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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Departamento de Estatística
Probabilidade
Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Prof. Tarciana Liberal
Larson/Farber Ch. 3
Existem
muitas
situações
que
envolvem incertezas: fenômenos ou
experimentos aleatórios.
Um modelo matemático ajudará a
investigar de maneira bastante precisa
esse fenômeno.
Larson/Farber Ch. 3
Introdução
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos:
• Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e
determinados pelas condições sob as quais o procedimento
seja executado .
• Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média,
leis da física…
• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) :
Aplicados em situações que envolvem incerteza.
Resultados variam de uma observação para outra, mesmo
em condições normais de experimentação.
As condições do experimento determinam apenas o
comportamento probabilístico do resultado observável .
• Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos,
tempo de vida de um paciente.
Larson/Farber Ch. 3
Introdução
 A teoria das probabilidades é o fundamento para a
inferência estatística. O objetivo desta parte é que o
aluno compreenda os conceitos mais importantes da
probabilidade.
• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia
dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu
conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,
podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70%
de ser aprovado em uma determinada disciplina. Um
professor está 90% seguro de que um novo método de
ensino proporcione uma melhor compreensão pelos
alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma
nova máquina reduz em 20% o tempo de produção de
um bem.
Larson/Farber Ch. 3
Conceitos importantes
• Experimentos Aleatórios (E) : São
aqueles
onde
o
processo
de
experimentação está sujeito a influências de
fatores casuais que conduzem a resultados
incertos.
Exemplo: Lançar um dado, Lançar uma
moeda, Retirar uma carta do Baralho,
Preço do Dólar ao final do dia.
Larson/Farber Ch. 3
• Características de um experimento aleatório :
Pode ser repetido indefinidamente sob as
mesmas condições .
Podemos
resultados.
Larson/Farber Ch. 3
descrever
todos
os
possíveis
Conceitos importantes
• Espaço Amostral (Ω) : É o conjunto de todos os
possíveis resultados de um experimento aleatório.
Exemplo 1: Lançamento de um dado e observação da face
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 2: Jogar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de
coroas e caras
Ω={(k,k,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c), (c,c,c)}
Exemplo 3: Número de mensagens transmitidas por dia em uma
rede de computação
Ω = {0,1, 2, 3, 4, …}
Exemplo 4: Tempo de duração de um equipamento
  {t  IR / t  0}
Larson/Farber Ch. 3
O espaço amostral pode ser
• Finito: Número limitado de resultados.
Exemplo 1 e 2.
• Infinito Enumerável: Número infinito de
resultados que podem ser listados.
Exemplo 3.
• Infinito: Intervalo de números reais.
Exemplo 4.
Larson/Farber Ch. 3
Conceitos importantes
• Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a um
experimento E qualquer, definimos como evento qualquer
subconjunto desse espaço amostral.
• Exemplo 1: Sair um número par
A=
• Exemplo 2: Sair duas caras
B=
• Exemplo 3: transmitir duas mensagens
C=
Diz-se que “ocorre o evento A, B ou C ”, quando o
resultado do experimento aleatório for um elemento de A,
B ou C.
Larson/Farber Ch. 3
Alguns Eventos
• Em particular, o conjunto universo, , e o
conjunto vazio, , são também eventos, onde 
é denominado de evento certo e  evento
impossível.
• Se A contém apenas um elemento, dizemos
que A é um evento elementar ou simples.
Larson/Farber Ch. 3
Larson/Farber Ch. 3
Larson/Farber Ch. 3
Diagrama de Venn
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Algumas Operações entre conjuntos
• A  B é o evento que ocorrerá se e somente se
A ou B ou ambos ocorrerem.
Larson/Farber Ch. 3
Algumas Operações entre conjuntos
• A  B é o evento que ocorrerá se e somente se
A e B ocorrerem simultaneamente.
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Algumas Operações entre conjuntos
• A ocorrerá se e somente se não ocorrer A
(COMPLEMENTAR).
A
A
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Algumas Operações entre conjuntos
• A  B ocorrerá se e somente se ocorrer A e não
ocorrer B.
Larson/Farber Ch. 3
Algumas Operações entre conjuntos
• LEIS DE MORGAN:
(I) O complementar da ocorrência de pelo menos um dos
eventos é a não ocorrência de todos os eventos.
(II) O complementar da ocorrência de todos os eventos é
a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.
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Eventos mutuamente excludentes
Dois eventos, A e B, serão mutuamente excludentes se
não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, a
ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na
teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são
mutuamente exclusivos por AB = .
Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}
B = {sair IMPAR} = {1, 3, 5}
A
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B
Exclusão mútua
Eventos não mutuamente excludentes
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa,
eles não são mutuamente excludentes, ou seja,
AB  .
Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}
B = {sair nº maior que 4} = {5, 6}
AB
Sem exclusão mútua
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A
B
Alguns Conceitos Básicos de Contagem
•REGRA DA ADIÇÃO: Se existirem k procedimentos
e o i-ésimo procedimento puder ser realizado de ni
maneiras, então o número de maneiras pelas quais
poderemos realizar ou o procedimento 1 ou o
procedimento 2,..., ou o procedimento k, supondo
que dois deles não possam ser realizados
conjuntamente, é:
•REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: O procedimento
formado por 1, seguido por 2,..., seguido pelo
procedimento k poderá ser executado de :
•PERMUTAÇÃO SIMPLES: O número de maneiras de
se permutar n objetos distintos é:
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Alguns Conceitos Básicos de Contagem
•ARRANJO SIMPLES: São todas as maneiras de
escolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintos
(ordenados) que diferem pela natureza e pela
ORDEM.
•COMBINAÇÃO SIMPLES: São todas as maneiras de
escolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintos
sem considerar a ordem.
•Algumas oservações:
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EXEMPLOS
•EXEMPLO 1: Luciano, José, Bruno, Leiliane e
Antônio vão fazer uma entrevista para um estágio.
De quantas formas os candidatos podem ser
chamados para fazer a entrevista?
•EXEMPLO 2: Os alunos de E. Mecânica, Física,
Química Industrial , E. de Produção e E. Alimentos
disputam um campeonato em que apenas três times
serão classificados. De quantas formas pode ser
essa classificação?
•EXEMPLO 3: De uma produção de 10 peças, das
quais 3 são defeituosas, de quantas formas
poderemos escolher 4 peças das quais metade é
defeituosa?
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EXEMPLOS
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
•Definição: é uma medida com a qual podemos
esperar a chance de ocorrência de um
determinado evento, atribuindo um número
(valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza de
que um evento ocorrerá, diremos que sua
probabilidade é 1 (ou 100%), caso contrário
diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%).
