Conceitos Básicos de Circuitos Elétricos 1. Introdução Nesta

Conceitos Básicos de Circuitos Elétricos
1. Introdução
Nesta apostila são apresentados os conceitos e definições fundamentais utilizados na análise de circuitos
elétricos. O correto entendimento e interpretação destes conceitos são essenciais para o restante do
conteúdo.
2. Definição
Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação de componentes básicos formando pelo
menos um caminho fechado. Os componentes básicos de um circuito são os seguintes.





Fontes de tensão dependentes ou independentes
Fontes de correntes dependentes ou independentes
Resistores
Capacitores
Indutores
As figuras 1 a quatro mostram exemplos dos elementos básicos de circuitos
3. Grandezas Físicas Fundamentais
3.1 Corrente Elétrica
A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga elétrica que atravessa
dois dos seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é ampére, simbolizado por A
i(t) =
𝑑𝑞
(1)
𝑑𝑡
i(t) - ampère (A), q - coulomb (C) , t – segundos (s).
(o elétron possui carga de −1,602 × 10−19 𝐶 )
3.2 Tensão
A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito é definida como a variação do trabalho
realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre estes dois pontos. A unidade utilizada é
o volt, simbolizada por V.
𝑉(𝑡) =
𝑑𝑤
(2)
𝑑𝑞
V – volt (V), W – trabalho realizado (joule), q – Coulomb (C).
3.3 Potência
É a taxa de transferência de energia para um componente. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo
produto entre tensão e corrente em dois terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado
por W.
𝑃(𝑡) = 𝑉(𝑡). 𝑖(𝑡) =
3.4 Energia
𝑑𝑤
𝑑𝑞
∙
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑑𝑤
𝑑𝑡
(3)
Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade utilizada é o joule. Outra
unidade bastante utilizada é o watt-segundo (Ws) e demais unidades dela derivadas, tais como kW-hora.
(1kW-hora equivale a 3,6. 106 Ws).
𝑑𝑊 = 𝑝. 𝑑𝑡
(4)
Integrando-se a equação (4) entre os instantes 0 e t, resulta considerando-se W(0) =0:
𝑡
𝑊(𝑡) = 𝑊(𝑡) − 𝑊(0) = ∫0 𝑃(𝜏). 𝑑𝜏
𝑡
𝑊(𝑡) = ∫0 𝑝(𝜏). 𝑑𝜏
(5)
4. Elementos de circuitos
4.1 Fontes Independentes
A fonte ideal fornece uma determinada tensão entre seus terminais, independente das características dos
demais elementos ligados ao circuito. O sentido da corrente é considerado positivo quando sair pelo
terminal positivo e entrar pelo terminal negativo. Com esta convenção, a potência fornecida pela fonte
será positiva sempre que a fonte fornece energia ao circuito, do contrário a potencia terá um valor
negativo. As fontes independentes podem ser do tipo continua ou alternada. A representação da fonte
independente é dada na figura 1 a.
Uma bateria sem resistência interna pode ser considerada como exemplo de fonte tensão continua ideal. A
tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo de fonte de tensão
alternada.
4.2 Fontes Dependentes
O modelo de muitos componentes de uso corrente é feito por meio de fontes dependentes (por exemplo, o
transistor). Desta forma a análise de circuitos também torna necessária a utilização de fontes dependentes
as quais podem ser de dois tipos: fontes de tensão dependente e fontes de corrente dependentes. Ambas
podem ser tanto da tensão entre dois pontos do circuito como da corrente em um ramo. A figura 2 ilustra
os dois tipos básicos de fontes dependentes
4.3 Resistor Linear
O resistor é caracterizado pela sua resistência elétrica, a qual para o caso linear só dependente das
características do material empregado (resistividade) e das suas dimensões geométricas. A resistência
expressa o grau de oposição à passagem de cargas elétricas que o componente apresenta. A unidade
utilizada para medir a resistência é o Ohm, simbolizado por Ω. No resistor linear, a tensão e a corrente
nos seus terminais estão relacionadas pela lei de Ohm (figura 3):
𝑅=
𝑉(𝑡)
𝑖(𝑡)
⇔ 𝑉(𝑡) = 𝑅. (𝑡)
(6)
A resistência é, assim, um fator de proporcionalidade entre tensão e a corrente em um resistor. A maioria
dos resistores possui características variáveis com a temperatura sendo que a resistência em geral aumenta
com a temperatura.
