Rodada 1 RL CD - Ponto dos Concursos

Rodada #1
Raciocínio Lógico
Professor Guilherme Neves
Assuntos da Rodada
RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação:
analogias, inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou
proposicional). 3.1 Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelasverdade. 3.3 Equivalências. 3.4 Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas
lógicos.4 Lógica de primeira ordem. 5 Princípios de contagem e
probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico envolvendo
problemas aritméticos, geométricos e matriciais.
RACIOCÍNIO LÓGICO
a. Teoria em Tópicos
1. Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em
verdadeira ou falsa, mas não as duas.
Exemplo: Paris está na Inglaterra (Falso).
2. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Portanto, expressões como
“Os alunos do Ponto dos Concursos” não são proposições lógicas, pois não
possuem predicado (verbo).
3. Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou
optativa.
Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições.
i) Que belo dia! (exclamativa)
ii) Qual é o seu nome? (interrogativa)
iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa – indica ordem)
iv) Que Deus te abençoe. (optativa – exprime desejo).
4. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença
aberta ou função proposicional. Sentença aberta é aquela em que o sujeito é um
termo variável.
Exemplo: Ele foi aprovado no concurso da Receita Federal em 2009.
A frase acima não é uma proposição lógica, pois não pode ser classificada em V
ou F, já que não sabemos quem é “ele”.
Exemplo: x + 2 = 8
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RACIOCÍNIO LÓGICO
A sentença acima não pode ser classificada em V ou F, pois não sabemos o valor
de x. A sentença x + 2 = 8 é, portanto, uma sentença aberta (não é proposição
lógica).
5. A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições com o
auxílio de operadores lógicos. Os operadores lógicos são o modificador (advérbio
não) e os conectivos.
6. O modificador é um operador lógico que “troca” o valor lógico das proposições.
Se temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o
modificador, teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos
uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma
proposição verdadeira.
7. Os símbolos que indicam que uma proposição foi “modificada” são: ~ 𝑜𝑢  . A
proposição modificada é chamada de negação da proposição original.
Exemplos:
𝑝: 𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎.
Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma
proposição verdadeira.
~𝑝: 𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝒏ã𝒐 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎.
Esta frase também pode ser lida das seguintes formas:
~𝑝: É 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎.
~𝑝: 𝑁ã𝑜 é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎.
3
RACIOCÍNIO LÓGICO
8. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo principal
para negar a frase. Vejamos outro exemplo:
𝑞: 𝐽𝑜ℎ𝑛 𝐿𝑒𝑛𝑛𝑜𝑛 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒𝑢 𝑜 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑚 2001.
Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma
proposição falsa.
~𝑞: 𝐽𝑜ℎ𝑛 𝐿𝑒𝑛𝑛𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒𝑢 𝑜 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑚 2001.
9. Uma tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das
proposições. Tabelas-verdade são especialmente usadas para determinar os
valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples.
Observe a tabela que dispõe as relações entre uma proposição p e a sua negação
~p.
p
~p
V
F
F
V
10. Além do modificador, podemos construir novas proposições utilizando
conectivos lógicos.
11. Os conectivos cobrados em provas são Conjunção (e), Disjunção Inclusiva
(ou), Disjunção Exclusiva (ou...ou), Condicional (se..., então) e o Bicondicional
(...se e somente se...).
4
RACIOCÍNIO LÓGICO
12. Caso o problema fale apenas “disjunção”, consideraremos que se trata da
Disjunção Inclusiva.
13. Os conectivos podem estar “disfarçados” sob expressões equivalentes.
Exemplo 1: “Fui à praia, mas não estudei” = “Fui à praia e não estudei.
Exemplo 2: “Quando vou à praia, não durmo”= “Se vou à praia, então não
durmo”.
Exemplo 3: “Penso, logo existo” = “Se penso, então existo”.
14. A proposição “Guilherme e Moraes são professores” é uma proposição
simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição
“Guilherme é professor e Moraes é professor” é uma proposição composta.
15. Cada um dos conectivos é representado por um símbolo.
Nome do Conectivo
Forma mais comum
Símbolo
Conjunção
e
∧
Disjunção (Inclusiva)
ou
∨
Disjunção Exclusiva
Ou...ou
∨
Condicional
Se..., então
→
Bicondicional
...se e somente se
⟷
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RACIOCÍNIO LÓGICO
16. Como distinguir os símbolos  e ? Basta colocar uma letra O ao lado dos
símbolos. Observe:
O
/
O
Em qual das duas situações você consegue ler “OU”? Na “palavra da esquerda!
