Cap. 8 - Induç˜ao Eletromagnética 1 Lei de Lenz
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Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de Fı́sica Fı́sica III — 2014/2 Cap. 8 - Indução Eletromagnética Prof. Elvis Soares Nesse capı́tulo, estudaremos como um campo magnético variável pode induzir uma f.e.m num circuito, o grandioso fenômeno da indução eletromagnética, determinar a indutância de alguns circuitos, calcular a energia armazenada no campo magnética e obter enfim as famosas equações de Maxwell. 1 Lei de Lenz Experimentos conduzidos por Michael Faraday na Inglaterra em 1831 e independentemente por Joseph Henry nos EUA no mesmo ano mostraram que uma f.e.m (força eletromotriz) pode ser induzida num circuito pela variação do campo magnético. Example Primeiramente, vamos analisar qualitativamente o sentido da corrente induzida numa espira devido a variação do fluxo magnético que atravessa a mesma, para isso consideremos a situação em que um imã se move em direção a uma espira condutora, conforme figura. N S S N Quando o imã se aproxima da espira, conforme figura (a), o fluxo magnético externo através da espira aumenta com o tempo. Para contrabalancear esse aumento de fluxo devido ao campo dirigido para a direita, a corrente induzida produz seu próprio campo para a esquerda, conforme figura (b), e assim, a corrente induzida está na direção indicada. Sabendo que pólos iguais se repelem, concluı́mos que a face esquerda da espira age como um pólo norte e a face direita como um pólo sul. Prof. Elvis Soares 2 S S Indução de Faraday N N Se o imã se move para a esquerda, conforme figura (c), seu fluxo através da área delimitada pela espira diminui com o tempo. Agora a corrente induzida na espira está na direção mostrada na figura (d) pois sua corrente produz um campo magnético na mesma direção do campo externo. Nesse caso, a face esquerda da espira é um pólo sul e a face direita é um pólo norte. Essa interpretação fı́sica é conhecida como lei de Lenz e afirma que a corrente induzida numa espira está na direção que cria um campo magnético que se opões a mudança do fluxo magnético através da área delimitada pela espira. 2 Indução de Faraday Vamos agora descrever um experimento conduzido por Faraday e ilustrado na figura a seguir. Uma bobina primária está conectada a uma chave e a uma bateria, estando enrolada num anel de ferro, de tal forma que uma corrente na bobina produz um campo magnético no metal quando a chave é fechada. Uma bobina secundária está também enrolada no anel metálico e está conectada a um amperı́metro, onde nenhuma bateria está conectada a ela, e nem mesmo está conectada à bobina primária. Qualquer corrente detectada no circuito secundário deve ser induzida por algum agente externo. + – No instante que a chave é fechada, o amperı́metro marca uma corrente numa certa direção e então retorna ao zero. No instante em que a chave é aberta, o amperı́metro marca a corrente numa direção oposta e retorna ao zero. Finalmente, o amperı́metro lê zero quando há ora uma corrente estacionária, ora nenhuma corrente no circuito primário. A idéia principal desse experimento é que quando a chave é 2 2 Indução de Faraday Prof. Elvis Soares fechada, a corrente no circuito primário produz um campo magnético que penetra o circuito secundário, e o mesmo ocorre no momento em que a chave é aberta, de modo que o sentido da corrente se opõe devido a lei de Lenz. Como resultado dessas observações, Faraday concluiu que uma corrente elétrica pode ser induzida num circuito pela mudança do campo magnético. A corrente induzida existe somente num curto intervalo de tempo quando o campo magnético através da bobina secundária está mudando. E uma vez que o campo magnético se torna estacionário, a corrente na bobina secundária desaparece. Em geral, a lei de indução de Faraday diz que a f.e.m induzida num circuito é diretamente proporcional a taxa temporal da variação do fluxo magnético através do circuito, e pode ser escrita como E =− onde ΦB = R dΦB dt (1) ~ · dA ~ é o fluxo magnético através do circuito. B Exemplo: Espira se movendo através de um Campo Magnético Uma espira condutora retangular de dimensões l e w se move com