Lei de Coulomb

Lei de Coulomb:
1
𝑞 ∙𝑞
𝐹⃗ = 4𝜋𝜀 ∙ 1𝑟 2 2 𝑟̂
0

Método para distribuição de cargas:
 Dividir a distribuição em infinitos dq
 Analisar 𝑑𝐹⃗ feito por dq




Dividir 𝑑𝐹⃗ em suas componentes dFx e dFy
Analisar se há alguma forma de simetria que simplifica as contas
Calcular em módulo as componentes Fx e Fy [Fx=∫ 𝑑𝐹𝑥; Fy=∫ 𝑑𝐹𝑦]
Passar para a notação vetorial 𝐹⃗
Campo Elétrico:
⃗
𝐹
𝐸⃗⃗ = 𝑞

𝐾𝑞
Para cargas pontuais: 𝐸⃗⃗ = 𝑟 2 𝑟̂

Distribuição de cargas:

Mesmo método de 𝐹⃗ [d𝐸⃗⃗ no caso]
Observação importante: “brincando” com o elemento diferencial
𝑙 = 𝑓(𝜃) =>
𝑑𝑙
𝑑𝜃
= 𝑓 ′ (𝜃) => 𝑑𝑙 = 𝑓 ′ (𝜃)𝑑𝜃 ;Ex: 𝑙 = 𝜃 ∙ 𝑟 =>
𝑑𝑙
𝑑𝜃
= 𝑟 => 𝑑𝑙 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃
4
𝑉 = 𝑓(𝑟) => 𝑑𝑉 = 𝑓 ′ (𝑟)𝑑𝑟 ; Ex: 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 => 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟
O mesmo vale para áreas, comprimentos e volumes definidos em outras funções
Lei de Gauss:
𝜙 = ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ =

𝑄𝑖
𝜀0

Escolher uma superfície gaussiana imaginária que utilize alguma simetria
Analisa-se o 𝐸⃗⃗ sob esta superfície

Qi => carga interna a superfície gaussiana
Ex:
Potencial Elétrico
∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞
-> definição -> é possível chegar a todas as fórmulas por ela
𝑊
∆𝑉 = − 𝑞 = −



∫ 𝐹⃗ ∙𝑑𝑙⃗
𝑞
= − ∫ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗
𝑥
𝑞
Para cargas pontuais: ∆𝑉 = 𝑉𝑥 − 𝑉∞ = − ∫∞ 𝐾 ∙ 𝑟 2 𝑑𝑟 => 𝑉𝑥 =
𝐾𝑞
𝑟
[potencial feito
por uma carga pontual em um ponto x a uma distância r]
Distribuição de cargas:
 Mesmo método de força e campo elétrico [porém dV no caso, não mais
vetorial!]
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
Relação Campo Elétrico – Potencial Elétrico: 𝐸⃗⃗ = −∇𝑉 = −( 𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂)
Condutores:
Equilíbrio eletrostático -> cargas se distribuem pela superfície
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Capacitores:
𝑞
𝐶 = 𝑉; c-> capacitância, q-> carga, V-> tensão no capacitor

Métodos de cálculo de capacitância:
 Definir um campo elétrico interno
 Calcular 𝑉 = − ∫ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗; sendo o ponto inicial a placa negativa

𝑞
𝐶=𝑉
Ex: Placas paralelas
𝜎
𝜎
𝜎
𝑑
𝑞
𝜖
|𝐸⃗⃗ | = 𝜀 => 𝑉 = − ∫ − 𝜀 𝑑𝑙 = 𝜖 𝑑 = 𝑞 ∙ 𝐴∙𝜖 ; 𝐶 = 𝑉 = 𝐴 ∙ 𝑑0
0

0
0
0
Capacitores em série:
1
1
1
1
2
𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞 ; 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉 => 𝐶 = 𝐶 + 𝐶
𝑒𝑞

Capacitores em paralelo:
𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉 ; 𝑞1 + 𝑞2 = 𝑞 => 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2

