Bienal_Minicurso_CAPA_Teoria dos Números Transcendentes

TEORIA DOS NÚMEROS
TRANSCENDENTES:
DO TEOREMA DE LIOUVILLE À
CONJECTURA DE SCHANUEL
ANNA CAROLINA LAFETÁ
ELAINE SILVA
JEAN LELIS
TEORIA DOS NÚMEROS
TRANSCENDENTES:
DO TEOREMA DE LIOUVILLE À
CONJECTURA DE SCHANUEL
TEORIA DOS NÚMEROS
TRANSCENDENTES:
DO TEOREMA DE LIOUVILLE À
CONJECTURA DE SCHANUEL
ANNA CAROLINA LAFETÁ
ELAINE SILVA
JEAN LELIS
1a edição
2016
Rio de Janeiro
e Janeiro - RJ - IMPA/UFRJ - VIII Bienal da Sociedade Brasileira de Mateamática - Rio de Janeiro - RJ - IMPA/UFRJ - VIII Bienal da Sociedade
Sumário
1
2
3
Números algébricos e transcendentes
1.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Algumas propriedades dos números algébricos e dos números transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Números de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Teorema de Liouville e a demonstração da transcendência
1.3.2 Algumas curiosidades e resultados recentes sobre os números de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A transcendência de e
2.1 A série ex . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Prova da transcendência . . . . . . . . . . .
2.3 A constante e não é um número de Liouville
2.4 A Identidade de Euler . . . . . . . . . . . .
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A Conjectura de Schanuel e os teoremas clássicos
3.1 O Teorema de Hermite-Lindemann . . . . . . .
3.2 O Teorema de Gelfond-Schneider . . . . . . .
3.3 O Teorema de Baker . . . . . . . . . . . . . .
3.4 A Conjectura de Schanuel . . . . . . . . . . .
3
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3
3
4
5
5
7
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9
9
10
13
16
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17
17
19
20
21
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4
SUMÁRIO
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Prefácio
Um número α é dito algébrico se é raiz de algum polinômio não nulo com coeficientes inteiros. Caso contrário, dizemos que α é um número transcendente. A
definição de número transcendente é do século XVIII e, segundo Euler, esses números são chamados transcendentes porque “transcendem"o poder das operações
algébricas. Contudo, apenas um século depois, verificou-se sua existência, quando,
em 1844, Liouville apresentou os primeiros exemplos. Para provar a existência
desses números, Liouville teve a seguinte idéia: ele encontrou uma propriedade
que era satisfeita por todos os números algébricos (reais e irracionais) e assim um
número que não satisfizesse tal propriedade seria, necessariamente, transcendente.
Tal resultado, chamado Teorema de Liouville, foi utilizado para provar a transcendência dos números que hoje são conhecidos como números de Liouville. Esse é o
primeiro grande resultado em Teoria dos Números Transcendentes e, sem dúvida,
um grande avanço na área.
Alguns anos mais tarde, em 1874, Cantor provou a enumerabilidade do conjunto dos números algébricos, e isso tem como consequência não só a existência
de números transcendentes, como também a não enumerabilidade do conjunto que
eles constituem. Intuitivamente falando, isso quer dizer que o conjunto dos números transcendentes é maior, em um certo ponto de vista, do que o conjunto dos
números algébricos. Daí surge uma questão importante: Se o conjunto dos números transcendentes é tão grande, por que levou tanto tempo para se provar a
existência de tais números?.
Veremos que perguntas muito simples sobre transcendência podem se mostrar
problemas extremamente difíceis e muitos deles desafiam o intelecto de grandes
matemáticos até a atualidade.
Os números e e π são exemplos clássicos de números transcendentes. O primeiro teve sua transcendência provada em 1873, por Hermite, que fez uso da poderosa série de Taylor da função ex . Alguns anos depois, em 1884, Lindemann
estendeu o método de Hermite para provar que eα é transcendente, sempre que α é
algébrico não nulo. A consequência mais importante do Teorema de Lindemann é
a transcendência de π, para tal conclusão Lindemann usou a belíssima identidade
de Euler. Vale ressaltar que, apesar disso, ainda hoje não sabemos se e + π ou
eπ são transcendentes, dentre outros números cuja transcendência aparentam ser
naturais.
Na verdade, conjectura-se que e e π são algebricamente independentes. Tal
1
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2
SUMÁRIO
conjectura implica a transcendência de ambos os números acima, porém acreditase que vale um resultado muito mais forte, a Conjectura de Schanuel, enunciada
em [5], em 1966. A conjectura de Schanuel afirma que dados x1 , . . . , xn números
complexos linearmente independentes sobre Q, existem pelo menos n números algebricamente independentes dentre, x1 , . . . , xn , ex1 , . . . , exn . Como consequência
imediata dessa conjectura, temos a independência algébrica de e e π, a transcendência de e + π, eπ, ee , π π , π e , e também generalizações para os importantes
teoremas de Hermite-Lindemann, Gelfond-Schneider e Baker.
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Capítulo 1
Números algébricos e
transcendentes
Por: Elaine Cristine de Souza Silva.
Neste capítulo, definiremos números algébricos e números transcendentes, mostraremos algumas propriedades desses números e dos conjuntos que eles constituem, em particular, definiremos medida (de Lebesgue) nula e verificaremos que,
nesse sentido, quase todo número real é transcendente. Além disso, apresentaremos alguns exemplos de números algébricos e de números transcendentes, em
especial, definiremos Números de Liouville (que são exemplos de números transcendentes). Enunciaremos o Teorema de Liouville e utilizaremos esse teorema
para verificar que os números de Liouville são, de fato, transcendentes. Por fim,
mostraremos algumas curiosidades e resultados recentes sobre os números de Liouville.
1.1
Definições e exemplos
Um número complexo α é chamado algébrico se é raiz de algum polinômio
não nulo com coeficientes inteiros. O polinômio minimal de α é o polinômio
primitivo1 de menor grau que tem α como raiz. Nesse caso, o grau de α é definido
como o grau do seu polinômio minimal.
