Conceitos Básicos de Circuitos Elétricos

Conceitos Básicos de Circuitos Elétricos
1. Introdução
Nesta apostila são apresentados os conceitos e definições fundamentais utilizados na análise
de circuitos elétricos. O correto entendimento e interpretação destes conceitos é essencial
para o restante do conteúdo.
2. Definição
Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação de componentes básicos
formando pelo menos um caminho fechado. Os componentes básicos de um circuito são os
seguintes:
• fontes de tensão dependentes ou independentes
• fontes de corrente dependentes ou independentes
• resistores
• capacitores
• indutores
As figuras 1 a 4 mostram exemplos dos elementos básicos de circuitos.
3. Grandezas Físicas Fundamentais
3.1 Corrente Elétrica
A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga elétrica que
atravessa dois dos seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o
ampère, simbolizado por A.
i(t) =
dq
dt
(1)
i(t) - ampère (A) , q - coulomb (C) , t - segundos (s).
(O elétron possui carga de - 1,602 x 10-19 C )
3.2 Tensão
A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito é definida como a variação
do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre estes dois
pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por V.
v(t) =
dW
dq
(2)
v - volt (V) , W - trabalho realizado (joule), q - coulomb (C).
3.3 Potência
É a taxa de transferência de energia para um componente. Nos circuitos elétricos ela é
definida pelo produto entre tensão e corrente em dois terminais. A unidade utilizada é o watt
(ou joule/s), simbolizado por W.
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - 2/8/2004
dW dq dW
⋅
=
dq dt
dt
p(t) = v(t) ⋅ i(t) =
página 2/6
(3)
3.4 Energia
Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade utilizada é o
joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e demais unidades
dela derivadas, tais como o kW-hora. (1 kW-hora equivale a 3,6.106 W.s).
dW = p ⋅ dt
(4)
Integrando-se a equação (4) entre os instantes 0 e t, resulta considerando-se W(0)=0:
t
W(t) = W(t) − W(0) = ∫ p(τ ) ⋅ dτ
0
t
W(t) = ∫ p(τ ) ⋅ dτ
(5)
0
4. Elementos de Circuitos
4.1 Fontes Independentes
A fonte ideal fornece uma determinada tensão entre seus terminais, independente das
características dos demais elementos ligados ao circuito. O sentido da corrente é considerado
positivo quando sair pelo terminal positivo e entrar pelo terminal negativo. Com esta
convenção, a potência fornecida pela fonte será positiva sempre que a fonte fornece energia
ao circuito, do contrário a potência terá um valor negativo. As fontes independentes podem
ser do tipo contínua ou alternada. A representação da fonte independente é dada na Figura
1a.
Uma bateria sem resistência interna pode ser considerada como um exemplo de fonte de
tensão contínua ideal. A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro
lado, é um exemplo de fonte tensão alternada.
4.2
Fontes Dependentes
O modelo de muitos componentes de uso corrente é feito por meio de fontes dependentes
(por exemplo o transistor). Desta forma a análise de circuitos também torna necessário a
utilização de fontes dependentes as quais podem ser de dois tipos: fontes de tensão
i
i
+
E
+
_
E
E(t)
E(t)
_
(a)
I
+
+
v
I
_
(b)
_
(c)
Figura 1 - (a) fontes independentes de tensão contínua, (b) fonte independente de tensão alternada,
(c) fonte independente de corrrente contínua
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - 2/8/2004
i
E
I
+
E
+
_
página 3/6
+
v
I
_
_
(a)
(b)
Figura 2 - (a) fonte dependentes de tensão, (b) fonte dependente de corrrente
dependente e fontes de corrente dependentes. Ambas podem ser dependentes tanto da
tensão entre dois pontos do circuito como da corrente em um ramo. A Figura 2 ilustra os dois
tipos básicos de fontes dependentes.