Capacitor com dielétrico:
C’=K C ; onde K é a constante dielétrica

Energia Armazenada:
𝑞2
𝑈 = 2𝐶
Circuitos:
𝑖 = ∫ 𝑗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗, onde i é a corrente e j(vetorial) é a densidade de corrente)
𝑗⃗
**** obs: velocidade de deriva: 𝑣⃗𝑑 = − 𝑒∙𝑛; onde e é a carga do elétron e n a
densidade de elétrons

Resistor:
𝑅=
∆𝑉
𝑖
𝐿
= 𝜌 ∙ 𝐴 ; onde 𝜌 é a resistividade (𝐸⃗⃗ = 𝜌 ∙ 𝑗⃗)

Resistor em série:

𝑖 = 𝑖1 = 𝑖2 ; 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 => 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2
Resistor em paralelo:
𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 ; 𝑉 = 𝑉1 = 𝑉2 =>

1
𝑅𝑒𝑞
1
1
=𝑅 +𝑅
1
2
Análise das tensões – Lei de Kirchhoff:
∑ 𝑉𝑖 = 0, ou seja, somatório das tensões em cada elemento seguindo um caminho
fechado é igual a zero
Exemplo:
𝑉 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅3 = 0

Circuitos RC:


Carga do capacitor: 𝑞(𝑡) = 𝐶𝑒𝑞 ∙ 𝜀 ∙ (1 − 𝑒
Descarga: 𝑞(𝑡) = 𝑞0 ∙ 𝑒
𝑡
−
𝑅𝑒𝑞 ∙𝐶𝑒𝑞
−
𝑡
(𝑅𝑒𝑞 ∙𝐶𝑒𝑞 )
𝜀
) ; 𝑖(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑒
𝑒𝑞
; 𝑖(𝑡) = − 𝑅
𝑞0
𝑒𝑞 ∙𝐶𝑒𝑞
∙𝑒
𝑡
−
𝑅𝑒𝑞 ∙𝐶𝑒𝑞
−
𝑡
𝑅𝑒𝑞 ∙𝐶𝑒𝑞
Força Magnética:
⃗⃗ , onde 𝑣⃗ × 𝐵
⃗⃗ é o produto vetorial da velocidade da carga e do campo
𝐹⃗ = 𝑞 ∙ 𝑣⃗ × 𝐵
magnético, e a força é a força sobre uma carga em movimento

Sobre um fio:
⃗⃗ , calcula-se então F pela integral
𝑑𝐹⃗ = 𝑖 ∙ 𝑑𝑙⃗ × 𝑑𝐵
Lei de Biot-Savart (Campo Magnético)
⃗⃗ = ∫ 𝑑𝐵
⃗⃗ = ∫
𝐵

𝜇0
4𝜋
∙
𝑖∙𝑑𝑙⃗×𝑟̂
𝑟2
Recomendação:
1. Antes de mais nada, dividir em infinitos 𝑖 ∙ 𝑑𝑙⃗
2. Calcular em módulo
3. Lembre-se: |𝑑𝑙⃗ × 𝑟̂ | = |𝑑𝑙⃗| ∙ |𝑟̂ | ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜙) = 𝑑𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜙)
4. Ver direção e sentido pela regra da mão direita
Lei de Ampère
⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = 𝜇0 ∙ 𝑖𝑖
∮𝐵



Escolher curva aperiana adequada
⃗⃗ na curva
Analisar 𝐵
𝑖𝑖 => corrente que passa internamente a curva
Lei de Faraday-Lenz
𝜀𝑖𝑛𝑑 = −
𝑑𝜙𝐵
𝑑𝑡
⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗
, onde 𝜙𝐵 = ∫ 𝐵
Interpretação: força eletromotriz se opõe (sinal de menos) a variação do fluxo, cria um
campo magnético induzido Bind oposto a variação



Analisar variação do fluxo
Analisar direção e sentido de Bind
Usar regra da mão direita para calcular sentido da corrente induzida

𝑖𝑖𝑛𝑑 =
|𝜀𝑖𝑛𝑑 |
𝑅
quando houver uma resistência que torne possível essa conta
Indutores
𝑑𝑖
𝑉 = −𝐿 ∙ 𝑑𝑡 ; L-> indutância

Método de cálculo da indutância:
 Calcular o campo magnético interno
 Calcular o fluxo (ou N vezes o fluxo para N espiras)

