Aula de números inteiros

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto
dos números naturais, o conjunto dos números opostos dos números
naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z e pode ser
NÚMEROS INTEIROS
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a
necessidade de um novo tipo de número que pudesse ser solução de
equações tão simples como,
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + y = 0
e as ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas
acima e abaixo de 0ºC.
Mas a tarefa não ficava só por criar um novo número, era necessário
encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado de
um modo prático e eficiente.
escrito por
Z = ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Exemplos de subconjuntos do conjunto ℤ:
Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+= 0, 1, 2, 3, 4, ...
Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z-=..., -4, -3, -2, -1, 0
RETA NUMERADA
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir
uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o
número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a
distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números
inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão
pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração
é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse
adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos
os números inteiros possuem um e somente um antecessor e
também um e somente um sucessor.
ORDEM E SIMETRIA NO CONJUNTO Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está
imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um
número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda
na reta (em Z).
Exemplos:
(a)
3 é sucessor de 2
(b)
2 é antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e)
0 é antecessor de 1
(f)
1 é sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento
denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato
geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem
do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de
+3 é -3.
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de
-5 é +5.
MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como
sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento
oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |.
Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
(a) |0| = 0
(b) |8| = 8
(c) |-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número
inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na
reta numérica inteira.
SOMA DE NÚMEROS INTEIROS
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos
números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros
negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
perder 3 + perder 4 = perder 7
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(+3) + (+4) = (+7)
(-3) + (-4) = (-7)
(+8) + (-5) = (+3)
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado,
mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser
dispensado.
Exemplos:
(a) -3 + 3 = 0
(b) +6 + 3 = 9
(c) +5 - 1 = 4
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois
números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a+(b+c)=(a+b)+c
2+(3+7)=(2+3)+7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a+b=b+a
3+7=7+3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z,
proporciona o próprio z, isto é:
z+0=z
7+0=7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0