1 = x + yi.



ax − by = 1


Queremos: (a + bi)(x + yi) = 1 ⇔ (ax − by) + (bx + ay)i = 1 ⇔
e



 bx + ay = 0(∗)


 a2 x − aby
/=a


a
(∗) y = −b .
Daí,
+ b2 x + aby
/=0 ⇒x= 2
2

a +b ⇒
a2 + b 2


 x(a2 + b2 ) = a
a
b
Assim, z −1 = x + yi := 2
− 2
i.
2
a +b
a + b2
Propriedade (elemento inverso):
IV- Divisão:
∀z ∈ C∗ , ∃!z −1 :=
Seja w ∈ C∗ . Então z : w = z · w−1 .
Exemplo(s) 1.2.1
:
3+i
1 2
1 7
= (3 + i)(1 − 2i)−1 = (3 + i)( + i) = + i.
1 − 2i
5 5
5 5
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1.3 Conjugado
z = a + bi ⇒ z := a − bi denota o conjugado de z.
Observação 1.3.1
(a)
z=z
(b)
z · z = a2 + b2
(c)
z ̸= 0 ⇒ z −1 =
: z = a + bi
(d)
a
b
1
a − bi
z
= 2
− 2
i
=
= 2
2
2
z
zz
a +b
a +b
a + b2
z
zw
w=
̸ 0⇒z:w= =
w
ww
(e)
z1 z2 = z 1 z 2
(f)
z1 + z2 = z 1 + z 2
De fato, esse resultados seguem imediatamente dos cálculos.
Exemplo(s) 1.3.1
:
(a)
z = 2 + 3i ⇒ z = (2 − 3i) = 2 + 3i
(b)
(2 − i)(3 − 2i)
6 − 4i − 3i + 2i2
4 − 7i
4
7
2−i
=
=
=
=
− i
2
2
3 + 2i
(3 + 2i)(3 − 2i)
3 +2
13
13 13
(c)
Resolva a equação iz − 2i = 4 + 2z.
Seja z = x + yi. Então z = x − yi. Assim,
iz − 2i = 4 + 2z ⇔ i(x − yi) − 2i = 4 + 2(x + yi)
⇔ xi + y − 2i = 4 + 2x + 2yi
⇔ y − 4 − 2x + xi − 2i − 2yi = 0
⇔ (y − 2x − 4) + (x − 2 − 2y)i = 0
Daí,





⇔ y − 2x − 4 = 0 e x − 2 − 2y = 0
y − 2x − 4 = 0
10
8
(+)2x − 4 − 4y = 0 ⇒ y = − ⇒ x = − .

3
3



−3y − 8 = 0
Assim, z = −
10 8
− i.
3
3
4
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5
1.4 Potências de i
• i0 = 1
• i1 = i
• i2 = −1
• i3 = i2 · i = −1 · i = −i
• i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1
• i5 = i4 · i = 1 · i = i
• i6 = i2 = −1
..
.
• i91 =?
Suponha n ∈ N, n ≥ 4. Observe que n = 4q + r onde q ∈ N∗ e r representa o resto da divisão de n
por 4, ou seja, r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3. Então, in = i4q+r = i4q · ir = (i4 )q · ir = 1q · ir = ir .
Logo, in = ir onde r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3.
Exemplo(s) 1.4.1 : i91 ?
91 4
3 22
⇒ 91 = 4 × 22 + 3.
Daí, i91 = i3 = −i.
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1.5 Representação Gráca (O Plano de Argand-Gauss)
z = a + bi ↔ P (a, b)
Im ou y
Ox : eixo real
P
b
Oy : eixo imaginário
P : af ixo ou imagem geométrica do complexo z
0
a)
a
x ou Re
Forma Trigonométrica (ou forma polar)
Im
P(a,b)
b
r≥0
r
r e θ são chamados
b
coordenadas polares
θ
0
a
Re
a
• r2 = a2 + b2 ⇒ r =
√
a2 + b2 (módulo de z ).
Notação: r = |z|
b
⇒ b = rsen θ.
r
a
• cos θ = ⇒ a = r cos θ.
r
• sen θ =
• θ = arctg
b
(argumento principal do complexo z ).
a
6
Números Complexos
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7
Então, z = a + bi = r cos θ + (rsen θ)i = r(cos θ + isen θ) := rcisθ (forma trigonométrica de z ).
Observação 1.5.1
: Existem innitos argumentos já que cos(θ + 2kπ) = cos θ e sen(θ + 2kπ) =
sen θ ∀k ∈ Z.
Exemplo(s) 1.5.1
(i)
:
z =1+i
√
√
√
√
1
π
r = 12 + 12 = 2 e tg θ = = 1 ⇒ θ = = 45o ⇒ z = 2(cos 45o + i sen 45o ) = 2cis45o
4
√
π
π 1√
π
ou z = 2(cos + isen ) = 2cis .
4
4
4
(ii)
z=7
√
0
= 0.
7
Como 7 é real positivo, sua imagem pertence ao semi-eixo real positivo ⇒ θ = 0o ⇒ z =
z = 7 + 0i ⇒ r =
72 + 02 = 7 e tg θ =
7(cos 0o + isen, 0o ) = 7cis 0o = 7cis 0.
Observação 1.5.2 : A determinação de θ (argumento principal de z) pode ser feita usando
os valores do seu seno e cosseno ou o valor da sua tangente e o quadrante que contém a imagem
geométrica do complexo z.
(iii)
o
Escreva na forma algébrica o complexo z = 3cis
√ 60 .
√
3
1
3 3 3
o
o
o
z = 3cis60 = 3(cos 60 + isen 60 ) = 3( + i
)= +
i.
2
2
2
2
Operações (na forma trigonométrica)
(I)
Produto: z1 = r1 cisθ1 e z2 = r2 cisθ2 ⇒ z1 z2 = r1 r2 cis(θ1 + θ2 )
De fato, isto segue imediatamente das fórmulas trigonométricas:
cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b e sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a.
Exemplo(s) 1.5.2
(II)
√
√
(2cis 45o ) · ( 3cis 60o ) = 2 3cis 105o .
Divisão: z1 = r1 cisθ1 e z2 = r2 cisθ2 ⇒
z1
r1
= cis(θ1 − θ2 ).
z2
r2
De fato,
r2 cis(2π − θ2 )
1
1
z1
1
z2
=
=
= cis(2π − θ2 ) = cis(−θ2 ) ⇒
= z1 · z2−1
2
z2
z2 z 2
r2
r2
r2
z2
1
r1
= r1 cisθ1 · cis(−θ2 ) = cis(θ1 − θ2 )
r2
r2
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4
4cis75o
= cis(75o − 30o ) = 2cis45o
o
2cis30
2
Exemplo(s) 1.5.3
:
Observação 1.5.3
: z = rcisθ ⇒ z −1 =
ou
z −1 =
8
1
1
= cis(−θ)
z
r
1
1cis 0o
1
1
1
=
= cis(−θ) = [cos(−θ) + isen (−θ)] = (cos θ − isen θ),
z
rcisθ
r
r
r
já que cos(−θ) = cos θ e sen θ = −sen(−θ).
Observação 1.5.4
(i)
:
|z| = |z|
(ii)
|z · w| = |z| · |w|
z
|z|
(iii) =
(w ̸= 0)
w
|w|
(III)
Potenciação: (Fórmula de De Moivre)
z = r cis θ e n ∈ Z ⇒ z n = rn cis nθ
Exemplo(s) 1.5.4
: (2 cis 30o )6 = 26 cis 180o = 64(cos 180o + isen 180o ) = 64(−1 + i0) = −64
Exemplo(s) 1.5.5
: Uma aplicação: cos 3x e sen 3x?
(cos x + isen x)3 = cos 3x + isen 3x
⇔ cos3 x + 3 cos2 x · isen x + 3 cos x · (isen x)2 + (isen x)3 = cos 3x + isen 3x
⇔ cos3 x + 3isen x · cos2 x − isen3 x − 3 cos x · sen2 x = cos 3x + isen 3x
⇔ cos3 x − 3 cos x · sen 2 x + i(3sen x · cos2 x − sen3 x) = cos 3x + isen 3x
⇔ cos 3x = cos3 x − 3 cos x · sen2 x e sen 3x = 3sen x · cos2 x − sen3 x
(IV)
Radiciação (aplicação da fórmula de De Moivre)
Teorema 1.5.1
: z = r cis θ e n ∈ N∗ ⇒
raízes n-ésimas diferentes).
√
De fato, observe que ( n r cis θ+2kπ
)n = z.
n
√
n
z =
√
n
r cis θ+2kπ
onde k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (n
n
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Observação 1.5.5
• r=0⇒
√
n
:
0 = 0 ∀k = 0, 1, . . . , n − 1 (todas as raízes são iguais a zero)
• r ̸= 0
k=0 ⇒
k=1 ⇒
k=2 ⇒
k=3 ⇒
...... ⇒
k =n−1 ⇒
k=n ⇒
Exemplo(s) 1.5.6
√
4
16cis 120o =
√
4
:
√
4
( )
θ
z = r cis
n
(
)
√
√
θ 2π
n
n
z = r cis
+
n
n
(
)
√
√
θ 4π
n
n
z = r cis
+
n
n
(
)
√
√
θ 6π
n
n
z = r cis
+
n
n
...............
(
)
√
√
θ (2n − 2)
n
n
z = r cis
+
π
n
n
(
)
√
√
θ
n
n
z = r cis
+ 2π (começamos a obter valores repetidos)
n
√
n
√
n
16cis 120o ? (calcule as 4 raízes quartas de z = 16cis 120o )
16cis 120
Observação 1.5.6
9
o +2kπ
4
o
o
k
= 2cis 120 +360
4



