polarização

Polarização
Carlos Alexandre Wuensche
Processos Radiativos I
1
1
2
2
Emissão polarizada aparece em...
Emissão sincrotron: até ~80% polarização linear, sem polarização
circular... informação sobre intensidade e orientação de campos
magnéticos, nível de turbulência
Divisão de linhas Zeeman: campos magnéticos quebram as
componentes RCP e LCP de linhas espectrais por 2.8 Hz/µG.
Medidas fornecem estimativa direta de B
Processos que modificam o estado de polarização
Rotação Faraday: região magnetoiônica gira o plano de
polarização linear. Medidas de rotação dão a estimativa do
campo magnético B
Espalhamento por elétrons livres: induz uma polarização linear
que pode indicar a origem da radiação espalhada
3
3
Efeito Zeeman
4
Seção de choque para
espalhamento Thomson
dσ
3σT
=
|�i × �j |2
dΩ
8π
β
RM
=
=
RMλ2
3
e
2πm2 c4
�
d
ne Bds
0
5
5
CYGNUS A
VLA @ 8.5 GHz B-vectors
Perley & Carilli (1996)
10 kpc
6
Rotação Faraday
Ver, p.ex., “Cluster Magnetic Fields” por Carilli & Taylor 2002
(ARAA)
7
Q
U
U
I
P
Emissão térmica de Marte
Marte emite como um corpo
negro na faixa rádio
Imagens I,Q,U,P de dados
de Jan 2006 em 23.4 GHz.
V não aparece - RUÍDO
Resolução é de 3.5”, o
diâmetro de Marte é ~6”.
Das imagens Q e U, é
possível deduzir que a
polarização é radial, em
torno do limbo.
P
Ângulo de posição não é
visto de forma útil em cor.
8
Emissão polarizada da RCFM - satélite WMAP
(Jarosik et al. 2010)
9
Emissão polarizada da RCFM - satélite WMAP
(Komatsu et al. 2010)
Mancha
quente
Mancha
fria
10
Vetor de Jones
Toda a informação de um estado 100% polarizado é
fornecida pela amplitude e fase das oscilações no plano
de polarização. Representação conveniente na forma do
vetor de Jones.
�
�
a1 eiθ1
e=
a2 eiθ2
eq. 1
a1 e a2 são as amplitudes (2 componentes do vetor
campo elétrico), θ1 e θ2 são as fases complexas.
No caso de radiação parcialmente polarizada
(praticamente 100% dos casos em astronomia), o vetor
de Jones varia no espaço e no tempo - taxa de rotação
não é constante (caso monocromático)
11
11
Matriz de coerência
Usada na determinação dos campos de ondas
não monocromáticas, onde somentes
informações “estatísticas” das variações e
correlações entre as componentes do campo
pode ser obtida.
eq. 2
12
12
Matriz de coerência
Contém toda a informação que pode ser obtida sobre a
polarização via estatística de segunda ordem
Pode ser decomposta na soma de 2 matrizes
idempotentes, correspondendo aos autovetores da
matriz de coerência (estados de polarização ortogonais
entre si)
Alternativa: decomposição em estados completamente
polarizados (det = 0) e não-polarizados (matriz
identidade) ➯ grau de polarização
A soma dos “casos” acima corresponde à superposição
incoerente das ondas das duas componentes.
13
13
A elipse de polarização
Por convenção, consideramos o comportamento temporal
de E em um plano perpendicular, do ponto de vista do
observador
Para uma onda monocromática de frequencia v, temos
� = (x̂E1 + ŷE2 )e−iωt ≡ E0 e−iωt
E
E1 = E1 eiφ1
E2 = E 2 e
iφ2
eq. 3
Tomando a parte real de E, a componente física do campo
elétrico ao longo das direções x e y é dada por:
Ex = E1 cos(ωt − φ1 )
Ey = E2 cos(ωt − φ2 )
eq. 4
14
14
A elipse de polarização
Por convenção, consideramos o comportamento temporal
de E em um plano perpendicular, do ponto de vista do
observador
Para uma onda monocromática de frequencia v, temos
� = (x̂E1 + ŷE2 )e
E
−iωt
−iωt
≡ E0 e
s
iφ
xa1
e
l
1
1
mp
o
c
es
d
iφ2
i tu
l2
p
2
am
E =E e
E =E e
eq. 3
Tomando a parte real de E, a componente física do campo
elétrico ao longo das direções x e y é dada por:
Ex = E1 cos(ωt − φ1 )
Ey = E2 cos(ωt − φ2 )
eq. 4
14
14
A elipse de polarização
Essas eqs. definem uma elipse no plano x-y,
completamente descrita por 3 parâmetros: Ex, Ey e a
diferença de fase δ = φ1-φ2.
