9 - Balanço de energia e termodinâmica do meio contínuo fluido 9.1

1 9 ‐ Balanço de energia e termodinâmica do meio contínuo fluido O meio contínuo fluido possui energia. A unidade de medida da energia no sistema internacional (SI) é o Joule (J). A energia está distribuída de forma contínua no fluido, é uma grandeza extensiva proporcional à quantidade de massa e por isso define‐se densidade mássica de energia (energia/massa em J/kg). Dessa forma o fluido tendo massa, acumula energia (ex. uma barragem acumula energia potencial gravítica). A energia é de vários tipos: cinética, potencial e interna. A energia cinética está associada à velocidade do fluido sendo proporcional ao quadrado do módulo da velocidade. Contrariamente aos sólidos, um fluido pode ter muita energia cinética sem que o centro de massa do sistema se mova. Por exemplo pode agitar‐se água contida num recipiente com uma espátula criando movimentos rotativos ou vórtices de pequenos tamanhos (escalas) nos quais se acumula a energia cinética. Nesse caso o centro de massa permanece fixo e o fluido permanece confinado. Assim uma parte da energia cinética dos fluidos está associada a movimentos de curta escala, a chamada energia cinética turbulenta. A restante parte da energia cinética é a energia cinética do escoamento médio dominante em escoamentos laminares. A energia potencial está associada aos campos de forças conservativas como o peso. A energia interna está associada à temperatura bem como à coesão das moléculas e dos núcleos atómicos. As trocas de energia interna são governadas pelas leis da termodinâmica aplicadas aos fluidos. Quando existe escoamento, a energia é transportada pelo fluido e por isso existem fluxos de energia através das superfícies bem como importações e exportações de energia de e para um sistema. Os fluxos de energia associados ao transporte de massa são fluxos advetivos. Por exemplo quando se enche um recipiente de água está simultaneamente a haver importação positiva de massa e energia cinética pelo sistema. Os fluxos de energia podem dar‐se sem transporte de massa (fluxos difusivos) tal como é o caso da propagação de calor e da radiação luminosa. Finalmente as várias formas de energia podem transformar‐se ou converter‐se umas nas outras. Por exemplo numa corrente descendente de ar tal como na queda de um grave, está a haver conversão de energia potencial gravítica em energia cinética. A conversão de energia de uma em outra forma de energia pode ser positiva, negativa, rápida ou lenta sendo medida em Joule/segundo (J/s) ou W (Watt). 9.1 Energia cinética em fluidos Energia cinética de uma partícula de fluido Os meios contínuos, e em particular os fluidos, possuem energia cinética quando estes estão em movimento (velocidade das partículas não nula). Cada partícula de meio é considerada como um 2
v
 m onde  m é a massa da sistema físico com uma energia cinética (kinetic energy):  K 
2

partícula (constante por definição de partícula de fluido) e v a velocidade do seu centro de massa. A densidade mássica de energia cinética ou energia cinética por unidade de massa é dada por um meio do quadrado da celeridade (celeridade=módulo da velocidade): Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 2 
2
 
K v
v  v v2
em J/kg



k
m
2
2
2
9.1 A energia cinética da partícula de fluido varia apenas quando o módulo da velocidade variar. Desse modo a energia cinética mantém‐se constante se a trajectória da partícula curvar mantendo o módulo da velocidade. Em particular um fluido em rotação sólida com velocidade angular constante mantem a sua energia cinética. 9.1.1 Equação de balanço da energia cinética em referenciais não inerciais sem aceleração angular Para obter a equação local que governa a variação da energia cinética de uma partícula de meio deve partir‐se da equação Lagrangeana do momento linear (equação de Cauchy) num referencial que em geral pode ser acelerado (não inercial) e que fornece a aceleração de uma partícula de fluido: 


Dv

   ˆ   f   f ap
Dt
9.2 

Na equação, ˆ é o tensor das tensões, f é a força volúmica por unidade de massa e f ap é a força aparente por unidade de massa ou seja a soma das acelerações não inerciais. Equação de balanço Lagrangeana da energia cinética 
Obtém‐se tomando o produto interno da equação Lagrangeana do momento linear (9.2) com v : 
Dk 
 Dv
 
 
v 

 v     ˆ    v  f   v  f ap
Dt
Dt
;
 