 k=0



 k=1
⇒


k=2




 k=3
= 2cis(30o + k · 90o ), k = 0, 1, 2, 3.
⇒
z1 = 2cis 30o
⇒ z2 = 2cis 120o
⇒ z3 = 2cis 210o
⇒ z4 = 2cis 300o
: As 4 raízes encontram-se sobre a mesma circunferência (mesmo módulo) e são
vértices de um polígono regular convexo de 4 lados (quadrado de centro na origem).
2 cis 120o
2 cis 30o
30o
0
2 cis 210o
2 cis 300o
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Exemplo(s) 1.5.7
Simone D. Ramos
:
√
6
10
1 =?
1 = 1 + 0i = 1cis 0o , assim
√
√
√
o
o
6
1 = 6 cis 0o = 6 1 cis 0 +k·360
= 1cis k · 60o , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Então:
6



k = 0 ⇒ z1 = 1 cis 0o






k = 1 ⇒ z2 = 1 cis 60o




 k = 2 ⇒ z = 1 cis 120o
3


k = 3 ⇒ z4 = 1 cis 180o






k = 4 ⇒ z5 = 1 cis 240o




 k = 5 ⇒ z = 1 cis 300o
6
Observação 1.5.7
: As seis raízes estão na circunferência de raio 1 e são vértices de um polígono
regular convexo de 6 lados (hexágono regular de centro na origem).
Observação 1.5.8
: As n raízes n-ésimas de um complexo encontram-se todas sobre a mesma
circunferência, pois têm o mesmo módulo. Além disso, elas são os vértices de um polígono regular
convexo de n lados, de centro na origem.
Observação 1.5.9
: As n-raízes n-ésimas de um complexo z, podem ser obtidas multiplicando-se
uma delas pelas raízes n-ésimas da unidade.
b)
Forma Exponencial
Todo número complexo z = rcis θ pode ser escrito como
z = reθi
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Simone D. Ramos
11
onde r = |z|, θ é o argumento de z e "e"é a base do Sistema Neperiano de Logaritmos.
Operações(na forma exponencial)
Exemplo(s) 1.5.8
π
: Escreva o complexo z = 2e 4 i na forma algébrica.
π
z = 2e 4 i = 2cis π4 = 2(cos π4 + isen π4 ) = 2(
Exemplo(s) 1.5.9
Temos que r =
√
3 2
)
2
(i)
+i
√
2
)
2
=
π
6
√
2 + i 2.
√
√
3
2
− 12 i.
3
4
+
1
4
(vestibular - 78)
O número e3πi é:
(a) racional positivo
(b) inteiro negativo
(d) irracional negativo (e) irracional positivo
(ii)
√
√
−1/2
= 1 e tg θ = √
= − √13 = − 33 = −tg 30o .
3/2
11
11π
πi
6
= 6 . Logo, z = 1e
.
+ ( 21 )2 =
O que acarreta: θ = 2π −
Execício(s) 1.5.1
2
2
: Escreva, na forma exponencial, o complexo z =
√
(
√
Calcule
Respostas:
(i)(b);
√
√
3
2 + 2 3i.