A eq. da elipse é definida em relação aos eixos x’ e y’,
defasados de x, y por um ângulo χ.
A onda é dita elipticamente polarizada, no sentido
horário (polarizada à esquerda) ou anti-horário
(polarizada à direita)
Isso vem do traçado horário ou anti-horário da rotação
do vetor campo elétrico
15
15
x’
y’
χ
β
ângulo de “tilt”
ângulo de
excentricidade
16
16
Elíptica: caso geral
Linear: β=0, ±π/2
Circular: β=±π/4
17
17
Conexão entre os ângulos da elipse
Ex�
=
E0 cosβcos(ωt)
Ey�
=
−E0 senβcos(ωt)
com −π/2 ≤ β ≤ π/2
e magnitudes dos eixos principais dadas por
eq. 5
E0 |cosβ|
E0 |senβ|
A relação entre os eixos x,y e x’, y’ (que definem os eixos
principais da elipse) é feita através da decomposição do
campo elétrico nos eixos x,y e da rotação de um ângulo χ
Ex
=
E0 (cosβcosχcosωt + senβsenχsenωt)
Ey
=
E0 (cosβsenχcosωt − senβcosχsenωt)
eq. 6
18
18
Chegando nos parâmetros de Stokes
Combinando as eqs. 6 e 4,
temos:
E1 cosφ1
= E0 cosβcosχ
E1 senφ1
= E0 senβsenχ
E2 cosφ2
= E0 cosβsenχ
E2 senφ2
= −E0 senβcosχ
eq. 7
Dados E e ϕ, podemos resolver as eqs. 7 para E0, β e χ.
Isso é feito mais facilmente definindo, para uma onda
monocromática:
I
Q
U
V
≡
E12 + E22 = E02
≡
2E12 .E22 cos(φ1 − φ2 ) = E02 cos(2β)sen(2χ)
≡
E12 − E22 = E02 cos(2β)cos(2χ)
≡
2E12 .E22 sen(φ1 − φ2 ) = E02 sen(2β)
eq. 8
19
19
Parâmetros de Stokes
Fluxo linearmente polarizado: p = (Q2 + U2)1/2
Q e U definem o plano de polarização: tan (2ψ)=Q/U
Os sinais de Q e U definem a orientação do plano de
polarização
Q>0
U>0
Q<0
U<0
Q<0
Q>0
U<0
U>0
20
20
Exemplos simples...
U = 0, Q positivo, onda verticalmente
polarizada
U = 0, Q negativo, onda horizontalmente
polarizada
Q = 0, U positivo, onda polarizada a 45 graus
Q = 0, U negativo, onda polarizada a -45 graus
21
21
O modo E é
invariante sob
paridade
O modo B
muda de sinal
sob paridade
rcf: passado, presente, futuro
vii nova física no espaço - fev/2008
22
Parâmetros de Stokes
Por que usá-los?
Tradição....
Possuem unidade de potência...
Relacionados de forma simples com as medidas reais
nas antenas
Acomodam facilmente a noção de polarização parcial
de sinais não-monocromáticos
Imagens dos parâmetros I, Q, U e V podem ser
combinadas para produzir imagens das características
lineares, circulares ou elípticas da radiação.
23
23
Radiação não monocromática e
polarização parcial
Radiação monocromática é um MITO!
Um observável desses NÃO PODE existir (embora possa ser bem
aproximado)
Na vida real, radiação possui uma banda finita
Processos astronômicos reais surgem de processos aleatórios
causados por osciladores (em geral elétrons) emitindo de forma
independente
Observamos o campo elétrico resultante, usando instrumentos de
banda finita
Apesar do caos, polarização pode ser claramente observada, mas
não de forma completa. Polarização parcial é a regra.