A corrente em um resistor é considerada positiva quando entrar pelo terminal positivo (potencial mais
alto) e sair pelo negativo (potencial mais baixo). A potência associada ao resistor é assim positiva,
significando que o mesmo consome energia. A potência dissipada por um resistor é dada por:
𝑃(𝑡) = 𝑉. 𝑖 = 𝑖 2 . 𝑅
(7)
4.4 Capacitor Linear
O capacitor possui como característica básica a sua capacidade de armazenar cargas elétricas e energia no
seu campo elétrico. Em geral, o capacitor é formado por placas metálicas separadas por meio dielétrico.
Ao ser submetido a uma tensão elétrica, ocorre um acúmulo de cargas nas placas, criando entre elas um
campo elétrico. No campo criado pela presença das cargas elétricas é armazenada energia.
A grandeza que caracteriza o capacitor é sua capacitância, definida como a quantidade cargas elétrica
armazenadas por unidade de tensão aplicada. A unidade de capacitância é o farad, cujo símbolo é F
Como no caso da resistência, esta é uma grandeza que depende somente do material empregado
(constante dielétrica do meio que se situa entre as placas) e das suas dimensões geométricas. A tensão e a
corrente nos terminais de um capacitor estão relacionadas conforme segue (figura 4):
𝑞(𝑡) = 𝐶. 𝑉(𝑡)
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑖(𝑡) = 𝐶.
𝑑𝑉(𝑡)
(8)
𝑑𝑡
Ou ainda:
𝑡
1
𝑉(𝑡) − 𝑉(0) = ∙ ∫0 𝑖(𝜏) ∙ 𝑑𝜏
𝐶
1
𝑡
𝑉(𝑡) = ∙ ∫0 𝑖(𝜏). 𝑑𝜏 + 𝑉(0)
(9)
𝐶
A corrente no capacitor será considerada positiva quando entrar pelo terminal de potencial mais alto
(positivo) e sair pelo terminal de potencial mais baixo (negativo), conforme mostra a figura 4 acima.
Assim, a potência associada com o capacitor será positiva, quando a corrente tiver o sentido positivo
admitido e a tensão tiver uma polaridade também de acordo com o indicado em relação à corrente. De
acordo com a equação (8), a corrente do capacitor depende diretamente da variação de tensão no mesmo.
A partir da expressão de potência dada pela equação (3), pode-se determinar a potência associada com o
capacitor:
𝑃(𝑡) = 𝑉 ∙ 𝑖 = 𝑉 ∙ 𝐶 ∙
𝑑𝑉
(10)
𝑑𝑡
A energia armazenada no campo elétrico do capacitor linear é dada pela relação:
𝑡
𝑡
𝑡
𝑉(𝑡)
𝑑𝑉
𝑊(𝑡) = ∫ 𝑃(𝜏). 𝑑 𝜏 = ∫ 𝑉(𝜏) ∙ 𝑖(𝜏) ∙ 𝑑(𝜏) = ∫ 𝑉(𝜏) ∙ 𝐶 ∙
= 𝐶 ∙ ∫ 𝑉 ∙ 𝑑𝑉
𝑑𝑡
0
𝑊(𝑡) =
0
𝐶∙𝑉(𝑡)2
2
0
0
(11)
Pelas últimas expressões pode-se ver que a potência e a quantidade de energia armazenada dependem
diretamente do valor da capacitância.
4.5 Indutor Linear
É um dispositivo que possui um campo magnético capaz de armazenar energia. O campo magnético do
indutor é criado pela corrente elétrica que percorre o indutor. Fisicamente ele pode constituir-se de uma
bobina que envolve um material magnético, tal como ferro, que aumenta a capacidade de armazenar
energia devido a sua alta permeabilidade. A grandeza que caracteriza o indutor é a indutância. Para o
indutor linear, a indutância é uma constante, a qual só depende do tipo de material empregado
(permeabilidade magnética) e das dimensões físicas do mesmo. A unidade de indutância é o Henry, cujo
símbolo é H. (figura 5)
A relação entre a tensão e corrente é dada conforme segue:
𝛹(𝑡) = 𝐿 ∙ 𝑖(𝑡)
𝑑𝛹(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑉(𝑡) = 𝐿 ∙
𝑑𝑖(𝑡)
(12)
𝑑𝑡
Onde: 𝚿-fluxo de indução e é medido por weber (Wb), se a corrente for medida em ampères, L é a
indutância do indutor e se mede em henrys(H).
