Os números inteiros são constituídos dos números naturais {1, 2, 3

Os números inteiros são constituídos dos números naturais {1, 2, 3...} e dos seus
simétricos {0, -1, -2, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero.
Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.
O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em
blackboard bold, ), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são
inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.
Matemáticos expressam o facto de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos
inteiros dizendo que (Z, +, *) é um anel comutativo.
A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total
sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que
zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as
operações algébricas no seguinte sentido:
1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
2. se a < b e 0 < c, então ac < bc
Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.
Os inteiros não formam um corpo já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que
2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.
Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b
com b≠0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que:a = b q + r e tal que 0 <= r < |b|
(veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r o resto da divisão de a
por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna
possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também
mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como a soma de
múltiplos destes dois inteiros.
Tudo isto pode ser resumido dizendo que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que
Z é um domínio de ideal principal e que todo número inteiro podem ser escrito como
produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo).
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada,
considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de
medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é
crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita.
Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada
outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros
possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta
(em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua
esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3 é sucessor de 2;
-5 é antecessor de -4
0 é antecessor de 1
-1 é sucessor de -2
Simetria no conjunto Z
Todo número inteiro z exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z
e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da
origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto de ganhar é perder;
O oposto de perder é ganhar;
O oposto de 3 é -3
O oposto de 5 é -5
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre
um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |.
Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
|0| = 0
|8| = 8
|-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à
distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
A soma (adição) de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a
idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do
número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
-3 + 3 = 0
6+3=9
5-1=4