4.3
Resistor Linear
O resistor é caracterizado pela sua resistência elétrica, a qual para o
caso linear só depende das características do material empregado
(resistividade) e das suas dimensões geométricas. A resistência
expressa o grau de oposição à passagem de cargas elétricas que o
componente apresenta. A unidade utilizada para medir a resistência é
o ohm, simbolizado por Ω . No resistor linear, a tensão e a corrente
nos seus terminais estão relacionadas pela Lei de Ohm (Figura 3):
R=
v(t)
i(t)
⇔
v(t) = R ⋅ i(t)
(6)
i
+
v
R
_
Figura 3 - Resistor linear
A resistência é, assim, um fator de proporcionalidade entre a tensão e a corrente em um
resistor. A maioria dos resistores possui características variáveis com a temperatura sendo
que a resistência em geral aumenta com a temperatura.
A corrente em um resistor é considerada positiva quando entrar pelo terminal positivo
(potencial mais alto) e sair pelo negativo (potencial mais baixo). A potência associada ao
resistor é assim positiva, significando que o mesmo consome energia. A potência dissipada
por um resistor é dada por:
p(t) = v ⋅ i =
v2 2
= i ⋅R
R
(7)
4.4 Capacitor Linear
O capacitor possui como característica básica a sua capacidade de
armazenar cargas elétricas e energia no seu campo elétrico. Em
geral, o capacitor é formado por placas metálicas separadas por um
meio dielétrico. Ao ser submetido a uma tensão elétrica, ocorre um
acúmulo de cargas nas placas, criando entre elas um campo
elétrico. No campo criado pela presença das cargas elétricas é
armazenada energia.
A grandeza que caracteriza o capacitor é sua capacitância, definida
como a quantidade cargas elétricas armazenadas por unidade de
tensão aplicada. A unidade de capacitância é o farad, cujo símbolo
i
+
v
C
_
Figura 4 - Capacitor linear
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - 2/8/2004
página 4/6
é F.
Como no caso da resistência, esta é uma grandeza que depende somente do material
empregado (constante dielétrica do meio que se situa entre as placas) e das suas dimensões
geométricas. A tensão e a corrente nos terminais de um capacitor estão relacionadas
conforme segue (Figura 4):
q(t ) = C ⋅ v(t )
dq(t )
dv(t )
= i(t ) = C ⋅
dt
dt
(8)
ou ainda :
t
v(t) − v(0) =
1
⋅ i(τ ) ⋅ dτ
C 0∫
t
v(t) =
1
⋅ i(τ ) ⋅ dτ + v(0)
C 0∫
(9)
A corrente no capacitor será considerada positiva quando entrar pelo terminal de potencial
mais alto (positivo) e sair pelo terminal de potencial mais baixo (negativo), conforme mostra a
figura 3 acima. Assim, a potência associada com o capacitor será positiva, quando a corrente
tiver o sentido positivo admitido e a tensão tiver uma polaridade também de acordo com o
indicado em relação a corrente. De acordo com a equação (8), a corrente do capacitor
depende diretamente da variação de tensão no mesmo. A partir da expressão da potência
dada pela equação (3), pode-se determinar a potência associada com o capacitor:
p(t) = v ⋅ i = v ⋅ C ⋅
dv
dt
(10)
A energia armazenada no campo elétrico do capacitor linear é dada pela relação:
t
t
t
dv
W(t) = ∫ p(τ ) ⋅ dt = ∫ v(τ ) ⋅ i(τ ) ⋅ dτ = ∫ v(τ ) ⋅ C ⋅
⋅ dt = C ⋅
dt
o
0
0
W(t) =
C ⋅ v(t )2
2
v(t)
∫ v ⋅ dv
0
(9)
Pelas últimas expressões pode-se ver que a potência e a quantidade de energia armazenada
dependem diretamente do valor da capacitância.
4.5 Indutor Linear
É um dispositivo que possui um campo magnético capaz de armazenar
energia. O campo magnético do indutor é criado pela corrente elétrica
que percorre o indutor. Fisicamente ele pode constituir-se de uma
bobina que envolve um material magnético, tal como ferro, que
aumenta a capacidade de armazenar energia devido a sua alta
permeabilidade. A grandeza que caracteriza o indutor é a indutância.
Para o indutor linear, a indutância é uma constante, a qual só depende
do tipo de material empregado (permeabilidade magnética) e das
+
v
i
L
_
Figura 5 - Indutor linear
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - 2/8/2004
página 5/6
dimensões físicas do mesmo. A unidade de indutância é o henry, cujo símbolo é H.
