D - Uniposrio

UniposRio – FÍSICA
Exame Unificado de Acesso às Pós-Graduações
em Física do Rio de Janeiro
10 de junho de 2010
Nome
(legível):______________________________
Assinatura
:_________________________________
Leia atentamente as oito (8) questões a seguir e responda nas folhas de
respostas fornecidas. A prova é individual e sem consulta. Cada questão
vale 1,25 ponto, e a duração total da prova é de 4 horas.
1
1a Questão. Uma partícula de massa m está presa a uma extremidade de
um fio ideal de comprimento L cuja outra extremidade está presa ao
teto. A partícula é abandonada em repouso em uma posição em que o fio
está esticado na horizontal. A partícula desce, passa pelo ponto mais
baixo de sua trajetória circular e volta a subir até que o fio faça um
ângulo θ com a vertical, quando então é partido. Nesse momento a
partícula inicia uma trajetória parabólica no mesmo plano da trajetória
circular.
(a) Calcule a velocidade da partícula e a tensão no fio imediatamente
antes do fio ser partido.
(b) Calcule a altura máxima que a partícula atinge em sua trajetória
parabólica acima do ponto mais baixo de sua trajetória circular.
2a Questão. Uma mola ideal é pendurada no teto e tem uma bolinha de
massa m em sua extremidade livre. A frequência natural do sistema
massa-mola é ω0. A bolinha é solta a partir do repouso no instante t=0,
com a mola relaxada, e oscila em um eixo vertical OX que aponta para
baixo e cuja origem está no ponto em que a bolinha foi solta. O meio
ambiente exerce sobre a bolinha uma força de atrito viscoso de módulo
proporcional o módulo de sua velocidade, com constante de
proporcionalidade 8m ω0/5.
(a) Suponha que decorra um tempo suficiente para que possamo
considerar que a bolinha atinja o repouso. Calcule em que posição isso
ocorre.
(b) Calcule o trabalho realizado pela força resultante sobre a bolinha e a
variação de sua energia mecânica, desde o instante em que ela é solta
até que atinja o repouso.
(c) Esboce um gráfico da posição x da partícula versus o tempo t no
intervalo de tempo  0,∞  , justificando as características qualitativas do
gráfico.
2
3a Questão. Considere as Equações de Maxwell no vácuo.
(a) Deduza as equações de onda para os campos elétrico e magnético
,
,
onde c é a velocidade da luz no vácuo.
(b) Quando as constantes k e ω da seguinte função E = E0 sen (kx-ωt)
satisfazem uma certa condição, esta função é uma solução do vetor
campo elétrico da onda eletromagnética (seja E0 um vetor constante no
plano y-z). Obtenha essa condição.
(c) Se as componentes do campo elétrico são dadas por
Ex = Ez = 0, Ey = Ey0 sen (kx-ωt),
onde Ey0 é constante, obtenha o campo magnético da onda
eletromagnética.
(d) Considere duas espiras quadradas, de lados iguais a L, posicionadas
no plano x-y (espira 1) e y-z (espira 2), na região onde se propaga a
onda eletromagnética descrita no item anterior. Em qual das duas
espiras será induzida a maior força eletromotriz? Qual é o valor da força
eletromotriz induzida na espira selecionada?
3
4a Questão. Um petroleiro provoca um vazamento de óleo em uma baía
de águas calmas. Após alguns dias verifica-se que a mancha de óleo
apresenta um pico de reflexão em uma cor alaranjada ( λ = 600 nm),
quando observada verticalmente de um helicóptero. A mancha cobre,
de maneira aproximadamente uniforme, uma área de 30 km 2. Os índices
de refração da água e do óleo são 1,33 e 1,50, respectivamente.
(a) O campo elétrico refletido é composto pela superposição dos campos
refletidos nas duas superfícies do filme de óleo. Determine a diferença
de fase entre as ondas refletidas nas duas superfícies do filme de óleo,
e que comporão o campo elétrico refletido, em função dos dados do
problema.
(b) Determine o valor da menor espessura de óleo capaz de provocar a
cor da mancha observada.
(c) Determine o volume total de óleo derramado.
5a Questão. Calcule a força resultante exercida pela água armazenada
até uma altura H em uma represa de largura w ilustrada na figura a
seguir.
4
6a Questão. A velocidade longitudinal de ondas de baixa amplitude em
um gás ideal é dada por
C=

dp
,
dρ
onde p é a pressão ambiente do gás e ρ é a sua densidade. Obtenha
(a) a velocidade de propagação do som no gás para a qual as
compressões e rarefações são isotérmicas;
(b) a velocidade de propagação do som no gás para a qual as
compressões e rarefações são adiabáticas.
7a Questão. Considere uma partícula quântica de massa m que só pode
se movimentar num anel circular de raio R, como uma conta num círculo
de arame (veja a Figura a seguir).
Z
R
m
2
2
(a) Mostre que a Hamiltoniana clássica pode ser escrita como H=L Z / 2 mR
, onde LZ é o momento angular na direção do eixo do anel, z.
(b) Como a partícula está presa ao anel, sua função de onda ψ é função
somente do ângulo ,
. Sabendo que o operador correspondente a
LZ é
, escreva a equação de Schrödinger independente do
tempo para este problema.
(c) Obtenha as autofunções e autoenergias da Hamiltoniana,
descrevendo a degenerescência de cada nível de energia. Não é
necessário calcular as constantes de normalização.
5
8a Questão. Um oscilador harmônico de massa m e frequência angular
ω é descrito pela Hamiltoniana:
.
O n-ésimo auto-estado,
, tem auto-energia
.
Definindo os operadores-escada
como
,
é possível mostrar que
,
,
Um cálculo simples permite verificar que todos os auto-estados de
energia
têm valores esperados nulos dos operadores e ,
.
(a) Calcule a variância
para o estado fundamental
.
(b) A função de onda do estado fundamental do oscilador é
onde A0 uma constante de normalização. Calcule a autofunção
correspondente ao primeiro estado excitado.
(c) Suponha agora que preparamos o estado inicial
6
onde
denota o estado fundamental e
o primeiro estado
excitado do oscilador harmônico. Obtenha a função de onda
e o
valor esperado da energia,
, como função do tempo, para t>0.
7