v v
k
2 9.3
onde os termos da direita correspondem às potências por unidade de volume das várias forças, respetivamente de tensão, volúmicas e aparentes. Energia potencial As forças volúmicas que atuam no fluido produzem trabalho e potência e são de um modo geral forças conservativas, tal como o peso e as forças eletromagnéticas. Desse modo essas forças 
volúmicas obtêm‐se como o simétrico do gradiente de um certo potencial  ou seja: f   como é o caso do potencial gravítico (=gz). O potencial  (em J/kg) é na verdade a energia potencial por unidade de massa. Admitindo a hipótese razoável de as fontes de potencial serem 



estacionárias vem     r  . A potência das forças volúmicas vem  v  f    v   . Energia potencial aparente 
Vamos restringir o estudo a referenciais com aceleração linear constante ao , velocidade angular 


 constante ou seja com aceleração angular nula d  / dt  0 . Tal é o caso do referencial associado a um planeta em rotação uniforme sobre o qual se escrevem as equações do geofluido (atmosfera e oceano). Neste caso a força aparente resume‐se à aceleração linear, à aceleração de Coriolis e à aceleração centrífuga: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 3 



  
 

f ap   ao 2   v     r  f lin  f cor  f cfg

 




f lin


f cor


9.4 
f cfg


A potência da força de Coriolis é nula ( f cor  v  0 ), dado que a força de Coriolis é ortogonal à velocidade. Essa força apenas altera a direção da velocidade. As acelerações linear e centrífuga são conservativas dado serem obtidas como o simétrico do gradiente de um potencial escalar que é a energia potencial aparente ap  lin  cfg dada pela soma do potencial aparente linear  lin com o potencial centrífugo  cfg . De facto tem‐se: 
 
f lin   lin ;  lin  ao  r

d2 

 2 
f cfg   cfg   d ;  cfg  
2
2
9.5
  

onde d  r  r  vers  é o raio de giração (vetor que une o eixo de rotação ao vetor posição) e 
 

d  d é o seu módulo. A potência das forças aparentes vem  v  f ap    v   ap .  
Potência das forças de tensão 
A potência das forças de tensão por unidade de volume (em W/m3) é o termo v     ˆ  e desenvolve‐se, usando a convenção de Einstein dos índices, na forma:  ji  ji vi
v



v     ˆ   vi

  ji i    ˆ  v   ˆ : eˆ    Pˆ  v  Pˆ : eˆ
x j
x j
x j






ˆv 



ˆ:v ˆ:v s
9.6 onde Pˆ  ˆ é o tensor das pressões. Na expressão teve‐se em conta que o tensor das tensões ˆ é simétrico e portanto o seu duplo produto interno (:) com o tensor gradiente das velocidades resume‐se ao produto com a sua parte 
simétrica ou seja o tensor taxa de deformação eˆ   v s . Equação de balanço da energia cinética na forma de equação de balanço Substituindo os termos das potências das forças, obtêm‐se uma equação Lagrangeana de balanço da energia cinética na forma geral de uma equação local de balanço (vide eq. 5.27). Assim tem‐se: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 4 

Dk



   Pˆ  v   Pˆ : eˆ   v     v   ap     J k   k
Dt 




 k
 J k


J k  Pˆ  v  Densidade de fluxo difusivo de energia cinética (W/m 2 )


 k  Pˆ : eˆ   v     v   ap  Taxa de geração volúmica de energia cinética (W/m3 )

O termo sob a forma de divergência de J k ,quando integrado num volume de controle irá, graças à aplicação do teorema de Gauss, dar origem a um termo de fluxo de energia cinética na fronteira. O termo de geração volúmica de energia cinética inclui as potências das forças volúmicas, aparentes e o duplo produto interno do tensor das pressões pelo tensor taxa de deformação. A equação Euleriana da energia cinética obtém‐se a partir da formulação genérica 5.28, sendo a apropriada para tomar o balanço num volume de controle. Tem‐se: 
 k

   J k   vk   k
t


9.8

onde se adicionou a densidade de fluxo advetivo de energia cinética  vk . 9.1.2 Equação de balanço da energia cinética de um fluido Newtoniano Equação Lagrangeana da energia cinética num fluido Newtoniano Num fluido newtoniano o tensor das pressões assume a forma particular Pˆ  pˆ  2  eˆ 0 com eˆ0  eˆ 
1

   v  ˆ . Tal implica simplificações na equação da energia cinética. Deste modo tem‐
3
se: 



J k  Pˆ  v  pv  2  eˆ 0  v




Pˆ : eˆ  p ˆ : eˆ  2  eˆ 0 : eˆ  p  v 2  eˆ 0 : eˆ 0  p  v  D

  