velocidade v constante para ~ dirigido para a direita, conforme a figura. A espira atravessa um campo magnético uniforme B dentro da página numa extensão de 3w ao longo do eixo x. × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × A figura (a) mostra o fluxo através da área delimitada pela espira como função de x. Antes da espira entrar na região do campo, o fluxo é zero. Conforme a espira entra no campo, o fluxo aumenta linearmente com a posição até a lateral esquerda da espira estar justamente dentro do campo. Finalmente, o fluxo através da espira decresce linearmente para zero conforme a espira deixa o campo. x 3 Prof. Elvis Soares 2 Indução de Faraday A figura (b) mostra a f.e.m induzida na espira como função de x. Antes da espira entrar na região do campo, nenhuma f.e.m é induzida na espira. Conforme a aresta direita da espira entra no campo, o fluxo magnético dirigido para dentro da página cresce, e de acordo com a lei de Lenz, a corrente induzida é anti-horária pois deve produzir um campo saindo da página, sendo a f.e.m induzida igual a −Blv. Quando a espira está inteiramente no campo, a variação do fluxo é zero, e assim a f.e.m é nula. Quando a aresta direita da espira deixa o campo, o fluxo diminui, uma corrente horária é induzida, e a f.e.m induzida é Blv. E enquanto a aresta esquerda deixa o campo, a f.e.m diminui para zero. Exemplo: Freio Magnético Uma barra condutora de comprimento l e massa m se move em cima de dois trilhos paralelos sem atrito na presença de um campo magnético uniforme dirigido para dentro da página, conforme a figura. No instante inicial, a velocidade da barra é v0 . × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × Usando a lei de Lenz, vemos que conforme a barra se movimenta para a direita, uma corrente no sentido antihorário se estabelece no circuito consistindo da barra, os trilhos e um resistor R. O fluxo magnético que atravessa o circuito depende da posição da barra x, isto é ΦB = −Blx, com o sinal negativo vindo do fato que a área está orientada positivamente e o campo negativamente. Desta forma, a variação do fluxo magnético neste mesmo circuito será dx dΦB = −Bl = −Blv dt dt Usando a lei de Faraday podemos determinar a f.e.m induzida nesse circuito, uma vez que há variação do fluxo magnético, de modo que E = Blv, e com a resistência do circuito sendo R, a corrente induzida será Blv R Como a energia tem de ser conservada no sistema, a taxa de energia cinética transferida da barra é igual a taxa de energia transferia para o resistor. Então, Presistor = −Pbarra , que podemos escrever como 2 Blv dv R = −mv R dt I= que resolvendo para v em função de t teremos como solução v(t) = v0 e−t/τ onde τ é um tempo caracterı́stico de decaimento da velocidade, dado por (Bl)2 /mR. Assim, devido o aumento do fluxo magnético, a corrente elétrica induzida faz com que a barra freie e cesse o aumento do fluxo magnético enfim. 4 3 3 Lei de Faraday Prof. Elvis Soares Lei de Faraday Vimos que uma mudança no fluxo magnético induz uma f.e.m e uma corrente numa espira condutora. Em nosso estudo de eletricidade, relacionamos a corrente a um campo elétrico que aplica uma força em partı́culas carregadas. Da mesma maneira, podemos relacionar uma corrente induzida numa espira condutora a um campo elétrico. × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × Podemos entender essa relação considerando uma espira condutora de raio r situada num campo magnético uniforme que é perpendicular ao plano da espira, conforme figura. Se o campo magnético varia no tempo, então, de acordo com a indução de Faraday, uma f.e.m E = −dΦB /dt é induzida na espira. A indução de uma corrente numa espira implica a presença de um campo ~ que deve ser tangente à espira pois elétrico induzido E, essa é a direção em que as cargas no fio se movem sob a ação da força elétrica. H ~ · d~l. Em casos A f.e.m induzida em qualquer curva fechada pode ser expressa como E = E mais gerais, E não deve ser constante, e o caminho pode não ser um cı́rculo. Assim, a lei de Faraday da indução pode ser escrita na forma geral I ~ · d~l = − dΦB E dt (2) ~ pela lei de Faraday é um campo não-conservativo que é gerado O campo elétrico induzido