Os parâmetros de Stokes, nesse caso, são definidos por valores
médios.
24
Polarização de uma antena
Para se estudar polarimetria (medir o estado de polarização
de uma onda EM), a antena utilizada deve possuir duas saídas
que respondem de forma diferente à ondas elipticamente
polarizadas
É conveniente que essas saídas sejam proporcionais a um dos
dois casos:
às duas componentes lineares ortogonais cartesianas (Ex, Ey) ou
às duas polarizações circulares EL, ER.
Infelizmente, em geral isso não acontece!
Em geral, cada onda é elipticamente polarizada, com sua
própria elipse de polarização
Entretanto, desde que elas sejam diferentes, em princípio é
possível estudar a polarização da onda.
25
Ondas quase-monocromáticas
Na prática, vemos superposição de diferentes
componentes, cada uma com sua polarização.
Assim, pode haver radiação não-polarizada,
mas não há radiação 100% polarizada.
Caso de interesse: onda quase monocromática
Variação lenta de ϕ ou E com o tempo
Onda 100% polarizada, com polarização claramente
definida num intervalo curto (1/ω)
Em intervalos Δt >> 1/ω, o estado de polarização
varia bastante, deixando de ser “monocromática”
Δt → tempo de coerência; Δω → largura de banda
26
26
Ondas quase-monocromáticas
Medidas diretas de ϕ ou E são difíceis de serem
realizadas; em geral mede-se uma média temporal
(integração) do quadrado do campo elétrico (fluxo
de energia elétrica)
Separação da onda incidente em componentes
independentes:
Em rádio: antenas de dipolo e linhas de atraso
No óptico: filtros polarizadores e placas de 1/4 onda
Solução geral dada por
E1� = λ11 E1 + λ12 E2
E2�
= λ21 E1 + λ22 E2
λij → Constantes complexas
dependentes do equipamento
de medida
eq. 9
27
27
Parâmetros de Stokes
Em termos gerais, para uma onda não monocromática...
I
Q
U
V
≡
< E12 + E22 >=< EL2 + ER2 >=< E02 >
eq. 10
≡
< E12 − E22 >=< EL2 − ER2 >=< E02 cos(2β)cos(2χ) >
≡
< 2E12 .E22 sen(φ1 − φ2 ) >=< E02 sen(2β) >
≡
< 2E12 .E22 cos(φ1 − φ2 ) >=< E02 cos(2β)sen(2χ) >
E0 =
√
I
sen2β = V /I
eq. 11
tan2χ = U/Q
V = 0 ➞ polarização linear!!!
U = Q = 0 ➞ polarização circular
28
28
Sendo a média temporal dada por
1
∗
< E1 E2 >=
T
Na prática, temos
�
0
T
E1 (t)E2∗ (t)dt
eq. 12
I2 ≥ Q2 + U2 + V2 → onda polarizada não monocromática
Igualdade vale para uma onda com completa
polarização elíptica
Q2 + U2 + V2 = 0 → onda não polarizada
29
29
Ainda parâmetros de Stokes...
Os parâmetros de Stokes são aditivos para uma
superposição de ondas. Isso implica que, de uma
maneira geral, podemos escrever
�
  
 �

I
I − Q2 + U 2 + V 2
Q2 + U 2 + V 2
Q 
 

0
Q
 =
+
eq. 13
U  
 

0
U
V
0
V
Componente não-polarizada
�
Ipol
Q2 + U 2 + V 2
Π=
=
I
I
Componente polarizada
Fração polarizada
eq. 14
30
30
UM ESTUDO DE CASO:
A POLARIZAÇÃO DA
RADIAÇÃO CÓSMICA
DE FUNDO EM
MICROONDAS!