 
0 0
 D 0

 0 ou  0
ˆ ˆ
p v
2  e :e
9.9 

O termo pv da densidade de fluxo de energia cinética J k significa que ‘pressão com velocidade’ 
transporta energia cinética. O termo p  v constitui uma fonte de energia cinética no caso em que há expansão do fluido (divergência positiva da velocidade). No caso em que há contração do fluido (divergência negativa da velocidade), esse termo constitui um sumidouro de energia cinética. Os restantes termos são proporcionais à viscosidade dinâmica , e por isso são termos viscosos. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9.7
5 Pˆ : eˆ inclui um termo viscoso que é sempre negativo (‐D<0) onde 2 eˆ0 : eˆ0  2 eˆij0 eˆij0  D  0 é a taxa de dissipação por atrito interno do fluido, correspondendo O termo a sumidouro irreversível de energia cinética ou seja contribui para o decréscimo da energia cinética do escoamento. A equação Lagrangeana da energia cinética vem então: 
Dk





    pv  2 eˆ0  v   p  v  D   v     v   ap Dt
9.10
A equação Euleriana ou local de energia cinética vem:  k






    pv  2 eˆ0  v   vk   p  v  D   v     v   ap t
9.11
9.1.3 Equação de balanço integral de energia cinética de fluido Newtoniano num volume de controle  Vamos escrever a equação de balanço integral de energia cinética K num volume de controle . A equação permitirá por em evidência os processos que contribuem para variar a energia cinética de um fluido confinado ao interior de . Como habitualmente, o volume pode ser fixo, móvel ou deformável e portanto a sua superfície 
fronteira pode ter uma velocidade vsup não nula. 
Sobre o volume de controle podem actuar várias forças aplicadas ao fluido Faplic que estão presentes no balanço integral de momento linear e de energia cinética em . Essas forças podem resultar por exemplo da reacção de peças sólidas em repouso ou em movimento. 


A potência (em W) de uma força aplicada é: Paplic  Faplic  vaplic onde vaplic é a velocidade do ponto de aplicação dessa força. Se a potência aplicada ao fluido é positiva ( Paplic  0 ) como nos casos de dispositivos de bombagem (bombas), ventiladores e compressores, dá‐se a aceleração do fluido ou então a sua pressurização (aumento da pressão) com o objectivo de fazer deslocar o fluido para local desejado ou comprimir um fluido. As bombas são accionadas em geral por motores. Se a potência aplicada ao fluido é negativa ( Paplic  0 ), como nos casos de turbinas (eólicas e hidráulicas nas barragens hidroeléctricas), dá‐se a desaceleração do fluido com o objectivo de extrair energia cinética deste. As turbinas estão em geral associadas a geradores de energia eléctrica. De seguida estabelecemos a equação de balanço da energia cinética no volume de controle  (de fronteira ), recorrendo à equação local de balanço (9.11) e ao Teorema do Transporte de Reynolds (5.20) . Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 6 A taxa de variação de K do sistema no interior do volume de controle  é a soma de 5 termos que a seguir serão explicados e simplificados: dK
d
   k dv  Ppres  P  TK  Pvol  Paplic 
dt
dt 





 
  nint  pvd    nint   2  eˆ 0  v  d    nint    v  vsup  k d 



 
 



Ppres

P
9.12 TK





     v     v   ap  p  v  D  dv   Faplic ( j )  v( j )
j





(em W)
Potência das Forças Aplicadas
Paplic
Pvol
onde os 5 termos tem todos dimensões de potência (W): Ppres :Termo de potência das forças de pressão na fronteira P : Termo de potência das forças de atrito na fronteira TK :Termo de transporte de energia cinética nas fronteiras abertas Pvol : Potência das forças volúmicas e conversão de energia interna em cinética Paplic : Potência das forças aplicadas 9.1.4 Simplificações dos termos da equação de balanço da energia cinética Em condições estacionárias e volume de controle imóvel (vsup=0), a energia cinética total K mantem‐se constante e portanto dK/dt=0 em 9.12. Vamos proceder a simplificações dos termos de balanço, tais como se fez para a equação de balanço de momento linear. 
Termo de potência das forças de pressão
n
int

 pvd   Ppres 
Este termo é calculado nas partes abertas da fronteira  (onde entra ou sai fluido ou seja onde existe caudal de massa (m’  0)) e nas partes móveis da fronteira  (onde vsup0) onde o caudal é nulo. Sejam Sj essas superfícies onde se calcula a potência da pressão. 
 