E pela variação do campo magnético. De fato, H o campo elétrico induzido pela lei de Faraday é ~ · d~l 6= 0. não-conservativo, uma vez que a integral E 5 Prof. Elvis Soares 3 Lei de Faraday Exemplo: Campo Elétrico gerado por um Solenóide Infinito Consideremos um solenóide muito longo de raio R possuindo n espirar por unidade de comprimento que carrega uma corrente variável na forma I = I0 cos ωt, onde I0 é o valor máximo da corrente e ω é a frequência angular da corrente alternada. ~ produziDevido a simetria axial das linhas de campo B das pelo solenóide, devemos usar a lei de Faraday com o auxı́lio de amperianas na forma circular. Por simetria, vemos que a intensidade E do campo elétrico é constante ~ é tangente a curva. nessa amperiana e que E Usando coordenadas cilı́ndricas onde o eixo do solenóide é o eixo z, temos ~ = E(s)ϕ̂ E Para a região externa ao solenóide, utilizaremos uma amperiana de raio s > R por onde passa um fluxo magnético igual a BA = BπR2 , e assim I ~ · d~l = 2πsE(s) = − d (BπR2 ) = −πR2 dB E dt dt e como o campo magnético no interior do solenóide é B = µ0 nI, podemos substituir a corrente I = I0 cos ωt nessa relação e então substituir na equação acima como 2πsE(s) = −πR2 µ0 nI0 d (cos ωt) dt então E(s > R) = µ0 nI0 ωR2 sen ωt 2s Para a região interna ao solenóide, utilizaremos uma amperiana de raio s < R por onde passa um fluxo magnético igual a BA = Bπs2 , e assim I ~ · d~l = 2πsE(s) = −πs2 dB = πs2 µ0 nI0 ω sen ωt E dt então E(s < R) = µ0 nI0 ω s sen ωt 2 Isso mostra que a intensidade do campo elétrico induzido varia de forma senoidal devido à variação da corrente elétrica no solenóide. Assim, o campo elétrico induzido depende da variação do campo magnético. 6 4 4 Indutância Mútua e Auto-Indutância Prof. Elvis Soares Indutância Mútua e Auto-Indutância Sabemos que entre dois fios que conduzem correntes elétricas estacionárias existe uma interação magnética, pois a corrente de um fio produz um campo magnético sobre a corrente do outro fio. Porém, quando existe uma corrente variável em dos circuitos, ocorre uma interação a mais! Consideremos duas bobinas com número de espiras N1 e N2 , conforme figura ao lado. Pela bobina 1 passa uma ~ 1 e, porcorrente I1 que produz um campo magnético B tanto, um fluxo magnético através da bobina 2, denominado Φ2 . Quando a corrente I1 varia, o fluxo Φ2 também varia, e de acordo com a lei de Faraday, isso produz uma f.e.m E2 na bobina 2, dada por E2 = −N2 dΦ2 dt Além disso, podemos representar a proporcionalidade entre o fluxo total N2 Φ2 através da bobina 2 e a corrente I1 da bobina 1 na forma N2 Φ2 = M12 I1 onde M12 é chamada indutância mútua das duas bobinas. Portanto, N2 dI1 dΦ2 = M12 dt dt e podemos escrever E2 = −M12 dI1 dt (3) Ou seja, a variação da corrente I1 na bobina 1 induz uma f.e.m E2 na bobina 2 diretamente proporcional à taxa de variação da corrente I1 . Podemos repetir o raciocı́nio anterior para o caso oposto, no qual uma corrente variável I2 na bobina 2 produza um fluxo magnético variável Φ1 e induza uma f.e.m E1 na bobina 1. E com isso, verificamos que M12 é sempre igual a M21 , de modo que podemos representar a indutância mútua simplesmente pela letra M . Logo, podemos escrever para as f.e.m’s induzidas E2 = −M dI1 dt e E1 = −M dI2 dt (4) e que a indutância mútua é M= N2 Φ2 N1 Φ1 = I1 I2 (5) A primeira equação afirma que a variação da corrente na bobina 1 produz uma variação do 7 Prof. Elvis Soares 4 Indutância Mútua e Auto-Indutância fluxo magnético na bobina 2, induzindo uma fem na bobina 2 que se opõe à variação desse fluxo, e na segunda equação as bobinas são invertidas. A unidade no SI de indutância denomina-se henry (H), sendo igual a um weber por ampère, 1 H = 1 Wb/A. Exemplo: Indutância Mútua de Solenóides Consideremos um solenóide (fonte) de comprimento l com NI espiras, carregando uma corrente I, e tendo área da seção transversal A. À sua volta se encontra outro solenóide (receptor) com NE espiras, conforme figura. O solenóide interno carrega uma corrente I, de modo que o campo magnético em seu interior tem intensidade µ0 NI I . l Como o fluxo do campo magnético ΦB(E) através do solenóide externo é BA, a indutância mútua é B= NE