Lista 5

Quinta lista de exercícios – Engenharia Civil – Turma 2000
Integrais Duplas – Parte 1
Prof. Paulo Laerte Natti – Departamento de Matemática/UEL
Exercício 1 – Calcule as integrais duplas dadas abaixo. Em seguida, identifique a região de
integração, inverta a ordem de integração e recalcule a integral resultante.
a)
2

x
c)

1 2
e y dy dx 
1
1 x
0 2x
x 2 y dy dx 
2

163
120

1 4
e  1  13,40
4
Exercício 2: Calcule a integral
(0,0) , (3,1) e (2,1) .

R
2
b)

d)

1
1
x3
x
x
0 0
y
e
x
dy dx 


1
4e  e 4  21,86
2
sen x
dy dx  0,46
x
xy 2 dA dupla sobre a região R triangular de vértices
Solução:
1 3y

0 2 y
xy 2 dx dy 
1
2
Exercício 3: Ache o volume do sólido que está no primeiro octante e é delimitado pelos três
planos coordenados e pelos cilindros x 2  y 2  9 e y 2  z 2  9 .
Solução:
3

0 0
9 y 2
9  y 2 dx dy  18 (unidades de volume)
Exercício 4: Ache o volume do sólido delimitado pelos gráficos das equações y  4  x 2
(calha ortogonal ao plano-xy, alinhada com eixo-z e simétrica com relação ao plano-yz) ,
z  x 2  4 (calha ortogonal ao plano-xz, alinhada com eixo-y e simétrica com relação ao
plano-yz) , x  y  2 (plano) e z  0 (plano) .
2 4 x 2
423
x 2 4 dy dx 
Solução:  
(unidades de volume)
1 2  x
20
 1
1
Exercício 5: Calcule a integral dupla    x 3 d y d x  1 . Mostre que a região R de
1 e
x y
integração não é limitada. Por que a integral dada é finita se a região de integração não é
limitada.
Exercício 6: Calcule a área da região R limitada pela parábola y  x 2 e pela reta y  x  2 .
a) Calcule como uma região R x
b) Calcule como uma região R y
Solução: 9/2 (unidades de área)
Exercício 7: Calcule a área da região R limitada pela parábola y  e x e pelas retas y  0 ,
x  0 e x  ln 2 .
a) Calcule como uma região R x
b) Calcule como uma região R y
Solução: 1 (unidade de área)
Exercício 8: Estabeleça uma integral dupla para calcular a área da parte do gráfico da
equação dada , situada acima da região R no plano-xy e com a fronteira indicada. Utilize a
simetria sempre que possível.
x2  y2  z 2  4
Região R : quadrado de vértice (1,1) , (1,-1) , (-1,1) e (-1,-1).
Exercício 9: Ache a área da superfície S, se S é a parte do parabolóide z  x 2  y 2
  32 
cortada pelo plano z  1 . Resposta:
 5 1

6
Exercício 10: Uma tenda em forma de uma cúpula deve Ter o chão circular com raio de
7
5m e o teto com a forma do gráfico de z  7  x 2  y 2  com z  0 . Calcule a
25
quantidade de metros quadrados de lona para construir a tenda. Solução: 247,4 m 2 .
Exercício 11: Calcule as integrais triplas abaixo.
a)
39
0 1 1 x  2 y  4 z  dx dy dz  2
3
0
2
b)
2
x2
 
1 1
x y
0
2 x y  dz dy dx  513
8
2
Exercício 12: Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e encontre o
seu volume.
a) y 2  z 2  1 e x  y  z  2
Resposta: 2
Exercício 13: Uma lâmina com densidade de massa por área  x, y   y 2 tem a forma de
uma região delimitada pelos gráficos de y  e  x , x  0 , x  1 e y  0 . Ache o
centro de massa da lâmina.
Exercício 14: Uma lâmina com densidade de massa por área  x, y  , no ponto P(x,y),
sendo diretamente proporcional à distância do ponto P ao eixo-y , tem a forma de uma
região delimitada pelos gráficos da parábola x  y 2 e da reta x  4 . Ache o centro de
20
massa da lâmina. Solução: ( x , y )  ( ,0)
7
Exercício 15: A densidade  x, y, z  de um ponto P de um sólido cúbico de aresta a é
diretamente proporcional ao quadrado da distância de P a um vértice fixo do cubo. Ache o
7
centro de massa do cubo. Solução: x  y  z  a com o vértice fixo na origem O.
12