Portanto, aquele símbolo é o “ou”. Consequentemente o outro é o “e”.
Outro processo mnemônico consiste em colocar um “pontinho” em cima do
símbolo. Vejamos:
Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva “i”? No símbolo da
direita! Portanto, aquele símbolo é o “e” (mesmo fonema do “i”).
17. Para classificar uma proposição composta em V ou F, devemos saber a regra
de cada um dos conectivos.
18. Uma proposição composta pelo conectivo “e” (conjunção) só é verdadeira
quando as duas frases componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das
frases componentes for falsa, a proposição composta será falsa.
Exemplo: Se a proposição “João é pobre” for falsa e se a proposição “João pratica
atos violentos” for verdadeira, então a proposição “João não é pobre, mas pratica
atos violentos” será verdadeira.
𝑉
⏞
𝐽𝑜ã𝑜
𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 .
⏟ 𝑛ã𝑜 é 𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎
⏟
𝑉
𝑉
Exemplo: A proposição “2+3 = 5 e a Lua é quadrada” é falsa, pois um de seus
componentes é falso.
6
RACIOCÍNIO LÓGICO
𝐹
⏞
2+3= 5 𝑒 𝑎
⏟
⏟𝐿𝑢𝑎 é 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎.
𝑉
𝐹
19. Uma proposição composta pelo conectivo “ou” (disjunção (inclusiva)) só é
verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. A disjunção
só será falsa se os dois componentes forem falsos.
Exemplo: A proposição “2+3 = 5 ou a Lua é quadrada” é verdadeira, pois pelo
menos um de seus componentes é verdadeiro.
𝑉
⏞
2 + 3 = 5 𝑜𝑢 𝑎
⏟
⏟𝐿𝑢𝑎 é 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎.
𝑉
𝐹
Exemplo: A proposição “Paris está na Inglaterra ou √16=3” é falsa, pois seus
dois componentes são falsos.
𝐹
⏞
𝑃𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑜𝑢 ⏟
√16 = 3.
⏟
𝐹
𝐹
20. Observe que o conectivo "ou" tem um sentido inclusivo, ou seja, classificamos
como verdadeira a proposição composta pelo “ou” que possui os dois
componentes verdadeiros.
𝑉
⏞
2 + 3 = 5 𝑜𝑢 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝑉
𝑉
21. Ao utilizar o conectivo “Ou...ou...” a proposição composta só será verdadeira
quando APENAS um dos componentes for verdadeiro. Se as duas frases
componentes forem verdadeiras, a composta será falsa. Se as duas frases forem
falsas, a composta será falsa.
𝐹
⏞
𝑂𝑢 2 + 3 = 5 𝑜𝑢 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝑉
𝑉
7
RACIOCÍNIO LÓGICO
Há exercícios em que a banca enfatiza o conectivo “ou...ou...” colocando a
expressão “mas não ambos” ao final da frase.
Assim, “Ou p ou q” = “Ou p ou q, mas não ambos”.
22. Na proposição condicional “Se p, então q”, a proposição p é o antecedente e
a proposição q é o consequente.
Exemplo: Se Guilherme é recifense, então é Igor é mineiro.
O antecedente é a proposição “Guilherme é recifense” e o consequente é a
proposição “Igor é mineiro”.
A proposição “Se p, então q” pode ser lida como “p é condição suficiente para q”
ou como “q é condição necessária para p”.
23. Uma proposição composta pelo conectivo “Se..., então...” só é falsa quando
ocorre VF, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
Em qualquer outra possibilidade (VV, FV, FF) a composta será verdadeira.
Exemplos:
𝑉
⏞
𝑆𝑒 2 + 3 = 5 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝑉
𝑉
𝐹
⏞
𝑆𝑒 2 + 3 = 5 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝑉
𝐹
𝑉
⏞
𝑆𝑒 2 + 3 ≠ 5 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝐹
𝑉
𝐹
⏞
𝑆𝑒 2 + 3 ≠ 5 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝐹
𝐹
8
RACIOCÍNIO LÓGICO
24. O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o
antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, a proposição composta pelo
“se..., então” é falsa. Em todos os outros casos a proposição composta será
verdadeira.
