Aula 5 - DE/UFPB

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Departamento de Estatística
Probabilidade
Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Luiz Medeiros
http://www.de.ufpb.br/~luiz/
Larson/Farber Ch. 3
Existem
muitas
situações
que
envolvem incertezas: fenômenos ou
experimentos aleatórios.
Um modelo matemático ajudará a
investigar de maneira bastante precisa
esse fenômeno.
Larson/Farber Ch. 3
Introdução
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos:
• Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e
determinados pelas condições sob as quais o procedimento
seja executado .
• Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média,
leis da física…
• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) :
Aplicados em situações que envolvem incerteza.
Resultados variam de uma observação para outra, mesmo
em condições normais de experimentação.
As condições do experimento determinam apenas o
comportamento probabilístico do resultado observável .
• Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos,
tempo de vida de um paciente.
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Introdução
A teoria das probabilidades é o fundamento para a
inferência estatística. O objetivo desta parte é que o
aluno compreenda os conceitos mais importantes da
probabilidade.
• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia
dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu
conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,
podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70%
de ser aprovado em uma determinada disciplina. Um
professor está 90% seguro de que um novo método de
ensino proporcione uma melhor compreensão pelos
alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma
nova máquina reduz em 20% o tempo de produção de
um bem.
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Conceitos importantes
• Experimentos Aleatórios (E) : São
aqueles
onde
o
processo
de
experimentação está sujeito a influências de
fatores casuais que conduzem a resultados
incertos.
Exemplo: Lançar um dado, Lançar uma
moeda, Retirar uma carta do Baralho,
Preço do Dólar ao final do dia.
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• Características de um experimento aleatório :
Pode ser repetido indefinidamente sob as
mesmas condições .
Podemos
resultados.
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descrever
todos
os
possíveis
Conceitos importantes
• Espaço Amostral (Ω) : É o conjunto de todos os
possíveis resultados de um experimento aleatório.
Exemplo 1: Lançamento de um dado e observação da face
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 2: Jogar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de
coroas e caras
Ω={(k,k,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c), (c,c,c)}
Exemplo 3: Número de mensagens transmitidas por dia em uma
rede de computação
Ω = {0,1, 2, 3, 4, …}
Exemplo 4: Tempo de duração de um equipamento
Ω = {t ∈ IR / t > 0}
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O espaço amostral pode ser
• Finito: Número limitado de resultados.
Exemplo 1 e 2.
• Infinito Enumerável: Número infinito de
resultados que podem ser listados.
Exemplo 3.
• Infinito: Intervalo de números reais.
Exemplo 4.
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Conceitos importantes
• Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a um
experimento E qualquer, definimos como evento qualquer
subconjunto desse espaço amostral.
• Exemplo 1: Sair um número par
A = {2, 4, 6}
• Exemplo 2: Sair duas caras
B = {(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k)}.
• Exemplo 3: transmitir duas mensagens
C = {2}.
Diz-se que “ocorre o evento A, B ou C ”, quando o
resultado do experimento aleatório for um elemento de A,
B ou C.
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Alguns Eventos
• Em particular, o conjunto universo, Ω, e o
conjunto vazio, φ, são também eventos, onde Ω
é denominado de evento certo e φ evento
impossível.
• Se A contém apenas um elemento, dizemos
que A é um evento elementar ou simples.
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Diagrama de Venn
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Algumas Operações entre conjuntos
• A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se
A ou B ou ambos ocorrerem.
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Algumas Operações entre conjuntos
• A ∩ B é o evento que ocorrerá se e somente se
A e B ocorrerem simultaneamente.
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Algumas Operações entre conjuntos
• A ocorrerá se e somente se não ocorrer A
(COMPLEMENTAR).
A
A
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Algumas Operações entre conjuntos
• A − B ocorrerá se e somente se ocorrer A e não
ocorrer B.
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Algumas Operações entre conjuntos
• LEIS DE MORGAN:
(I)
(II)
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Eventos mutuamente excludentes
Dois eventos, A e B, serão mutuamente excludentes se
não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, a
ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na
teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são
mutuamente exclusivos por A∩B = ∅.
Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}
B = {sair IMPAR} = {1, 3, 5}
A
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B
Exclusão mútua
Eventos não mutuamente excludentes
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa,
eles não são mutuamente excludentes, ou seja,
A∩B ≠ ∅.
Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}
B = {sair nº maior que 4} = {5, 6}
A∩B
Sem exclusão mútua
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A
B
Alguns Conceitos Básicos de Contagem
•REGRA DA ADIÇÃO: Se existirem k procedimentos e o i-ésimo
procedimento puder ser realizado de ni maneiras, então o número
de maneiras pelas quais poderemos realizar ou o procedimento 1
ou o procedimento 2,..., ou o procedimento k, supondo que dois
deles não possam ser realizados conjuntamente, é:
n=n1+n2+...+nk
•REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: O procedimento formado por 1,
seguido por 2,..., seguido pelo procedimento k poderá ser
executado de:
n=n1 x n2 x ... x nk
•PERMUTAÇÃO SIMPLES: O número de maneiras de se permutar
n objetos distintos é:
Pn=n!
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Alguns Conceitos Básicos de Contagem
•ARRANJO SIMPLES: São todas as maneiras de
escolher p objetos dentre n (p<n) objetos distintos
(ordenados) que diferem pela natureza e pela
ORDEM.
•COMBINAÇÃO SIMPLES: São todas as maneiras de
escolher p objetos dentre n (p<n) objetos distintos
sem considerar a ordem.
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EXEMPLOS
•EXEMPLO 1: Patrícia, Jairo, Vanessa, Matheus e
Danielle vão fazer uma entrevista para um estágio.
De quantas formas os candidatos podem ser
chamados para fazer a entrevista?
•EXEMPLO 2: Os alunos de E. Civil, Física, Química
Industrial , E. de Produção e E. Elétrica disputam um
campeonato em que apenas três times serão
classificados. De quantas formas pode ser essa
classificação?
•EXEMPLO 3: De uma produção de 10 peças, das
quais 3 são defeituosas, de quantas formas
poderemos escolher 4 peças das quais metade é
defeituosa?
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Aproximação da Probabilidade pela
Freqüência Relativa
Realize um experimento um grande número de
vezes e conte o número de vezes que o evento A
ocorre. Baseado nesses resultados efetivos, P(A)
é definido como:
número de vezes que o evento A ocorreu
P ( A) =
número de vezes em que o experiment o foi repetido
A medida que um experimento é repetido várias
vezes, a probabilidade dada pela freqüência
relativa de um evento tende a se aproximar da
verdadeira probabilidade.
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Probabilidade
•Definição: é uma medida com a qual podemos
esperar a chance de ocorrência de um
determinado evento, atribuindo um número
(valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza de
que um evento ocorrerá, diremos que sua
probabilidade é 1 (ou 100%), caso contrário
diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%).
Se, por exemplo, a probabilidade é ¼ diremos que
existe uma chance de 25% de ocorrência de tal
evento
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Probabilidade
Clássica
P(A)
Larson/Farber Ch. 3
número de resultados do evento A
número total de resultados no espaço amostral
Noções Fundamentais de Probabilidade
• Seja E um experimento e Ω um espaço amostral
associado a E. Probabilidade é uma função P que
associa a cada evento A ∈ F(Ω) um número real
representada por P(A) e denominado probabilidade do
evento A, satisfazendo aos seguintes axiomas:
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2) P(Ω) = 1.
3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Se A1, A2, ..., An, ... forem, dois a dois, eventos
mutuamente excludentes, então,
∞
P (∪
∞
i =1
Ai ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ...+ P ( An ) + ... = ∑ P ( Ai )
i =1
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Propriedades Fundamentais
1) Se φ for o conjunto vazio, então P(φ)=0.
2) Se A for o evento complementar de A, então P( A ) =
1 - P(A).
3) Se A e B forem eventos quaisquer tais que A ⊂ B
então P(A) ≤ P(B).