Se, por exemplo, a probabilidade é ¼ diremos que
existe uma chance de 25% de ocorrência de tal
evento
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Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Clássica
P(A)
número de resultados do evento A
número total de resultados no espaço amostral
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 4
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 5
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Espaços amostrais finitos e equiprováveis
• Um espaço amostral  é dito finito se  =
{a1,a2,...,an}. Considere o evento Ai = {ai}
formado por um resultado simples. A cada
evento simples {ai} associaremos um número
pi, denominado de probabilidade de {ai},
satisfazendo às seguintes condições:
i)
pi  0, i = 1, 2, ..., n.
ii) p1 + p2 + ... + pn =1.
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 6
• Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes
mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do
que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um,
isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ou
C ganhe?
Seja P(C) = p; como B é duas vezes mais provável de ganhar do
que C, P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B,
P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem
que ser 1; então
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 7
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 8
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 9
Exeperimento: Dois dados são jogados
Espaço Amostral ()
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
Detemine a probabilidade de que: A ={a soma seja 4}.
P(A) =
Determine a probabilidade de que: B = (a soma seja 11}. P(B) =
Larson/Farber Ch. 3
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Tabela de contingência
Revela a existência de eventos combinados, e
facilita o tratamento probabilístico de tais
eventos.
É uma tabela que disponibiliza informações
diretamente nas linhas e colunas, e que além
dessas informações é possível visualizar
também o número de casos comuns às
interseções de eventos.
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 10
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades
se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão
a seguir.
J. Pessoa Recife
C. Grande Total
Sim
100
150
150
400
Não
125
130
95
350
Não sabe
75
170
5
250
Total
300
450
250
1.000
Determine a probabilidade de sortear um adulto de C. Grande
ou que tenha respondido SIM
P(C. Grande  SIM) = 250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000
= 500/1.000 = 0,5
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 10
Perguntou-se a uma amostra de adultos formados em
engenharia, em três capitais, se eles atuavam na área. Os
resultados estão a seguir.
João Pessoa
Recife
Natal
Total
Sim
160
220
180
560
Não
135
80
95
310
Total
295
300
275
870
Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:
1. P(Natal U Sim)
2. P(Recife ∩ Não)
3. P(João Pessoa)
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos
e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam
A={o 1 artigo é defeituoso} e B={o 2 artigo é defeituoso}.
Calcule P(A) e P(B)
a) com reposição;
b) sem reposição.
20
1
a) Se extrairmos com reposição, P( A)  P( B)  100  5 , pois cada vez que
estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de
100.
b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que P( A)  1.5
Mas e sobre P(B) ? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) é
necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a
segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não.
Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte
conceito
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer,
dado (ou na condição de) que outro evento B já
ocorreu.
P( A  B)
P( A | B) 
, para P( B)  0
P( B)
Sempre que calcularmos P(A|B) , estaremos
essencialmente calculando P(A) em relação ao
espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo
em relação ao espaço original .
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
• Observações importantes:
1) Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito
da probabilidade condicional.
2) Se A e B forem mutuamente excludentes,
então
P( )
P( A / B) 
0
P (B )
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
P( )
P( A / B) 
0
P (B )
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 11
Dois dados são lançados ao acaso. Qual a
probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o
primeiro dado saiu um número menor que 3
A = {soma igual a 6} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
B = {1º dado com nº < 3 } = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),
(1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}
A  B = {(1,5), (2,4)}
Logo P(A | B) =
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 12
Sim
Não
Não sabe
Total
J. Pessoa
100
125
75
300
Recife
150
130
170
450
C. Grande
150
95
5
250
Total
400
350
250
1.000
1. P(Não | C. Grande) = 95/250 = 0,38
2. P(João Pessoa | Sim)
3. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo que
ele não é de Recife?
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 13
Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status de
promoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabela
abaixo (dados fictícios):
Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiais
levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos
receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A
administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de
promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas ao
fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,
como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu
questionamento da acusação de discriminação?
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 14
Larson/Farber Ch. 3
Teorema da Multiplicação
A mais importante consequência da definição de
probabilidade condicional é o seguinte teorema:
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral , então:
P( A  B)  P( B)  P( A / B)
P( A  B)  P( A)  P( B / A)
Larson/Farber Ch. 3
Teorema da Multiplicação
O teorema da multiplicação de probabilidades pode
ser generalizado para mais de dois eventos.
Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral , a probabilidade da ocorrência
simultânea de A1, A2,..., An é dada por:
P(A1  A2 ... An) = P(A1)*P(A2/A1)*...*P(An/A1  A2 ... An-1)
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 15
Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas.
Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição.
Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem
boas.
Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então
4 3 2 1
P(A1  A2  A3) = P(A1)xP(A2/A1)xP(A3/A1  A2) =    .
6 5 4 5
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 16
Dois carros são selecionados em uma linha
de produção com 12 unidades, 5 delas
defeituosas. Determine a probabilidade de
ambos os carros serem defeituosos.
A = o 1o carro é defeituoso.
B = o 2o carro é defeituoso.
P(A) =
P(A  B) =
Larson/Farber Ch. 3
P(B|A) =
Teorema da probabilidade Total
Sejam A um evento qualquer do espaço amostral 
e B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaço
amostral , então:
k
P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) =
 P ( A / B ) P (B )
i 1
Larson/Farber Ch. 3
i
i
Larson/Farber Ch. 3
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 17
Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(B) se as
retiradas dos artigos são feitas sem reposição.
1
4
P
(
A
)