25.
Uma
proposição
𝑝
𝑞
𝑝→𝑞
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
composta
pelo
conectivo
“...se
e
somente
se...”
(bicondicional) é verdadeira quando os dois componentes têm valores iguais, ou
seja, VV ou FF. Se os componentes têm valores opostos (VF ou FV), a composta
será falsa.
𝑉
⏞
2 + 3 = 5 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝑉
𝑉
𝐹
⏞
2 + 3 = 5 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝑉
𝐹
𝐹
⏞
2 + 3 ≠ 5 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝐹
𝑉
𝑉
⏞
2 + 3 ≠ 5 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 ⏟
⏟
𝑎 𝐿𝑢𝑎 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎.
𝐹
𝐹
9
RACIOCÍNIO LÓGICO
26. O conectivo “se e somente se” corresponde à conjunção (e) de dois
condicionais (se...,então...). Em outras palavras, as proposições “P se e somente
se Q” e “Se P, então Q e se Q, então Q” querem dizer a mesma coisa (são
equivalentes).
Exemplo: São equivalentes as proposições “Hoje é Natal se e somente se hoje é
25/12” e “Se hoje é Natal, então hoje é 25/12 e se hoje é 25/12, então hoje é
Natal”.
A proposição “p se e somente se q” pode ser lida como “p é condição necessária
e suficiente para q” ou “q é condição necessária e suficiente para p”.
27. Podemos resumir tudo o que foi dito sobre conectivos com a seguinte tabelaverdade.
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
𝑝∨𝑞
𝑝∨𝑞
𝑝→𝑞
𝑝↔𝑞
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
10
RACIOCÍNIO LÓGICO
28. Para facilitar o processo mnemônico, podemos fixar as regras que tornam
as compostas verdadeiras.
Conjunção 𝑝 ∧ 𝑞
Disjunção Inclusiva
𝑝∨𝑞
Disjunção Exclusiva
𝑝∨𝑞
As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Ao menos uma das proposições p, q deve ser
verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem
falsas.
Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A
proposição composta será falsa se os dois componentes
forem verdadeiros ou se os dois componentes forem
falsos.
Condicional
𝑝→𝑞
Não pode acontecer o caso de o antecedente ser
verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode
acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem
informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta
ordem.
Bicondicional
𝑝↔𝑞
Os valores lógicos das duas proposições devem ser
iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são
falsas.
29. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n
proposições simples é 2n.
Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois,
pelas leis do pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores
lógicos: V ou F.
11
RACIOCÍNIO LÓGICO
p
V
F
Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 22 = 4.
SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições,
começaremos com a seguinte disposição.
pq
VV
VF
FV
FF
12
RACIOCÍNIO LÓGICO
Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 23 = 8.
SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições,
começaremos com a seguinte disposição.
pqr
VVV
VVF
VF V
VF F
F VV
F VF
FFV
FFF
Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma
valoração.
30. Tautologia é uma proposição composta que é verdadeira independentemente
dos valores das proposições simples que a compõem.
Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabelaverdade envolvendo apenas estas três proposições terá 23 = 8 linhas.
Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p  r )  (~ q  r ) .
E o que significa “construir a tabela-verdade” desta proposição?
13
RACIOCÍNIO LÓGICO
Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta
proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta
proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa.
Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição:
pqr
VVV
VVF
VF V
VF F
F VV
F VF
FFV
FFF
Neste “começo” de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações
destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início.
Na primeira coluna, temos 4 “V” seguidos de 4 “F”. Na segunda coluna temos 2
“V” seguidos de 2 “F” alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos “V” e
“F” que se alternam.
Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim.
Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p  r )  (~ q  r ) .
14
RACIOCÍNIO LÓGICO
Observe que não aparece a proposição 𝑞 propriamente dia e sim a sua negação.
Portanto, o primeiro passo é construir a negação de 𝑞. Lembre-se que se uma
proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente.
p q
r
~q
V V V F
V V F
F
V F V V
V F F V
F V V F
F V F
F
F F V V
F F F V
Valores opostos!!
Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições
compostas que estão dentro dos parênteses. Comecemos por 𝑝 ∧ 𝑟. Devemos
conectar a proposição 𝑝 com a proposição 𝑟 através do conectivo “e”. Lembre-se
que uma proposição composta pelo “e” só é verdadeira quando os dois
componentes são verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas 𝑝 e 𝑟
são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta 𝑝 ∧ 𝑟 falsa.
