Folha 4

Problemas de Mecânica Quântica
Folha 4 - Equação de Schrödinger
Oscilador harmónico e distribuições de probabilidade
(2006/2007)
1. Partindo da equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmónico e sabendo que as
suas funções próprias são:
r
mω 2
1
mω
mω 1
φn (x) = An Hn (
x) e− 2h̄ x ,
An = (
)4 √
,
h̄
πh̄
2n n!
p
1
sendo Hn ( mω
h̄ x) polinómios de Hermite, prove que os valores próprios da energia são En = (n + 2 )h̄ω.
(Sugestão: utilize as relações de recorrência dos polinómios de Hermite).
2. Uma partı́cula de massa m no potencial do oscilador harmónico linear é descrita no instante t = 0 pela
função de onda
2
2
1
ψ (x) = 2 1/4 e−x /a .
(a π)
Qual a probabilidade de uma medida da sua energia dar o valor
1
2
h̄ ω? E
3
2
h̄ ω?
3. Considere um oscilador harmónico num estado que é uma combinação linear do estado fundamental e do
primeiro estado excitado do oscilador harmónico linear da forma
1
Ψ (x, 0) = √ (φ0 (x) + φ1 (x)).
2
(a) Mostre que a função de onda do oscilador harmónico misto está normalizada à unidade.
(b) Calcule Ψ(x, t) bem como a densidade de probabilidade associada com este estado.
(c) Calcule < Ĥ >t e discuta o resultado obtido.
(d) Calcule < x >t e < p̂ >t , e mostre explicitamente que d < x >t /dt = < p̂ >t /m.
4. Considere um oscilador harmónico clássico de massa m e frequência angular ω cujos pontos de retorno se
situam em (−xA , xA ).
(a) Calcule a distribuição clássica de probabilidades para este oscilador, mostrando que é dada por
PCL (x) =
1
1
p
.
π x2A − x2
(b) Mostre que PCL (x) está devidamente normalizada.
(c) Use PCL (x) para calcular < x >CL , < x2 >CL e < V (x) >CL .
(d) Use a relação T (x) = E − V (x) para calcular < T (x) >CL . Mostre que se verifica a relação
< V (x) >CL = < T (x) >CL = E/2.
(e) Calcule < p >CL e discuta o resultado obtido. Use a expressão T = p2 /(2 m) para calcular < p2 >CL .
(f) Mostre que o produto ∆ x ∆ p pode ser arbitrariamente pequeno em mecânica clássica.
(g) Desenhe esquematicamente as distribuições de probabilidade para vários números quânticos (por exemplo, n=0, n=1, n=10 e n=20) e compare-as com a distribuição clássica PCL (x).
5. Verifique que o estado fundamental do oscilador harmónico corresponde a um estado de incerteza mı́nima.
6. Considere o caso de uma partı́cula que se move a uma dimensão sendo o seu estado caracterizado pela
2
2
função de onda ψ(x) = Ae−x /2a e tendo a sua energia o valor h̄2 /2ma2 , onde a é um comprimento. (a)
Determine a energia potencial. (b) Como é designado classicamente este potencial? (c) Qual é a energia
cinética? (d) Mostre que x = a é um ponto de retorno clássico. (e) Mostre que a energia total da partı́cula
pode ser escrita na forma E = 21 h̄ω.
2
2
7. A função φ0 (x) = Ae−x /2a representa o estado fundamental de um oscilador harmónico. (a) Mostrar que
a função φ1 = −adψ0 /dx é também uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo. (b)
Qual é a energia do estado correspondente a esta nova função?
8. Uma partı́cula de massa m move-se a uma dimensão sob a influência de um potencial V (x). Suponha que
a função de onda da partı́cula está no estado próprio
µ
ψ(x) =
a que corresponde a energia E =
2β 2
π
¶1/4
e− β
2
x2
h̄2 β 2
m
(a) Calcule e identifique o potencial V (x). Obtenha a constante β em função de grandezas caracterı́sticas
do sistema em causa.
(b) Calcule o valor médio da posição da partı́cula, < x >, nesse estado.
(c) Calcule < x2 >. Qual o valor expectável da energia potencial? Compare o resultado obtido com o
valor próprio da energia.
(d) Escreva o princı́pio da incerteza de Heisenberg para o caso deste estado próprio e use-o para determinar
a incerteza na medição do valor médio da quantidade de movimento.
Formulário
Z
r
+∞
e
−∞
−ax2
dx =
π
,
a
Z
+∞
2n −ax2
x
e
−∞
(2n − 1)!
dx =
2n a n
r
π
,
a
Z
+∞
2
x2n+1 e−ax dx = 0.
−∞
Hn+1 (ξ) = 2 ξ Hn (ξ) − 2 n Hn−1 (ξ)
r
φn (x) = An Hn (
d Hn
= 2 n Hn−1 (ξ)
dξ
mω 2
mω
x) e− 2h̄ x ,
h̄
An = (
mω 1
1
)4 √
,
πh̄
2n n!
En = (n +
1
) h̄ ω,
2
H0 (y) = 1, H1 (y) = 2y, H2 (y) = 4y 2 − 2, H3 (y) = 8y 3 − 12y
Z
Z
q
1
x
1
p
p
,
x
x2A − x2
dx
=
arc
sin
dx
=
−
xA
x2A − x2
x2A − x2
Z
q
x
1
1
x2
x2 p 2
dx = − x x2A − x2 + A arc sin
2
2
xA
xA − x2