Integral - Prof. Lúcio Fassarella

Universidade Federal do Espírito Santo
Prova de Cálculo I: Integral
Prof. Lúcio Fassarella
DMA/CEUNES/UFES
Data: 30/07/2014
Aluno:________________________ Matrícula________ . Nota:
:
:
_______
.Observações:
I A prova tem duração de 100 min; não é permitido entrar na sala após 20 min desde seu início
e não é permitido sair da sala antes desse prazo. I A resolução da prova é individual e sem consulta;
só é permitido o uso de caneta, lápis e borracha, além das folhas de prova e rascunho cedidas; não
são permitidos conversas, uso de calculadora ou qualquer outro dispositivo eletrônico. I As respostas
devem ser justi…cadas para serem consideradas válidas; resoluções caóticas, confusas e vagas serão
anuladas. I As respostas devem ser registradas a caneta.
Questão 1 (1:5 ponto) Determine a função f (x) que cumpre as seguintes propriedades:
d2
f (x) = ex=3 + x ; f (0) = 3; f 0 (0) = 0:
dx2
1
Aluno:________________________
Questão 2 (3:0 pontos) Calcule as integrais:
Z
a)
x sin ( x) dx
b)
Z
p
x 5x2
2
4dx
Aluno:________________________
Questão 3 (4:0 pontos): Calcule a área da região plana sombreada e que está delimitada pelas curvas
indicadas:
a) y = x2 + 3; y = 6x + 30,
b) y = sin (x) ; y = cos (x),
3
Aluno:________________________
Questão 4 (1:5 ponto) Determine os pontos de máximo e mínimo da função
F (x) =
Z
x2
cos
p
x dx ; 0
0
4
x
3
:
2
CHAVE DE CORREÇÃO
Questão 1 (1:5 ponto)
- Cálculo da primeira primitiva: 0:5;
- Cálculo da segunda primitiva: 0:5;
- Cpalculo das constantes de integração: 0:5.
Questão 2 (3:0 pontos)
Ítem a: 1:5 ponto
- Substituição para integral por partes: 0:5;
- Cálculo da primeira das duas integrais: 0:5;
- Cálculo da segunda das duas integrais: 0:5.
Ítem b 1:5 ponto
- Substituição: 0:6;
- Cálculo da integral substituida: 0:6;
- Expressão da integral em termos da variável original: 0:3.
Questão 3 (4:0 pontos)
Ítens a e b: 2:0 pontos
- Determinação das interseções (limites de integração): 0:5;
- Expressão integral da área: 0:7;
- Cálculo da integral: 0:8.
Questão 4 (1:5 ponto)
- Expressão de F em termos pelo TFC (explicitamente ou não): 0:5;
- Uso da técnica dos pontos críticos, com o cálculo da derivada de F : 0:5;
- Cálculos intermediários e resposta: 0:5.
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RESOLUÇÃO
Questão 1) Determine a função f (x) que cumpre as seguintes propriedades:
d2
f (x) = ex=3 + x ; f (0) = 3; f 0 (0) = 0:
dx2
Resolução. Para determinarmos f (x), basta calcularmos sucessivamente duas primiivas da
função ex=3 + x:
Z
x2
df
ex=3 + x dx + c1 = 3ex=3 +
(x) =
+ c1 ;
dx
2
Z
x2
x3
f (x) =
3ex=3 +
+ c1 dx + c2 = 9ex=3 +
+ c1 x + c2 :
2
6
Agora, consideramos as condições iniciais:
f (0) = 3
9 + c2 = 3
c2 =
6;
f 0 (0) = 0
3 + c1 = 0
c1 =
3:
Finalmente:
f (x) = 9ex=3 +
x3
6
3x
6
6:
(Resposta)
Questão 2) Calcule as integrais:
a)
Z
x sin ( x) dx
Resolução. Usaremos integração por partes:
du = dx
:
v = 1 cos ( x)
u=x
dv = sin ( x) dx
Então:
Z
x sin ( x) dx =
Z
=
udv = uv
1
1
=
Z
x cos ( x) +
vdu
Z
1
x cos ( x) +
1
2
cos ( x) dx
sin ( x) + c:
Em síntese:
Z
1
x sin ( x) dx =
x cos ( x) +
b)
Resolução. Usaremos substituição
u = 5x2
4
Z
1
2
sin ( x) + c:
p
x 5x2
(Resposta)
4dx
du = 10xdx
xdx = du=10:
Então:
Z
p
x 5x2
Z
1
u1=2 du
10
1 u3=2
+c
10 3=2
1
3=2
5x2 4
+ c:
15
4dx =
=
=
Em síntese:
Z
p
x 5x2
4dx =
1
5x2
15
4
7
3=2
+ c:
(Resposta)
Questão 3 (4:0 pontos): Calcule a área da região plana sombreada e que está delimitada pelas curvas
indicadas:
a) y = x2 + 3; y = 6x + 30,
Resolução. Os pontos de interseção das curvas são soluções da equação
x2 + 3 = 6x + 30 () x2
6x
27 = 0 () x =
3 ou x = 9:
Portanto, a área da região em questão é dada pela integral
Z 9
6x + 30 x2 3 dx
A1 =
=
=
=
3
9
Z
27 + 6x
x2 dx
3
27x + 3x2
x3
3
9
3
288:
Resposta: a área em questão mede 288 u:a:
b) y = sin (x) ; y = cos (x),
Resolução. Os pontos de interseção das curvas são o zero e a menor solução positiva da
equação
sin (x) = cos (x) () tan (x) = 1 () x = =4:
Como cos(0) = 1 e sin (0) = 0, concluimos que a área da região em questão é dada pela integral
Z =4
A2 =
(cos (x) sin (x)) dx
0
=4
=
(sin (x) + cos (x))j0
p
p !