15
RACIOCÍNIO LÓGICO
p q
r
~ q pr
V V V F
V
V V F
F
F
V F V V
V
V F F V
F
F V V F
F
F V F
F
F
F F V V
F
F F F V
F
Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de
parênteses: ~𝑞 ∨ 𝑟.
Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo “ou” é verdadeira
quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar
apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ~𝑞 ou 𝑟 for verdadeira.
16
RACIOCÍNIO LÓGICO
p q
r
~ q pr ~ qr
V V V F
V
V
V V F
F
F
F
V F V V
V
V
V F F V
F
V
F V V F
F
V
F V F
F
F
F
F F V V
F
V
F F F V
F
V
Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e
portanto, a composta construída é falsa nestes casos.
Podemos agora, finalmente construir a composta ( p  r )  (~ q  r ) . Lembre-se que
há apenas um caso em que a composta pelo “se..., então” é falsa: quando o
primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar
apenas as duas últimas colunas.
Vejamos cada linha de per si:
1ª linha: V V (o condicional é verdadeiro).
2ª linha: F F (o condicional é verdadeiro).
3ª linha: V V (o condicional é verdadeiro).
4ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
5ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
6ª linha: F F (o condicional é verdadeiro).
17
RACIOCÍNIO LÓGICO
7ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
8ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
Desta forma:
p q
r
~ q p  r ~ q  r ( p  r )  (~ q  r )
V V V F
V
V
V
V V F
F
F
F
V
V F V V
V
V
V
V F F V
F
V
V
F V V F
F
V
V
F V F
F
F
F
V
F F V V
F
V
V
F F F V
F
V
V
Concluímos que a proposição composta ( p  r )  (~ q  r ) é sempre verdadeira,
independentemente dos valores atribuídos às proposições 𝑝, 𝑞 𝑒 𝑟.
Dizemos então que a proposição ( p  r )  (~ q  r ) é uma tautologia (ou
proposição logicamente verdadeira).
31. Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente dos
valores das proposições simples que a compõem.
Para verificar se uma proposição é uma contradição, devemos construir a sua
tabela-verdade.
18
RACIOCÍNIO LÓGICO
32. Contingência é uma proposição composta que assume valores V ou F a
depender dos valores das proposições componentes.
Para verificar se uma proposição é uma contingência, devemos construir a sua
tabela-verdade.
33. Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas
“dizem a mesma coisa”.
Por exemplo:
𝑝: Eu joguei o lápis.
𝑞: O lápis foi jogado por mim.
As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma
coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma
delas for falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são
logicamente equivalentes.
Em símbolos, escrevemos 𝑝 ⇔ 𝑞.
34. Para mostrar que duas proposições são equivalentes, devemos construir as
tabelas-verdade e verificar se elas possuem as mesmas valorações em todas as
linhas.
Exemplo: Mostre que são equivalentes as proposições 𝑝 → 𝑞, ~𝑞 → ~𝑝 e ~𝑝 ∨ 𝑞.
19
RACIOCÍNIO LÓGICO
Precisamos apenas construir a tabela-verdade.
p q ~ q ~ p p  q ~ q ~ p ~ p  q
V V F
F
V
V
V
V F
V
F
F
F
F
F V F
V
V
V
V
F F
V
V
V
V
V
Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas
logicamente equivalentes.
35. As proposições equivalentes do tópico anterior são responsáveis por 99% das
questões de concurso sobre este assunto. Portanto, não se preocupe. Você não
precisará construir uma tabela para resolver a questão da sua prova (afirmo isso
com 99% de probabilidade de acertar. Rs...).
Portanto, memorize as seguintes equivalências:
(𝑝 → 𝑞) ⇔ (~𝑞 → ~𝑝)
(𝑝 → 𝑞) ⇔ (~𝑝 ∨ 𝑞)
36. A equivalência (𝑝 → 𝑞) ⇔ (~𝑞 → ~𝑝) permite construir uma proposição
composta pelo “se...,então...” a partir de outra proposição composta pelo
“se...,então”. Para tanto, basta negar os dois componentes e trocar a ordem.
Exemplo: São equivalentes as proposições “Se bebo, então não dirijo” e “Se
dirijo, então não bebo”.