Denotamos: Q = Conjunto dos números algébricos.
Um número complexo α é chamado transcendente, se ele não é algébrico.
A definição de números transcendentes é uma definição do século XV III e,
segundo Euler, esses números são chamados transcendentes porque transcendem
o poder das operações algébricas. Contudo, apenas um século depois verificouse a existência desses números, quando, em 1844, Liouville exibiu os primeiros
exemplos.
Números racionais são exemplos de números algébricos:
1
Um polinômio em Z[x] é chamado primitivo se seus coeficientes são primos entre si.
3
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4
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES
Exemplo 1.1.
p
∈ Q é raiz do polinômio P (x) = qx − p.
q
Existem também números irracionais que são algébricos:
√
Exemplo 1.2. 2 é raiz do polinômio x2 − 2.
Além disso, existem números complexos não reais que são algébricos:
Exemplo 1.3. i é raiz do polinômio x2 + 1.
Na sessão 1.3, veremos os primeiros exemplos de números transcendentes, conhecidos como Números de Liouville.
1.2
Algumas propriedades dos números algébricos e dos
números transcendentes
Na proposição a seguir, vemos algumas propriedades do conjunto dos números
algébricos.
Proposição 1.4. Dados a, b ∈ Q, temos:
1. a ± b ∈ Q
2. a · b ∈ Q
3. Se a 6= 0, então a−1 ∈ Q
Demonstração: Ver [9, p. 70]
Usando a proposição anterior, verifica-se que o conjunto dos números algébricos forma um corpo.
Ao longo deste livro, veremos alguns exemplos de números transcendentes.
Entretanto, é possível verificar a existência desses números sem apresentar exemplos explícitos, através da seguinte proposição.
Proposição 1.5. O conjunto dos números algébricos é enumerável 2 .
Demonstração: Ver [9, p. 66]
Um resultado conhecido é que R, o conjunto dos números reais, é não-enumerável.
Observe que, com a proposição anterior, conseguimos concluir que existem números reais que são transcendentes e que existe uma quantidade não enumerável
desses números, caso contrário, o conjunto dos números reais seria enumerável.
2
Um conjunto é chamando enumerável se tem a mesma cardinalidade de N (conjunto dos números naturais). Ao leitor interessado em compreender melhor algumas propriedades sobre enumerabilidade, sugerimos [6].
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1.3. NÚMEROS DE LIOUVILLE
5
É interessante observar que, quando Liouville exibiu os primeiros exemplos de
números transcendentes, em 1844, ainda não existia esse conceito de enumerabilidade, uma vez que esse conceito deve-se a Cantor que nasceu em 1845, um ano
depois que Liouville exibiu esses números.
A seguir, relembramos a definição de conjuntos de medida (de Lebesgue) nula
em R.
Definição 1.6. Um conjunto A ⊂ R tem medida (de Lebesgue) nula, e escrevemos
m(A) = 0 se, para todo ε > 0, existe uma quantidade enumerável de intervalos
[
abertos (In )n≥1 tais que A ⊂
In e
n≥1
∞
X
|In | < ε.
n=1
Proposição 1.7. Se E ⊂ R é enumerável, então, E tem medida nula.
Demonstração. Ver [9, p. 67].
Dizemos que uma condição é satisfeita por quase todos os números reais, se o
subconjunto de R dos elementos que não satisfazem tal condição tem medida nula.
Proposição 1.8. Quase todo número real é transcendente.
Demonstração. Pela Proposição 1.5, segue que o conjunto dos números algébricos
é enumerável, em particular, Q ∩ R é enumerável. Segue, da Proposição 1.7, que
Q ∩ R tem medida nula. Com isso concluímos que quase todo número real é
transcendente.
Na proposição anterior vimos que quase todo número é transcendente. Contudo, dado um número que acredita-se ser transcendente, é muito difícil confirmar
a transcendência (como veremos na demonstração da transcendência de e, no Capítulo 2). Por exemplo, ainda hoje não sabemos se e + π e eπ são transcendentes,
dentre outros números cuja transcendência aparentam ser naturais.
Por outro lado, na Seção 1.3, veremos os primeiros exemplos de números transcendentes e poderemos observar que a demonstração da transcendência deles é
relativamente simples, isso acontece porque os números de Liouville foram construídos para serem transcendentes, através de uma ideia genial de Joseph Liouville,
apresentada em uma comunicação verbal, em 13 de maio de 1844.
1.3
1.3.1
Números de Liouville
Teorema de Liouville e a demonstração da transcendência
Teorema 1.9 (Teorema de Liouville). Seja α ∈ R um número algébrico de grau
n ≥ 2. Então, existe uma constante A = A(α) > 0 tal que
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6
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES
α − p > A ,
q qn
para todo
p
∈ Q.
q
Demonstração: Ver [9, p. 82].
Um resultado conhecido é que o conjunto dos números racionais é denso3 em
R. Logo, é possível aproximar qualquer número real por números racionais. Contudo, o Teorema de Liouville afirma que números algébricos (reais) não racionais
não podem ser muito "bem aproximados" por racionais, no sentido em que qualquer aproximação tem que respeitar esse comportamento. O que Liouville fez
depois foi construir números reais não racionais que podem ser muito "bem aproximados"por racionais e, portanto, não são algébricos.
Definição 1.10. Um número real ξ é!chamado número de Liouville se existir uma
pj
sequência infinita de racionais
tal que qj > 1 e
qj j≥1
pj 1
0 < ξ − < j ,
qj q
j
para todo j ≥ 1. Denotamos por L o conjunto dos números de Liouville.
Apresentaremos alguns lemas que serão utilizadas para garantir a transcendência dos números de Liouville.
Lema 1.11. A sequência (qj )j≥1 é ilimitada.
Demonstração: Ver [9, p. 83].
Lema 1.12. Todo número de Liouville é irracional.
Demonstração: Ver [9, p. 84].
Teorema 1.13. Todo número de Liouville é transcendente.
