Movimentos bi e tridimensional 35 MOVIMENTOS BI E TRIDIMENSIONAL 3 3.1 Introdução O movimento unidimensional que vimos no capítulo anterior é um caso particular de uma classe mais ampla de movimentos que ocorrem em duas ou três dimensões. Se o movimento de um corpo está completamente restrito a um plano, ele é denominado movimento plano ou bidimensional. Neste caso, a posição é especificada através de coordenadas polares (r, θ) ou cartesianas (x, y), como indicadas na Fig. 3.1. y P y r = x 2 + y2 r θ x = r cosθ y = r senθ tgθ = y/x x x Fig. 3.1 – Posição de um corpo no plano xy. Para o caso do movimento no espaço (3 dimensões) a posição do corpo é especificada em coordenadas esféricas (r, θ, φ) ou cartesianas(x, y, z), indicadas na Fig. 3.2. z x = r sen θ cos φ z y = r sen θ sen φ z = r cos θ P θ r y r = x 2 + y2 + z2 y φ x tgθ = x 2 + y 2 / z x tgφ = y / x Fig. 3.2 - Posição de um corpo no espaço. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 36 Para movimentos planos e espaciais, as grandezas cinemáticas r r r ( r , v e a ) não são necessariamente paralelas como acontece no movimento unidimensional. Desta forma, é de importância fundamental tratar estas grandezas vetorialmente. r Se no tempo t1 a posição do corpo for descrita pelo vetor posição r1 e r no tempo t2, pelo vetor posição r2 , podemos dizer que o deslocamento sofrido r r r r pelo corpo é dado por ∆ r = r2 − r1 onde ∆ r não é necessariamente a r distância percorrida pelo corpo. Havendo um deslocamento ∆ r num intervalo r de tempo ∆t = t2 – t1, podemos definir as velocidades média (v m ) e instantânea (vr ) da forma: r r ∆r vm = ∆t r r r ∆r dr v = lim ∆t →0 = ∆t dt Vemos que a velocidade sempre existirá quando houver mudanças no módulo e/ou direção do vetor posição. A variação temporal de um vetor pode ser analisada através da variação temporal de suas componentes, da forma: r r dx dy dz r = x î + y î + z k̂ ⇒ v = î + ĵ + k̂ dt dt dt e isto pode ser feito porque os versores î , ĵ e k̂ não variam com o tempo. Exemplo: Vamos determinar a velocidade de um corpo cujo vetor r posição é dado por: r = 4 t 2 î + 3t ĵ . Tomando-se as derivadas temporais das r componentes de r temos: r r v = d r / dt = 8t î + 3 ĵ Vamos usar este exemplo para demonstrar uma relação importante. Podemos escrever: S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 37 r 2 2 r ( t + ∆t ) = 4( t + ∆t ) î + 3( t + ∆t ) ĵ = 4 t 2 î + 3t ĵ + 8t∆t î + 3∆t ĵ + 4(∆t ) î No caso em que ∆t é muito pequeno, (∆t)2 << ∆t e o termo (∆t)2 pode ser desprezado. Assim, r r r r r r (t + ∆t ) = r (t ) + ∆ r = r (t ) + v ∆t e dizemos que esta é uma aproximação de primeira ordem em ∆t, já que o termo (∆t)2 foi desprezado. A aceleração do corpo é definida como: r r r ∆v dv a = lim ∆t →0 = ∆t dt e, portanto, sempre haverá aceleração quando houver mudanças do vetor velocidade, seja em módulo, direção ou sentido. r Exemplo: A velocidade de um corpo é dada por v(t ) = 3t 2 î + t ĵ + t 3 k̂ . r Logo, a aceleração é dada por a (t ) = 6 t î + ĵ + 3t 2 k̂ 3.2 Decomposição de movimentos r dx dy dz Do fato que v = î + ĵ + k̂ tiramos que v x = dx/dt , vy = dt dt dt dy/dt e v z = dz/dt , de modo que se olharmos para cada componente, o movimento do corpo pode ser analisado independentemente, ou seja, a velocidade na direção x só depende da variação da coordenada x com o tempo, etc. Este resultado pode ser generalizado e o movimento espacial de um corpo pode ser tratado independentemente em cada uma das três direções. Resumindo, temos o chamado princípio da independência dos movimentos ou princípio de Galileu: “Quando um corpo se encontra sob a ação simultânea de dois ou mais movimentos, cada um se processa como se os demais não existissem”. Em outras palavras, a posição do móvel depois de um intervalo de tempo sob a ação do movimento composto é a mesma que resultaria se o móvel se deslocasse por etapas em cada direção. Como um exemplo típico, S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 38 consideremos o caso de um barco com velocidade vb atravessando um rio cuja correnteza tem velocidade vr. O barco percorrerá uma trajetória que consiste em deslocar-se vrt na direção do rio e vbt na direção perpendicular, como r mostra a Fig. 3.3. Assim, r = v r t î + v b t ĵ e v = v r î + v b ĵ . ĵ vr vb t î vr t Fig. 3.3 - Movimento de um barco num rio com correnteza. 