4) Se A e B são dois eventos quaisquer, então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Larson/Farber Ch. 3
Espaços amostrais finitos e equiprováveis
• Um espaço amostral Ω é dito finito se Ω =
{a1,a2,...,an}. Considere o evento Ai = {ai}
formado por um resultado simples. A cada
evento simples {ai} associaremos um número
pi, denominado de probabilidade de {ai},
satisfazendo às seguintes condições:
i)
pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n.
ii) p1 + p2 + ... + pn =1.
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 4
• Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes
mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do
que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um,
isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ou
C ganhe?
Seja P(C) = p; como B é duas vezes mais provável de ganhar do
que C, P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B,
P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem
que ser 1; então
p + 2p + 4p = 1
Logo, P(A) = 4/7 ;
ou
7p = 1
P(B) = 2/7
ou
e
p = 1/7.
P(C) = 1/7
Por definição, P(B ∪ C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 5
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 6
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 7
Exeperimento: Dois dados são jogados
Espaço Amostral (Ω
Ω)
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Detemine a probabilidade de que: A ={a soma seja 4}. P(A) = 3/36 = 0,083
Determine a probabilidade de que: B = (a soma seja 11}. P(B) = 2/36 = 0,056
Larson/Farber Ch. 3
Tabela de contingência
Revela a existência de eventos combinados, e
facilita o tratamento probabilístico de tais
eventos.
É uma tabela que disponibiliza informações
diretamente nas linhas e colunas, e que além
dessas informações é possível visualizar
também o número de casos comuns às
interseções de eventos.
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Exemplo 8
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades
se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão
a seguir.
J. Pessoa Recife
C. Grande
Total
Sim
100
150
150
400
Não
125
130
95
350
Não sabe
75
170
5
250
Total
300
450
250
1.000
Determine a probabilidade de sortear um adulto de C. Grande
ou que tenha respondido SIM
P(C. Grande ∪ SIM) = 250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000
= 500/1.000 = 0,5
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Exemplo 9
Perguntou-se a uma amostra de adultos formados em
engenharia, em três capitais, se eles atuavam na área. Os
resultados estão a seguir.
João Pessoa
Recife
Natal
Total
Sim
160
220
180
560
Não
135
80
95
310
Total
295
300
275
870
Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:
1. P(Natal U Sim)
2. P(Recife ∩ Não)
3. P(João Pessoa)
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos
e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam
A={o 1° artigo é defeituoso} e B={o 2° artigo é defeituoso}.
Calcule P(A) e P(B)
a) com reposição;
b) sem reposição.
20
1
a) Se extrairmos com reposição, P( A) = P(B) = 100 = 5 , pois cada vez que
estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de
100.
b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que P( A) = 1.5
Mas e sobre P(B) ? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) é
necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a
segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não.
Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte
conceito
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer,
dado (ou na condição de) que outro evento B já
ocorreu.
P( A ∩ B)
P( A | B) =
, para P ( B ) > 0
P(B)
Sempre que calcularmos P(A|B) , estaremos
essencialmente calculando P(A) em relação ao
espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo
em relação ao espaço original Ω.
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade condicional
• Observações importantes:
1) Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito
da probabilidade condicional.
2) Se A e B forem mutuamente excludentes,
então
P (φ )
P( A / B) =
=0
P (B )
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 10
Dois dados são lançados ao acaso. Qual a
probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o
primeiro dado saiu um número menor que 3
A = {soma igual a 6} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
B = {1º dado com nº < 3 } = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),
(1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}
A ∩ B = {(1,5), (2,4)}
Logo P(A | B) = (2/36) ÷ (12/36) = 2/12 = 1/6
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Exemplo 11
Sim
Não
Não sabe
Total
J. Pessoa
100
125
75
300
Recife
150
130
170
450
C. Grande
150
95
5
250
Total
400
350
250
1.000
1. P(Não | C. Grande) = 95/250 = 0,38
2. P(João Pessoa | Sim)
3. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo que
ele não é de Recife?
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 12
Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status de
promoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabela
abaixo (dados fictícios):
Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiais
levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos
receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A
administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de
promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas ao
fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,
como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu
questionamento da acusação de discriminação?
