6 Intervalos de confiança

6
Intervalos de confiança
Estatística Aplicada
Larson
Farber
Ch. 6 Larson/Farber
Seção 6.1
Intervalos de confiança
para a média
(amostras grandes)
Ch. 6 Larson/Farber
Estimativa pontual
DEFINIÇÃO:
Uma estimativa pontual é a
estimativa de um único valor para um
parâmetro populacional. A melhor
estimativa pontual da média
populacional
é a média
amostral .
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Exemplo: estimativa pontual
A seguir, você verá uma amostra aleatória com 35 preços de passagens
(em dólares) para um vôo só de ida de Atlanta a Chicago. Determine a
estimativa pontual para a média populacional, F.
99
101
107
102
109
98
105
103
101
105
98
107
104
96
105
95
98
94
100
104
111
114
87
104
108
101
87
103
106
117
94
103
101
105
90
A média amostral é:
3.562
101,77
A estimativa pontual para o preço de todos os bilhetes só
de ida de Atlanta a Chicago é de US$ 101,77.
Ch. 6 Larson/Farber
Estimativas intervalares
Estimativa pontual
•
101,77
Uma estimativa intervalar é um intervalo (ou
amplitude) de valores usado para estimar um
parâmetro populacional.
(
•
101,77
)
O nível de confiança, c, é a probabilidade de
que a estimativa intervalar contenha o parâmetro
populacional em questão.
Ch. 6 Larson/Farber
Distribuição de
médias amostrais
Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a
distribuição amostral para
é normal.
Distribuição amostral de
Para c = 0,95
0,025
0,95
–1,96 0 1,96
0,025
z
95% de todas as médias amostrais terão escores
z entre z = –1,96 e z = 1,96.
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Erro máximo da estimativa
O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a
estimativa pontual e o valor do
parâmetro que se está estimando,
a dado nível de confiança, c.
Quando n $30, o desvio padrão amostral, s, pode ser
usado no lugar de
.
Determine E, o erro máximo da estimativa, para o preço de um
bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de
95%, dado que s = 6,69.
Usando zc = 1,96, s = 6,69 e n = 35,
1,96
6,69
6,69
Você tem uma confiança de 95% de que o erro máximo seja de
6 Larson/Farber
US$Ch.
2,22.
Intervalos de confiança para
Definição: um intervalo de confiança c para a média
populacional é:
Determine o intervalo de confiança de 95% para o bilhete só
de ida de Atlanta a Chicago.
Você encontrou
= 101,77 e E = 2,22.
Extremo esquerdo
101,77 – 2,22 = 99,55
(
99,55
•
101,77
Extremo direito
101,77 + 2,22 = 103,99
)
103,99
103,99
99,55
Com 95% de confiança, você pode dizer que a média de
preço para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago fica
Ch. 6 Larson/Farber
entre
US$ 99,55 e US$ 103,99.
Tamanho da amostra
Dados um nível de confiança c e um erro máximo da estimativa E, o
tamanho mínimo da amostra n necessário para se estimar , a média
populacional, é:
Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de
Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua
amostra se você quiser estar 95% seguro de que a média amostral
está a no máximo US$2 da média populacional?
1,96
6,69
42,98
Você deverá incluir ao menos 43 bilhetes na sua amostra. Como já
tem 35, você precisará de mais 8.
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Seção 6.2
Intervalos de confiança
para a média
(amostras pequenas)
Ch. 6 Larson/Farber
A distribuição t
Se a distribuição de uma variável aleatória x é
normal e n < 30, a distribuição amostral de será
uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade.
Distribuição amostral de
n = 13
g.l. = 12
c = 90%
0,90
0,05
–1,782
0,05
0
t
1,782
O valor crítico para t é de 1,782. 90% das médias
amostrais (n = 13) estarão entre t = –1,782 e t = 1,782.
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O intervalo de confiança
em amostras pequenas
Erro máximo da estimativa:
Em uma amostra aleatória de 13 adultos norteamericanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de
4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libra.
Admita que a variável seja normalmente distribuída e
construa um intervalo de confiança de 90% para .
1. A estimativa pontual é
= 4,3 libras.