A relação entre a tensão e corrente é dada conforme segue:
ψ(t ) = L ⋅ i(t )
dψ (t )
di(t )
= v(t ) = L ⋅
dt
dt
(11)
Outra forma alternativa para a relação (11) é dada por:
t
1
i(t) − i(0) = ⋅ ∫ v(τ ) ⋅ dτ
L 0
t
i(t) =
1
⋅ v(τ ) ⋅ dτ + i(0)
L 0∫
(12)
Como no caso do resistor e do capacitor, a corrente será considerada positiva quando entrar
pelo terminal positivo e sair pelo terminal negativo. Com esta convenção a potência associada
ao indutor será positiva quando a corrente concordar com o sinal positivo adotado e a
polaridade da tensão tiver o sentido indicado. A potência associada ao indutor é dada pela
relação:
p(t ) = v(t ) ⋅ i(t ) = i(t ) ⋅ L ⋅
di(t )
dt
(13)
A energia armazenada no campo magnético do indutor linear é dada pela relação
t
t
t
o
0
0
W(t ) = ∫ p(τ ) ⋅ dτ = ∫ v(τ ) ⋅ i(τ ) ⋅ dτ = ∫ i(τ ) ⋅ L ⋅
i(t)
di
⋅ dτ = L ⋅ ∫ i ⋅ di
dt
0
Tabela 1 : Relação Tensão-Corrente dos Componentes Básicos
Elemento
Símbolo e Unidade
Resistor
Ω
ohm
Capacitor
C
farad
Indutor
L
Relação Tensão-Corrente
v(t) = R ⋅ i(t)
t
v(t) =
henry
1
⋅ i(τ ) ⋅ dτ + v(0)
C 0∫
i(t) = C ⋅
dv
dt
v(t) = L ⋅
di
dt
t
i(t) =
1
⋅ v(τ ) ⋅ dτ + i(0)
L 0∫
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - 2/8/2004
W(t) =
L ⋅ i(t)2
2
página 6/6
(14)
A energia magnética armazenada é, assim, diretamente relacionada ao valor da indutância.
A Tabela 1 mostra de forma resumida as relações tensão-corrente para os componentes
básicos dos circuitos abordados até aqui.
5. Exercícios Propostos
Exercício 1 :
Dado um resistor com a resistência de 10 Ohms, calcule:
a) a corrente para uma tensão contínua aplicada de 150 Volts;
b) a potência dissipada para a tensão contínua aplicada de 150 Volts;
c) a potência dissipada para o dobro da tensão aplicada no item a);
d) a potência dissipada para a metade da tensão aplicada no item a);
e) a corrente para uma tensão alternada de v(t) = 320 ⋅ sin(t ) ;
f) a potência para a tensão do item e).
g) trace a curva da corrente e da potência ao longo do tempo para os itens e) e f).
Exercício 2 :
Dado um capacitor com a capacitância de 100 mF, calcule:
a) a carga armazenada para uma tensão alternada definida por v(t ) = 120 ⋅ sin(t ) Volts;
b) a corrente para uma tensão alternada definida por v(t ) = 120 ⋅ sin(t ) Volts;
c) a potência associada ao capacitor para a tensão do item a);
d) trace a curva da tensão, corrente, e potência determinadas no itens a), b) e c).
Exercício 3
Dado um indutor com a indutância de 100 mH, calcule:
a) o fluxo magnético da bobina
i(t ) = 120 ⋅ sin(t ) ampères;
para
uma
corrente
alternada
definida
por
b) a tensão para uma corrente alternada definida por i(t ) = 120 ⋅ sin(t ) ampères;
c) a potência do indutor para a tensão do ítem a);
d) trace a curva da tensão, corrente e fluxo e energia armazenada dos itens a) b) e c).
6. Exercícios Adicionais
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos.
Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 1. Questões de revisão: 1.1 a 1.10.
Problemas: 1.1 a 1.17, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22, 1.241.26, 1.29, 1.30, 1.33, 1.34.