2
2
=
+
(1 + 0)
2
2
p
=
2 1:
p
Resposta: a área em questão mede 2 1 u:a:
8
Questão 4 (1:5 ponto) Determine os pontos de máximo e mínimo da função
F (x) =
Z
x2
cos
p
x dx ; 0
x
0
3
:
2
Primeira resolução. Vamos resolver o problema aplicando a técnica dos pontos críticos.
p
Para calcular a derivada de F , considere uma primitiva G de cos ( x); então:
p
G0 (x) = cos x
e
F (x) = G x2
G (0) :
Usando a regra da cadeia, temos:
F 0 (x) =
p
d
x2 = 2x cos (x) ; 8x 2 (0; 3 =2) :
G x2 = 2xG0 x2 = 2x cos
dx
Os pontos críticos de F no interior do domínio de F são soluções da equação
x cos (x) = 0; x 2 (0; 3 =2) () x = =2:
Então, os pontos de máximo ou mínimo de F no intervalo [0; 3 =2] são um dos seguintes
x1 = 0 ; x2 =
2
3
:
2
; x3 =
Pela expressão de F 0 (x) = 2x cos (x), o comportamento do sinal dessa derivada nesse intervalo é
dado por:
+ + ++
3
0
|
2
{z
sinal de
2
F 0 (x)
Analisando os sinais da derivada de F , concluimos:
}
Resposta: =2 é ponto de máximo (local e) global de F e 3 =2 é ponto de mínimo (local e)
global de F (sendo 0 apenas um mínimo local, mas não global de F ).
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Questão 4 (1:5 ponto) Determine os pontos de máximo e mínimo da função
F (x) =
Z
x2
cos
p
x dx ; 0
3
:
2
x
0
Segunda resolução.
Preliminarmente, vamos obter a expressão de F (x).
Para
p obtermos a expressão explícita de F (x), primeiramente calculamos a primitiva de
cos ( x). Usando a substituição,
w=
p
Z
cos
segue:
dx
dw = p
2 x
x
p
x dx = 2
Z
2wdw = dw;
w cos (w) dw:
Agora, integramos por partes usando as substituições:
u=w
dv = cos (w) dw
du = dw
:
v = sin (w)
Então:
Z
w cos (w) dw
=
Z
Z
udv = uv
vdu
Z
= w sin (w)
sin (w) dw
= w sin (w) + cos (w) + c:
Portanto
Z
Pelo TFC, segue:
cos
p
p
p
p
x dx = 2 x sin x + 2 cos x + c:
p
p
p
F (x) = 2 x sin x + 2 cos x
x2
0
;
donde
F (x) = 2x sin (x) + 2 cos (x)
2:
Agora, aplicamos a Técnica dos Pontos Críticos.
A derivada de F :
F 0 (x) = 2x cos (x) :
Pontos críticos de F no intervalo (0; 3 =2):
2x cos (x) = 0; x 2 (0; 3 =2) () x = =2:
Valores de F no ponto crítico e nos extremos do domínio:
F (0) = 0; F
2
=
2 > 0; F
3
2
=
3
2 < 0:
Comparando os valores, concluimos:
Resposta:
global de F .
=2 é ponto de máximo (local e) global de F e 3 =2 é ponto de mínimo (local e)
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