√


k = 0 ⇒ z1 = 3 4cis 20o


√
(ii) k = 1 ⇒ z2 = 3 4cis 140o



3
 k=2 ⇒ z =√
4cis 260o
3
(c) imaginário puro
Capítulo 2
Polinômios
2.1 Introdução
Denição 2.1.1
: Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
onde:
• a0 , a1 , a2 , . . . , an são números complexos denominados coecientes do polinômio;
• as parcelas an xn , an−1 xn−1 , . . . , a0 são os termos do polinômio;
• a0 é chamado termo independente;
• os expoentes n, n − 1, n − 2, . . . são números naturais.
Polinômios com um, dois e três termos são chamados monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão.
Denição 2.1.2
(Polinômio nulo ou identicamente nulo): Polinômio nulo é aquele em que todos os
seus coecientes são iguais a zero (P (x) ≡ 0).
Observação 2.1.1
Denição 2.1.3
: P (x) ≡ 0 ⇔ P (x) = 0, ∀x ∈ C.
(Grau): Dado P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , não identicamente nulo e
na forma padrão, com an ̸= 0, dizemos que o grau do polinômio P (x) é o número n.
12
Números Complexos
Notação:
Simone D. Ramos
13
gr(P ) = n.
Denição 2.1.4
(Valor numérico e raíz): Seja P (x) um polinômio não nulo. O valor numérico de
um polinômio P (x) para x = α ∈ C é o número complexo P (α). Quando P (α) = 0, dizemos que α
é uma raíz ou um zero de P (x).
Exemplo(s) 2.1.1
(a)

 a = 2, a = −1, a = 3, a = 1 e n = 3.
3
2
1
0
3
2
P (x) = 2x − x + 3x + 1 ⇒
 P (0) = 1 e P (−1) = −2 − 1 − 3 + 1 = −5.
(b)

 a = 3, a = −2 e n = 1.
1
0
P (x) = 3x − 2 ⇒
 P (5) = 15 − 2 = 13 e P (2/3) = 0.
(c)
P (x) = −5 + 10x5 + 5x10



a10 = 5, a9 = a8 = a7 = a6 = 0, a5 = 10,




 a = a = a = a = 0, a = −5 e n = 10.
4
3
2
1
0
⇒


P (0) = −5, P (1) = −5 + 10 + 5 = 10 e




 P (−1) = −5 − 10 + 5 = −10.
Contra-exemplos(não representam polinômios):
(a)
F (x) = x − 3x1/2 + 5;
(b)
F (x) = x−7 + 2x + 15;
(c)
√
F (x) = 3 x − 11x.
Denição 2.1.5
(Polinômios idênticos): Os polinômios A(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e
B(x) = bn xn +bn−1 xn−1 +· · ·+b1 x+b0 são idênticos se, e somente se, an = bn , an−1 = bn−1 , . . . , a1 = b1
e a0 = b0 (A(x) ≡ B(x)).
Observação 2.1.2
: A(x) ≡ B(x) ⇔ A(x) = B(x), ∀x ∈ C.
2.2 Operações
• Adição (ou subtração)
Para adicionar ou subtrair polinômios, usamos a propriedade distributiva e adicionamos ou
subtraímos os termos semelhantes, ou seja, os termos dos polinômios que têm a variável x com
o mesmo expoente.
Números Complexos
Simone D. Ramos
14
• Multiplicação
A multiplicação de dois polinômios requer a multiplicação de cada termo de um polinômio por
todos os termos do outro. Assim, torna-se natural o uso da propriedade distributiva.
Exemplo(s) 2.2.1
: Sejam f (x) = −2x4 +3x2 +x−1, g(x) = 3x2 +x−3 e h(x) = 2x3 −3x2 −x+3.
Vamos calcular:
(i)
f (x) + g(x);
(ii)
h(x) − g(x);
(iii)
g(x) · f (x).
Solução:
(i) f (x) + g(x) = −2x4 + 3x2 + x − 1 + 3x2 + x − 3
= −2x4 + 3x2 + 3x2 + x + x − 1 − 3
= −2x4 + 6x2 + 2x − 4.
(ii) h(x) − g(x) = 2x3 − 3x2 − x + 3 − (3x2 + x − 3)
= 2x3 − 3x2 − x + 3 − 3x2 − x + 3
= 2x3 − 3x2 − 3x2 − x − x + 3 + 3
= 2x3 − 6x2 − 2x + 6.
(iii) g(x) · f (x) = (3x2 + x − 3) · (−2x4 + 3x2 + x − 1)
= −6x6 + 9x4 + 3x3 − 3x2 − 2x5 + 3x3 + x2 − x + 6x4 − 9x2 − 3x + 3
= −6x6 − 2x5 + 9x4 + 6x4 + 3x3 + 3x3 − 3x2 + x2 − 9x2 − x − 3x + 3
= −6x6 − 2x5 + 15x4 + 6x3 − 11x2 − 4x + 3.
• Divisão
Observe a divisão numérica ilustrada a seguir:
91 4
3 22
⇒ 91 = 4 × 22 + 3.
A divisão, seja de números inteiros ou de polinômios, envolve um dividendo dividido por um divisor
para obter um quociente e um resto. Veja, nos próximos exemplos, como podemos dividir polinômios
usando um algoritmo bastante semelhante ao que já conhecemos para a divisão numérica.
Números Complexos
Simone D. Ramos
(i) x3 + 2x2 − x − 3
−x3 + 2x2 + 3x
15
Assim,
x2 − 2x − 3
Q(x) = x + 4
x+4
4x2 + 2x − 3
−4x2 + 8x + 12
R(x) = 10x + 9
10x + 9
(ii) x4 − 3x2 + 5
x2 − 2x + 1
−x4 + 2x3 − x2
Assim,
Q(x) = x2 + 2x
R(x) = −2x + 5
x2 + 2x
2x3 − 4x2 + 5
−2x3 + 4x2 − 2x
−2x + 5
Exemplo(s) 2.2.2
O algoritmo
(Método da chave):
da divisão(ou método da chave) para polinômios pode ser apresentado no seguinte
esquema:
dividendo
divisor
D(x)
R(x)
resto
d(x)(6= 0)
Q(x)
quociente
onde:
(i)
gr(D) ≥ gr(d);
(ii)
gr(R) < gr(d) ou R(x) ≡ 0;
(iii)
∃!Q(x) e ∃!R(x) tais que D(x) = d(x) · Q(x) + R(x) ∀x ∈ C;
(iv)
gr(D) = gr(d) + gr(Q);
Números Complexos
(v)
Simone D. Ramos
16
D(x) é divisível por d(x) ou d(x) é um divisor de D(x) se, e somente se, R(x) = 0 ∀x ∈
C (ou seja,R ≡ 0).
Observação 2.2.1
: Na divisão
D(x)
R(x)
d(x)
Q(x)
sempre que gr(D) < gr(d), temos:
Q(x) ≡ 0 e R(x) ≡ D(x).
Observação 2.2.2
: Além do método acima, existe o Método de Descartes (ou método dos coe-
cientes a determinar) que se baseia na análise dos graus dos polinômios e utiliza a resolução de
sistemas lineares.
Exemplo(s) 2.2.3
: Efetuar a divisão apresentada acima (em (ii)) usando o método de Descartes.
D(x) = x4 − 3x2 + 5 e d(x) = x2 − 2x + 1. Observe que gr(D) = 4 e gr(d) = 2 ⇒ gr(Q) = 2. Assim,
Q(x) é do tipo Q(x) = ax2 + bx + c com a ̸= 0. Por outro lado, como gr(R) < gr(d), o resto da
divisão é um polinômio no máximo do primeiro grau. Então, R(x) = αx + β.
Assim,
a
partir
da
identidade
D(x)
≡
d(x)Q(x) + R(x),
podemos
escrever
x4 − 3x2 + 5 = (x2 − 2x + 1)(ax2 + bx + c) + αx + β e efetuando as operações no segundo membro,
obteremos:
x4 − 3x2 + 5 ≡ ax4 + (b − 2a)x3 + (c − 2b + a)x2 + (α + b − 2c)x + β.
Logo,