𝐿=
𝑁∙𝜙𝐵
𝑖
Circuitos RL
Circuito com fonte e indutor sem energia:
𝜀
𝑖(𝑡) = 𝑅 (1 − 𝑒
𝑉𝐿 (𝑡) = 𝜀 ∙ 𝑒
−𝑡∙𝑅𝑒𝑞
𝐿
)
−𝑡∙𝑅𝑒𝑞
𝐿
𝑉𝑅 (𝑡) = 𝜀(1 − 𝑒
−𝑡∙𝑅𝑒𝑞
𝐿
i
ixt
)
Após retirada da fonte (apenas indutor com energia e resistor):
𝑖(𝑡) = 𝑖0 ∙ 𝑒
−𝑡∙𝑅𝑒𝑞
𝐿
𝑉𝐿 (𝑡) = −𝑉𝑅 (𝑡)
𝑉𝑅 (𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖0 ∙ 𝑒
−𝑡∙𝑅𝑒𝑞
𝐿
Obs.: Polaridade do indutor inverte conforme a corrente começa a diminuir
Circuitos LC sem presença de fem [Oscilações Eletromagnéticas]


A energia está armazenada em algum elemento já posteriormente (capacitor e/ou
indutor)
Uma análise interessante a se fazer é a da conservação de energia, a partir da
energia máxima:

2
1
1
1 𝑞𝑀
2
∙ 𝐿 ∙ 𝑖𝑀
= ∙ 𝐶 ∙ 𝑉𝑀2 = ∙
2
2
2 𝐶
1
A frequência de oscilação é 𝜔 = 𝜔0 =


Carga do capacitor: 𝑞(𝑡) = 𝑞𝑀 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝜙)
𝑖(𝑡) = −𝜔 ∙ 𝑞𝑀 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝜙) ; ou seja: 𝑖𝑀 = 𝜔 ∙ 𝑞𝑀
𝑈 = 𝑈𝐵𝑀 = 𝑈𝐶𝑀 =
√𝐿∙𝐶
Oscilações Amortecidas:


A presença do resistor funciona como um amortecedor para a oscilação
A energia começa no indutor/capacitor e vai sendo dissipada pelo resistor
𝑞(𝑡) = 𝑞𝑀 ∙ 𝑒
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑀 ∙ 𝑒
−𝑅∙𝑡
2𝐿
−𝑅∙𝑡
2𝐿
𝑅 2
∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙) ; 𝜔 = √𝜔02 − (2𝐿)
∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑅
𝛾 = 2𝐿 é o coeficiente de amortecimento
Gráfico de i em função do tempo
Corrente Alternada


𝜀(𝑡) = 𝜀𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑀 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙)
𝑋𝐿 = 𝜔 ∙ 𝐿
1
𝑋𝐶 = 𝜔∙𝐶

𝑍 = √𝑅 2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )2 são as impedâncias capacitiva, indutora e resultante
Pela lei de Kirchhoff, temos que: 𝜀 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶

Em ressonância, 𝜔 = 𝜔𝑜 =

tan(𝜙) =
cos(𝜙) =
1
√𝐿𝐶
, temos então: 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 ; 𝑍 = 𝑅; 𝜙 = 0
(𝑋𝐿 −𝑋𝐶 )
𝑅
𝑅
𝑍

𝑉𝑅 (𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡)
𝑉𝐿 (𝑡) = 𝑋𝐿 ∙ 𝑖(𝑡)
𝑉𝐶 (𝑡) = 𝑋𝐶 ∙ 𝑖(𝑡), como pode ser visto, as impedâncias funcionam como espécies
de “resistências”

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠

Potência: 𝑃𝑚𝑒𝑑 = 2 𝜀𝑀 ∙ 𝐼𝑀 ∙ cos(𝜙) = 𝜀𝑟𝑚𝑠 ∙ 𝑖𝑟𝑚𝑠 ∙ cos(𝜙)

2
2
Toda a potência é dissipada no resistor, então 𝑃𝑚𝑒𝑑 = 𝐼𝑀
∙ 𝑅 = 𝑖𝑟𝑚𝑠
∙𝑅

Diagrama de fasores:
√2
= 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑀é𝑑𝑖𝑜𝑠𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝑟𝑚𝑠)
1
1
2