Decompondo v  v  vsup  vsup e usando a fórmula do caudal em cada 






secção j tem‐se: m j  nint  v  vsup  S j , obtém‐se: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 7 Ppres 






nint  pvd     nint  pvd  
j Sj
  p


nint  vsup j p j S j  Ppres  flux  Ppres  mob
j  m    j 





j
Potência da força de
pressão na sec ção móvel j
Fluxo de energia


de pressão na
Ppres mob
sec ção j




Ppres  flux
9.13
p
No termo Ppres  flux , o factor 
tem as dimensões de energia por unidade de massa (J/kg) e chama‐se energia de pressão do escoamento. O termo Ppres  flux é positivo quando o caudal é positivo (entrada de massa no sistema). No caso de =cte e regime estacionário, a massa em  
conserva‐se ou seja m
j
j


 0 , pelo que   m
j

p
1
 
 j 

m
j
pj 
j
1

m

j
pm ( j ) , onde j
pm( j )  p j  patm é a pressão manométrica na secção j (excesso de pressão em relação à pressão atmosférica). O termo Ppres  mob é a potência da pressão associada às superfícies móveis sem fluxo de massa. Este termo tem dimensões de potência (W) e representa‐se por Ppres‐mob. É positiva quando há 

compressão do sistema (diminuição do volume ou seja nint  vsup j  0 ) e negativa quando há 

expansão do sistema (aumento do volume ou seja nint  vsup j  0 ). Neste caso o fluido executa trabalho sobre a peça móvel. Se o volume de controle incluir no seu interior a peça móvel, então a potência exercida por esta surge como a potência de uma força aplicada na equação de balanço da energia cinética. Na figura acima mostrando um pistom em movimento, as partes superior e inferior contribuem respetivamente para Ppres  flux e Ppres  mob . 
Termo de potência das forças de atrito
 n   2eˆ
int
0

 v  d   P 
Este termo pode pôr‐se na forma: 

0
ˆ




n
2
e
v

 d 
 int



 
0
ˆ







n
2
e
vd


 int
   vd  P


9.14

2
v 
 
onde         v  nint   vn 
 (eq. 8.12) é a tensão viscosa ou força de atrito nint 
3

exercida sobre o fluido viscoso Newtoniano, por unidade de superfície num ponto da superfície 
 e nint é a coordenada para cresce no sentido do versor nint . Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 8 

A potência da força de atrito é apenas não nula onde v  0 como no caso de superfícies abertas 

(entrada e saída de fluido), nas superfícies livres onde a velocidade é não nula: v  0 (ex. ao 

longo de linhas de corrente) e nas superfícies móveis ( vsup  0 ) dada a condição de não 


deslizamento ou seja v  vsup  0 sobre a superfície. Assim sobre as superfícies sólidas em repouso a potência das forças viscosas é nula porque a velocidade no fluido viscoso é nula junto a essas superfícies. No entanto, próximo das superfícies o termo de dissipação de energia cinética (‐D) é em geral relevante. Tal como se procedeu na análise do balanço de momento linear (secção 8.2.5), a tensão viscosa 
decompõe‐se numa parte tangencial ou de corte (ortogonal a nint ).e numa parte normal à 
superfície (colinear com nint ). A componente normal da tensão viscosa é extremamente pequena excepto nos casos de elevada compressão (e.g. escoamento ultrasónico e interior das ondas de choque). Vamos fazer o estudo da potência das tensões viscosas nas superfícies abertas (com caudal), sólidas (sem caudal) em movimento e ao longo de linhas de corrente. Superfícies abertas Admitindo que a velocidade é normal à superfície, a potência da tensão de atrito é apenas a exercida pela tensão viscosa normal, que é habitualmente desprezável, excepto nos casos de escoamento ultrasónico e ondas de choque. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9 

Superfícies sólidas em movimento ( vsup  0 ) A tensão viscosa é principalmente constituída pela componente tangencial à superfície (excepto nos casos de ondas de compressão de alta frequência como nas ondas de choque) e portanto apenas a componente tangencial da velocidade da superfície produz potência. Portanto o estudo 
resume‐se ao caso em que a superfície tem movimento tangencial à superfície, isto é vsup

v

tangente à superfície. Nesse caso,     
onde v é a projecção tangencial à superfície da nint

velocidade. A potência por unidade de área da força de atrito na superfície é: 
v


   v  vsup  
. Esta potência poderá ser positiva ou negativa contribuindo nint

respectivamente para acelerar o fluido ou para desacelerar o fluido como mostram as figuras. 