a=1






b − 2a = 0 ⇒ b = 2


c − 2b + a = −3 ⇒ c = 0





α + b − 2c = 0 ⇒ α = −2




 β=5
Assim,
Q(x) = x2 + 2x e R(x) = −2x + 5.
Números Complexos
Teorema 2.2.1
Simone D. Ramos
17
(Teorema do resto):
d(x) = x − a ⇒ R(x) = D(a).
Em geral, d(x) = ax − b ⇒ R(x) = D(b/a).
Exemplo(s) 2.2.4
: Vamos calcular o resto da divisão de P (x) = x2 − 3x + 1 por:
(a)
x − 1 ⇒ R = P (1) = 1 − 3 + 1 = −1;
(b)
x + 1 ⇒ R = P (−1) = 1 + 3 + 1 = 5;
(c)
2x − 1 ⇒ R = P (1/2) =
Teorema 2.2.2
3
1
1−6+4
1
1
−
+
=
=− .
4/1 2/2 1/4
4
4
(Teorema de DAlembert): D(x) é divisível por x − a se, e somente se, D(a) = 0.
Em geral, D(x) é divisível por ax − b se, e somente se, D( ab ) = 0
Exemplo(s) 2.2.5
: Podemos fatorar D(x) = 3x2 + 7x − 20, ou seja, escrevê-lo como um produto
de polinômios, dividindo D(x) pelo fator x + 4, já que D(−4) = 0. De fato,
3x2 + 7x − 20
−3x2 − 12x
x+4
3x − 5
−5x − 20
5x + 20
0
Logo, D(x) = 3x2 + 7x − 20 = (x + 4)(3x − 5).
O exemplo seguinte exibe um esquema denominado
Dispositivo Prático de Briot-Runi.
Este método simplica os cálculos usados no Método de Descartes para a obtenção do quociente
Q(x) e o resto R da divisão de D(x) por x − a.
Exemplo(s) 2.2.6
seguinte modo:
: A divisão de D(x) = 2x4 − 3x3 + x − 4 por d(x) = x + 2 pode ser efetuada do
Números Complexos
Simone D. Ramos
18
raiz de d(x)
coef. de D(x)
0
1
2
−3
2
−7 14 −27 50
−4
−2
resto
coef. de Q(x)
De fato,
2 × (−2) − 3 = −7 (2o coef.);
−7 × (−2) + 0 = 14 (3o coef.);
14 × (−2) + 1 = −27 (4o coef.);
−27 × (−2) − 4 = 50 (resto).
Logo, Q(x) = 2x3 − 7x2 + 14x − 27 e R = 50.
Em geral: se D(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e d(x) = x − a, o
Dispositivo Prático de
Briot-Runi pode ser ilustrado no seguinte esquema:
bn−1 = an ;
an
an−1
···
a1
a0
bn−1
bn−2
···
b0
R
a
bn−2 = a · bn−1 + an−1;
onde :
resto
coef. de Q(x)
······
b0 = a · b1 + a1 ;
R = a · b0 + a0 .
Números Complexos
Simone D. Ramos
Exercícios
1. Dados os polinômios A(x) = 2x3 − x + 2, B(x) = x2 + x + 1 e C(x) = 3x − 1, calcule:
a) A(x) + B(x);
e) A(x) · B(x);
b) A(x) + C(x) − B(x);
f ) [A(x) + B(x)] · C(x);
c) A(x) · C(x);
g) [A(x) − 2x · B(x)] · [B(x) + C(x)].
d) B(x) · C(x);
2. Sendo P (x) = x3 + 2x − 1, calcule [P (x)]2 .
3. Se A(x) = x2 − 3x, determine:
b) A(2 − x);
a) A(x + 1);
c) [A(x − 1)]2 .
4. Qual é o grau dos polinômios seguintes?
a)
f (x) = 5x3 + 2x;
b)
g(x) = 9x2 + 2 − 3x5 ;
c)
h(x) = 10x + 5;
d)
i(x) = 52;
e)
j(x) = 4x + 10x15 .
5. Dado o polinômio f (x) = 2x3 + 2x2 − 2x + 2, calcule o seu valor numérico para:
a) x = 0; b) x = −1; c) x = 2; d) x = 1/2.
6. Determine o valor de k de modo que os polinômios abaixo tenham uma raiz igual a 1.
a) f (x) = (k + 2)x2 + 5k; b) h(x) = (2k + 1) − kx + (7 + k)x2 .
7. Determine:
a)
o valor de k de modo que 0 seja raiz do polinômio f (x) = 2k − x3 + x + kx2 .
b)
o valor de m, sabendo que i é uma raiz do polinômio A(x) = 2x3 + mx2 + 2x + 3.
8. Determine um polinômio cujas raízes são 2, -1 e 3.
9. Dados os polinômios f (x) = x2 + 1, g(x) = 2x + 3 e h(x) = −x2 + x, calcule:
19
Números Complexos
a)
f (x) + g(x) + h(x);
b)
f (x) − g(x);
c)
h(x) − f (x);
d)
f (x) − g(x) + h(x).
Simone D. Ramos
10. Efetue os seguintes produtos:
a)
(−x3 + 2x2 + 1) · (2x + 3);
b)
(4x2 + 3x + 5) · (−x − 4);
c)
(x3 + 7x) · (−x2 − 2x).
11. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo método da chave:
a)
x3 − 5x2 − 4x + 2 e x − 3;
b)
x5 − 3x2 + 6x − 1 e x2 + x + 1;
c)
x10 + x5 + 1 e x2 + x + 1.
12. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo dispositivo de Briot-Runi:
a)
3x2 − 7x + 3 e x − 2;
b)
9x2 − 33x + 37 e −x + 7;
c)
2x2 + 13x − 27 e x + 6;
d)
2x3 − 7x2 − 2x + 5 por 2x + 1.
13. Determine, sem efetuar a divisão, o resto da divisão de:
a)
x6 − x4 + x2 − 1 por x − 1/2;
b)
x8 + 1 por 2x − 4;
c)
x2 + x + 1 por x + 1.
14. Determine k ∈ R, de modo que:
a)
x3 + 5x2 + kx + 1 seja divisível por x − 1;
b)
2x3 + kx2 − (2k + 1)x − 13k + 3 seja divisível por x + 4;
20
Números Complexos
c)
Simone D. Ramos
21
x142 + k seja divisível por x + 1.
15. Dividindo-se um polinômio P (x) por x − 3, resulta um resto de -7 e um quociente de x − 4.
Qual é P (x)?
16. Calcule a, de modo que dividindo-se f (x) = 4x3 + ax2 − 3x + 4 por x − 2 seja obtido resto 4.
17. Dividindo o polinômio P (x) = x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x), obtemos o quociente
S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz a:
a)
Q(2) = 0;
b)
Q(3) = 0;
c)
Q(0) ̸= 0;
d)
Q(1) ̸= 0;
e)
n.d.a.
18. O polinômio x3 + px + q é divisível por x2 + 2x + 5. Os valores de
a)
2 e 5;
b)
5 e 2;
c)
1 e 5;
d)
1 e -10;
e)
3 e 6.
p e q são respectivamente:
19. Um polinômio f, dividido por x − 1 e x + 3, dá restos -2 e 1, respectivamente. O resto da divisão
de f por (x − 1)(x + 3) é:
a)
b)
c)
d)
e)
5
−3
x− ;
4
4
−3
5
x+ ;
4
4
3
5
x− ;
4
4
3
5
x+ ;
2
2
3
5
x− .
2
2
Números Complexos
Respostas dos Exercícios
1.
a)
2x3 + x2 + 3;
b)
2x3 − x2 + x;
c)
6x4 − 2x3 − 3x2 + 7x − 2;
d)
3x3 + 2x2 + 2x − 1;
e)
2x5 + 2x4 + x3 + x2 + x + 2;
f)
6x4 + x3 − x2 + 9x − 3;
g)
−2x4 − 11x3 − 10x2 + 8x.
2. x6 + 4x4 − 2x3 + 4x2 − 4x + 1.
3.
a)
x2 − x − 2;
b)
x2 − x − 2;
c)
x4 − 10x3 + 33x2 − 40x + 16.
4. a) 3; b) 5; c) 1; d) 0; e) 15.
5. a) 2; b) 4; c) 22; d) 7/4.
6. a) − 1/3;
b) − 4.
7. a) k = 0;
b) m = 3.
8. f (x) = x3 − 4x2 + x + 6.
9. a) 3x + 4; b) x2 − 2x − 2; c) − 2x2 + x − 1; d) − x − 2.
10.
11.
a)
−2x4 + x3 + 6x2 + 2x + 3;
b)
−4x3 − 19x2 − 17x − 20;
c)
−x5 − 2x4 − 7x3 − 14x2 .
a)
Q(x) = x2 − 2x − 10 e R(x) = −28;
b)
Q(x) = x3 − x2 − 2 e R(x) = 8x + 1;
c)
Q(x) = x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1 e R(x) = 0.
Simone D. Ramos
22
Números Complexos
12.
Simone D. Ramos
a)
Q(x) = 3x − 1 e R = 1;
b)
Q(x) = −9x − 30 e R = 247;
c)
Q(x) = 2x + 1 e R(x) = −33;
d)
Q(x) = x2 − 4x + 1 e R = 4.
13. a)
23
−51
; b) 257; c) 1.
64
14. a) k = −7; b) k = 11; c) k = −1.
15. P (x) = x2 − 7x + 5.
16. a =
−13
.
2
17. (d).
18. (d).
19. (a).
Teorema 2.2.3 (divisão por
(x − a)(x − b))
Seja P (x) um polinômio de grau n ≥ 2. P (x) é divisível por (x − a) e por (x − b) com a ̸= b ⇒ P (x)
é divisível por (x − a) · (x − b).
Demonstração:
De fato, P (x) é divisível por (x − a) e por (x − b) ⇒ P (a) = 0 e P (b) = 0 (Teorema
de D'Alembert). Além disso, ∃Q(x) e R(x) = αx + β tais que P (x) ≡ (x − a)(x − b) · Q(x) + R(x).
Assim, temos que:



P (a) = αa + β = 0


a̸=b
⇒ αa − αb = 0 ⇒ α(a − b) = 0 ⇒ α = 0 ⇒ β = 0.
e



 P (b) = αb + β = 0
Então R(x) ≡ 0. Logo, P (x) é divisível por (x − a)(x − b).
Observação 2.2.3
(i)
:
Se P (x) ≡ (x − a)(x − b)Q(x) então o quociente da divisão de P (x) por (x − a) é divisível por
(x − b).
Números Complexos
(ii)
O
teorema
Simone D. Ramos
acima
se
generaliza,
isto
é,
se
P (x)
é
divisível
24
por
(x − α1 ), por (x − α2 ), . . . e por (x − αk ), com α1 , α2 , . . . e αk , distintos dois a dois, então
P (x) é divisível por (x − α1 ) · (x − α2 ) . . . (x − αk ).
Além disso, a recíproca é verdadeira.
Exemplo(s) 2.2.7
: P (x) = x20 + x10 − 2 é divisível por x2 − 1.
De fato, como x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) e P (−1) = P (1) = 0, temos que P (x) é divisível por (x + 1) e
por (x − 1). Logo, P (x) é divisível por (x + 1)(x − 1) = x2 − 1.
Capítulo 3
Equações Polinomiais
3.1 Introdução
Denição 3.1.1
: Uma equação polinomial, ou algébrica, é toda sentença da forma P (x) = 0, onde
P (x) é um polinômio qualquer. O grau do polinômio P (x) é também denominado grau da equação
P (x) = 0.
Exemplo(s) 3.1.1
:
(a)
2x + 5 = 0 (1o grau)
(b)
x3 − 3x2 + 7 = 0 (3o grau)
(c)
x6 + x5 − 4x2 − 1 = 0 (6o grau)
3.2 Rebaixamento do grau de equações polinomiais
Já vimos (Teorema de DAlembert) que A(x) é divisível por x − a ⇔ A(a) = 0. Nesse caso, ∃Q(x)
polinômio tal que A(x) = (x − a) · Q(x). Esta propriedade pode ser útil nas resoluções de equações
polinomiais das quais se conhecem uma ou mais raízes.
Exemplo(s) 3.2.1
: Resolva a equação x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6 = 0 sabendo que 1 e 2 são suas
raízes.
De fato, como P (x) = x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6 é divisível por x − 1 e por x − 2, podemos aplicar o
dispositivo de Briot-Runi:
25
Números Complexos
Simone D. Ramos
1
-5
5
5
-6
1
1
-4
1
6
0
2
1
-2
-3
0
26
x2 − 2x − 3
Assim, P (x) = (x − 1)(x − 2)(x2 − 2x − 3). Então