31
31
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
Cortesia Raul Abramo
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
• Um campo de radiação genérico é um estado multi-fótons  mistura de
estados de polarização linear. Para um feixe que se propaga na direção z
os parâmetros de Stokes são:
Cortesia Raul Abramo
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
• Um campo de radiação genérico é um estado multi-fótons  mistura de
estados de polarização linear. Para um feixe que se propaga na direção z
os parâmetros de Stokes são:
 Intensidade do feixe
Cortesia Raul Abramo
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
• Um campo de radiação genérico é um estado multi-fótons  mistura de
estados de polarização linear. Para um feixe que se propaga na direção z
os parâmetros de Stokes são:
 Intensidade do feixe
 Polarização – - |
Cortesia Raul Abramo
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
• Um campo de radiação genérico é um estado multi-fótons  mistura de
estados de polarização linear. Para um feixe que se propaga na direção z
os parâmetros de Stokes são:
 Intensidade do feixe
 Polarização – - |
 Polarização / - \
Cortesia Raul Abramo
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
• Um campo de radiação genérico é um estado multi-fótons  mistura de
estados de polarização linear. Para um feixe que se propaga na direção z
os parâmetros de Stokes são:
 Intensidade do feixe
 Polarização – - |
 Polarização / - \
 Polarização circular
Cortesia Raul Abramo
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
• Um campo de radiação genérico é um estado multi-fótons  mistura de
estados de polarização linear. Para um feixe que se propaga na direção z
os parâmetros de Stokes são:
 Intensidade do feixe
 Polarização – - |
 Polarização / - \
 Polarização circular
Cortesia Raul Abramo
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
1. Polarização: PARA FIXAÇÃO
• Um fóton individual possui uma
polarização linear fixa, que é
determinada pela direção do campo
elétrico:
• Um campo de radiação genérico é um estado multi-fótons  mistura de
estados de polarização linear. Para um feixe que se propaga na direção z
os parâmetros de Stokes são:
 Intensidade do feixe
 Polarização – - |
 Polarização / - \
 Polarização circular
Cortesia Raul Abramo
(= p/ onda monocromática)
32
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
• Orientação dos modos Q (N-S, L-O) e U (Se-No, So-Ne):
z: !
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
• Orientação dos modos Q (N-S, L-O) e U (Se-No, So-Ne):
z: !
Q>0, U=0
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
• Orientação dos modos Q (N-S, L-O) e U (Se-No, So-Ne):
z: !
Q>0, U=0
Q<0, U=0
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
• Orientação dos modos Q (N-S, L-O) e U (Se-No, So-Ne):
z: !
Q>0, U=0
Q<0, U=0
Q=0, U>0
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
• Orientação dos modos Q (N-S, L-O) e U (Se-No, So-Ne):
z: !
Q>0, U=0
Q<0, U=0
Q=0, U>0
Q=0, U<0
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
• Orientação dos modos Q (N-S, L-O) e U (Se-No, So-Ne):
z: !
Q>0, U=0
Q<0, U=0
Q=0, U>0
Q=0, U<0
• Note que os parâmetros de Stokes fazem referência explícita a um certo
sistema de coordenadas, e portanto os mapas de Q(θ,φ) e U(θ,φ) no céu
dependem da escolha do sistema de coordenadas!
Sob rotação de ϕ em torno de z:
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Os estados de polarização são análogos aos estados com dois graus de
liberdade (Ex e Ey) em mecânica quântica  base natural são as matrizes
de Pauli. De fato, a matriz densidade de estados da polarização é:
Polarizações excitadas na RCF
• Orientação dos modos Q (N-S, L-O) e U (Se-No, So-Ne):
z: !
Q>0, U=0
Q<0, U=0
Q=0, U>0
Q=0, U<0
• Note que os parâmetros de Stokes fazem referência explícita a um certo
sistema de coordenadas, e portanto os mapas de Q(θ,φ) e U(θ,φ) no céu
dependem da escolha do sistema de coordenadas!
Sob rotação de ϕ em torno de z:
ϕ
Cortesia Raul Abramo
33
polarização da radiação cósmica de fundo
2. Polarização da RCF
nova física no espaço V - 2006
Bond & Efstathiou 1984, Polnarev 1985
Kosowski 1996, Seljak & Zaldarriaga 1997, Hu & White 1997
Cabella & Kamionkowski 2005, Y.-T. Li & B. Wandelt 2005
• Antes do desacoplamento (z > 1100), assumimos que a radiação era
basicamente não-polarizada ( <Ii>≠0 , <Qi>=<Ui>=<Vi>=0 ).