P
(
A
)

Como já vimos
. Assim, temos que
.
5
5
Agora, P (B / A) 
19
,
99
porque se A tiver ocorrido,
então na segunda extração restarão somente 99
peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De
20
P
(
B
/
A
)

modo similar, temos que
. Pelo teorema
99
da probabilidade total, temos
Larson/Farber Ch. 3
Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes se a
probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada
pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.
A = ser mulher.
B = ter sangue tipo O.
A = 1o filho ser menino.
B = 2o filho ser menino.
Dois eventos que não são independentes são
dependentes.
A = tomar uma aspirina por dia.
B = ter um ataque do coração.
Larson/Farber Ch. 3
A = ser mulher.
B = ter menos de 1,62 m.
Eventos independentes
Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)
Probabilidade condicional
Probabilidade
Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2
são selecionados ao acaso.
A = o primeiro carro é defeituoso.
B = o segundo carro é defeituoso.
A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o
primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.
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Exemplo 18
Dois dados são lançados. Determine a probabilidade
de sair 4 em ambos.
A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado.
P(A) = 1/6
P(B|A) = 1/6
P(A  B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028
Quando dois eventos A e B são independentes,
P(A  B) = P(A) x P(B)
Larson/Farber Ch. 3
Teorema de Bayes
Sejam B1, B2, ..., Bk uma partição do espaço amostral , ou
seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento
qualquer associado a S, então:
P( Bi  A)
P( A | Bi ).P( Bi )
P( Bi | A) 

p( A)
P( A | B1 ).P( B1 )    P( A | Bk ).P( Bk )
Larson/Farber Ch. 3
Teorema de Bayes
Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes são
homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos
homens e 4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dado
que um estudante com menos de 1,60m foi sorteado
aleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher ?
Solução: H={Homem}, M = {Mulher}, A = {menos de 1,60m}
P(M  A)
P(M  A)
P(M | A) 


p( A)
P(M  A)  P( H  A)
P( A | M ).P(M )
0,04  0,40


P( A | M ).P(M )  P( A | H ).P( H ) (0,04  0,40)  (0,01 0,60)
 0,727
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 19
Um Produto é escolhido ao acaso e é verificado ser defeituoso. Qual
a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3? e
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 19
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 20
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 18
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 18
Larson/Farber Ch. 3