20
RACIOCÍNIO LÓGICO
37. A equivalência (𝑝 → 𝑞) ⇔ (~𝑝 ∨ 𝑞) permite construir uma proposição
composta pelo “ou” a partir de uma composta pelo “se...,então...”. Para tanto,
basta negar o primeiro componente.
Exemplo: São equivalentes as proposições “Penso, logo existo” e “Não penso ou
existo”.
38. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, deve-se negar os
componentes e trocar o conectivo por “e”.
Exemplo: A negação de “Corro ou não durmo” é “Não corro e durmo”.
39. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, deve-se negar os
componentes e trocar o conectivo por “ou”.
Exemplo: A negação de “Corro e não durmo” é “Não corro ou durmo”.
40. Para negar uma proposição composta pelo “Se...,então...”: copie o
antecedente, negue o consequente e troque o conectivo por “e”. Em outras
palavras, copie a primeira parte, negue a segunda e troque por “e”.
Exemplo: A negação de “Penso, logo existo” é “Penso e não existo”.
41. Proposições quantificadas são aquelas utilizam expressões como “Todo”,
“Nenhum”, “Algum”.
Observação: Algum = Existe = Pelo menos um = Existe um = Existe pelo
menos um = Existe algum
21
RACIOCÍNIO LÓGICO
42. Uma proposição do tipo “Todo...é”... é chamada de Proposição Universal
Afirmativa (U.A.)
Exemplo de U.A.: Todo recifense é pernambucano.
43. Uma proposição do tipo “Todo...não é”... é chamada de Proposição
Universal Negativa (U.N.). A Universal Negativa também pode ser representada
por “Nenhum...é...”.
Exemplo de U.N.: Todo brasileiro não é uruguaio = Nenhum brasileiro é
uruguaio.
44. Uma proposição do tipo “Algum...é”... é chamada de Proposição Particular
Afirmativa (P.A.)
Exemplo de P.A.: Algum recifense é pernambucano.
45. Uma proposição do tipo “Algum... não é”... é chamada de Proposição
Particular Negativa (P.N.)
Exemplo de P.N.: Algum carioca não é pernambucano.
22
RACIOCÍNIO LÓGICO
46. Resumo das proposições quantificadas.
Proposição universal afirmativa
Todo recifense é pernambucano.
Proposição universal negativa
Nenhum recifense é pernambucano.
Proposição particular afirmativa
Algum recifense é pernambucano.
Proposição particular negativa
Algum recifense não é
pernambucano.
47. Como negar proposições quantificadas? Se for Particular, troca por
Universal (e vice-versa). Se Afirmativa, troca por Negativa.
Afirmação
Negação
Particular afirmativa (“algum...”)
Universal negativa (“nenhum...” ou
“todo... não ...”)
Universal negativa (“nenhum...” ou
Particular afirmativa (“algum...”)
“todo... não...”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Particular negativa (“algum... não”)
Particular negativa (“algum... não”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua
negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um
quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL.
Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será
NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será
AFIRMATIVA.
23
RACIOCÍNIO LÓGICO
Vejamos alguns exemplos:
p : Algum político é honesto.
p : Existe político honesto.
A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma
UNIVERSAL NEGATIVA.
~ p : Nenhum político é honesto.
~ p : Todo político não é honesto.
q : Nenhum brasileiro é europeu.
q : Todo brasileiro não é europeu.
A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma
PARTICULAR AFIRMATIVA.
~ q : Algum brasileiro é europeu.
~ q : Existe brasileiro que é europeu.
24
RACIOCÍNIO LÓGICO
r : Todo concurseiro é persistente.
A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma
PARTICULAR NEGATIVA.
~ r : Algum concurseiro não é persistente.
~ r : Existe concurseiro que não é persistente.
t : Algum recifense não é pernambucano.
t : Existe recifense que não é pernambucano.
A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma
UNIVERSAL AFIRMARTIVA.
~ t : Todo recifense é pernambucano.
48. Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação?
De três maneiras:
i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada.
ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa.
iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.
25
RACIOCÍNIO LÓGICO
49. O estudo das proposições categóricas (que utilizam quantificadores) pode ser
feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto
por uma linha fechada e não entrelaçada.
50. Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das
proposições categóricas.
Todo A é B  Todo elemento de A também é elemento de B.