• Na era do desacoplamento (z ~ 1089), espalhamento Thomson dos
fótons da RCF pelos elétrons e íons livres gerou uma polarização da RCF.
• A seção de choque para um fóton incidente de polarização εi dando origem
a um fóton espalhado com polarização εf é:
Cortesia Raul Abramo
34
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
Bond & Efstathiou 1984, Polnarev 1985
Kosowski 1996, Seljak & Zaldarriaga 1997, Hu & White 1997
Cabella & Kamionkowski 2005, Y.-T. Li & B. Wandelt 2005
2. Polarização da RCF
• Antes do desacoplamento (z > 1100), assumimos que a radiação era
basicamente não-polarizada ( <Ii>≠0 , <Qi>=<Ui>=<Vi>=0 ).
• Na era do desacoplamento (z ~ 1089), espalhamento Thomson dos
fótons da RCF pelos elétrons e íons livres gerou uma polarização da RCF.
• A seção de choque para um fóton incidente de polarização εi dando origem
a um fóton espalhado com polarização εf é:
!!!
ϕ
θ
Cortesia Raul Abramo
34
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
Bond & Efstathiou 1984, Polnarev 1985
Kosowski 1996, Seljak & Zaldarriaga 1997, Hu & White 1997
Cabella & Kamionkowski 2005, Y.-T. Li & B. Wandelt 2005
2. Polarização da RCF
• Antes do desacoplamento (z > 1100), assumimos que a radiação era
basicamente não-polarizada ( <Ii>≠0 , <Qi>=<Ui>=<Vi>=0 ).
• Na era do desacoplamento (z ~ 1089), espalhamento Thomson dos
fótons da RCF pelos elétrons e íons livres gerou uma polarização da RCF.
• A seção de choque para um fóton incidente de polarização εi dando origem
a um fóton espalhado com polarização εf é:
!!!
• O que leva à polarização do estado final:
ϕ
θ
Cortesia Raul Abramo
34
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
Bond & Efstathiou 1984, Polnarev 1985
Kosowski 1996, Seljak & Zaldarriaga 1997, Hu & White 1997
Cabella & Kamionkowski 2005, Y.-T. Li & B. Wandelt 2005
2. Polarização da RCF
• Antes do desacoplamento (z > 1100), assumimos que a radiação era
basicamente não-polarizada ( <Ii>≠0 , <Qi>=<Ui>=<Vi>=0 ).
• Na era do desacoplamento (z ~ 1089), espalhamento Thomson dos
fótons da RCF pelos elétrons e íons livres gerou uma polarização da RCF.
• A seção de choque para um fóton incidente de polarização εi dando origem
a um fóton espalhado com polarização εf é:
!!!
• O que leva à polarização do estado final:
ϕ
θ
Cortesia Raul Abramo
34
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
Bond & Efstathiou 1984, Polnarev 1985
Kosowski 1996, Seljak & Zaldarriaga 1997, Hu & White 1997
Cabella & Kamionkowski 2005, Y.-T. Li & B. Wandelt 2005
2. Polarização da RCF
• Antes do desacoplamento (z > 1100), assumimos que a radiação era
basicamente não-polarizada ( <Ii>≠0 , <Qi>=<Ui>=<Vi>=0 ).
• Na era do desacoplamento (z ~ 1089), espalhamento Thomson dos
fótons da RCF pelos elétrons e íons livres gerou uma polarização da RCF.
• A seção de choque para um fóton incidente de polarização εi dando origem
a um fóton espalhado com polarização εf é:
!!!
• O que leva à polarização do estado final:
Cortesia Raul Abramo
ϕ
θ
Polarização depende do quadrupolo
da radiação incidente!
34
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
Cortesia Raul Abramo
35
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
Cortesia Raul Abramo
35
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
!
Cortesia Raul Abramo
35
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
C
H
C
C
H
H
Re[P]>0,
Im[P]=0
H
C
Re[P]<0,
Im[P]=0
!