Demonstração. Seja ξ um número de Liouville. Vamos supor, por absurdo, que ξ
é algébrico. Pelo Lema 1.12, ξ tem grau n maior ou igual a 2. Assim, pelo Teorema
p
p
A
de Liouville, existe uma constante A > 0 tal que, para todo ∈ Q, ξ − > n .
q
q
q
A
pj 1
Em particular, n < ξ − < j , para todo j ≥ 1. Em vista disso, qjj−n < 1/A.
qj
qj qj
Isso contradiz o Lema 1.11.
3
R.
Lembramos que um conjunto é dito ser denso em R, se intersectar qualquer intervalo aberto de
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1.3. NÚMEROS DE LIOUVILLE
7
Exemplo 1.14. O número
` :=
∞
X
10−n! = 0.11000100 . . .
n=1
é um número de Liouville. Para provar isso, consideramos as sequências de intei!
j
X
pj
j!−n!
j!
é uma sequência infinita
ros pj =
10
e qj = 10 . Observe que,
qj j≥1
n=1
de racionais. Além disso,
∞
∞
X
X
pj −n!
10
=
10−(j+n)!
` − =
qj n=j+1
∞
X
n=1
10−(j+1)!
∞
X
10−(j+1)!
≤
10(j+n)!−(j+1)! n=0 10n
1
10
1
1
=
< (j+1)!−1 ≤ j·j! = j .
10
9 · 10(j+1)!
10
qj
=
n=1
O número `, definido no exemplo anterior, é conhecido como a constante de
Liouville. É possível provar ainda que
∞
X
a−n! é um número de Liouville, para
n=1
cada inteiro a ≥ 2. Isso garante a existência de infinitos números de Liouville.
1.3.2
Algumas curiosidades e resultados recentes sobre os números de
Liouville
Em 1962, Erdös [3] provou que todo número real pode ser representado como
uma soma de dois números de Liouville. Esse resultado é bem interessante, uma
vez que é possível mostrar que o conjunto dos números de Liouville tem medida
nula em R, ou seja, quase nenhum número real é de Liouville. Segundo Marques
(Ver [9, p. 86]), podemos pensar então que, mesmo sendo um conjunto “invisível",
os números de Liouville estão estrategicamente posicionados na reta real.
O resultado de Erdös pode ser reescrito como: para todo α ∈ R, existem
números de Liouville σ e τ tais que f (σ, τ ) = α, onde f (x, y) = x + y. Em 1996,
Burger [2] generalizou esse resultado para uma classe mais geral de funções. Em
particular, o resultado de Burger garante que, dado um número algébrico α, sob
certas condições, existem números de Liouville σ e τ , tais que σ τ = α.
Em 1906, Maillet [7] provou que funções racionais não contantes com coeficientes racionais levam o conjunto dos números de Liouville nele mesmo, ou seja, a
imagem de qualquer número de Liouville por esse tipo de função é um número de
Liouville também. Funções racionais são exemplos de funções algébricas. Tendo
em vista esse resultado, questiona-se sobre a existência de funções transcendentes
que preservam o conjunto dos números de Liouville. Em 1984, Mahler [8] propôs
o seguinte problema:
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8
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES
Existem funções inteiras transcendentes f(z) tais que se ξ é um número de
Liouville qualquer, então f (ξ) também é?
Em [10], [11], [12] e [13], podem ser encontrados resultados recentes nessa
direção. Entretanto, esse problema de Mahler ainda não foi resolvido.
Uma consequência interessante tanto do Teorema de Maillet, quanto do Teorema de Erdös, é a densidade do conjunto dos números de Liouville em R.
Tendo em vista que todo número de Liouville é transcendente, que existem
infinitos números de Liouville e que, além disso, o conjunto desses números é
denso em R, surge um questionamento natural:
Todo número transcendente é de Liouville?
A resposta é não e isso decorre diretamente do fato de que o conjunto dos
números de Liouville tem medida nula em R.
∞
X
1
O número π e a Constante de Euler, e =
, são exemplos conhecidos de
n!
n=1
números transcendentes, que não são de Liouville (ver [15, p.330]).4
No próximo capítulo apresentaremos a demonstração da transcendência de e e
a famosa Identidade de Euler.
4
Ao leitor interessado em conhecer outras propriedades dos números de Liouville, [16] apresenta
mais propriedades e resultados recentes relacionados a esses números e está disponível em:
http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/18477/1/2015_ElaineCristinedeSouzaSilva.pdf.
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Capítulo 2
A transcendência de e
Por: Anna Carolina Lafetá.
As primeiras referências à constante e foram publicadas em 1618 em um trabalho sobre logaritmos de John Napier. Entretanto, esse trabalho não continha
a constante especificamente, mas simplesmente uma lista de logaritmos calculados a partir de e. A primeira indicação da constante, propriamente dita, é creditada aJacob Bernoulli,
quando buscava encontrar um valor para o seguinte limite:
1 n
lim 1 +
, que é a própria constante e.
n→∞
n
2.1
A série ex
Uma das característcas mais conhecidas da função exponencial ex é o fato de
d x
que
e = ex . Ou seja, a derivada da função exponencial é ela mesma.
dx
Assim, a série de Taylor da função exponencial é dada por:
x
e =
∞
X
xn
n=0
n!
.
(2.1)
Assim, podemos escrever o número e como
e=
∞
X
1
n=0
n!
=1+
1
1
+ + ···
1! 2!
(2.2)
Utilizando esse fato, podemos provar que e é um número irracional.
Teorema 2.1. O número e é irracional.
1
1
Essa demonstração se encontra nas páginas 29 e 30 do livro “Números Irracionais e Transcendentes", Djairo Guedes de Figueiredo.
9
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CAPÍTULO 2. A TRANSCENDÊNCIA DE E
10
Demonstração. Suponha que e seja um número racional. Então, existem p, q ∈ N
p
primos entre si tal que e = .
q
De (2.2), temos que
p
1
1
1
− 1 + + + ··· +
q
1! 2!
j!
∞
X
1
=
j=q+1
j!
.
(2.3)
Agora, observe que o segundo membro de (2.3) pode ser escrito como
1
q!
1
1
+
+ ···
q + 1 (q + 1)(q + 2)
<
1
q!
