TEORIA ANALÍTICA DOS NÚMEROS IMPA

TEORIA ANALÍTICA DOS NÚMEROS
IMPA - VERÃO 2015
INSTRUTOR: EMANUEL CARNEIRO
Prova 2 - 26/02/2015 - Duração: 4h
Parte 1 - V ou F [10 pontos]
Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) em cada afirmativa abaixo. Não é necessário justificar sua resposta. Cada resposta correta vale +1 ponto. Cada resposta
incorreta vale −1 ponto. Você pode deixar alguns itens em branco se desejar (naturalmente, estes valem 0 ponto).
(
) Para quase todo x > 1 (com respeito à medida de Lebesgue em (1, ∞)), a
sequência {xn ; n = 1, 2, 3, . . .} é equidistribuída.
√
7. A sequência {αn ; n = 1, 2, 3, . . .} é equidistribuída.
(
) Seja α = 2 +
(
) Seja {ξn ; n = 1, 2, 3, . . .} um sequência de números reais. Suponha que
N
1 X
1
{ξn }m =
N →∞ N
m+1
n=1
lim
para todo m = 1, 2, . . ., onde {x} = x − bxc denota a parte fracionária de x (e
portanto 0 ≤ {x} < 1). Então {ξn ; n = 1, 2, 3, . . .} é equidistribuída em R/Z.
(
) Existe uma sequência {ξn ; n = 1, 2, 3, . . .} em R/Z tal que sua discrepância
)
( N
X
(∞)
ψ(ξn − y) : y ∈ R/Z
∆ (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN ) = sup n=1
satisfaz
∆(∞) (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN ) log log N.
×
( ) Seja G = Z/36Z o grupo multiplicativo dos elementos invertíveis módulo
b = 12.
b = Hom(G, C× ) o seu grupo de caracteres. Então |G|
36. Seja G
(
) Não existe caráter de Dirichlet primitivo módulo 18.
Date: 27 de fevereiro de 2015.
2000 Mathematics Subject Classification. XX-XXX.
Key words and phrases. XXX-XXX.
1
2
EMANUEL CARNEIRO
(
) Seja χ um caráter de Dirichlet primitivo, não-principal, módulo 36. Então,
para quaisquer M ≥ 0, N ≥ 1, temos
+N
MX
χ(n) ≤ 6.
n=M +1
( ) Seja χ um caráter de Dirichlet primitivo, não-principal, módulo 2017. Então,
para quaisquer M ≥ 0, N ≥ 1, temos
M +N
X
χ(n) ≤ 350.
n=M +1
(Nota: 2017 é primo e log 2017 ∼ 7.61).
(
) Se N (T ) é a função que conta os zeros não-triviais de ζ(s) com ordenadas
entre 0 e T , então:
N (T 2 + T ) − N (T 2 ) ≤ N (3T ) − N (T )
para T suficientemente grande.
( ) Existe uma constante universal C tal que se ρ = σ + iγ é um zero não-trivial
de ζ(s) então:
C
σ ≤1−
.
log |γ|
Parte II - Problemas [25 pontos]
Problema 1 [5 pontos]. A desigualdade de Erdös-Turán estabelece, para N, M
inteiros positivos:
M
N
X
N
1 X
(∞)
∆ (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN ) +
e(mξn ) .
M
m
m=1
n=1
Sejam a1 , a2 , . . . , aN inteiros positivos distintos. Mostre que existe α ∈ R/Z tal
que:
√
∆(∞) (αa1 , αa2 , . . . , αaN ) N log N.
Problema 2 [5 pontos]. Para cada n ∈ N, seja G(n) o número de caracteres de
Dirichlet primitivos módulo n.
(i) No semi-plano <(s) > 2 mostre que
∞
ζ(s − 1) X
=
G(n)n−s .
ζ(s)2
n=1
(ii) Encontre uma fórmula fechada para G(n).
(iii) Quanto vale G(2014)? Quanto vale G(2015)?
Problema 3 [5 pontos]. Encontre uma expressão assintótica (termo principal e
termo de erro, o mais refinado que você puder) para a soma:
X
F (x) =
(log p)2 .
p≤x
p primo
Se assumirmos a Hipótese de Riemann, o que mais podemos dizer sobre esta soma?
PROVA 1
3
Problema 4 [5 pontos]. Seja
ψ(x) =
X
Λ(x)
n≤x
Mostre que a Hipótese de Riemann é equivalente à estimativa:
ψ(x) = x + O x1/2 log2 x .
Nota: Você pode usar, sem demonstrar novamente, a seguinte estimativa provada
no curso via a fórmula de Perron: para x ≥ 2 inteiro, e T ≥ 3 vale
X xρ
ζ 0 (0) 1
ψ0 (x) = x −
−
− log(1 − x−2 ) + R(x, T )
ρ
ζ(0)
2
|γ|<T
onde ψ0 (x) = ψ(x) se x não for potência de primo, ψ0 (x) = ψ(x) − 12 Λ(x) se x for
potência de primo, e o resto R(x, T ) satisfaz
x log2 (xT )
.
T
Problema 5 [5 pontos]. Seja A = (αmn ) uma matriz M × N com entradas reais
e sejam Q1 , Q2 , . . . , QN inteiros positivos. Sejam 0 < εm ≤ 12 números reais, onde
m = 1, 2, . . . , M . Prove que se
|R(x, T )| 1 ≤ ε1 ε2 . . . εM (Q1 + 1)(Q2 + 1) . . . (QN + 1),
então existe ξ 6= 0 em ZN (ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN )) tal que
|ξn | ≤ Qn
e
para n = 1, 2, . . . , N,
N
X
αmn ξn ≤ εm
para m = 1, 2, . . . , M.
n=1
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