x−1=0








P (x) = 0 ⇔
x−2=0









 x2 − 2x − 3 = 0
⇒ x=1
ou (raízes dadas)
⇒ x=2
ou
⇒ x = −1 ou x = 3
Logo, S = {−1, 1, 2, 3}.
Observação 3.2.1
: Toda equação polinomial de grau n ≥ 1 possui pelo menos uma raiz complexa
(Teorema Fundamental da Álgebra - Gauss).
Teorema 3.2.1 (da decomposição)
: Todo polinômio P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . +
a1 x + ao com an ̸= 0 pode ser decomposto em n fatores do 1o grau na forma
P (x) = an (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 ) . . . (x − αn )
onde os números complexos α1 , α2 , α3 , . . . , αn são as raízes de P (x). Além disso, sem considerar a
ordem dos fatores, esta decomposição é única.
Demonstração:
De fato, seja P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 . Como n ≥ 1, P (x) possui
pelo menos uma raiz complexa α1 (T.F.A.). Assim, podemos escrever: P (x) = (x − α1 )Q1 (x), onde
Q1 (x) é de grau n − 1 com coeciente dominante an . Como grau de Q1 (x) ≥ 1, podemos novamente
usar o T.F.A. e escrever Q1 (x) = (x − α2 )Q2 (x). Assim, temos:
P (x) = (x − α1 )(x − α2 )Q2 (x).
Números Complexos
Simone D. Ramos
27
De forma análoga, podemos decompor Q2 (x) e os sucessivos quocientes e escrever P (x) na forma
P (x) = (x − α1 )(x − α2 ) · . . . · (x − αn )Qn (x)
onde Qn (x) é de grau zero com coeciente dominante an . Logo, P (x) = an (x−α1 )(x−α2 )·. . .·(x−αn ).
Exemplo(s) 3.2.2
: Se as raízes de P (x) = 2x3 + x2 − 13x + 6 são −3,
decompô-lo na forma:
1
e 2, então podemos
2
1
P (x) = 2(x + 3)(x − )(x − 2)
2
Observação 3.2.2
: As raízes α1 , α2 , . . . , αn de um polinômio de grau n não são necessariamente
distintas. Caso um fator (x − αi ) ocorrra m vezes, dizemos que αi é uma raiz de multiplicidade m.
Se (x − αi ) ocorrer uma única vez, então αi é uma raiz simples.
Exemplo(s) 3.2.3
: Para P (x) = 5(x − 2)(x − 2)(x − 2)(x − 1)(x − 1)(x + 3) temos:
• 2 é uma raiz tripla (ou de multiplicidade 3) de P (x).
• 1 é uma raiz dupla (ou de multiplicidade 2) de P (x).
• -3 é uma raiz simples de P (x).
Teorema 3.2.2 (das raízes conjugadas)
: Sejam P (x) um polinômio de grau n ≥ 2, e de coe-
cientes reais e z um número imaginário.
P (z) = 0 ⇔ P (z) = 0.
Além disso, z e z são raízes com a mesma multiplicidade.
Demonstração:
De fato,
P (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
= an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
= an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
= an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
= P (z)
Exemplo(s) 3.2.4
Números Complexos
(a)
Simone D. Ramos
28
Obtenha um polinômio com coecientes reais, de menor grau possível, que admite -3 e 1+2i
como raízes.
Pelo teorema anterior, P (x) deve admitir no mínimo três raízes: -3, 1+2i e 1-2i. Então,
teremos:
P (x) = a(x + 3)(x − 1 − 2i)(x − 1 + 2i)
= a(x + 3)(x2 − 4x + 5)
= a(x3 − x2 − 7x + 15), onde a ∈ R∗
Logo, por exemplo, P (x) = x3 − x2 − 7x + 15.
(b)
Resolva a equação x4 + 4x3 − 17x2 + 26x − 14 = 0 sabendo que 1-i é uma de suas raízes.
Pelo teorema anterior, se 1-i é uma raiz da equação, então 1+i também será raiz. Assim, temos
x4 + 4x3 − 17x2 + 26x − 14 = (x − 1 + i)Q(x)
Q(x) = x3 + (5 − i)x2 + (−13 − 6i)x + 7 + 7i = (x − 1 − i)(x2 + 6x − 7)
Então,
x4 + 4x3 − 17x2 + 26x − 14 = (x − 1 + i)(x − 1 − i)(x2 + 6x − 7).
Daí,



x−1+i=0








4
3
2
x + 4x − 17x + 26x − 14 = 0 ⇒
x−1−i=0









 x2 + 6x − 7 = 0
⇒ x=1−i
ou
⇒ x=1+i
ou
⇒ x = 1 ou x = −7
Logo,
S = {−7, 1, 1 − i, 1 + i}
3.3 Relações de Girard (entre raízes da equação P (x) = 0 e
seus coecientes)
• Seja a equação ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0) com raízes α1 e α2 . Então
ax2 + bx + c = a(x − α1 )(x − α2 )
⇔ ax2 + bx + c = a[x2 − (α1 + α2 )x + α1 α2 ]
c
b
= x2 − (α1 + α2 )x + α1 α2 .
⇔ x2 + x +
a
a
Números Complexos
Simone D. Ramos
Assim, obtemos: α1 + α2 = −
29
b
c
e α1 α2 =
a
a
• Seja a equação ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ̸= 0) com raízes α1 , α2 e α3 . Então
ax3 + bx2 + cx + d = a(x − α1 )(x − α2 )(x − α3 )
⇔ ax3 + bx2 + cx + d = a[x3 − (α1 + α2 + α3 )x2 + (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 )x − α1 α2 α3 ]
b
c
d
⇔ x3 + x2 + x +
= x3 − (α1 + α2 + α3 )x2 + (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 )x − α1 α2 α3 .
a
a
a
Assim, obtemos:
b
α1 + α2 + α3 = − ,
a
α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 =
c
a
e α1 α2 α3 = −
d
.
a
De forma geral, considere a equação
an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x + a0 = 0 (an ̸= 0)
com raízes α1 , α2 , α3 , . . . , αn . São válidas as seguintes relações (de Girard):
1a ) Soma das raízes:
α1 + α2 + · · · + αn = −
an−1
an
2a ) Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas:
α1 α2 + α1 α3 + · · · + αn−1 αn =
an−2
an
3a ) Soma dos produtos das raízes tomadas três a três:
α1 α2 α3 + α1 α2 α4 + · · · + αn−2 αn−1 αn = −
an−3
an
..
.
na ) Produto das n raízes:
α1 α2 α3 · · · · · αn = (−1)n
Exemplo(s) 3.3.1
(a)
a0
an
:
Resolva a equação x3 − 5x2 + 2x + 8 = 0, sabendo que uma de suas raízes é o dobro da outra.
De fato, pelas relações de Girard, temos:

b=2a

a + b + c = 5 ⇒ 3a + c = 5 ⇒ c = 5 − 3a



1
b=2a
ab + bc + ac = 2 ⇒ 2a2 + 3ac = 2 ⇒ 7a2 − 15a + 2 = 0 ⇒ a = 2 ou a = .