1
1
+ ···
+
q + 1 (q + 1)2
. (2.4)
Note que a expressão entre parêntesis no último membro de (2.4) é uma série
1
geométrica cuja soma é . Usando esse resultado em (2.4), obtemos
q
∞
X
1
j=q+1
j!
<
11
.
q! q
(2.5)
Agora, unindo as expressões (2.3) e (2.5), vemos que
p
1
1
1
0 < − 1 + + + ··· +
q
1! 2!
j!
<
11
,
q! q
(2.6)
1
q
(2.7)
de onde obtemos que
p
1
1
1
0 < q!
− 1 − − − ··· −
q
1! 2!
j!
<
Observe agora que, em (2.7), o termo do meio é inteiro, pois q! cancela todos
os denominadores das frações, no entanto 1/q ≤ 1, e como o termo do meio é
estritamente maior do que 0, temos aí um absurdo. Esse absurdo acontece por
causa da suposição inicial, de que e é racional. Logo, e é irracional.
2.2
Prova da transcendência
Para provar a transcendência de e, precisaremos de alguns resultados auxiliares.
Incialmente, considere a função
F (x) = P (x) + P 0 (x) + · · · + P (r) (x),
(2.8)
onde P (x) é um polinômio de grau r.
Lema 2.2. Temos que
θk ∈ [0, 1] temos que
d −x
(e F (x)) = −e−x P (x). E, além disso, para algum
dx
F (k) − ek F (0) = −kek(1−θk ) P (kθk ),
para todo k > 0.
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2.2. PROVA DA TRANSCENDÊNCIA
11
Demonstração. Para a primeira parte do lema, basta derivar a função e−x F (x)
utilizando a regra do produto e usar a definição da função F .
Para a segunda afirmação do lema, utilize o Teorema do Valor Médio e a primeira afirmação do lema:
e−k F (k) − e0 F (0)
= −ekθk P (kθk ),
k
o que implica
F (k) − ek F (0) = −kek(1−θk ) P (kθk ),
como queríamos.
Agora, tome o polinômio P (x) da função F , definida em (2.8) como:
P (x) =
1
xp−1 (1 − x)p · · · (n − x)p ,
(p − 1)!
(2.9)
onde n ∈ N e p é um número primo maior do que n.
Observe que podemos escrever P (x) como
P (x) =
b0
(−1)n xn(p+1)−1
(n!)p p−1
x
+
xp + · · · +
.
(p − 1)!
(p − 1)!
(p − 1)!
(2.10)
Além disso, temos que:
• se i < p e k ∈ {1, . . . , n}, então P (i) (k) = 0;
• P (p−1) (0) = (n!)p e P (i) (0) = 0, se i < p − 1.
Se k = 1, 2 . . . , n, então, pela definição de F (x) e pelas considerações feitas
acima, segue que
F (k) = P (p) (k) + P (p+1) (k) + · · · + P (np+p−1) (k)
(2.11)
Escreva agora
xp−1
{(1 − x) . . . (k − 1 − x)(k + 1 − x) . . . (n − x)}p (k − x)p
(p − 1)!
= A(x)(k − x)p ,
(2.12)
onde gr(A) = np − 1.
Temos então que P 0 (x) = A0 (x)(k − x)p − pA(x)(k − x)p−1 . Observe agora
que, ao derivarmos P 0 , digamos, s vezes, obteremos
P (x) =
P (s+1) (x) = (A0 (x)(k − x)p )(s) − (pA(x)(k − x)p−1 )(s) .
(2.13)
É fácil ver que (pA(x)(k − x)p−1 )(s) será sempre um múltiplo de p, enquanto
que (A0 (x)(k − x)p )(s) será separado em um termo múltiplo de p e outro igual a
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CAPÍTULO 2. A TRANSCENDÊNCIA DE E
12
A(s+1) (x)(k −x)p . Portanto, temos que P (r) (x) = A(r) (x)(k −x)p +pB(x), logo
P (r) (k) = pB(k) é divisível por p. Dessa forma, F (k) = P (p) (k) + P (p+1) (k) +
· · · + P (np+p−1) (k) é divisível por p.
Por outro lado, F (0) = P (p) (0) + P (p+1) (0) + · · · + P (np+p−1) (0), e pela
expressão (2.10)
(n!)p p−1
b0
b1
(−1)n xn(p+1)−1
x
+
xp +
xp+1 + · · · +
,
(p − 1)!
(p − 1)!
(p − 1)!
(p − 1)!
(2.14)
se derivarmos o primeiro termo da soma acima p ou mais vezes, ele se anulará. A
P (x) =
partir do segundo termo, derivando P (x) i vezes, onde i = p + j, j ≥ 0, teremos
(p + j)!
que P (p+j) (0) = bj
. Então,
(p − 1)!
F (0) =
(n!)p
+
| {z }
não divisível por p
(np + n − 1)!b(n−1)p+n−1
p!b0
(p + 1)!b1
.
+
+ ··· +
(p − 1)!
(p − 1)!
(p − 1)!
|
{z
divisível por p
Logo, F (0) não é divisível por p, e isso demonstra o seguinte lema:
Lema 2.3. Se k = 1, 2, . . . , n, então F (k) é um inteiro divisível por p. Por outro
lado, F (0) é um inteiro não divisível por p.
Agora, já temos as ferramentas necessárias para provar a transcendência de e:
Teorema 2.4. O número e é transcendente.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que e seja algébrico. Então existem constantes c0 , c1 , . . . cn (podemos tomar c0 > 0) tais que
cn en + · · · + c1 e + c0 = 0
Vamos mostrar que
c0 F (0) + c1 F (1) + · · · + cn F (n) = c1 ε1 + · · · + cn εn ,
onde εk = F (k) − ek F (0) = −kek(1−θk ) P (kθk ), como provado no Lema 2.2.
