2 - UFPE

Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Fı́sica
Exame Geral de Doutorado
Segundo semestre de 2012
Mecânica Quântica
09/08/2012 – 09h às 12h
(Escolha três dentre as quatro questões)
Exame Geral de Doutorado
Mecânica Quântica
1
Questão 1: Fundamentos da mecânica quântica
Considere uma partı́cula de massa M num poço de potencial infinito de largura a.
a) (20%) Obtenha as funções de onda para a partı́cula de massa M e as respectivas energias.
Em seguida, calcule a energia do estado fundamental de um sistema de cinco partı́culas
não interagentes presas nesse poço de potencial supondo que sejam (i) átomos de He3 e
(ii) átomos de He4 .
b) (20%) Obtenha a função de onda Ψ(x, t) em termos das autofunções Ψn de energia En
sabendo que em t = 0 temos Ψ(x, 0) = Ψm (x). Em seguida, calcule a probabilidade de
encontrar a partı́cula num ponto x no interior da caixa num dado instante t.
√
c) (30%) Se, em t = 0, Ψ(x, 0) = [Ψ1 (x) + Ψ2 (x)]/ 2, calcule a probabilidade de encontrar
a particula num ponto x num instante t. Qual seria o valor médio da energia para um
conjunto de muitas medidas?
d) (30%) Suponha que a partı́cula seja uma molécula de gás em um recipiente macroscópico
de largura a. Admita que a função de estado Ψ(x, t) da molécula seja uma soma sobre
um numero limitado de autofunções cujas energias Em sejam vizinhas do valor M v02 /2
correspondente a n >> 1. Mostre que a densidade de probabilidade associada à molécula é
muito próxima de uma função periódica de perı́odo T = 2a/v0 . Compare com o resultado
que seria obtido pela mecânica clássica.
Exame Geral de Doutorado
Mecânica Quântica
2
Questão 2: Oscilador harmônico
Considere um autoestado do hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional.
a) (20%) Mostre que os valores esperados da posição e do momento do oscilador são nulos.
b) (20%) Calcule o valor esperado da energia potencial do oscilador, mostrando em seguida
que é idêntico ao valor esperado da sua energia cinética.
c) (20%) Mostre que ∆x e ∆p, respectivamente as incertezas na posição e no momento,
satisfazem à relação ∆x · ∆p = (n + 1/2)~, onde n é o número quântico do estado.
d) (20%) Mostre que a paridade do estado n é par (ı́mpar), se n for par (ı́mpar).
e) (20%) Mostre que a autofunção do estado fundamental é uma gaussiana.
Exame Geral de Doutorado
Mecânica Quântica
3
Questão 3: Teoria de perturbação independente do tempo
Uma partı́cula de massa m e carga q oscila num potencial harmônico unidimensional, com
uma frequência angular ω.
a) (60%) Usando teoria de perturbação, mostre que o efeito de um campo elétrico de magnitude ε aplicado paralelamente ao movimento é o de baixar todos os nı́veis de energia
por uma quantidade ε2 q 2 /2mω 2 .
b) (40%) Compare o resultado do ı́tem anterior com o resultado clássico.
Exame Geral de Doutorado
Mecânica Quântica
4
Questão 4: Sistema de dois nı́veis
Considere um átomo de spin 1/2. Os autovetores e autovalores de Sz são |±i e ±~/2.
~ · û, onde û é o vetor unitário
a) (40%) Represente, na base {|+i , |−i}, a observável Su = S
definido na figura abaixo. Em seguida, obtenha os autovetores de Su na mesma base.
b) (30%) Calcule os valores médios de Sx , em um dos autoestados de Su . Comente o resultado
sabendo que os possı́veis valores para uma medida de Sx são +~/2 e −~/2.
c) (30%) O átomo é colocado num campo magnético uniforme B0 ẑ. O hamiltoniano H que
descreve a evolução do spin do átomo neste campo é dado por H = ω0 Sz , onde ω0 = −γB0
e γ é o fator giromagnético. Suponha que no instante t = 0 o sistema esteja no estado
|Ψ(0)i = cos(θ/2)e−iϕ/2 |+i + sen(θ/2)eiϕ/2 |−i
Calcule os valores médios de Sz , Sx e Sy e mostre que eles se comportam como um
momento magnético clássico com movimento de precessão de Larmor de frequência ω0 .
z
y
x
Exame Geral de Doutorado
Mecânica Quântica
5
Formulário
Definição e propriedades do operador de aniquilação:
√
a = (mωx + ip)/ 2m~ω
a |ni =
√
n |n − 1i
a† |ni =
;
√
(1)
n + 1 |n + 1i
(2)
Matrizes de Pauli:
~
Sx =
2
0 1
1 0
~
Sy =
2
0 −i
i 0
Incerteza em uma grandeza fı́sica A:
∆A =
q
hA2 i − hAi2
~
Sz =
2
1 0
0 −1