Nenhum A é B  A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem
elementos comuns.
Algum A é B  Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum.
Algum A não é B  O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento
de B.
51. Todo A é B
A proposição categórica “Todo A é B” é equivalente a:
A é subconjunto de B.
A é parte de B.
A está contido em B.
B contém A.
B é universo de A.
B é superconjunto de A.
26
RACIOCÍNIO LÓGICO
Se sabemos que a proposição “Todo A é B” é verdadeira, qual será o valor lógico
das demais proposições categóricas?
“Algum A é B” é necessariamente verdadeira.
“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.
“Algum A não é B” é necessariamente falsa.
52. Algum A é B
A proposição categórica “Algum A é B” equivale a “Algum B é A”.
Se “algum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?
“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.
“Todo A é B” e “Algum A não é B” são indeterminadas.
Observe que quando afirmamos que “Algum A é B” estamos dizendo que existe
pelo menos um elemento de A que também é elemento de B.
53. Nenhum A é B
A proposição categórica “Nenhum A é B” equivale a:
Nenhum B é A.
Todo A não é B.
27
RACIOCÍNIO LÓGICO
Todo B não é A.
A e B são conjuntos disjuntos.
Se “nenhum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?
“Todo A é B” é necessariamente falsa.
“Algum A não é B” é necessariamente verdadeira.
“Algum A é B” é necessariamente falsa.
54. Algum A não é B
Observe que “Algum A não é B” não equivale a “Algum B não é A”. Por exemplo,
dizer que “Algum brasileiro não é pernambucano” não equivale a dizer que
“Algum pernambucano não é brasileiro”.
Se “algum A não é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?
“Nenhum A é B” é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção
dos conjuntos A e B.
“Algum A é B” é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na
interseção dos conjuntos A e B.
“Todo A é B” é necessariamente falsa.
28
RACIOCÍNIO LÓGICO
b. Revisão 1 (Questões)
CESPE/UnB 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE
Considere as seguintes proposições para responder às duas próximas
questões.
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há
punição de criminosos.
P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a
aumentar.
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz
justiça com as próprias mãos.
01. A quantidade de linhas da tabela verdade associada à proposição P1 é igual
a
a) 32.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 16.
29
RACIOCÍNIO LÓGICO
02. Assinale a opção que apresenta uma negação correta da proposição P1.
a) Se não há punição de criminosos, então não há investigação ou o suspeito
não é flagrado cometendo delito.
b) Há punição de criminosos, mas não há investigação nem o suspeito é
flagrado cometendo delito.
c) Há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, mas não há
punição de criminosos.
d) Se não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito, então
não há punição de criminosos.
e) Se não há investigação e o suspeito não é flagrado cometendo delito, então
não há punição de criminosos.
CESPE/UnB 2016 – ANALISTA - INSS
Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos.
03. A sentença Bruna, acesse a internet e verifique a data da aposentadoria do
Sr. Carlos!” é uma proposição composta que pode ser escrita na forma 𝑝 ∧ 𝑞.
04. Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a
condicional 𝑝 ⟶ (𝑞 ⟶ 𝑝) será, sempre, uma tautologia.
05. Caso a proposição simples “Aposentados são idosos” tenha valor lógico falso,
então o valor lógico da proposição “Aposentados são idosos, logo eles devem
repousar” será falso.
30
RACIOCÍNIO LÓGICO
06. Dadas as proposições simples p: “Sou aposentado” e q: “Nunca faltei ao
trabalho”, a proposição composta “Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho,
então não sou aposentado” deverá ser escrita na forma (𝑝 ∧ 𝑞) ⟶ ~𝑝 usando-se
os conectivos lógicos.
CESPE/UnB 2016 – TÉCNICO - INSS
Com relação a lógica proposicional, julgue os itens subsequentes.
07. Supondo-se que p seja a proposição simples “João é fumante”, que q seja a
proposição simples “João não é saudável” e que 𝑝 → 𝑞, então o valor lógico da
proposição “João não é fumante, logo ele é saudável” será verdadeiro.
08. Considerando-se as proposições simples “Cláudio pratica esportes” e “Cláudio
tem uma alimentação balanceada”, é correto afirmar que a proposição “Cláudio
pratica esportes ou ele não pratica esportes e não tem uma alimentação
balanceada” é uma tautologia.
09. Na lógica proposicional, a oração “Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a
probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que
não é fumante” representa uma proposição composta.