De fato, por hipótese, temos que cn en + · · · + c1 e + c0 = 0. Mas, isso é
equivalente a
c0 = −cn en − · · · − c1 e ⇔ c0 F (0) = −cn en F (0) − · · · − c1 eF (0)
Agora, observe que εk −F (k) = −ek F (0). Portanto, a equação acima se torna
c0 F (0) = cn (εn − F (n)) + · · · + c1 (ε1 − F (1)).
}
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2.3. A CONSTANTE E NÃO É UM NÚMERO DE LIOUVILLE
13
Mas isso é equivalente a
c0 F (0) + c1 F (1) + · · · + cn F (n) = c1 ε1 + · · · + cn εn .
Agora, se os εk são calculados para o polinômio P (x), definido em (2.9), temos
que
εk = −kek(1−θk )
1
(kθk )p−1 (1 − kθk )p . . . (n − kθk )p .
(p − 1)!
e, obviamente
|εk | = −kek(1−θk )
1
(kθk )p−1 (1 − kθk )p . . . (n − kθk )p .
(p − 1)!
Utilizando o fato de que 0 < θk < 1 e que k ≤ n, obtemos
p n
n e (n!)p .
|εk | ≤ (p − 1)! Como,
np en (n!)p
= 0,
p→∞ (p − 1)!
lim
segue que, para p suficientemente grande,
|c1 ε1 + · · · + cn εn | < 1.
(2.15)
Mas vimos que c0 F (0) + c1 F (1) + · · · + cn F (n) = c1 ε1 + · · · + cn εn . No
entanto, c0 F (0)+c1 F (1)+· · ·+cn F (n), pelo Lema 2.3, é um inteiro não divisível
por p, mas por (2.15), tem módulo menor que 1, logo deve ser 0, o que é absurdo.
Tal absurdo vem da hipótese de que e é algébrico. Logo e é transcendente.
2.3
A constante e não é um número de Liouville
Para provar que e não é um número de Liouville, faremos uso de frações contínuas e algumas ferramentas analíticas.
Seja a/b uma fração irredutível. Podemos utilizar o algorítmo de Euclides para
obter as seguintes equações:
a
b
r0
= ba0 + r0 ,
= r0 a1 + r1 ,
= r1 a2 + r2 ,
..
.
rm−1 = rm am+1 + rm+1 ,
rm
= rm+1 am+2
0 < r0 < b
0 < r1 < r0
0 < r2 < r1
0 < rm < rm−1
(2.16)
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CAPÍTULO 2. A TRANSCENDÊNCIA DE E
14
Desse modo, podemos escrever a fração a/b como:
a0 +
1
r0
1
= a0 + b = a0 +
b
a
+
1
r
0
r1
r0
= · · · = a0 +
1
a1 +
.
1
a2 +
1
..
1
. + am+2
Observe que ness caso, a fração contínua será finita e a denotaremos por
a/b =< a0 ; a1 , . . . , am+2 >.
Seja agora ξ um número irracional e seja [ξ] a parte inteira de ξ, i.e., o maior
inteiro menor que ξ, e {ξ} a parte fracionária de ξ, i.e., ξ − [ξ]. Assim, podemos
escrever ξ como
1
ξ = [ξ] + {ξ} = [ξ] + 1 .
{ξ}
1
> 1 e podemos definir a parte fracionária de
{ξ}
1
1
1
=
:= r1 e sua parte inteira
:= a1 . Logo
{ξ}
{ξ}
{ξ}
Como 0 < {ξ} < 1, temos que
ξ = [ξ] +
1
1
{ξ}
= [ξ] +
1
1
= [ξ] +
a1 + r1
a1 +
1
1
r1
1
> 1 e podemos encontrar sua parte inteira e
r1
fracionária. Repetindo o processo m + 1 vezes, obtemos:
Novamente, 0 < r1 < 1, logo
ξ = [ξ] +
1
a1 +
,
1
a2 +
1
..
. +am
e cada rm é número irracional menor do que 1, de modo que podemos tomar a
parte inteira e fracionária de 1/rm . É fácil ver que esse processo nunca termina.
Denotando [ξ] por a0 , podemos escrever a fração contínua de um número ξ
como ξ =< a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . >.
Definição 2.5. Seja ξ um número real e < a0 ; a1 , a2 ,. . . >
sua representação em
pn
frações contínuas. Então, dizemos que a sequência
é a sequência dos
qn n≥0
convergentes da fração contínua de ξ se
pn
=< a0 ; a1 , . . . , an > .
qn
Um resultado bem conhecido na teoria de aproximações diofantinas é que os
denominadores qn que aparecem nos convergentes da fração contínua formam uma
sequência não decrescente, ou seja, qn+1 ≥ qn .
Com essas noções básicas de frações contínuas, podemos definir agora a medida de irracionalidade de um número x ∈ R como:
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2.3. A CONSTANTE E NÃO É UM NÚMERO DE LIOUVILLE
15
Definição 2.6. Seja x um número real, definimos sua medida de irracionalidade
µ(x) como sup{ν ∈ R+ : |x − p/q| < 1/q ν tem infinitas soluções para p/q ∈ Q}
.
Segue diretamente dessa definição que qualquer número de Liouville tem medida de irracionalidade igual a ∞. Afinal para qualquer ν, a desigualdade tem
infinitas soluções.
Mostraremos então que a constante de Euler não tem medida de irracionalidade
infinita, mais especificamente, mostraremos que e tem medida de irracionalidade
menor ou igual a 2.
Sondow em [17] fornece uma fórmula para a função µ(s). Tal fórmula é dada
pela seguinte expressão
µ(x) = 2 + lim sup
n→∞
log an+1
,
log qn
(2.17)
onde pn /qn são os convergentes da fração contínua de x e an+1 são os termos que
aparecem na expressão x =< a0 ; a1 , a2 , . . . >
Com essas ferramentas, podemos mostrar que e não é número de Liouville.
Como já foi visto e é irracional, logo sua fração contínua é infinita e é dada por
[15, pag 294]
e =< 2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . > .
Agora, suponha por absurdo que e seja um número de Liouville cujos convergentes da fração contínua são dados por: {pn /qn }. Então, temos que
e − p n < 1 .
qn q n
(2.18)
n
Como pn /qn são convergentes de uma fração contínua, vale que
pn
pn+1 1
.
q − q
= q q
n
n+1
n n+1
(2.19)
Assim,
e − pn + e − pn+1 ≤ e − pn + e − pn+1 ≤ 1 + 1 ≤ 2
qn
qn+1
qn
qn+1 q n q n+1
qn
n
n+1
(2.20)
n
Isso implica que, para n suficientemente grande, temos que
qn+1 > qnn−1 > qnn−2 .
(2.21)
Repetindo o processo acima, chegamos à conclusão que
n−3 n−2
qn+1 > qnn−2 > (qn−1
)
> · · · > 2(n−3)! .
(2.22)
Usando isso e o fato de que na fração contínua de e, an+1 ≤ 2n, podemos
utilizar a fórmula de Sondow para obter:
µ(e) = 2 + lim sup
n→∞
Logo e não é de Liouville.
log 2n
log an+1
≤ 2 + lim sup
= 2.
log qn
n→∞ log 2(n−3)!
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CAPÍTULO 2. A TRANSCENDÊNCIA DE E
16
2.4
A Identidade de Euler
Considere aqui, a seguinte função
f (x) = (cos(x) − isen (x))eix ,
(2.23)
onde i denota a unidade imaginária.
Podemos utilizar a regra do produto para derivar a função f , e assim obter:
d
f (x) = i(cos(x) − isen (x))eix + (−sen (x) − i cos(x))eix ) = 0
dx
(2.24)
Isso implica que a função f é constante, e como f (0) = 1, segue que 1 =
(cos(x) − isen (x))eix . Multiplicando ambos os lados da igualdade por cos(x) +
isen (x), obtemos a seguinte relação, conhecida como Fórmula de Euler:
cos(x) + isen (x) = eix .
(2.25)
Substituindo x por π em (2.25), obtemos a conhecida Identidade de Euler:
eiπ = −1.
(2.26)
Essa famosa identidade será bastante utilizada nos capítulos subsequentes.
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Capítulo 3
A Conjectura de Schanuel e os
teoremas clássicos
Por: Jean Lelis.
Nessa aula, enunciaremos e falaremos algumas aplicações de três teoremas
clássicos em teoria dos números transcendentes, cujas demonstrações são longas e
não triviais.
Falaremos também sobre a Conjectura de Schanuel, considerada atualmente
o problema em aberto mais importante em Teoria do Números Transcendentes.
Mostraremos como essa conjectura pode ser utilizada para provar a transcendência
de alguns números como, por exemplo, e + π, eπ. Na verdade, veremos que ela
implica resultados ainda mais fortes.
Por fim, assumiremos a veracidade da Conjectura de Schanuel e mostraremos
que, se a Conjectura de Schanuel for provada, as demonstrações desses teoremas
tão importantes se reduzem a poucas linhas. Essa aula foi preparada com base no
Livro Teoria dos Números Transcendentes do Prof. Dr. Diego Marques [9].
3.1
O Teorema de Hermite-Lindemann
Como vimos na primeira aula, os primeiros números transcendentes foram exibidos por Liouville, no entanto tais exemplos eram um tanto "artificiais". Porém,
com a demonstração de Cantor de que quase todos os números são transcendentes,
parecia natural que as importantes constantes e e π seriam transcendentes e, de
fato, como vimos na aula passada e é um número transcendente, veremos nessa
aula que π também é um número transcendente. Na verdade, a transcendência de
e e π podem ser vistas como casos particulares do seguinte teorema
Teorema 3.1 (Hermite-Lindemann). Se α1 , . . . , αm são números algébricos distintos, então eα1 , . . . , eαm são linearmente independentes sobre o corpo dos números algébricos.
17
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18CAPÍTULO 3. A CONJECTURA DE SCHANUEL E OS TEOREMAS CLÁSSICOS
Quando m = 2, α1 = 0 e α2 = α ∈ Q, não nulo, nós obtemos o seguinte caso
particular que é conhecido com Teorema de Lindemann
Corolário 3.2. Se α é algébrico não nulo, então eα é transcendente.
Existe uma formulação equivalente ao Teorema de Hermite-Lindemann que é
chamado Teorema de Lindemann-Weierstrass
Teorema 3.3 (Lindemann-Weierstrass). Se α1 , . . . , αn são números algébricos linearmente independentes sobre Q, então eα1 , . . . , eαn são algebricamente independentes.
Não apresentaremos aqui uma demonstração desse teorema, mas veremos que
ele pode ser facilmente deduzido via Conjectura de Schanuel, caso essa seja demonstrada verdadeira. Vamos agora apresentar algumas consequências do Teorema de Hermite-Lindemann, em particular vamos mostrar a transcendência de π,
veremos que a transcendência de e também segue de imediato
Proposição 3.4. Os seguintes números são transcendentes:
1. e;
∗
2. sin α, cos α, tan α, sinh α, cosh α, tanh α, para todo α ∈ Q ;
3. π;
4. log α, arcsin α, e em geral as funções inversas do item (b), para todo α ∈ Q,
α∈
/ {0, 1}.
Demonstração. (a) Faça α = 1 no Teorema de Lindemann.
(b) Note que,
2i(sin α)e0 + (−1)eiα + e−iα = 0,
2(cos α) + (−1)eiα + (−1)e−iα = 0,
(i tan α − 1)eiα + (i tan α + 1)e−iα = 0,
2(sinh α)e0 + (−1)eα + e−α = 0,
2(cosh α)e0 + (−1)eα + (−1)e−α = 0,
(tanh α − 1)eα + (tanh α + 1) = 0.
Supondo α 6= 0, então iα 6= 0. Portanto, pelo Teorema de Hermite-Lindemann,
sin α, cos α, tan α, sinh α, cosh α, tanh α,
são números transcendentes.
∗
(c) Se π fosse algébrico, então iπ ∈ Q . Logo, eiπ é transcendente, mas
eiπ = −1. Portanto, π é transcendente.
