Ao pesquisar diversas fontes históricas sobre Números Complexos

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Ao pesquisar diversas fontes históricas sobre Números Complexos, constatamos
que estes surgiram ao se tentar resolver equações de 3o e 4o graus.
Neste relato, apresentarei um resumo das principais fases históricas do surgimento
desses números.
O matemático, médico e físico Gerônimo Cardano (1501 – 1576), escreveu a sua
obra Ars Magna, onde aparece pela primeira vez a fórmula da resolução de equações
cúbicas : se x3 + ax + b = 0, então
X = 3√- b + √a3 + b2
2
27
+
4
√- b - √a3 + b2
3
2
27
4
O algebrista italiano Rafael Bombelli (1526 – 1573), em seu livro chamado
Álgebra, publicou a resolução da equação x3 – 15x – 4 = 0 aplicando a fórmula acima e
obteve:
X = 3√2 + √-121 +
√2 - √-121
3
Mas na época os matemáticos não aceitavam a existência de raiz quadrada de
número negativo. No entanto Bombelli observou que por substituição, 4 (quatro) era uma
das raízes da equação x3 –15x – 4 = 0 . Depois de muitas tentativas de resolução dessa
equação, Bombelli utilizou √-121 como ferramenta de cálculo.
O matemático Albert Girard (1590 – 1633) escrevia as raízes quadradas de números
negativos na forma a + b√-1
O filósofo, matemático e físico René Descartes (1596 – 1650) passou a chamar a
notação a + b√-1, a de parte real e b de imaginário.
O matemático Leonhard Euler (1707 –1783) usa a letra i para representar √-1.
Caspar Wessel matemático norueguês, em 1797 apresentou a representação
geométrica de a + bi.
Em 1832, o astrônomo, matemático e físico alemão Karl Friedrich Gauss passou a
chamar os números da forma a + bi de Números Complexos, representando-os como
pontos de um plano como notação (a,b):
y
b
(a,b)
a
x
O matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1833 apresentou um trabalho
dando a regra da multiplicação que é feita até hoje.
Hoje além dos números complexos serem úteis à matemática, têm grande aplicação
na Física e na Engenharia.
Define-se como sendo Números Complexos, todo número que pode ser escrito na
forma:
Z = a + bi
Em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária.
O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária
do número complexo z, indica-se por:
A = Re(z) ; b = Im(z)
O conjunto dos números complexos é representado pela letra C e como todo número
real x pode ser escrito na forma Z = x + yi, onde y = 0, então o conjunto dos Números Reais
(R) está contido no conjunto dos números complexos ( C ).
As operações básicas com Números Complexos são: adição, subtração,
multiplicação e divisão.
Sendo z = a + bi e w = c + di
Adição:
Z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Exemplo: Se z = 2 + 3i e w = 4 – 6i então z + w = (2 + 3i) + (4 – 6i) = 6 – 3i
Subtração:
Z – w = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Exemplo: Se z = 3 – 2i e w = 5 + 8i
então z – w = (3 – 2i) – (5 + 8i) = -2 – 10i
Multiplicação:
z.w = (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 como i2 = -1 temos
(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Exemplo: Se z = 5 – 2i e w = -3 + i então
z.w = (5- 2i) . (-3 + i) = -13 + 11i
Divisão: Sejam os números complexos z e w com w ≠ 0.
Efetua-se a divisão de z por w, escrevendo z/w e multiplicando o numerador e o
denominador dessa fração pelo conjugado do denominador.
Z = z.w
W w.w
Se w = c + di seu conjugado obten-se conservando a parte real e trocando-se o sinal
da parte imaginária, isto é, w = c – di
Exemplo: se z = 7 + 2i e w = 4 – 9i então
Z = 7 + 2i = (7 + 2i) .(4 + 9i) = 28 + 63i + 8i + 18i2 = 28 + 63i + 8i – 18
W 4 – 9i (4 – 9i) .(4 + 9i)
42 – 92i2
16 - 18
= 10 + 71i = 10 + 71 i
97
97
97
Potenciação: (expoente inteiro)
Para obter as potências de i, devemos observar que:
i1 = i
i2 = -1
i3 = i.i2 = -i
i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1
Exemplos: Calcular
i5, i6, i7, i8, i21, i50, i83, i100
i5 = i.i4 = i.1 = i
i6 = i2.i4 = (-1).1 = -1
i7 = i3.i4 = -i.1 = -i
i8 = i4.i4 = 1.1 = 1
i21 = i.i20 = i.(i4)5 = i.15 = i
i50 = i2.i48 = -1.(i4)12 = -1.112 = -1
i83 = i3.i80 = -i.(i4)20 = -i.120 = -i
i100 = (i4)25 = i25 = 1
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