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
C
H
C
C
H
H
Re[P]>0,
Im[P]=0
H
Re[P]<0,
Im[P]=0
C
!
C
H
C
H
Re[P]=0,
Im[P]<0
C
H
Re[P]=0,
Im[P]>0
H
C
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
Sob rotação de ϕ
em torno de z:
C
H
C
C
H
H
Re[P]>0,
Im[P]=0
H
Re[P]<0,
Im[P]=0
C
!
C
H
C
H
Re[P]=0,
Im[P]<0
C
H
Re[P]=0,
Im[P]>0
H
C
Cortesia Raul Abramo
35
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
Sob rotação de ϕ
em torno de z:
C
H
C
C
H
H
Re[P]>0,
Im[P]=0
H
Re[P]<0,
Im[P]=0
C
!
C
H
C
H
Re[P]=0,
Im[P]<0
C
H
Re[P]=0,
Im[P]>0
H
C
Cortesia Raul Abramo
35
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
Sob rotação de ϕ
em torno de z:
C
H
C
C
H
H
Re[P]>0,
Im[P]=0
H
Re[P]<0,
Im[P]=0
C
!
C
H
C
H
Re[P]=0,
Im[P]<0
C
H
Re[P]=0,
Im[P]>0
H
C
Cortesia Raul Abramo
35
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• É natural representar a polarização através da função complexa P :
Sob rotação de ϕ
em torno de z:
C
H
C
C
H
H
Re[P]>0,
Im[P]=0
H
Re[P]<0,
Im[P]=0
C
!
C
H
C
H
Re[P]=0,
Im[P]<0
C
H
Re[P]=0,
Im[P]>0
H
C
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
3. Modos Gradiente (E) e Rotacional (B)
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
3. Modos Gradiente (E) e Rotacional (B)
• A polarização representada por P não é invariante por rotações em torno
da direção de propagação dos fótons:
Cortesia Raul Abramo
36
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
3. Modos Gradiente (E) e Rotacional (B)
• A polarização representada por P não é invariante por rotações em torno
da direção de propagação dos fótons:
• Vamos construir, a partir de P, uma outra representação da polarização que é
invariante sob rotações.
• Para isso, vamos reduzir o “momento angular” de P, de m=2 para m=0.
 Os operadores de “subir” e “descer” o momento angular são (2D, “flat sky”):
Cortesia Raul Abramo
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3. Modos Gradiente (E) e Rotacional (B)
• A polarização representada por P não é invariante por rotações em torno
da direção de propagação dos fótons:
• Vamos construir, a partir de P, uma outra representação da polarização que é
invariante sob rotações.
• Para isso, vamos reduzir o “momento angular” de P, de m=2 para m=0.
 Os operadores de “subir” e “descer” o momento angular são (2D, “flat sky”):
Cortesia Raul Abramo
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3. Modos Gradiente (E) e Rotacional (B)
• A polarização representada por P não é invariante por rotações em torno
da direção de propagação dos fótons:
• Vamos construir, a partir de P, uma outra representação da polarização que é
invariante sob rotações.
• Para isso, vamos reduzir o “momento angular” de P, de m=2 para m=0.
 Os operadores de “subir” e “descer” o momento angular são (2D, “flat sky”):
• Sob rotações de ϕ em torno de z os operadores se transformam como m=±1:
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3. Modos Gradiente (E) e Rotacional (B)
• A polarização representada por P não é invariante por rotações em torno
da direção de propagação dos fótons:
• Vamos construir, a partir de P, uma outra representação da polarização que é
invariante sob rotações.
• Para isso, vamos reduzir o “momento angular” de P, de m=2 para m=0.
 Os operadores de “subir” e “descer” o momento angular são (2D, “flat sky”):
• Sob rotações de ϕ em torno de z os operadores se transformam como m=±1:
y
y’
x’
!
x
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3. Modos Gradiente (E) e Rotacional (B)
• A polarização representada por P não é invariante por rotações em torno
da direção de propagação dos fótons:
• Vamos construir, a partir de P, uma outra representação da polarização que é
invariante sob rotações.