(d) Suponha que log α ∈ Q. Pelo Teorema de Lindemann elog α é transcendente, mas elog α = α ∈ Q, essa contradição mostra que log α ∈
/ Q. De modo
análogo, usando o item (b), mostramos que as funções inversas das funções do
item (b) assumem valores transcendente em α ∈ Q − {0, 1}.
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3.2. O TEOREMA DE GELFOND-SCHNEIDER
3.2
19
O Teorema de Gelfond-Schneider
Em 1900, no Congresso Internacional de Matemática em Paris, o matemático
alemão David Hilbert propôs uma lista de 23 problemas. Esses problemas se tornaram muito influentes na matemática do século XX. O sétimo problema de Hilbert
pergunta se o número αβ , onde α é algébrico (diferente de zero e um) e β é algébrico (não racional), é transcendente. Essa questão foi resolvida em 1934 por A.
O. Gelfond e independentemente em 1935 por T. Schneider.
Teorema 3.5 (Gelfond-Schneider). Seja α um algébrico diferente 0 e 1, e β um
algébrico irracional. Então αβ é transcendente.
Imediatamente, os números
√
√
2
2
, ii ,
√
√
2
3
são transcendentes.
Corolário 3.6. eπ é transcendente.
Demonstração. Como eπi = −1, pela identidade de Euler, temos que (eπi )−i =
(−1)−i , logo eπ = (−1)−i é transcendente pelo Teorema de Gelfond-Schneider.
O número eπ é chamado constante de Gelfond. Quanto aos números π e , ee , π π
ainda não sabemos se são transcendentes. Um enunciado equivalente ao Teorema
de Gelfond-Schneider é
∗
Teorema 3.7. Dados α1 , α2 , β1 , β2 ∈ Q , se log α1 , log α2 , são Q-L.I., então
β1 log α1 + β2 log α2 6= 0.
Vamos provar a equivalência, suponhamos o Teorema de Gelfond-Schneider e
∗
sejam α1 , α2 , β1 , β2 ∈ Q , com
β1 log α1 + β2 log α2 = 0
e log α1 , log α2 são Q-L.I., então temos que (β1 /β2 ) log α1 = − log α2 , ou seja,
((β /β ))
α1 1 2 = α2−1 ∈ Q, então por G.-S. temos que (β1 /β2 ) ∈ Q, o que contraria a
hipótese que log α1 , log α2 são Q-L.I., logo
β1 log α1 + β2 log α2 6= 0.
Reciprocamente, suponha o Teorema 3.7 e sejam α ∈ Q − {0, 1} e β ∈ Q − Q,
suponha que γ = αβ ∈ Q, então
log γ − β log α = 0,
logo β ∈ Q pelo Teorema 3.7, o que é uma contradição, pois supomos que β ∈
Q − Q, logo αβ ∈
/ Q, o que completa a demonstração da equivalência.
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20CAPÍTULO 3. A CONJECTURA DE SCHANUEL E OS TEOREMAS CLÁSSICOS
3.3
O Teorema de Baker
Vimos na formulação equivalente ao Teorema de Gelfond-Schneider que para
α1 , α2 números algébricos não nulos, sua independência linear sobre Q e Q são
equivalentes. Foi conjecturado que esse resultado seria válido para uma quantidade
arbitrária de logaritmos. Essa conjectura foi provada por A. Baker em 1966 (e lhe
rendeu a medalha Fields em 1970).
Teorema 3.8 (Baker). Dados α1 , . . . , αn números algébricos, não nulos, tais que
log α1 , . . . , log αn são linearmente independentes sobre Q. Então 1, log α1 , . . . ,
log αn são linearmente independentes sobre Q.
É possível mostrar que o Teorema de Baker implica os teoremas de Lindemann
e Gelfond-Schneider. Vamos agora apresentar uma das importantes consequências
do Teorema de Baker.
Teorema 3.9. Dados α1 , . . . , αn números algébricos, não nulos, e β1 , . . . , βn números algébricos tais que
γ = β1 log α1 + · · · + βn log αn 6= 0.
Então γ é um número transcendente.
Demonstração. Basta-nos mostrar que se α1 , . . . , αn , β0 , β1 , . . . , βn são números
algébricos, com αj 6= 0, 1 ≤ j ≥ n e β0 6= 0, então
β0 + β1 log α1 + · · · + βn log αn 6= 0.
Procederemos por indução em n. O caso n = 1 segue do fato que log α é
transcendente para α ∈ Q pelo Teorema de Lindemann. Assuma a validade para
n < m, onde m ∈ Z; mostraremos então o resultado para n = m.
Se log α1 , . . . , log αm são linearmente independentes sobre Q, o resultado seguese do Teorema de Baker. Assim, suponha que existem ρ1 , . . . , ρm ∈ Q, não todos
nulos, e tais que
ρ1 log α1 + · · · + ρm log αm = 0.
Sem perda de generalidade, suponha ρ1 6= 0. Entretanto, para α0 = 0, temos
que
ρ1
m
X
βk log αk = ρ1 (β0 +) − βr (ρ1 log α1 + · · · + ρm log αm )
k=0
0
= β00 + β10 log α1 + · · · + βm
log αm ,
onde β00 = ρr β0 , βj0 = ρr βj − ρj βr para 1 ≤ j ≥ m. Daí,
0
ρr (β0 + β1 log α1 + · · · + βm log αm ) = β00 + β10 log α1 + · · · + βm
log αm . (3.1)
Note que β00 6= 0 e βr0 = 0, então, por hipótese de indução, o lado direito de
3.1 é não nulo e como ρr 6= 0, segue-se que
β0 + β1 log α1 + · · · + βm log αm 6= 0.
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3.4. A CONJECTURA DE SCHANUEL
3.4
21
A Conjectura de Schanuel
Seja L |K uma extensão transcendente, isto é, [L : K] = ∞. Um conjunto
B ⊆ L é dito base de transcendência de L |K , se B é algebricamente independente
sobre K e L |K(B) é uma extensão algébrica, ou equivalentemente B é o conjunto
algebricamente independente (sobre K) maximal relativo à inclusão, cuja existência é garantida via lema de Zorn. Pode-se provar que quaisquer duas bases de
transcendência de uma extensão têm a mesma cardinalidade. Assim podemos definir o grau de transcendência de uma extensão L |K , como a cardinalidade de
B. Denotamos por grtr(L |K ) = grtrK (L) = #B. Se L |K é algébrico, então
grtr(L |K ) = 0.