Outra forma alternativa para relação (12) é dada por:
1
𝑡
𝑖(𝑡) − 𝑖(0) = ∙ ∫0 𝑉(𝜏) ∙ 𝑑𝜏
𝐿
1
𝑡
𝑖(𝑡) = ∫0 𝑉(𝜏) ∙ 𝑑𝜏 + 𝑖(0)
𝐿
(13)
Como no caso do resistor e do capacitor, a corrente será considerada positiva quando entrar pelo terminal
positivo e sair pelo terminal negativo. Com esta convenção a potência associada ao indutor será positiva
quando a corrente concordar com o sinal positivo adotado e a polaridade da tensão tiver o sentido. A
potência associada ao indutor é dada pela relação:
𝑃(𝑡) = 𝑉(𝑡) ∙ 𝑖(𝑡) = 𝑖(𝑡) ∙ 𝐿 ∙
𝑑𝑖(𝑡)
(14)
𝑑𝑡
A energia armazenada no campo magnético do indutor linear é dada pela relação.
𝑡
𝑡
𝑡
𝑊(𝑡) = ∫0 𝑃(𝜏). 𝑑𝜏 = ∫0 𝑉(𝜏) ∙ 𝑖(𝜏) ∙ 𝑑𝜏 = ∫0 𝑖(𝜏) ∙ 𝐿 ∙
𝑊(𝑡) = 𝐿 ∙ 𝑖(𝑡)2
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑖(𝑡)
∙ 𝑑𝜏 = 𝐿 ∙ ∫0
𝑖 ∙ 𝑑𝑖
(15)
A energia magnética armazenada é, assim, diretamente relacionada ao valor da indutância.
A Tabela 1 mostra de forma resumida as relações tensão-corrente para os componentes básicos dos
circuitos abordados até aqui.
Tabela 1: Relação Tensão-corrente dos Componentes Básicos
Elemento
Resistor
Capacitor
Símbolo e Unidade
Ω ohm
C farad
Relação Tensão-Corrente
𝑉(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡)
𝑡
1
𝑉(𝑡) = ∙ ∫ 𝑖(𝜏) ∙ 𝑑𝜏 + 𝑉(0)
𝐶
0
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑖
𝑉(𝑡) = 𝐿 ∙
𝑑𝑡
𝑡
1
𝑖(𝑡) = ∙ ∫ 𝑉(𝜏) ∙ 𝑑𝜏 + 𝑖(0)
𝐿
𝑖(𝑡) = 𝐶 ∙
Indutor
L henry
0
5. Exercícios Propostos.
Exercícios 1:
Dado um resistor com a resistência de 10 Ohms, calcule:
a) a corrente para uma tensão continua aplicada de 150 Volts;
b) a potência dissipada para a tensão continua aplicada de 150 Volts;
c) a potência dissipada para o dobro da tensão aplicada no item a);
d) a potência dissipada para a metade da tensão aplicada no item a);
e) a corrente para uma tensão alternada de V(t) = 320 . sint(t);
f) a potência para a tensão do item e);
Exercícios 2 :
Dado um capacitor com a capacitância de 100 mF, calcule:
a) a carga armazenada para uma tensão alternada definida por V(t) =120 . sin(t) Volts;
b) a corrente para tensão alternada definida V(t) = 120 . sin(t) Volts;
c) a potência associada ao capacitor para a tensão do item a);
Exercício 3:
Dado um indutor com a indutância de 100 mH, calcule:
a) o fluxo magnético da bobina para um corrente alternada definida por i(t) = 120 . sin(t) ampères;
b) a tensão para uma corrente alternada definida por i(t) = 120 . sint(t) ampères;
c) a potência do indutor para tensão do item a);
6. Exercícios Adicionais
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos. Bookman
(central 20, Edição 2000) – Capitulo 1 Questões de revisão: 1.1 a 1.10. Proplemas: 1.1 a 1.17, 1.19, 1.20,
1.21, 1.22, 1.24, 1.26, 1.29, 1.30, 1.33, 1.34.
Bibliografia:
1.
2.
3.
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos.
Bookman
L.Q. Orsini e Denise Consonni . Curso de Circuitos Elétricos 2ª Edição Volume 1
Schaum McGraw-Hill Milton Gussow Eletricidade Básica 2ª Edição (Makron Books)
Conceitos básico de circuitos conforme cronograma de aulas –Fundamentos de Circuitos
Elétricos .
Prof. Luizir Modesto Pereira