Análise Combinatória

Análise Combinatória – Universidades Públicas
Professor Gaspar
1. (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo:
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferentes de
sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor.
O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a
a) 20.
b) 41.
c) 120.
d) 35.
2. (Uerj 2015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate,
representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé
por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a
diferentes modos de consumo:
(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)
O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a:
a) 6
b) 90
c) 180
d) 720
3. (Unifesp 2015) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas quadradas. Duas dessas casas formam uma dupla de
casas contíguas se estão lado a lado, compartilhando exatamente um de seus lados. Veja dois exemplos de duplas
de casas contíguas nos tabuleiros.
Dispõem-se de duas peças, uma na forma , e outra na forma , sendo que cada uma cobre exatamente uma casa
do tabuleiro.
a) De quantas maneiras diferentes é possível colocar as peças  e  em duplas de casas contíguas de um tabuleiro
de xadrez?
b) Considere as 64 casas de um tabuleiro de xadrez como sendo os elementos de uma matriz A  (aij )88 . Colocase a peça , ao acaso, em uma casa qualquer do tabuleiro tal que i  j. Em seguida, a peça  será colocada,
também ao acaso, em uma casa qualquer do tabuleiro que esteja desocupada. Na situação descrita, calcule a
probabilidade de que as peças  e  tenham sido colocadas em duplas de casas contíguas do tabuleiro.
4. (Unesp 2015) As urnas 1, 2 e 3 contêm, respectivamente, apenas as letras das palavras OURO, PRATA e
BRONZE. Uma a uma são retiradas letras dessas urnas, ordenadamente e de forma cíclica, ou seja, a primeira letra
retirada é da urna 1, a segunda é da urna 2, a terceira é da urna 3, a quarta volta a ser da urna 1, a quinta volta a
ser da urna 2, e assim sucessivamente. O número mínimo de letras retiradas das urnas dessa maneira até que seja
possível formar, com elas, a palavra PRAZER é igual a
a) 8.
b) 6.
c) 10.
d) 9.
e) 7.
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Professor Gaspar
5. (Unicamp 2015) O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que
nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é igual a
a) 21.
b) 20.
c) 15.
d) 14.
6. (Uemg 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz
Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meiocampistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meiocampistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos
que o técnico poderá formar é
a) 14 000.
b) 480.
c) 8! + 4!
d) 72 000.
7. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores
primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30?
8. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em
código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela e verde. Observe a figura:
Considere as seguintes informações:
— cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;
— qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma
amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas;
— duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente.
Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.
9. (Uemg 2013) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 números distintos de 1 a 60. Um apostador, depois
de vários anos de análise, deduziu que, no próximo sorteio, os 6 números sorteados estariam entre os 10 números
que tinha escolhido.
Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com 6
números entre os 10 números escolhidos.
Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que cada jogo com 6 números custa R$ 2,00?
a) R$ 540,00.
b) R$ 302.400,00.
c) R$ 420,00.
d) R$ 5.040,00.
10. (Fuvest 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas.
Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois
oponentes são paulistas é
a) menor que 7%.
b) maior que 7%, mas menor que 10%.
c) maior que 10%, mas menor que 13%.
d) maior que 13%, mas menor que 16%.
e) maior que 16%.
11. (Uel 2013) Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos caixas eletrônicos, digitavam uma senha
numérica composta por cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a segurança da utilização desses cartões, o
banco solicitou a seus clientes que cadastrassem senhas numéricas com seis algarismos.
Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas, em quanto aumentou percentualmente a
segurança na utilização dos cartões?
a) 10%
b) 90%
c) 100%
d) 900%
e) 1900%
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12. (Unicamp 2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente
com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado
abaixo.
ABC 1234
ABCD 123
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao
número máximo de placas em vigor seria
a) inferior ao dobro.
b) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d) mais que o quádruplo.
13. (Unicamp 2012) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião
do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio.
De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão?
a) 6720.
b) 100800.
c) 806400.
d) 1120.
14. (Fuvest 2012)
a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16
crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A
e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os
vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é
3 5 , calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.
15. (Unifesp 2012) Numa classe há x meninas e y meninos, com x, y  4. Se duas meninas se retirarem da classe,
o número de meninos na classe ficará igual ao dobro do número de meninas.
a) Dê a expressão do número de meninos na classe em função do número de meninas e, sabendo que não há mais
que 14 meninas na classe, determine quantos meninos, no máximo, pode haver na classe.
b) A direção do colégio deseja formar duas comissões entre os alunos da classe, uma com exatamente 3 meninas e
outra com exatamente 2 meninos. Sabendo-se que, nessa classe, o número de comissões que podem ser
formadas com 3 meninas é igual ao número de comissões que podem ser formadas com dois meninos, determine
o número de alunos da classe.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de pizzas de um restaurante.
DIAS DA SEMANA
segunda-feira, terça-feira,
quarta-feira e quinta-feira
sexta-feira,
sábado e domingo
VALOR UNITÁRIO DO RODÍZIO
(R$)
18,50
22,00
16. (Uerj 2012) Considere um cliente que escolheu aleatoriamente dois dias de uma mesma semana para comer
pizzas nesse sistema de rodízio, pagando também um rodízio em cada dia.
Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias seja o mínimo possível.
17. (Unesp 2011) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são
sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas,
custa R$ 2,00 , uma aposta em 6 dezenas deve custar:
a) R$15,00 .
b) R$30,00 .
c) R$ 35,00 .
d) R$ 70,00 .
e) R$ 140,00 .
18. (Unesp 2011) Em todos os 25 finais de semana do primeiro semestre de certo ano, Maira irá convidar duas de
suas amigas para ir à sua casa de praia, sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetirá durante esse período.
Respeitadas essas condições, determine o menor número possível de amigas que ela poderá convidar.
Dado: 201  14,2.
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Professor Gaspar
19. (Uerj 2011) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos,
cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:
a) 20
b) 15
c) 12
d) 10
20. (Fuvest 2011) a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição,
entre 1, 3, 5, 6, 8, 9?
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5?
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4?
Gabarito:
Resposta da questão 1: [B]
Resposta da questão 2: [B]
Resposta da questão 3: a) 224
b) 1/18
Resposta da questão 4: [A]
Resposta da questão 5: [C]
Resposta da questão 6: [A]
Resposta da questão 7: 210
Resposta da questão 8: 1680
Resposta da questão 9: [C]
Resposta da questão 10: [B]
Resposta da questão 11: [D]
Resposta da questão 12: [A]
Resposta da questão 13: [D]
Resposta da questão 14: a) 47250
Resposta da questão 15: a) 24
b) 44/225
b) 26
Resposta da questão 16: 2/7
Resposta da questão 17: [B]
Resposta da questão 18: n = 8
Resposta da questão 19: [B]
Resposta da questão 20: a) 360
b)60
c)60
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