Larson/Farber Ch. 3
Teorema da Multiplicação
A mais importante consequência da definição de
probabilidade condicional é o seguinte teorema:
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral Ω, então:
P(A∩B) = P(B)× P(A/ B)
P( A ∩ B) = P( A) × P(B / A)
Larson/Farber Ch. 3
Teorema da Multiplicação
O teorema da multiplicação de probabilidades pode
ser generalizado para mais de dois eventos.
Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral Ω, a probabilidade da ocorrência
simultânea de A1, A2,..., An é dada por:
P(A1 ∩ A2 ∩...∩ An) = P(A1)*P(A2/A1)*...*P(An/A1 ∩ A2 ∩...∩ An-1)
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Exemplo 13
Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas.
Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição.
Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem
boas.
Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então
4 3 2 1
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)xP(A2/A1)xP(A3/A1 ∩ A2) = × × = .
6 5 4 5
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 14
Dois carros são selecionados em uma linha
de produção com 12 unidades, 5 delas
defeituosas. Determine a probabilidade de
ambos os carros serem defeituosos.
A = o 1o carro é defeituoso.
B = o 2o carro é defeituoso.
P(A) = 5/12
P(B|A) = 4/11
P(A ∩ B) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,1515
Larson/Farber Ch. 3
Teorema da probabilidade Total
Sejam A um evento qualquer do espaço amostral Ω
e B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaço
amostral Ω, então:
P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) =
k
∑ P ( A / B ) P (B )
i
i =1
Larson/Farber Ch. 3
i
Exemplo 15
Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(B) se as
retiradas dos artigos são feitas sem reposição.
1
4
P
(
A
)
=
P
(
A
)
=
Como já vimos
. Assim, temos que
.
5
5
Agora, P (B / A) =
19
,
99
porque se A tiver ocorrido,
então na segunda extração restarão somente 99
peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De
20
P
(
B
/
A
)
=
modo similar, temos que
. Pelo teorema
99
da probabilidade total, temos
P ( B ) = P ( B / A ) P ( A) + P ( B / A ) P ( A) =
Larson/Farber Ch. 3
19 1 20 4 1
× +
× =
99 5 99 5 5
Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes se a
probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada
pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.
A = ser mulher.
B = ter sangue tipo O.
A = 1o filho ser menino.
B = 2o filho ser menino.
Dois eventos que não são independentes são
dependentes.
A = tomar uma aspirina por dia.
B = ter um ataque do coração.
Larson/Farber Ch. 3
A = ser mulher.
B = ter menos de 1,62 m.
Eventos independentes
Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)
Probabilidade condicional
Probabilidade
Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2
são selecionados ao acaso.
A = o primeiro carro é defeituoso.
B = o segundo carro é defeituoso.
A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o
primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.
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Exemplo 16
Dois dados são lançados. Determine a probabilidade
de sair 4 em ambos.
A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado.
P(A) = 1/6
P(B|A) = 1/6
P(A ∩ B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028
Quando dois eventos A e B são independentes,
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Larson/Farber Ch. 3
Teorema de Bayes
Sejam B1, B2, ..., Bk uma partição do espaço amostral Ω, ou
seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento
qualquer associado a Ω , então:
P ( Bi ∩ A)
P ( A | Bi ).P ( Bi )
P ( Bi | A) =
=
p( A)
P ( A | B1 ).P ( B1 ) + K + P ( A | Bk ).P ( Bk )
Larson/Farber Ch. 3
Teorema de Bayes
Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes são
homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos
homens e 4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dado
que um estudante com menos de 1,60m foi sorteado
aleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher ?
Solução: H={Homem}, M = {Mulher}, A = {menos de 1,60m}
P( M ∩ A)
P( M ∩ A)
P( M | A) =
=
=
P( A)
P( M ∩ A) + P( H ∩ A)
P( A | M ).P( M )
0,04 × 0,40
=
=
P( A | M ).P( M ) + P( A | H ).P( H ) (0,04 × 0,40) + (0,01× 0,60)
= 0,727
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 17
Um Produto é escolhido ao acaso e é verificado ser defeituoso. Qual
a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3? e
Larson/Farber Ch. 3