2. O erro máximo da estimativa é
1,782
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0,3
0,148
O intervalo de confiança
em amostras pequenas
1. A estimativa pontual é:
= 4,3 libras
2. O erro máximo da estimativa é:
1,782
Extremo esquerdo
4,3 – 0,148 = 4,152
0,3
0,148
Extremo direito
4,3 + 0,148 = 4,448
)
(
•
4,3
4,152 4,15 < < 4,45 4,448
Com 90% de confiança, você pode dizer que a média de lixo
reciclado por pessoa está entre 4,15 e 4,45 libras por dia.
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Seção 6.3
Intervalos de confiança
para proporções
populacionais
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiança
para proporções populacionais
A estimativa pontual para p, a proporção
populacional de sucessos, é dada pela
proporção de sucessos em uma amostra
(Lido como p chapéu.)
é a estimativa pontual para a proporção de fracassos,
onde
Se
normal.
e
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, a distribuição amostral para
é
Intervalos de confiança
para proporções populacionais
O erro máximo da estimativa, E, para um intervalo de
confiança c é:
Um intervalo de confiança c para uma
proporção populacional, p, é:
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449
estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um
intervalo de confiança de 99% para a proporção de
acidentes fatais relacionados ao álcool.
1. A estimativa pontual para p é:
0,235
1.907
0,765
0,235
2. Como 1.907(0,235) $ 5 e 1.907(0,765) $ 5, a
distribuição amostral é normal.
3.
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2,575
(0,235)(0,765)
1.907
0,025
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam
relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de
confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais
relacionados ao álcool.
Extremo esquerdo
Extremo direito
0,235 – 0,025 = 0,21
(
0,21
•
0,235
0,235 + 0,025 = 0,26
)
0,26
0,21 < p < 0,26
Com 99% de confiança, você pode dizer
que a proporção de acidentes fatais
relacionados ao álcool está entre 21% e
26%.
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Tamanho mínimo da amostra
Se você tem uma estimativa premilinar para p e
q, o tamanho mínimo da amostra necessário para
se estimar p, dados um intervalo de confiança c e
o erro máximo da estimativa E, é:
Se você não tiver uma estimativa preliminar,
use 0,5 para
e .
Ch. 6 Larson/Farber
Exemplo: tamanho
mínimo da amostra
Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais
relacionados ao álcool a um nível de confiança de
99%. Determine o tamanho mínimo da amostra
necessário para estimar a proporção populacional
com uma precisão de 2%.
Como não há estimativas preliminares, use 0,5
.
para
e
(0,5)(0,5)
2,575
0,02
4.414,14
Você precisará de uma amostra com pelo menos 4.415
acidentes.
Ch. 6 Larson/Farber
Exemplo: tamanho
mínimo da amostra
Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais
relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%.
Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para
estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%.
Use uma estimativa preliminar de p = 0,235.
(0,235)(0,765)
2,575
0,02
2.980,05
Com uma amostra preliminar você precisa de
n = 2.981 para sua amostra.
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Seção 6.4
Intervalos de confiança
para variância e desvio
padrão
Ch. 6 Larson/Farber
A distribuição qui-quadrado
A estimativa pontual para
é s2 e para
é s.
Se o tamanho da amostra é n, use uma distribuição quiquadrado χ 2 com n – 1 g.l. para formar um intervalo de
confiança c.
0,95
6,908
28,845
Determine χR2, ó valor crítico da cauda à direita, e χL2, o
valor crítico da cauda à esquerda, para c = 95% e n = 17.
Se o tamanho da amostra é 17, há 16 g.l.
A área à direita de χR2 é (1 – 0,95)/2 = 0,025 e a área à
direita de χL2 é (1 + 0,95)/2 = 0,975
χL2 = 6,908
Ch. 6 Larson/Farber
χR2 = 28,845
Intervalos de confiança para
e
Um intervalo de confiança c
para uma variância
populacional é:
Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada
extremo.
Você seleciona ao acaso os preços de 17 CD players.
O desvio padrão amostral é de US$ 150. Construa um
intervalo de confiança de 95% para
e .
28,845
12.480,50
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6,908
52.113,49
Intervalos de confiança para
e
Para estimar o desvio padrão tire a raiz
quadrada de cada extremo.
12.480,50
52.113,49
Determine a raiz quadrada de cada
parte.
US$ 117,72
US$ 228,28
Você pode dizer, com 95% de confiança, que
está entre 12.480,50 e 52.113,49
e entre US$ 117,72 e US$ 228,28.
Ch. 6 Larson/Farber