Se vsup  0 , a potência da força de atrito é nula. Linhas de corrente Sobre as linhas de corrente a velocidade é tangencial por definição de linha de corrente, logo a potência vem 2

 v
v


   v  v  

, 2 nint
nint

9.15 sendo positiva ou negativa se a velocidade do escoamento respectivamente decrescer ou crescer para o interior. A potência das forças de atrito pode ser relevante se as linhas de corrente estiverem contidas numa camada limite (zona próxima de superfície sobre a qual o fluido deslize). Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 10 Termo de transporte de energia cinética nas fronteiras abertas 
 
 n    v  v  k  d  T int
sup
k
Este termo representa o fluxo de energia cinética associado ao transporte de massa nas partes abertas da fronteira. A expressão do fluxo é simplificada nas fronteiras abertas S, em repouso 
(vsup=0), com caudal de entrada m e velocidade normal à superfície vn . Tem‐se nesse caso:  v 


Tk   nint   vk d   m n 
2
S
3
2
1 v 
;     n  d   1 , S S  vn 
9.16 onde vn é a média de vn ao longo da secção e  é uma média ao longo da secção e representa um fator corretivo do fluxo de energia cinética devido à eventual não uniformidade da velocidade através da secção. No escoamento laminar plenamente desenvolvido num tubo, =2. Em regime turbulento ~1.04‐1.11 e portanto ~1 em muitas aplicações. Se vn=cte., =1. Termos volúmicos do balanço de energia cinética 

    v     v  
ap

 p  v  D  dv  Pvol 
Estes termos de potência representam taxas de conversão de outras formas de energia em energia cinética tais como a energia potencial associada às forças conservativas, a energia potencial aparente (linear e centrífuga) e a energia interna de que se falará adiante. A sua interpretação é obtida após considerar as equações de balanço dessas formas de energia. 

F

v
( j )  Paplic Potência das Forças aplicadas  aplic ( j )
j



A potência aplicada é o somatório das potências das forças aplicadas Faplic ( j )  v( j ) onde v( j ) é a velocidade do fluido no ponto de aplicação de cada força. As forças aplicadas são as forças que os dispositivos existentes no interior do volume de controle exercem sobre o fluido. O fluido passa através desses dispositivos com um determinado caudal e portanto é exercida potência sobre o fluido que pode ser positiva no caso das bombas e compressores e negativa no caso das turbinas e válvulas (ex. torneiras). As bombas e turbinas em geral máquinas rotativas sendo constituídas por um conjunto de pás giratórias que exercem trabalho sobre o fluido (turbomáquinas) ou extraiem energia do fluido por aplicação de um momento de força (shaft work = trabalho de eixo). As bombas impelem (empurram) o fluido aumentando a pressão a juzante do escoamento em relação ao valor a montante. Pelo contrário, nas turbinas (e.g. eólicas e hidráulicas), o fluido impele as pás fazendo diminuir a pressão a juzante do escoamento. Na engenharia de sistemas de energia o fluido circula sobre Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 11 uma rede de canais que distribuem o caudal fazendo‐o passar sobre um conjunto de dispositivos que fornecem ou retiram potência do fluido com o objetivo de atingir certos fins (e.g. elevar água a um reservatório de abastecimento, obter energia de uma barragem hidroeléctrica, controlar o escoamento de um curso de água etc.). A potência aplicada é proporcional à variação de energia potencial de pressão entre juzante (posição 2) e montante (posição 1) do escoamento. Na figura mostram‐se as forças aplicadas por uma bomba, na qual a potência aplicada é positiva. Sendo A1, A2, áreas, p1,p2 pressões, 1, 2 densidades e v1, v2 velocidades tem‐se: 



Faplic  p1 A1nint(1)  p2 A2 nint(2)   p2 A2  p1 A1  nint(2)

Caudal de massa que entra no dispositivo  A1v1 1  A2 v2  2  m
p 



 p
Paplic  p1 A1nint(1)  v1  p2 A2 nint(2)  v2   2  1  m
  2 1 
9.17 Os versores interiores pontam para o interior do sistema ou seja para fora dos dispositivos. 
Nas máquinas rotativas com um plano de rotação de versor normal e , tem‐se que a potência aplicada é dada pela chamada potência de eixo (shaft work):  