7



abc = −8
Números Complexos
Então, obtemos:


 a=2⇒b=4





 a= 1 ⇒b= 2
7
7
Simone D. Ramos
30
c = −1(satisfazem a 3a relação de Girard)
e
ou
e
c=
32
(não satisfazem a 3a relação de Girard)
7
Logo,
S = {−1, 2, 4}
(b)
Se a, b, c e d são as raízes da equação x4 − 2x3 + 3x2 − 5x + 7 = 0, calcule o valor da expressão
1 1 1 1
E= + + + .
a b c d
De fato, pelas relações de Girard, temos:



a+b+c+d




 ab + ac + ad + bc + bd + cd


abc + abd + acd + bcd





abcd
= 2
= 3
= 5
= 7
Logo,
E=
bcd + acd + abd + abc
5
=
abcd
7
3.4 Exercícios
Nos exercícios de 1 a 3 verique se A(x) é divisível or B(x).
1)
A(x) = (x − 2)10 + (x − 1)8 − 1 e B(x) = (x − 2)(x − 1).
2)
A(x) = x7 − x5 − 12x3 + 5x2 − 20 e B(x) = x2 − 4.
3)
A(x) = x5 + x4 − 6x3 − 3x2 + 5x + 2 e B(x) = (x − 2)(x2 − 1).
4)
Determine m e n para que P (x) = x6 + mx4 + nx3 − 3x − 2 seja divisível por (x + 1)(x − 2).
5)
Seja P (x) = x6 + 2x5 − 4x4 + 2x2 − 2x + 1.
(a)
Verique que P (x) é divisível por (x + 1)(x − 1).
(b)
Obtenha o quociente da divisão de P (x) por x + 1 e verique que esse quociente é divisível
por x − 1.
Números Complexos
6)
Simone D. Ramos
31
Verique que A(x) = 2x5 − 15x3 + 12x2 + 7x − 6 é divisível por (x − 1)(x − 2)(x + 3) e obtenha
o quociente dessa divisão.
Nos exercícios de 7 a 9 verique se A(x) é divisível por B(x).
7)
A(x) = 2x3 − 11x2 + 4x + 5 e B(x) = (x − 1)(x − 5).
8)
A(x) = x51 + x49 + x47 − 3x45 e B(x) = x2 − 1.
9)
A(x) = 2x4 + 5x3 − 5x2 − 20x − 12 e B(x) = (x + 1)(x2 − 4).
10)
Determine m e n para que P (x) = 2x4 + 3x3 + mx2 − nx − 3 seja divisível por (x + 1)(x − 3).
11)
Seja A(x) = 3x3 + ax2 + bx + c. Determine a, b e c sabendo que A(x) é divisível por (x + 2)(x + 3)
e que o resto da divisão de A(x) por x + 1 é -8.
12)
Obtenha o resto da divisão de P (x) = x50 + 2x49 − 3x3 + 2x + 5 por (x − 1)(x + 2).
13)
Os restos das divisões de P (x) por x − 1 e por x − 2 são 3 e 4, respectivamente. Qual é o resto
da divisão de P (x) por (x − 1)(x − 2)?
Nos exercícios de 14 a 24 resolva cada equação nas quais os números αi são raízes conhecidas.
14)
x3 − 12x2 + 41x − 42 = 0,
15)
x3 − 3x2 − 5x + 39 = 0, α1 = −3.
16)
x4 − 2x3 − 13x2 + 14x + 24 = 0, α1 = 4 e α2 = −1.
17)
x4 − 9x3 + 26x2 − 24x = 0,
18)
x4 − 4x3 − 9x2 + 26x − 30 = 0, α1 = 1 + i e α2 = 1 − i.
19)
x3 − x2 − 14x + 24 = 0, α1 = −4.
20)
x3 − 7x2 + 14x − 8 = 0, α1 = 4.
21)
x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6 = 0, α1 = 2 e α2 = −1.
22)
5
2x4 + 3x3 − 17x2 − 30x = 0, α1 = − .
2
23)
x4 − 4x3 − 20x2 − 4x − 21 = 0,
α1 = 2.
α1 = 3.
α1 = i e α2 = −i.
Números Complexos
24)
x4 − 4x3 + 4x2 + 4x − 5 = 0, α1 = 2 + i e α2 = 2 − i.
25)
Dê a multiplicidade de cada raiz de P (x) nos casos:
(b)
1
P (x) = (x + 1)(x + 1)(x + 2)(x + 2)(x + 2).
3
1
P (x) = −4(x − 3)(x + 5)3 (x − )6 .
3
(c)
P (x) = x3 (x − i)(x + i)(x − 7)4 .
(a)
Simone D. Ramos
32
Nos exercícios 26 a 33 decomponha P (x) e resolva a equação P (x) = 0.
26)
P (x) = 3x3 − 16x2 + 23x − 6, sabendo que 3 é uma de suas raízes.
27)
P (x) = 2x4 − 13x3 + 23x2 − 3x − 9, sabendo que 3 é uma raiz dupla de P (x).
28)
P (x) = x4 − 6x3 + 9x2 − 6x + 8, sabendo que i e -i são duas raízes.
29)
P (x) = 5x5 − 33x4 + 76x3 − 64x2 + 16, sabendo que 2 é uma raiz tripla de P (x).
30)
P (x) = x3 − 5x2 − 8x + 48, sabendo que 4 é uma raiz.
31)
P (x) = x4 + 4x3 + 13x2 + 36x + 36, sabendo que -2 é uma raiz dupla.
32)
P (x) = 3x5 − 16x4 + 32x3 − 30x2 + 13x − 2, sabendo que 1 é uma raiz tripla.
33)
P (x) = x4 − 4x3 + 7x3 − 6x + 2, sabendo que 1 + i e 1 − i são raízes.
34)
Dê a multiplicidade de cada raiz de A(x) nos seguintes casos:
(a)
35)
(b)
A(x) = −3(x − 2)(x − 2)(x − 2)(x + 7)(x + 7)(x + 10)
√
√
A(x) = 2(x + 1)(x − 3)4 (x + 4)3 .
(c)
3
A(x) = x2 (x − )5 (x + 5)6 .
2
O número 2 é uma raiz da equação x5 −6x4 +17x3 −38x2 +60x−40 = 0. Qual é a multiplicidade
dessa raiz?
36)
Qual é o menor grau de um polinômio de coecientes reais que admite:
(a)
2, 1+i e 3-2i como raízes?
(b)
-2, i e 1+2i como raízes de multiplicidades 3, 1 e 2, respectivamente?
Números Complexos
37)
Simone D. Ramos
33
Dado um polinômio A(x), de grau ímpar e de coecientes reais, é possível concluir que A(x)
possui ao menos uma raiz real?
38)
Resolva x4 + 3x3 − 6x2 + 12x − 40 = 0 sabendo que 2i é uma de suas raízes.
39)
Resolva x6 − 2x5 + 3x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 = 0 sabendo que i é uma raiz dupla.
40)
Dada a equação x3 − x2 + mx + n = 0 determine os reais m e n de modo que 1+i seja uma de
suas raízes e dê o seu conjunto-solução.
41)