Observação 3.10. É possível mostrar que um conjunto é algebricamente independente sobre Q se, e somente se, é algebricamente independente sobre Q.
Vamos agora, usando essa nomenclatura, apresentar a importante Conjectura
de Schanuel que diz
Conjectura 3.11 (Schanuel). Se x1 , . . . , xn ∈ C são linearmente independentes
sobre Q, então
grtr(Q(x1 , . . . , xn , ex1 , . . . , exn ) |Q ) ≥ n.
A Conjectura de Schanuel é, sem dúvida, o grande resultado a ser provado em
Teoria Transcendente. A motivação da Conjectura de Schanuel parece vir de alguns
resultados já sabidos. Por exemplo, quando n = 1 temos que se α 6= 0, então, pelo
Teorema de Lindemann, pelo menos um dos números α e eα é transcendente, assim
grtr(Q(α, eα ) |Q ) ≥ 1. No caso de n arbitrário, essa conjectura está resolvida
apenas para {x1 , . . . , xn } ⊂ Q, usando o Teorema de Lindemann-Weierstrass
Vamos agora apresentar algumas das implicações da Conjectura de Schanuel,
em particular vamos ver que muitos dos números que acreditamos ser números
transcendentes, mas ainda não sabemos provar, podem ter a transcendência obtida
via Conjectura de Schanuel, além disso vamos ver que os teoremas que enunciamos
podem ser vistos como consequência dessa conjectura.
Teorema 3.12. Se a Conjectura de Schanuel for verdadeira, então e e π são algebricamente independentes sobre Q, em particular e + π e eπ são números transcendentes.
Demonstração. Suponha que a Conjectura de Schanuel é verdadeira, e considere
x1 = 1 e x2 = iπ, temos que x1 e x2 são Q-L.I., esse fato segue diretamente da
transcendência de π, logo
2 ≤ grtr(Q(1, iπ, e, eiπ ))
= grtr(Q(1, iπ, e, −1))
= grtr(Q(π, e))
≤ 2,
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22CAPÍTULO 3. A CONJECTURA DE SCHANUEL E OS TEOREMAS CLÁSSICOS
donde e, π são algebricamente independentes, ou seja p(e, π) ∈
/ Q para todo
p(x, y) ∈ Q[x, y] \ {0}, em particular eπ, e + π são transcendentes.
Por fim vamos ver que a Conjectura de Schanuel implica os teoremas clássicos
apresentados acima
(I) Conjectura de Schanuel ⇒ Teorema de Lindemann-Weierstrass: Essa
implicação é imediata tomando x1 = α1 , . . . , xn = αn . Note que, pela equivalência, temos que a conjectura implica o Teorema de Hermite-Lindemann.
(II)Conjectura de Schanuel ⇒ Teorema de Gelfond-Schneider: Nós mostramos que o Teorema de Gelfond-Schneider é equivalente ao Teorema 3.7, que
por sua vez é uma consequência direta da Conjectura de Schanuel tomando x1 =
log α1 , x2 = log α2 que, por hipótese, são Q-L.I..
(III)Conjectura de Schanuel ⇒ Teorema de Baker: Aqui tomamos x1 =
log α1 , . . . , xn = log αn e o resultado também segue naturalmente.
Então podemos ver que os resultados clássicos, caso a Conjectura de Schanuel se mostre verdadeira, são corolários imediatos dela, o que justifica sua grande
importância na Teoria dos Números Transcendentes. Mas é importante ressaltar
que a Conjectura de Schanuel não é o passo final nessa teoria, mesmo com a demonstração da conjectura, ainda existem muitos problemas em aberto, como por
exemplo os números ζ(2n + 1), para n > 1. Com isso queremos deixar mais do
que um pequeno histórico de uma teoria, mas um convite, um convite a essa teoria
relativamente recente, porém com grandes desafios.
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Referências Bibliográficas
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Mathematics Vol 160, Cambridge University Press, New York (2004).
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American Mathematical Society, 124 (1996), no. 11, 3305-3310.
[3] ERDÖS, P., Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers, Michigan Math. J., 9 (1962), 59-60.
[4] FIGUEIREDO, D. G., Números Irracionais e Transcendentes, 3 ed., Rio de
Janeiro: SBM, 2011.
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propriétés arithmétiques des fonctions, Paris: Gauthier-Villars, 1906.
[8] MAHLER, K., Some suggestions for further research, Bull. Austral. Math.
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SBM, 2013.
[10] MARQUES, D.; MOREIRA, C. G. On a variant of a question proposed by
K. Mahler concerning Liouville numbers, Bull. Austral. Math. Soc. 91 (2015)
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[11] MARQUES, D.; RAMIREZ, J.; SILVA, E. A note on lacunary power series
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e Janeiro - RJ - IMPA/UFRJ - VIII Bienal da Sociedade Brasileira de Mateamática - Rio de Janeiro - RJ - IMPA/UFRJ - VIII Bienal da Sociedade
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[13] MARQUES, D.; SILVA, E. A note on transcendental power series mapping
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[14] POLLARD, Harry. The theory of algebraic numbers. Baltimore: The Mathematical Association of America, 1950. (The Carus Mathematical Monographs; v.9).
[15] RIBENBOIM, P., My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number
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[16] SILVA, E. C. S., Alguns resultados relacionados a números de Liouville, Dissertação de Mestrado, Universidade de Brasília, Brasil, 2015.
[17] Sondow, J. Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik, Proceedings of Journées Arithmétiques, Graz 2003 in the Journal du Theorie des Nombres Bordeaux.
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Logaritmos - E. L. Lima
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Coordenadas no Plano as soluções dos exercícios - E. L. Lima com a colaboração de P. C. P.
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Trigonometria, Números Complexos - M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner, Notas
Históricas de J. B. Pitombeira
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