Paplic  M e    M e  com M e  M e e ;    e 
9.17a 

onde M  M e e é a resultante do momento de força e  é a velocidade angular. Nas bombas o momento e a velocidade tem os mesmos sentidos e nas turbinas ocorre o contrário. Símbolos ANSI em sistemas de energia Existe um conjunto de símbolos acordados pela ANSI/ISA (International Standards) correspondentes a dispositivos usados em mecânica de fluidos. http://www.isa.org/Content/Microsites165/SP18,_Inst
rument_Signals_and_Alarms/Home163/ISA_Standards
_for_Committee_Use/S_55.pdf Mostra‐se um subconjunto desses símbolos. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 12 9.2 Energia potencial e potencial aparente em fluidos Energia Potencial As forças volúmicas que actuam no fluido produzem trabalho e potência e são de um modo geral forças conservativas, tal como o peso e as forças electromagnéticas. Desse modo essas forças obtêm‐se como o simétrico do gradiente de um certo potencial  ou seja a densidade mássica de 
força volúmica (em N/kg) é f   como é o caso do peso. O potencial  (em J/kg) é na verdade a energia potencial por unidade de massa. Em grande parte dos casos a única energia potencial é a energia potencial gravítica em que o potencial gravítico é =gz onde z é a cota de cada partícula de fluido (na aproximação de fluidos próximos da superfície da Terra). A energia potencial gravítica de um sistema confinado a um volume de controle  é: E    dv    gzdv  MgzCM


9.18
a qual é função da distribuição de massa e da sua cota z. A energia potencial gravítica é proporcional à cota zCM do centro de massa. Se o sistema sobe como por exemplo uma corrente ascendente de ar, então o seu centro de massa sobe e há aumento da energia potencial gravítica. Admitindo a hipótese razoável de que as fontes de potencial são estacionárias (caso das fontes de 
gravidade do planeta), vem     r  ou seja  depende apenas do vetor posição. Tem‐se por isso que a derivada Lagrangeana de  resume‐se ao termo advetivo e portanto a equação de balanço Lagrangeana de energia potencial vem: 
D

 
  v      v  f  C  k ,    C  , k  Dt
9.19 A variação Lagrangeana de energia potencial é devida apenas à taxa de geração volúmica. A taxa de geração de energia potencial surge com sinal contrário na equação da energia cinética (Eq. 9.10) pelo que o termo de fonte de  é na verdade uma taxa de conversão C(k,) (W/kg) de energia cinética k em energia potencial . A conversão simétrica é a conversão de energia cinética em potencial C(k,)=‐C(,k).Esta conversão é reversível, isto é pode ser positiva ou negativa. A correspondente equação de balanço Euleriana de  é obtida pela fórmula genérica de transformação de uma equação de balanço no formalismo Lagrangeano numa equação de balanço no formalismo Euleriano: 


     v     v  
t
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9.20 13 No caso de a única força conservativa aplicada ser o peso tem‐se a força por unidade de massa (N/kg), o potencial (J/kg) e a potência do peso por unidade de volume (W/m3), expressos respectivamente na forma: 

 
 
f   gez ;   gz ;  v  f   g  v  ez     gw
9.21
onde w é a velocidade vertical. A potência será positiva quando a massa de fluido subside (desce, w<0) e será negativa quando o fluido sobe (w>0). A energia potencial gravítica em líquidos, como a água é bastante importante e é a fonte da energia hidroeléctrica. Nos gases como o ar, pode também ser importante dando origem a vento catabáticos em que ar relativamente denso desce por uma encosta montanhosa por queda gravítica (e.g. vento Mistral junto ao mar Mediterrâneo e o Bora junto ao mar Adriático). Energia Potencial Aparente A energia potencial aparente surge apenas nos referenciais acelerados sendo nula nos referenciais inerciais. Essa energia é uma espécie de energia cinética do referencial não inercial. 
Tal como admitimos na secção 9.1.1, admitimos que a aceleração linear ao e a velocidade angular 

 do referencial são constantes no tempo. Nesse caso a força aparente f ap por unidade de massa é uma força conservativa, derivando de um potencial, dito potencial aparente  ap que é a energia potencial aparente por unidade de massa (em J/kg), decomposto em potencial aparente linear e centrífugo. 
  
f ap   ap   ao  d 
2
 
;  ap   lin   cfg  ao  r 

d 
2
2
2
9.22 onde como habitualmente, d é o módulo do raio de giração. O potencial centrífugo  cfg sempre negativo. Desse modo, admitindo apenas conversões de K em cfg e vice‐versa, a energia cinética, cresce quando há afastamento do eixo de rotação (d cresce) devido à potência da força centrífuga, fazendo diminuir a energia potencial aparente centrífuga (tornando‐se cada vez mais negativa). De igual modo, admitindo apenas conversões de K em lin e vice‐versa,a energia cinética cresce se a partícula se afastar no sentido contrário da aceleração 
linear devido à potência da aceleração aparente  ao , fazendo diminuir a energia potencial 
aparente linear  lin . Assim  ap cresce no sentido da aceleração ao e com aproximação ao eixo de rotação (d decrescente). Ora  ap é um campo independente do tempo e apenas dependente do vetor posição, pelo que a equação Lagrangeana de balanço da energia potencial aparente ap é formalmente idêntica à da energia potencial (eq. 9.19): 
D ap
Dt