Determine um polinômio P (x), de coecientes reais e de grau mínimo, que possua 1 e 3+2i
como raízes.
42)
Qual é o menor grau de um polinômio de coecientes reais que admite:
(a)
-3, 2 e 4+i como raízes?
(b)
i, 1-i e 1 como raízes de multiplicidade 2, 1 e 3, respectivamente?
43)
Existe algum polinômio de 3o grau com coecientes reais, que tenha 2, 3 e i como raízes?
44)
Resolva a equação x4 − 4x3 + 9x2 − 16x + 20 = 0 sabendo que 2+i é uma de suas raízes.
45)
Determine a, b e o conjunto-solução da equação 2x3 + ax2 + bx − 27 = 0, sabendo que 3i é uma
de suas raízes e que a e b são reais.
46)
Escreva um polinômio de coecientes reais e de grau mínimo que possua:
(a)
2, -3 e i como raízes.
(b)
-1 e i como raízes tripla e dupla, respectivamente.
47)
Resolva a equação x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0 sabendo que ela possui duas raízes opostas.
48)
Resolva a equação 2x3 + x2 − 13x + 6 = 0 sabendo que ela possui duas raízes inversas.
49)
Resolva a equação x3 − 6x2 + mx + 10 = 0 e encontre o valor de m sabendo que suas raízes estão
em P.A.
50)
Sejam a, b e c as raízes da equação x3 − 4x2 + 6x − 2 = 0. Calcule o valor de:
(a)
1 1 1
+ +
a b c
Números Complexos
(b)
1
1
1
+
+
ab ac bc
(c)
a2 + b2 + c2
Simone D. Ramos
34
51)
Resolva a equação x3 − 4x2 − 3x + 18 = 0 sabendo que ela admite uma raiz dupla.
52)
Resolva a equação x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 sabendo que uma de suas raízes é o triplo de uma
outra.
53)
Resolva a equação 2x4 + 25x3 + 108x2 + 176x + 64 = 0 sabendo que ela admite uma raiz tripla.
Nos exercícios 54 a 58 resolva as equações a partir das informações dadas sobre suas raízes.
54)
x3 − 4x2 + x + 6 = 0. Uma das raízes é igual à soma das outras duas.
55)
x3 − 11x2 + 36x − 36 = 0. Uma das raízes é igual ao produto das outras duas.
56)
x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0. Duas raízes são simétricas.
57)
x3 − 9x2 + 24x − 20 = 0. Há uma raiz dupla.
58)
64x3 − 56x2 + 14x − 1 = 0. As raízes estão em P.G.
59)
Dê a soma dos produtos distintos das raízes tomadas três a três,
da equação
6x5 − 8x4 − 3x3 − x2 + 5x − 1 = 0.
60)
Determine m em cada uma das equações seguintes, de modo que quem satisfeitas as condições
indicadas:
(a)
x3 − 7x + m = 0, tenha uma raiz igual ao dobro da outra;
(b)
x3 − x2 + mx + 21 = 0, tenha a soma de duas de suas raízes igual a 4;
(c)
2x3 − 21x2 + mx − 16 = 0, tenha suas raízes em P.G.
3.5 Respostas dos Exercícios
1. Sim
2. Sim
3. Sim
Números Complexos
Simone D. Ramos
4. m = −3 e n = −1
5. a) Q(x) = x5 + x4 − 5x3 + 5x2 ;
6. Q(x) = 2x2 − 1
7. Sim
8. Sim
9. Sim
10. m = −19 e n = 23
11. a = 14; b = 13 e c = −6.
12. R(x) = −6x + 13
13. R(x) = x + 2
14. S = {2, 3, 7}
15. S = {−3, 3 − 2i, 3 + 2i}
16. S = {−3, −1, 2, 4}
17. S = {0, 2, 3, 4}
18. S = {1 − i, 1 + i, −3, 5}
19. S = {−4, 2, 3}
20. S = {1, 2, 4}
21. S = {−1, 1, 2, 3}
22. S = {− 52 , −2, 0, 3}
23. S = {−i, i, −3, 7}
24. S = {2 − i, 2 + i, −1, 1}
b)
Q(x)
= x4 + 2x3 − 3x2 + 2x − 1.
x−1
35
Números Complexos
Simone D. Ramos
25. (a) -1 é raiz dupla e -2 é raiz tripla; (b) 3 é raiz simples, -5 é raiz tripla e
1
3
36
é raiz sêxtupla;
(c) 0 é raiz tripla, i e -i são raízes simples e 7 é raiz quádrupla.
26. P (x) = 3(x − 3)(x − 2)(x − 1/3) e S = {3, 2, 1/3}
27. P (x) = 2(x − 3)2 (x − 1)(x + 1/2) e S = {3, 1, −1/2}
28. P (x) = (x − i)(x + i)(x − 4)(x − 2) e S = {i, −i, 4, 2}
29. P (x) = 5(x − 2)3 (x − 1)(x + 2/5) e S = {2, 1, −2/5}
30. P (x) = (x − 4)2 (x + 3) e S = {−3, 4}
31. P (x) = (x + 2)2 (x − 3i)(x + 3i) e S = {−2, −3i, 3i}
32. P (x) = 3(x − 1)3 (x − 2)(x − 1/3) e S = {1, 2, 1/3}
33. P (x) = (x − 1)2 (x − 1 − i)(x − 1 + i) e S = {1, 1 + i, 1 − i}
34. (a) 2 é raiz tripla, -7 é raiz dupla e -10 é raiz simples; (b) -1 é raiz simples,
√
3 é raiz quádrupla
e -4 é raiz tripla; (c) 0 é raiz dupla, 3/2 é raiz quíntupla e -5 é raiz sêxtupla.
35. Multiplicidade 3
36. (a ) 5o grau; (b) 9o grau
37. Sim
38. S = {−2i, 2i, −5, 2}
39. S = {−i, i, 1}
40. m = 0, n = 2 e S = {1 + i, 1 − i, −1}
41. P (x) = x3 − 7x2 + 19x − 13
42. (a) 4o grau; (b) 9o grau.
43. Não
44. S = {2 + i, 2 − i, 2i, −2i}
45. a = −3, b = 18 e S = {−3i, 3i, 3/2}
Números Complexos
Simone D. Ramos
46. (a) x4 + x3 − 5x2 + x − 6; (b) x7 + 3x6 + 5x5 + 7x4 + 7x3 + 5x2 + 3x + 1
47. S = {−2, 2, 3}
48. S = {−3, 1/2, 2}
49. m = 3 e S = {−1, 2, 5}
50. (a) 3; (b) 2; (c) 4.
51. S = {−2, 3}
52. S = {−2, 1, 3}
53. S = {−1/2, −4}
54. S = {−1, 2, 3}
55. S = {2, 3, 6}
56. S = {−2, 2, 3}
57. S = {2, 5}
58. S = {1/2, 1/4, 1/8}
59. 1/6
60. (a) m = ±6; (b) m = −5; (c) m = 42.
37