3.3 Movimento acelerado Podemos generalizar o que vimos para o movimento unidimensional escrevendo: t r r r r = r0 + ∫ v( t ) dt 0 t r r r v( t ) = v 0 + ∫ a ( t ) dt 0 A integração de vetores pode ser executada componente a componente, como no caso da derivação. Portanto, t rz = rz0 + ∫ v z ( t ) dt 0 e assim por diante. No caso da aceleração ser constante temos: r r r r r r 1r v = v 0 + at e r = r0 + v 0 t + a t 2 2 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 39 Podemos analisar este movimento através do sistema de equações: Para a velocidade: Para a posição: v x = v 0x + a x t rx = rx0 + v 0x t + 12 a x t 2 v y = v 0y + a y t ry = ryo + v 0y t + 12 a y t 2 v z = v 0z + a z t rz = rz0 + v 0z t + 12 a z t 2 Vamos em seguida ver alguns exemplos de movimento acelerado. a) Lançamento de projétil Um caso importante de movimento plano é aquele onde temos: r a = −g ĵ (com g = 9.8 m/s2) que corresponde ao movimento de um corpo atirado de maneira arbitrária. Neste caso, o movimento será acelerado na direção y e não acelerado nas demais. Vamos imaginar a situação em que o corpo é lançado obliquamente de maneira a formar um ângulo θ com a superfície, como mostrado na Fig. 3.4 y v 0x = v 0 cos θ v 0y = v 0 sen θ v0 θ x Fig. 3.4 – Lançamento oblíquo de um projétil. Tomando-se o eixo x paralelo à superfície e o eixo y na vertical, a e velocidade inicial v0 pode ser decomposta em v 0x = v 0 cos θ o v y = v 0 sen θ . Na direção x não existe aceleração, porém na direção y temos ay = -g de modo que: v x (t ) = v 0x = v 0 cos θ 0 x (t ) = x 0 + v x t = x 0 + v 0 cos θ t S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 40 v y ( t ) = v 0y − g t = v o sen θ − g t y(t ) = y 0 + v 0y t − 12 g t 2 Eliminando-se o tempo do primeiro conjunto de equações (t = (x − x 0 ) / v 0x ) e substituindo no segundo obtemos: y = y0 + v 0 y (x − x 0 ) v 0x x − x0 − g 2 v 0x 2 1 que representa uma trajetória parabólica como indicada na Fig. 3.5. A altura máxima pode ser calculada tomando-se dy/dx = 0. Assim, v 0y v 0x −g (x − x 0 ) v 0x 2 = 0 ⇒ x max = x 0 + v 0y v 0x g e substituindo em y(t) tiramos: y max = y 0 + r v0 y y0 1 (v ) 2 g 0 2 y θ ymax x Fig. 3.5 x0 0 xmax R - Movimento parabólico decorrente do lançamento oblíquo. Vamos tomar x0 = y0 = 0 e calcular qual é o alcance do projétil ao longo do eixo x. Para isto fazemos y = 0 e assim obtemos: 0= S. C. Zilio e V. S. Bagnato v 0y 1 gR2 R− 0 vx 2 (v 0 )2 x Física Básica – Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 41 Descartando a solução R = 0, que corresponde ao início do movimento, temos R = 2 v 0y v 0x /g , e usando-se v 0y = v 0 sen θ e v 0x = v 0 cos θ obtemos: R= v 02 sen (2θ) g de onde concluímos que o ângulo que apresenta o maior alcance é θ = 45o b) Movimento circular Este deslocamento é caracterizado pelo fato de que o módulo do deslocamento permanece constante. Assim, imaginamos o raio vetor que descreve o movimento entre t e t + ∆t. O ângulo ∆θ varrido pelo raio vetor durante o intervalo de tempo ∆t permite o cálculo da velocidade angular como ilustrado na Fig. 3.6. ω= dθ ∆θ = lim ∆t →0 dt ∆t y ∆θ t+∆t θ t x Fig. 3.6 – Movimento circular. Quando ω é constante, temos θ = ∫ t 0 ω dt = ωt e assim podemos escrever: x = r cosωt e y = r senωt, ou em notação vetorial: r r = r cos ωt î + rsenωt ˆj r r v = d r = − rωsenωt î + rω cos ωt ĵ dt r dvr r a= = − rω2 