 
   2
  v   ap   v  ao   v  d   C  k ,  ap   C   ap , k 
9.23
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 14 onde o termo de fonte é a taxa de conversão (reversível) de energia cinética em energia potencial aparente C(k,ap) que surge com sinal contrário na equação Lagrangeana da energia cinética (Eq. 9.10). A equação Euleriana de balanço de ap é:  ap
t

 


     v  ap    v  f ap      v  ap    v   ap
9.24
Poderemos sem perda de generalidade adicionar as energia potencial e potencial aparente. A energia potencial aparente integrada num volume de controle é dada por: Eap    ap dv

9.25
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 15 9.3 Energia mecânica em fluidos A energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial e potencial aparente. No caso em que a única força conservativa é o peso, a densidade mássica de energia mecânica por unidad de massa vem: em  k     ap

2
2

d

v
 

 gz   ao  r 

2
2

2

 ( J / kg )

9.26

Somando as equações de balanço material de k,  e ap (Eqs. 9.10, 9.19, 9.24), obtemos a equação de balanço Lagrangeana (ou material) da energia mecânica de um fluido Newtoniano na forma: 
D  k     ap 
Dem




    pv  2  eˆ 0  v   p  v  D


 
Dt
Dt

 J em
em
9.27 em que os termos de conversão entre K e  e entre K e ap se cancelaram. A equação re‐escreve‐



se na forma de uma equação de balanço genérica com J em  pv  2  eˆ 0  v sendo a densidade de fluxo difusivo de energia mecânica e  em , a taxa de geração volúmica de energia mecânica. A equação Euleriana da energia mecânica obtém‐se pela inclusão da densidade de fluxo advectiva 
 vem no termo de divergência ou seja:  em




    pv  2 eˆ0  v   vem   p  v  D
t
9.28
Os termos na forma de divergência, quando integrados dão origem a fluxos (via teorema de 
Gauss) enquanto que os restantes ( p  v  D ) são conversões de energia interna em mecânica, isto é aparecem com sinal contrário na equação de balanço da energia interna. 9.3.1 Equação de balanço integral de energia mecânica num volume de controle  Para um volume de controle , a equação de balanço integral da energia mecânica Em    em dv obtém‐se como soma das equações de balanço integral da energia cinética, 
potencial e potencial aparente. Usando o teorema do transporte de Reynolds, essa equação de balanço escreve‐se como a soma de seis termos de potência a seguir descritos. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 16 dEm d
   em dv  T(em+p/ρ)  Ppres-mob  Pμ  Crev (U,E m )  Cirrev (E m ,U)  Paplic 
dt
dt 

p

  



n
v
v
e



int
sup
m

 d 





Taxa de importação de energia mecânica e energia
de pressão T(em+p/ρ) por fluxos de massa


0
ˆ



n
2
e
v


 d 
int



Potência das forças viscosas
na fronteira (Pμ )



p
vdv






n
p
v
int
sup d 




Potência das peças móveis Ppres-mob
  D dv 





Taxa irreversível
Potência volúmica
de dissipação =
da força de pressão
(reversível) = Crev (U,E m ) -Cirrev (E m ,U)<0
=-Crev (E m ,U)


 v( j )
j



F
aplic ( j )

Potência das forças aplicadas
(bombas, turbinas, compressores)
Paplic
9.29
Em condições estacionárias e fronteira imóvel (vsup=0), a energia mecânica do sistema é constante (dEm/dt=0) havendo equilíbrio entre as 6 termos de potência: três sobre a superfície , dois sobre o volume  e outro das potências aplicadas. 
Os termos em p  v e na taxa de dissipação D constituem taxas, respectivamente reversível e irreversível, de conversão de energia mecânica numa outra forma de energia que é a energia interna U do fluido, o qual tem de ser observado como um sistema termodinâmico. Os seis termos aditivos que compõem a taxa de variação da energia mecânica podem agrupar‐se em 4 grupos de acordo com a sua natureza. Assim a equação de balanço da energia mecânica reescreve‐se na forma: dEm
 T( em p /  )  Crev (U , Em )    Paplic  Ppres mob   Cirrev ( Em ,U )  P  9.30 


