as leis de kepler

AS LEIS DE KEPLER
A LEI DA GRAVITAÇÃO
UNIVERSAL
Um pouco de História
Grécia antiga: Determinação da diferença entre as estrelas fixas e
errantes (planetas)
Primeiros modelos planetários explicando o movimento celeste
Cláudio Ptolomeu (100-170) criou o modelo predominante por
séculos, baseando-se na trajetória de alguns planetas, desenvolveu
um sistema geocêntrico (Terra no centro do sistema solar) com
deferentes e epiciclos para explicar as “laçadas”.
Ptolomeu apresentou seu modelo na sua obra-prima Almagesto,
onde estava também catalogada 49 constelações, incluindo as doze
constelações do Zodíaco
Um pouco de História
Depois do modelo Ptolomaico, o modelo de maior destaque foi o de
Nicolau Copérnico (1473-1543), que construiu um modelo
heliocêntrico (Sol no centro) do sistema solar.
Entretanto o modelo de Copérnico não foi aceito imediatamente,
pois era diferente do pensamento dominante da época
Um dos seus opositores era o astrônomo Tycho Brahe (1546-1601),
que fez um grande trabalho observando as órbitas dos planetas, em
especial de Marte.
Um pouco de História
Utilizando as anotações de Brahe, o seu discípulo Johannes Kepler
conseguiu estabelecer três Leis básicas que regem os movimentos
planetários, as chamas hoje Leis de Kepler.
Vale notar que elas são leis empíricas, isto é, obtidas a partir da
observação pura.
Com essas Leis, ele confirmou a teoria heliocêntrica de Copérnico
A PRIMEIRA LEI DE KEPLER (LEI DAS ÓRBITAS)
• As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses
nos quais ele ocupa um dos focos
A SEGUNDA LEI DE KEPLER (LEI DAS ÁREAS)
• A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha
imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente
proporcional ao tempo gasto para descrevê-la
A2
A1
A TERCEIRA LEI DE KEPLER (LEI DOS PERÍODOS)
• O quadrado do período da velocidade de revolução
de um planeta em torno do Sol é diretamente
proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse
orbital
2
𝑻
𝑻 =𝒌∗𝑹 → 3 =𝒌
𝑹
2
3
Mas porque o sistema solar é assim???
Leis de Kepler: empíricas, baseadas na observação
Não havia embasamento teórico na época da sua criação que
sustentasse as leis
Desde o momento em que foram escritas, vários cientistas tentaram
explica-las. Coube ao inglês Isaac Newton (1642-1727) dar a resposta
final e demonstrá-las teoricamente.
Na sua obra prima Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,
Newton demonstrou as Leis de Kepler utilizando os conceitos de
movimento conhecidas hoje como Leis de Newton, juntamente com o
auxílio de uma nova linguagem matemática criada por ele, o Cálculo
Diferencial e Integral.
IMPLICAÇÕES DO SEU TRABALHO
Newton determinou que os corpos orbitam o Sol devido à uma força
de atuação à distância que decaia com o quadrado da separação
entre eles e dependia das suas massas.
Essa força chamada por ele de Força Gravitacional era também a
responsável por fazer com que os objetos na Terra caiam na sua
superfície, bem como pela translação da Lua em volta da Terra.
Foi a primeira grande unificação da Física, pois juntou as Leis Celestes
e Terrestres, que eram vistas como coisas diferentes.
Com seu trabalho, Newton iniciou uma nova era na Física, tanto em
termos de compreensão como aplicação científica.
A LEI DA GRAVITAÇÃO UINIVERSAL
• Dois corpos materiais se atraem mutuamente com forças que têm a
direção da reta que os une e cuja intensidades são diretamente
proporcionais ao produto de suas massas e inversamente
proporcionais ao quadrado da distância que os separa.
𝑮∗𝑴∗𝒎
𝑭=
𝒅²
A LEI DA GRAVITAÇÃO UINIVERSAL
• G = constante da gravitação universal
m1
F
F
m2
• Note que a força é igual para os dois corpos, mesmo que um seja mais
massivo que o outro
d
O SISTEMA SOLAR EXPLICADO
• O Sol contém cerca de 99, 85% de toda a massa do Sistema Solar,
fazendo-o de longe o objeto mais massivo nas redondezas. Dessa
forma, todos os planetas e objetos no sistema solar são atraídos em
sua direção.