31
RACIOCÍNIO LÓGICO
c. Revisão 2 (Questões)
CESPE/UnB 2016 – DPU
Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua
própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes
quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças
(proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será́ punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá́ optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime
B, lembrou que ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
10. Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime,
então, independentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas,
a proposição 𝑅 ∧ 𝑆 → 𝑄 será sempre falsa.
11. A proposição “Caso tenha cometido os crimes A e B, não será́
necessariamente encarcerado nem poderá́ pagar fiança” pode ser corretamente
simbolizada na forma (𝑃 ∧ 𝑄) → ((~𝑅) ∨ (~𝑆)).
12. A sentença (𝑃 → 𝑄) ⟷ ((~𝑄) → (~𝑃)) será́ sempre verdadeira,
independentemente das valorações de P e Q como verdadeiras ou falsas.
13. A sentença 𝑃 → 𝑆 é verdadeira.
14. A sentença 𝑄 → 𝑅 é falsa.
32
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 15 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
A negação da proposição: “Se o número inteiro m > 2 é primo, então o número
m é ímpar" pode ser expressa corretamente por:
a) “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar".
b) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar".
c) “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo".
d) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar".
e) “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar".
QUESTÃO 16 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
Considerando três variáveis (A, B e C), tais que A = 12, B = 15 e C = 3, bem
como a notação para operadores lógicos, assinale a opção que apresenta uma
expressão cujo valor lógico é verdadeiro.
a) (A + B) > 30 ou (A + B - 5) = (A + C)
b) (A ≥ C) e (A + B) = C
c) (A > B) e (C + B) < A
d) (A + C) > B
33
RACIOCÍNIO LÓGICO
e) B ≥ A + 2
CESPE/UnB 2015 – TCE/RN
Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um
cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não
escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o
comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja verdadeira,
julgue os itens seguintes.
17. A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador
escritura o imóvel, ou não o registra”.
18. Se A for o conjunto dos compradores que escrituram o imóvel, e B for o
conjunto dos que o registram, então B será́ subconjunto de A.
19. A proposição do cartaz é logicamente equivalente a “Se o comprador não
escritura o imóvel ou não o registra, então não se torna seu dono”.
20. Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o
escriturou.
34
RACIOCÍNIO LÓGICO
d. Revisão 3 (Questões)
CESPE/UnB 2015 – TCE/RN
Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um
cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não
escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o
comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja verdadeira,
julgue os itens seguintes.
21. A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por “Se o
comprador escritura o imóvel, então ele o registra”.
22. Considerando-se a veracidade da proposição P, é correto afirmar que, após
a eliminação das linhas de uma tabela-verdade associada à proposição do
cartaz do cartório que impliquem a falsidade da proposição P, a tabela-verdade
resultante terá́ seis linhas.
CESPE/UnB 2015 - STJ
Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela matemática, apesar de
achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente para
estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na
faculdade. Neste semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada
Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente
para estudar e não será́ aprovada nessa disciplina.
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue os itens
a seguir, acerca das estruturas lógicas.
35
RACIOCÍNIO LÓGICO
23. Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo suficiente para
estudar” e “Mariana será́ aprovada nessa disciplina”, respectivamente, então a
proposição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será́
aprovada nesta disciplina” é equivalente a ¬𝑝 ∧ ¬𝑞.
24. Considerando-se como p a proposição “Mariana acha a matemática uma
área muito difícil” de valor lógico verdadeiro e como q a proposição “Mariana
tem grande apreço pela matemática” de valor lógico falso, então o valor lógico
de 𝑝 → ¬𝑞 é falso.
CESPE/UnB 2015 – MEC
Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras
maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a
respeito de lógica proposicional.
25. A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um
planejamento adequado de estudos” pode ser simbolicamente representada
pela expressão lógica 𝑃 → 𝑄 em que P e Q são proposições adequadamente
escolhidas.
26. A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser simbolicamente
representada pela expressão lógica 𝑃 ∧ 𝑄, em que P e Q são proposições
adequadamente escolhidas.
27.
A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer,
amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania” pode ser
simbolicamente representada pela expressão lógica 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅, em que P, Q e R
são proposições adequadamente escolhidas.
