11 - integral definida, áreas e volume

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prof.: Joaquim Rodrigues
INTEGRAIS DEFINIDAS
Seja f(x) uma função definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida
de f(x), de a até b, é um número real, e é indicado pelo símbolo:
∫
b
a
f ( x) dx , onde:
a é o limite inferior de integração
b é o limite superior de integração
f(x) é o integrando
QUESTÕES
Questão 01
Calcular:
a)
∫
1
x dx
0
b)
∫
b
0
x dx
c)
∫
2
1
x 2 dx
d)
π
4
0
∫
cos x dx
Questão 02
Calcular:
a)
d)
g)
∫
1
(2 x + 4) dx
0
∫
1
1
0
1− x
∫
2
2
dx
x 4 dx
−1
h)
∫
16
b)
∫
e)
∫
1
( x 2 − x + 1) dx
c)
∫
ln x
dx
x
f)
∫
−1
e
0
dx
1
i)
x
∫
27
3
8
Questão 03
Calcule o valor de cada integral definida:
2
1
dx
a) ∫ 13
b) ∫ (2 x + 3) dx
0
−
3x + 2
3
d)
∫
4
g)
∫
3a
j)
m)
p)
t)
x dx
1
∫
2a
2
−1
∫
∫
b
0
1
0
∫
π
2
0
x dx
(x − a 2 )2
2
(1 + x)(2 − x) dx
( b − x ) dx
2
e)
∫
2
h)
∫
2b
0
x 2 + b2
∫
a
(a 2 x − x 3 ) dx
∫
1
k)
n)
x 2 − 5x + 6
dx
x−3
q)
sen x ⋅ cos x dx
u)
2
4 x + 1 dx
0
0
∫
2
−1
π
3
π
4
0
( x 2 + 2 x + 3) dx
1
1 + x dx
0
x dx
j)
c)
∫
f)
∫
0
∫
14
13
( x − 13)10 dx
7 x 6 dx
−1
2
( x + 1) 2 dx
−1
1
x (1 − x ) dx
2
0
∫
x dx
1
2
i) ∫ ( x − x 2 ) dx
0
l)
o)
3x
dx
4 + x2
r)
tg 3 x ⋅ sec 2 x dx
v)
1
∫
1
0
( x + 1) 9 dx
2
1

 x +  dx
x

2
∫
1
∫
2
∫
0, 8
−2
0, 2
3x ⋅ e
x2
+1
2
x
dx
1− x2
dx
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prof.: Joaquim Rodrigues
CÁLCULO DE ÁREAS
Questão 01
Calcular a área limitada por:
a) y = 2 x − x 2 e o eixo x, acima do eixo x
b) y = x 2 e y = 2 − x
c) y = sen x e o eixo x, para 0 ≤ x ≤ π
Questão 02
Calcule a área limitada por:
a) y = x 2 e o eixo x, para 0 ≤ x ≤ 3
b) y = x 2 e y = 2 x − x 2
c) y = 4 x − x 2 e o eixo x, acima do eixo x
2
d) y = x 2 e y =
1+ x2
e) y = x 2 + 2 x e y = − x
f) y = x 2 e y = x
Questão 03
Calcule a área limitada por:
a) y = cos x e o eixo x, 0 ≤ x ≤
c) y =
π
2
1
e o eixo x, 1 ≤ x ≤ 4
x
b) y = cos x e o eixo x, 0 ≤ x ≤ π
d) y = x e y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 2
Questão 04
Calcule a área da região indicada na figura:
a)
y = 3x
y
b)
y
y = x2
y = x2
8
9
y = 8− x 2
3
−2
x
2
2
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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d)
c)
y
y
y = ex
1
y = e− x
x
2
2
Questão 05
Calcule a área sob as funções f(x):
f ( x) = 4 x − x 2
a)
y
x
b)
f ( x) = x 2
y
3
x
3
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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c)
y
f ( x) =
1
1
x
e
x
Questão 06
Calcule a área limitada pela intersecção das funções f ( x) = x e g ( x) = − x 2 + 8 x − 6 .
Questão 07
Ache a área limitada pela curva y = x 3 + 3x 2 , pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2 .
Questão 08
Ache a área limitada pela curva x 2 y = x 2 − 4 , pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 4 .
Questão 09
Ache a área no primeiro quadrante limitada pelo eixo x e pela curva y = 6 x + x 2 − x 3 .
Questão 10
Ache a área total entre a parábola y = x 2 − 4 x , o eixo x e a reta x = −2 .
Questão 11
Ache a área limitada pela curva y = 2 x + x 2 − x 3 , pelo eixo x e pelas retas x = −1 e
x = 1.
Questão 12
Ache a área limitada pelas curvas y = x 2 e y = x .
Questão 13
Ache a área limitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x 2 .
4
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CÁLCULO DE VOLUME
Questão 01
A região entre a curva y = x , 0 ≤ x ≤ 4 e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar
um sólido. Determine seu volume.
Questão 02
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e
pelas retas y = 2 e x = 0 , em torno do eixo y.
Questão 03
Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta y = 1 , da região
definida por y = x e pelas retas y = 1 e x = 4 .
Questão 04
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva y = x de 0 a 1.
Questão 05
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x 3 , y = 8 e
x = 0 ao redor do eixo y.
Questão 06
A região R limitada pelas curvas y = x e y = x 2 é girada ao redor do eixo x. Encontre o
volume do sólido resultante.
Questão 07
Ache o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entre
y = x e y = x2 .
Questão 08
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta y = 2 , da região entre
y = x e y = x2 .
Questão 09
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta x = −1 entre y = x e
y = x2 .
Questão 10
Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região
2
compreendida entre o eixo y e a curva x = , 1 ≤ y ≤ 4 .
y
5
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Questão 11
Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = 3 , da região
compreendida entre a parábola x = y 2 + 1 e a reta x = 3 .
Questão 12
A região compreendida entre a parábola y = x 2 e a reta y = 2 x no primeiro quadrante
gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.
Questão 13
A região limitada pela curva y = x 2 + 1 e pela reta y = − x + 3 gira em torno do eixo x
para gerar um sólido. Determine o volume desse sólido.
Questão 14
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do
eixo x.
y
1
x
2
Questão 15
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do
eixo y.
y
2
3
x
6