• Quanto mais perto do Sol, maior a força da gravidade. Isso faz com
que os corpos mais perto orbitem mais rápido, e vice-versa.
• Como a força da gravidade é central e decai com o quadrado das
distâncias, as órbitas são planas e elípticas.
• Já que todas as órbitas são devidas à gravidade, a periodicidade e
constância das 2ª e 3ª Leis de Kepler derivam dessa característica e
podem então ser deduzidas
DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER
• A segunda lei de Kepler diz que um planeta orbitando o sol varre
áreas iguais em tempos iguais. Matematicamente:
∆𝐴
∆𝑡
= 𝑐, onde c é uma constante
• Primeiramente, vamos mostrar que um corpo orbitando outro pela
força da gravidade tem momento angular constante. (Na realidade,
toda força central tem essa característica, como a força elétrica por
exemplo).
• Partindo da definição do momento angular, teremos que:
DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER
• Momento angular 𝑳 = 𝒓 𝒙 𝒑, onde r é o raio da órbita e p o momento
linear dado por 𝒑 = 𝒎𝒗, assim 𝑳 = 𝒓 𝒙 𝒎𝒗
• Já que temos um produto vetorial, a direção de L é perpendicular
tanto à velocidade v quanto ao raio r, e seu módulo é o produto dos
módulos dos dois vetores com o seno do ângulo entre eles:
• 𝐿 = 𝑟 𝑥 𝑚𝑣  𝐿 = 𝑟𝑚𝑣 sin 𝛼
• Para que o momento linear seja constante, sua variação com o tempo
∆𝐿
∆𝐿
∆(𝑟𝑥𝑝)
∆𝑟
∆𝑝
precisa ser zero, assim: = 0  =
=
𝑥𝑝+
𝑥𝑟
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
• Agora, vamos analisar essas variações com calma para continuar
DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER
•
•
•
∆𝑟
é a variação de r com o tempo. Essa é a definição de velocidade, portanto
∆𝑡
∆𝑝
é a variação do momento com o tempo, sendo 𝑝 = 𝑚𝑣,
∆𝑡
∆𝑝
∆𝑣
∆𝑣
∆𝑝
= 𝑚 , já que m é constante. Mas = 𝑎, assim = 𝑚 ∗ 𝑎 = 𝐹
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
temos que
∆𝑟
∆𝑡
=𝑣
• Essa é a definição de força dada por Newton, a variação do momento com o tempo. Substituindo o que sabemos,
temos então:
•
∆𝐿
∆𝑡
=
∆𝑟
∆𝑡
𝑥𝑝+
∆𝑝
∆𝑡
𝑥𝑟
∆𝐿
∆𝑡
=𝑣𝑥𝑝+𝐹𝑥𝑟
• Temos dois produtos vetoriais, mas por definição o produto vetorial de grandezas com o mesmo sentido é zero. A
velocidade é sempre paralela ao momento linear, portanto 𝑣 𝑥 𝑝 = 0
• A definição da força gravitacional diz que a atração é na direção da reta que une os corpos, ou seja, F e r são
paralelos. Assim: 𝐹 𝑥 𝑟 = 0
∆𝐿
• Finalmente, chegamos que = 0 + 0 = 0. Já que a variação de L é zero, L é constante, que é o que queríamos
∆𝑡
mostrar.
DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER
• A área descrita pela reta r unindo os pontos P a F, quando ele vai até Q, é
aproximadamente a área um triângulo de𝑟∗𝑟∆𝜃
base r e altura 𝑟∆𝜃 para uma variação
pequena no ângulo, de forma que ∆A =
2
∆A
𝑟²∆𝜃
A variação dessa área num certo tempo é dada então por =
∆𝑡
∆𝑡∗2
• Lembrando da definição do momento angular, temos que:
𝐿 = 𝑟 𝑥 𝑚𝑣  𝐿 = 𝑟𝑚𝑣𝑡 , onde 𝑣𝑡 será a velocidade perpendicular a r. Para o intervalo ∆𝑡,
admitindo que seja bem pequeno, 𝑣𝑡 pode ser o pedaço da órbita percorrida nesse tempo,
compreendida pelo arco r∆𝜃. Sendo assim:
𝐿 = 𝑟𝑚𝑣  𝐿 = 𝑚𝑟² ∆𝜃 ∆𝑡 que pode ser rearranjado para
∆𝜃
𝑟²
∆𝑡
=
𝐿
𝑚
DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER
• Vamos comparar a última expressão obtida com a variação da área
com o tempo:
∆A
𝑟²∆𝜃
𝑟²∆𝜃
𝐿
∆A
L
=
e
= , podemos ver que
=
∆𝑡
∆𝑡∗2
∆𝑡
𝑚
∆𝑡
2𝑚
Mas nós sabemos que m e L são constantes, portanto temos que para
quaisquer variações iguais na área varrida pelo planeta durante sua
órbita, o tempo necessário será sempre o mesmo, provando assim a
segunda lei de Kepler!!
𝐋
∆𝐀 =
∗ ∆𝐭
𝟐𝐦
DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER
• Algumas considerações:
1. A dedução correta da segunda Lei de Kepler é feita apenas com a
aplicação do cálculo diferencial e integral, nós apenas chegamos a um
valor aproximado. Nesta situação, todas as variações são infinitesimais, e
o resultado final é integrado para toda a órbita
2. Para chegar na segunda lei, sabíamos que a órbita era uma elipse. Esse
fato, que é dado pela 1ª Lei, pode ser deduzido a partir da prova de que
a força gravitacional é central, depende do inverso do quadrado da
distância e que a energia do movimento é negativa, a qual não será feita
aqui pela dificuldade matemática envolvida.
3. Nem todos os corpos orbitando o Sol o fazem numa elipse. Cometas por
exemplo executam um movimento na forma de hipérbole e necessitam
de outra análise do seu movimento
DEDUÇÃO DA TERCEIRA LEI DE KEPLER
• A Terceira Lei de Kepler diz que o período orbital de um planeta ao
quadrado é proporcional à sua distância média ao cubo.
• Para deduzir essa lei, consideraremos a órbita dos planetas circular.
Podemos fazer isso pois, embora seja uma elipse, sua excentricidade
é muito pequena.
• Começaremos analisando um planeta em torno do Sol como uma
partícula que executa um movimento circular uniforme com raio r e
velocidade angular ω. A força centrípeta que mantém o planeta na
órbita é a força gravitacional entre ele e o Sol. Temos assim então:
DEDUÇÃO DA TERCEIRA LEI DE KEPLER
2
• 𝐹𝑐 = 𝑚𝜔 𝑟, sendo que 𝜔 =
2𝜋
,
𝑇
onde T é o período de revolução.
• Substituindo a velocidade angular na expressão da força centrípeta:
• 𝐹𝑐 =
𝑚𝜔2 𝑟
→ 𝐹𝑐 = 𝑚
2𝜋 2
𝑟
𝑇
=
4𝜋2
𝑚
𝑟
𝑇²
• Essa é portanto a força centrípeta que liga o planeta ao Sol. Agora,
sabemos que essa é também a força de atração gravitacional entre eles.
Assim, sendo M a massa do Sol, m a massa do planeta e r a distância entre
eles, a lei da gravitação universal será:
• 𝐹𝑔 =
𝑀∗𝑚
𝑚²
𝐺
, onde G é a constante da gravitação universal G = 6,67 ∗ 10−11 𝑁 𝑘𝑔²
𝑟²
DEDUÇÃO DA TERCEIRA LEI DE KEPLER
• Já que a força da gravidade é a força centrípeta, temos a igualdade:
• 𝐹𝑐 = 𝐹𝑔 
4𝜋2
𝑚
𝑟
𝑇²
=𝐺
𝑀∗𝑚
𝑟²
• Cortando as massas m que aparecem dos dois lados e explicitando o período
orbital, temos que:
4𝜋²
2
𝑇 =
∗ 𝑟³
𝐺𝑀
4𝜋²
Note que
é uma constante, pois as variáveis G e M são a constante da
𝐺𝑀
gravitação universal e a massa do Sol, respectivamente. Portanto chamando
k=
4𝜋²
,
𝐺𝑀
temos que 𝑇 2 = 𝑘 ∗ 𝑟³, que é a terceira lei de Kepler!!