36
RACIOCÍNIO LÓGICO
CESPE/UnB 2015 – MEC
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P,
Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem,
respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue
os itens subsecutivos.
28. A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica 𝑃 ∨ (𝑄 ⟷ 𝑅)
quando representada na posição horizontal é igual a
29. A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica 𝑃 → (𝑄 ∧ 𝑅)
quando representada na posição horizontal é igual a
37
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 30 – CESPE/UnB – 2015 – MPOG
Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante, então João
conseguirá o que desejar”, julgue o item a seguir.
A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se
esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.
38
RACIOCÍNIO LÓGICO
e. Gabarito
1
2
3
4
5
D
C
E
C
E
6
7
8
9
10
C
E
E
C
E
11
12
13
14
15
E
C
E
E
E
16
17
18
19
20
E
C
C
E
C
21
22
23
24
25
E
C
C
E
E
26
27
28
29
30
C
E
C
E
E
39
RACIOCÍNIO LÓGICO
f. Breves comentários às questões
QUESTÃO 01 - CESPE/UnB 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE
Três proposições simples compõem a proposição P1, a saber:
p: há investigação
q: o suspeito é flagrado cometendo delito.
r: há punição de criminosos.
O total de linhas da tabela verdade associada é 2n = 23 = 8.
QUESTÃO 02 - CESPE/UnB 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE
Comentário em vídeo
CESPE/UnB 2016 – ANALISTA - INSS
03. A sentença dada é imperativa e exclamativa. Portanto, a sentença não é
uma proposição.
04. Comentário em vídeo.
05. Comentário em vídeo.
06. Comentário em vídeo.
CESPE/UnB 2016 – TÉCNICO - INSS
07. Não sabemos os valores lógicos das proposições p e q. Portanto, não há como
determinar o valor lógico de “João não é fumante, logo ele é saudável”.
08. Comentário em vídeo.
09. “Logo” tem o mesmo significado que “Se..., então...”.
CESPE/UnB 2016 – DPU
10. Comentário em vídeo.
11. Comentário em vídeo.
40
RACIOCÍNIO LÓGICO
12. Comentário em vídeo.
13. Comentário em vídeo.
14. Comentário em vídeo.
QUESTÃO 15 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
A negação de “Se p, então q” é “p e não-q”, ou seja, devemos copiar o
antecedente e negar o consequente. A correta negação é “O número inteiro m>2
é primo e o número m não é ímpar”.
QUESTÃO 16 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
Comentário em vídeo.
CESPE/UnB 2015 – TCE/RN
17. Para transformar uma proposição composta pelo “se..., então...” para “ou”,
negue a primeira parte da proposição e copie a segunda parte.
18. Comentário em vídeo.
19. Comentário em vídeo.
20. Comentário em vídeo.
21. NUNCA negue uma proposição composta pelo “se...,então...” com outra
proposição composta pelo “se...,então...”. A correta negação de Se p, então q” é
“p e não-q”. Em outras palavras, copie a primeira parte, coloque “e” e negue a
segunda parte. A correta negação da proposição P é “O comprador não escritura
o imóvel e ele o registra.”
22. Comentário em vídeo.
CESPE/UnB 2015 – STJ
23. O item está certo, pois estamos conectando as negações de p e de q através
do conectivo “e”.
41
RACIOCÍNIO LÓGICO
24. A proposição p é verdadeira e a proposição ¬q também é verdadeira (já que
q é falsa). Desta maneira, a proposição 𝑝 → ¬𝑞 é verdadeira. Lembre-se que uma
proposição composta pelo “se...,então...” só é falsa quando ocorre VF (nesta
ordem).
CESPE/UnB 2015 – MEC
25. Comentário em vídeo.
26. Neste caso, a proposição P é “A vida é curta” e proposição Q é “a morte é
certa”. O símbolo adotado está correto, pois ∧ representa o conectivo “e”.
27. Comentário em vídeo.
CESPE/UnB 2015 – MEC
28. Comentário em vídeo
29. Comentário em vídeo
QUESTÃO 30 – CESPE/UnB – 2015 – MPOG
A negação de “Se p, então q” é “p e não-q”. A correta negação da proposição P
é “João se esforçou o bastante e João não conseguiu o que desejava”. Poderíamos
também ter substituído o conectivo “e” pela palavra “mas” obtendo “João se
esforçou o bastante, mas João não conseguiu o que desejava.”
42