cos ωt î − rω2senωt ˆj = −ω2 r dt S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 42 r que é sempre oposta a direção radial. Portanto, a = a = ω 2 r = v 2 / r visto r que v = r ω e esta aceleração é conhecida como “centrípeta” por estar dirigida ao ponto central do movimento e é uma característica importante do movimento circular uniforme. c) Movimento ciclóide É o movimento de um ponto da borda de um disco rodando, conforme mostra a Fig. 3.7. Considerando um sistema de eixos no qual x é paralelo ao chão, temos a combinação de um movimento translacional uniforme com um movimento circular uniforme. Para o movimento translacional, xt = x0 + vxt e, para o movimento circular, x0 = r cosωt e y0 = r senωt. r x Fig. 3.7 - Movimento ciclóide. Desta forma, x = x 0 + v x t + r cos ωt y = y 0 + r sen ωt Ao utilizarmos a notação vetorial e fazendo x0 = y0 = 0, r r = (v x t + r cos ωt ) î + r sen ωt ĵ S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 43 r r v = d r = ( v x − rωsenωt ) î + rω cos ωt ĵ dt r dvr r a= = − rω2 cos ωt î − rω2senωt ĵ = −ω2 rc dt Exemplo: Considere um disco descendo um plano inclinado, formando um ângulo θ com a horizontal, como mostrado na Fig. 3.8. Vamos determinar x(t) e y(t) de um ponto localizado na borda do disco. Escolhendo o eixo x da maneira indicada na figura, temos ax = g senθ e ay = 0. Então, x = xt + xc, y = yt + yc 1 ⇒ x = v 0x t + g sen θ t 2 + r cos β e y = v 0y t + r sen β , 2 onde β ≠ ωt (movimento acelerado) é o ângulo que o disco rodou. P r x θ Fig. 3.8 – Disco descendo um plano inclinado 3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares Vamos considerar um movimento circular no qual o corpo percorre um comprimento de arco s, que está associado a um ângulo θ de acordo com: s = rθ, sendo r o raio da trajetória. A velocidade tangencial é: v= S. C. Zilio e V. S. Bagnato ds dθ =r = rω dt dt Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 44 r Para representar v , vamos introduzir os versores r̂ e θ̂ , que são adequados para se trabalhar com coordenadas polares. O versor r̂ tem a r r mesma direção e sentido do vetor posição r . O versor θ̂ é perpendicular a r e tangente ao círculo, apontando para a direção em que θ e s crescem como r r indica a Fig. 3.9. Desta forma, podemos escrever r e v em coordenadas polares da seguinte maneira: r r = r r̂ r dθ v = v θˆ = r θˆ dt y θ̂ r̂ r r θ ĵ x î Fig. 3.9 – Movimento plano descrito por coordenadas polares. Devemos notar que r̂ e θ̂ são versores que variam com o tempo. Para encontrar esta variação em termos dos versores î e ĵ que são fixos vemos que r̂ = cos θ î + sen θ ĵ e θˆ = − sen θ î + cos θ ĵ . Desta forma, ( ) dr̂ dθ dθ dθ dθ ˆ = − sen θ î + cos θ ĵ = − sen θ î + cos θ ĵ = θ dt dt dt dt dt ( ) dθˆ dθ dθ =− cos θ î + sen θ ĵ = − r̂ dt dt dt Uma vez que conhecemos a maneira pela qual r̂ e θ̂ variam com o r r r tempo, podemos encontrar v e a a partir de r . S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 45 r r = r r̂ r r dr dr̂ dθ = r = r θˆ v= dt dt dt r 2 ˆ r dv dθ dθ dθ =r = − r r̂ a= dt dt dt dt onde foi suposto que ω = dθ/dt é constante. Como dθ/dt = v/r, temos r a = −(v 2 /r ) r̂ = −ω 2 r r̂ , que é a aceleração centrípeta no movimento circular uniforme. Se o movimento for uniformemente acelerado, isto é, se dω/dt = α = constante, a expressão para a aceleração se modifica. Tomando a derivada de r v = ωr θˆ temos: dω ˆ r dθˆ a = r θ + ω = r α θˆ −ω 2 r r̂ dt dt de onde vemos que além da aceleração centrípeta surge uma aceleração tangencial dada por r α θˆ . A descrição de um movimento retilíneo através de coordenadas polares é feita baseando-se na Fig. 3.10. Podemos relacionar vr e vθ da seguinte forma: vx = vr cosθ - vθ senθ vy = vr cosθ + vθ senθ ou vr = vx cosθ + vy senθ vθ = -vx senθ + vy cosθ r̂ θ̂ y r r θ vy r v vθ x θ vr θ vx Fig. 3.10 – Descrição de um movimento retilíneo através de coordenadas polares. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 46 Para o caso que estamos tratando, vx = v e vy = 0. Portanto, vr = v cosθ e vθ = v senθ, ou seja: r v = v cos θ r̂ − v sen θ θˆ Exercícios 1 – Considere um cilindro de raio R rolando sem deslizar num plano horizontal. O centro de massa do cilindro possui aceleração a. Qual é a aceleração angular do cilindro? Qual é o ângulo β que o cilindro roda como função do tempo? 2 – Dois corpos A e B estão em movimentos circular uniformes de trajetórias concêntricas com raios ra e rb e velocidades angulares ωa e ωb. Determine a velocidade relativa entre os dois corpos. 3 – Determinar a aceleração de um corpo que desliza pela rosca de um parafuso com passo h e raio R. Despreze o atrito e considere que o corpo partiu do repouso. 4 – É necessário lançar da terra uma bola por cima de uma parede de altura H que se encontra a uma distância S (Fig. 3.11). Qual é a menor velocidade inicial com que a bola pode ser lançada? H r v0 S Fig. 3.11 – Lançamento de projétil sobre uma parede de altura H. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 47 5 – Uma bala é disparada de um canhão com velocidade v0. Determine a região geométrica onde a bala certamente não cairá. 6 – Um plano inclinado forma um ângulo α com o plano xy, conforme mostra a Fig. 3.12. Um corpo é lançado com velocidade v0, formando um ângulo θ com o eixo y. Desprezando o atrito calcule: xmax, zmax e o tempo que o projétil demora para retornar ao eixo y. 7 – Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 20 m/s. Sabendo-se que ela ficou 2 s no ar, calcule: a) o ângulo de lançamento (com a horizontal) b) a altura máxima atingida c) o alcance d) outro ângulo de lançamento para o qual a pedra terá o mesmo alcance. (Neste caso o tempo será diferente de 2 s). z r v0 θ α y x Fig. 3.12 – Lançamento oblíquo num plano inclinado. 8 – Um corpo translada com velocidade v = 5 m/s sobre um plano horizontal sem atrito. Subitamente ele encontra pela frente um plano inclinado (também sem atrito) de ângulo θ = 300 e altura H = 0,8 m, conforme mostra a Fig. 3.13. Tomando-se g = 10 m/s, pergunta-se: a) a que distância d do final do plano inclinado o corpo cairá? b) qual é a altura máxima que o corpo atingirá? S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 48 ymax H r v x θ d Fig. 3.13 - Lançamento oblíquo de um corpo por meio de uma rampa. 9 – Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade v0 = 100/ 3 m/s formando um ângulo θ = 600 com a horizontal. Outro corpo é lançado 1 segundo depois, com a mesma velocidade v0, porém na horizontal e de uma altura H, como mostra a Fig. 3.14. Suponha que haja uma colisão entre os dois corpos e que g = 10 m/s2. a) Em que instante de tempo ocorre a colisão? b) Qual deve ser o valor de H para que a colisão ocorra? c) Quais as coordenadas x e y da colisão? 3.10 – Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade v0 segundo um ângulo θ com a horizontal. Outro corpo é lançado com a mesma velocidade v0, porém na horizontal e de uma altura H, como mostra a Fig. 3.14. Qual deve ser o valor de H tal que eles atinjam o mesmo ponto no eixo Ox? v0 H v0 θ O x Fig. 3.14 - Lançamento de dois corpos. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas Movimentos bi e tridimensional 49 3.11 - Mostre que o movimento de um projétil lançado com v0 e θ é descrito 2 v 0y g x , com v0x = v0 cosθ e v0y = v0 pela parábola: y ( x ) = − − 2 g 2 v 0x g v 0y 2 senθ. b) Encontre o ângulo α que a trajetória faz com a horizontal para qualquer x (tgα = dy/dx), c) Encontre xmax correspondente ao topo da trajetória (tg α = 0). d) Encontre o alcance R, fazendo α = π−θ S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 50 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Movimentos bi e tridimensional Física Básica – Mecânica, calor e ondas