ΦB(E) NE BA = I I e usando o valor do campo magnético M= M = µ0 NE NI A l Um efeito análogo ocorre até mesmo quando consideramos uma única bobina isolada. Quando existe uma corrente em um circuito, ela produz um campo magnético que gera um fluxo através do próprio circuito, e quando a corrente varia, esse fluxo também varia. Portanto, qualquer circuito percorrido por uma corrente variável possui uma f.e.m induzida nele mesmo pela variação do seu próprio fluxo magnético, que de acordo com a lei de Lenz, sempre se opõe à variação da corrente que produz a f.e.m e, portanto, tende a tornar mais difı́cil qualquer variação da corrente. Uma f.e.m auto-induzida pode ocorrer em qualquer circuito, porém o efeito é ampliado quando o circuito contém uma bobina de N espiras. Por analogia à indutância mútua, definimos a auto-indutância L do circuito na forma L= N ΦB I (6) E de acordo com a lei de Faraday para uma bobina com N espiras, a f.e.m auto-induzida pode ser escrita em termos da auto-indutância como E = −L dI dt (7) E o sinal negativo novamente mostra que a fem auto-induzida em um circuito se opõe a qualquer 8 5 Energia Magnética Prof. Elvis Soares varia cão da corrente que ocorra no circuito. Exemplo: Auto-indutância de um Solenóide Consideremos novamente um solenóide de comprimento l com N espiras cuja área da seção transversal A. Sabemos que o campo magnético produzido no interior do solenóide devido a uma corrente I é N I l onde n = N/l é o número de voltas por unidade de comprimento. O fluxo magnético através de cada espira é B = µ0 nI = µ0 NA I l Usando a definição da auto-indutância, encontramos que ΦB = BA = µ0 L= µ0 N 2 A N ΦB = I l Assim, a auto-indutância de um solenóide só depende da geometria e é proporcional ao quadrado do número de espiras no solenóide. 5 Energia Magnética Digamos que U seja a energia armazenada num indutor em algum instante de tempo, então a taxa dU/dt na qual a energia está sendo armazenada é dI dU = EI = LI dt dt Para determinar a energia total armazenada no indutor, podemos re-escrever essa expressão e integrar Z U= Z dU = I 0 0 Z LI dI = L 0 1 U = LI 2 2 I I 0 dI 0 0 (8) E essa expressão representa a energia armazenada no campo magnético do indutor quando a corrente é I. Note que essa equação é similar aquela da energia armazenada no campo elétrico de um capacitor, U = 21 C(∆V )2 . No outro caso, vimos que aquela energia é necessária para estabelecer o campo elétrico. 9 Prof. Elvis Soares 6 Equações de Maxwell e Além! Podemos também determinar a densidade de energia de um campo magnético. Por simplicidade, consideremos um solenóide cuja indutância é dada por L = µ0 n2 Al O campo magnético do solenóide é dado por B = µ0 nI Substituindo a expressão para L e I = B/µ0 n, temos 1 1 U = LI 2 = µ0 n2 Al 2 2 B µ0 n 2 B2 Al = 2µ0 e como Al é o volume do solenóide, a densidade de energia magnética, ou a energia armazenada no campo magnético por unidade de volume do indutor é uB = U B2 = Al 2µ0 (9) Embora essa expressão foi derivada para o caso especial de um solenóide, é válida para qualquer região do espaço em que existe um campo magnético. Note que essa energia é similar a forma da energia por unidade de volume armazenada num campo elétrico, uE = 21 0 E 2 . Em ambos os casos, a densidade de energia é proporcional ao quadrado do campo. 6 Equações de Maxwell e Além! Concluı́mos esse capı́tulo apresentando as quatro equações que são tratadas como as bases de todos fenômenos elétricos e magnéticos. Essas equações, desenvolvidas por James Clerk Maxwell, são tão fundamentais para os fenômenos eletromagnéticos como as leis de Newton são para os fenômenos mecânicos. De fato, a teoria de Maxwell foi mais longe do que ele próprio poderia imaginar pois concorda ainda mesmo com a teoria da relatividade especial, conforme Einstein mostrou em 1905. As quatro equações de Maxwell são I ∂V ~ · dA ~ = Qint E 0 (10) ~ · dA ~=0 B (11) I ∂V I ~ · d~l = − d E dt ∂S I Z ~ · dA ~ B ~ · d~l = µ0 I + 0 µ0 d B dt ∂S 10 (12) S Z S ~ · dA ~ E (13) 6 Equações de Maxwell e Além! Prof. Elvis Soares e junto da equação para a força de Lorentz ~ = qE ~ + q~ ~ F v×B (14) contém toda a informação sobre os fenômenos eletromagnéticos! 11