• Para isso, vamos reduzir o “momento angular” de P, de m=2 para m=0.
 Os operadores de “subir” e “descer” o momento angular são (2D, “flat sky”):
• Sob rotações de ϕ em torno de z os operadores se transformam como m=±1:
y
y’
x’
!
x
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Para “baixar” o momento angular de P, basta tomar:
Cortesia Raul Abramo
37
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Para “baixar” o momento angular de P, basta tomar:
• Podemos então definir:
Cortesia Raul Abramo
37
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Para “baixar” o momento angular de P, basta tomar:
• Podemos então definir:
• A polarização representada por Π é invariante por rotações !
Cortesia Raul Abramo
37
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Para “baixar” o momento angular de P, basta tomar:
• Podemos então definir:
• A polarização representada por Π é invariante por rotações !
• E (ou G) é o modo-gradiente
 rotacional zero
 par sob reflexão
Cortesia Raul Abramo
37
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Para “baixar” o momento angular de P, basta tomar:
• Podemos então definir:
• A polarização representada por Π é invariante por rotações !
• E (ou G) é o modo-gradiente
 rotacional zero
 par sob reflexão
Cortesia Raul Abramo
37
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Para “baixar” o momento angular de P, basta tomar:
• Podemos então definir:
• A polarização representada por Π é invariante por rotações !
• E (ou G) é o modo-gradiente
 rotacional zero
 par sob reflexão
• B (ou C) é o modo-rotacional
 gradiente zero
 ímpar sob reflexão
Cortesia Raul Abramo
37
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• Para “baixar” o momento angular de P, basta tomar:
• Podemos então definir:
• A polarização representada por Π é invariante por rotações !
• E (ou G) é o modo-gradiente
 rotacional zero
 par sob reflexão
• B (ou C) é o modo-rotacional
 gradiente zero
 ímpar sob reflexão
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• As perturbações de densidade adiabáticas só produzem modos E:
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• As perturbações de densidade adiabáticas só produzem modos E:
C
H
H
C
C
H
C
H
C
Cortesia Raul Abramo
38
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• As perturbações de densidade adiabáticas só produzem modos E:
C
H
H
C
C
C
H
H
C
H
C
H
C
H
C
H
C
H
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• As perturbações de densidade adiabáticas só produzem modos E:
A. Challinor
C
H
H
C
C
C
H
H
C
H
C
H
C
H
C
H
C
H
Cortesia Raul Abramo
38
polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• As perturbações de densidade adiabáticas só produzem modos E:
A. Challinor
C
H
H
C
C
C
H
H
C
H
C
H
C
H
C
H
C
H
• Já as ondas gravitacionais produzem tanto modos E como modos B
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• As perturbações de densidade adiabáticas só produzem modos E:
A. Challinor
C
H
H
C
C
C
H
H
C
H
C
H
C
H
C
H
C
H
• Já as ondas gravitacionais produzem tanto modos E como modos B
Wayne Hu
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
• As perturbações de densidade adiabáticas só produzem modos E:
A. Challinor
C
H
H
C
C
C
H
H
C
H
C
H
C
H
C
H
C
H
• Já as ondas gravitacionais produzem tanto modos E como modos B
Wayne Hu
Cortesia Raul Abramo
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
4. Observações
Teoria:
CTT
CTE
CEE
CBB(r=.5)
g)
in
s
en
B (l
B
C
CBB(r=.0001)
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polarização da radiação cósmica de fundo
nova física no espaço V - 2006
4. Observações
Dados:
BOOMERanG, DASI, CBI
Teoria:
CTT
CTE
CEE
Bartlett, astro-ph/0601576
CBB(r=.5)
g)
in
s
en
B (l
B
C
CBB(r=.0001)
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polarização da radiação cósmica de fundo
• Fontes de polarização
nova física no espaço V - 2006
z < 1100
Estrutura em larga
escala  weak lensing
z=0
Hoje!!
z ~ 1100
SUE: flutuações de
densidade/temperatura,
ondas gravitacionais
Cortesia Raul Abramo
z ~ 15-30
Reionização
z<3
Aglomerados (SZ)
Campos magnéticos
(Rotação Faraday)
40