  
dt
Potência Disponível
Potência Aplicada
Perda de potência=Loss
Em condições estacionárias a energia mecânica do sistema mantem‐se constante e portanto dE/dt=0. Esta derivada iguala a soma de três grupos de termos, conforme a sua natureza do ponto de vista dos sistemas energéticos de engenharia. No primeiro grupo tem‐se a potência disponível para o sistema devida ao transporte (Flow) ou seja a taxa de importação T(em+p/) de energia mecânica e de energia de pressão T(em+p/) por fluxos de massa nas fronteiras abertas. Para este termo apenas contribuem as fronteiras abertas em que haja caudal m’0. Nas fronteiras com caudal positivo (entradas), m’>0 há contribuição positiva para T(em+p/), nas fronteiras com caudal negativo (saídas), m’<0, há contribuição negativa para T(em+p/). Numa secção de área S em que a velocidade v, a energia mecânica em, a pressão p e densidade  sejam todas constantes, tem‐se que a taxa de importação de energia mecânica em W é m’(em+p/). O primeiro grupo inclui também a taxa reversível Crev (U,Em ) de conversão de energia interna do fluido em energia mecânica. Este termo pode ser positivo ou negativo e depende apenas da compressibilidade sendo não nulo nos fluidos compressíveis (gases) e desprezável nos líquidos devido à sua pequena compressibilidade. É positivo quando o fluido expande e negativo quando comprime. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 17 No segundo grupo juntam‐se: a) as potências aplicadas pelas peças móveis no interior do volume de controle (Paplic) e b) as potências das forças de pressão nas peças ou partes móveis da fronteira do volume de controle (Ppres‐mob). Estas potências podem ser incluídas no termo Paplic por extensão do volume de controle por forma a incluir as peças móveis, todas no interior do volume. As potências aplicadas são positivas nas bombas e negativas nas turbinas. O terceiro grupo é a perda de potência (Loss na literatura inglesa), é unicamente devido ao atrito representando um sumidouro de energia mecânica (potência negativa). O primeiro termo é a potência das forças de atrito nas fronteiras em que o fluido não está em repouso (P) e o segundo corresponde à dissipação (destruição) de energia mecânica por conversão irreversível de energia mecânica em energia interna Cirrev (E m , U)  0 , devido à potência negativa das forças de atrito internas do fluido. Esse termo é especialmente importante próximo das superfícies de contacto fazendo aumentar a energia interna do fluido e das superfícies de contacto por aquecimento. Uma das manifestações disso é o aquecimento do óleo de lubrificação nos motores e das máquinas de tração. 9.3.2 Energia cinética do escoamento médio e energia cinética turbulenta No caso de escoamentos turbulentos, a energia cinética decompõe‐se em duas parcelas positivas: a energia cinética do escoamento médio KM associada à média temporal da velocidade e a energia cinética turbulenta Kt associada às flutuações rápidas e curtas da velocidade. Nos escoamentos laminares, Kt=0. Em muitas aplicações, apenas a energia cinética do escoamento médio é relevante ou aproveitável. A mesma decomposição se verifica para a energia potencial =M+t e potencial aparente. Assim a soma é a relativa ao escoamento médio é a energia mecânica do escoamento médio (EM)m ou energia mecânica útil. A taxa de variação de (EM)m é igual à soma da potência disponível, potência aplicada e subtraída da Perda de potência. Nos escoamentos turbulentos a perda de potência, inclui também a conversão de energia cinética do escoamento médio em energia cinética turbulenta tornando a perda de potência maior que nos escoamentos laminares. Os sistemas de energia, máquinas, veículos etc., devem ser concebidos de modo a minorar as perdas de energia mecânica útil para a energia interna e para a turbulência. 9.3.3 Eficiência de sistemas de energia Em regime estacionário ou em média temporal, a energia mecânica de um sistema mantèm‐se. Desse modo observa‐se o equilíbrio dos três termos: 0   Potência Disponível  +  Potência Aplicada  - (Perda de Potência)

0
9.30a
Em máquinas hidráulicas pretende‐se em geral que a ‘Perda’ devida a atritos seja a mínima possível e que os termos dominantes sejam a pot. disponível a e pot. aplicada. O rendimento ou eficiência da máquina mede‐se por um coeficiente chamado eficiência  entre 0% e 100%. Vamos calcular essa eficiência. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 18 Numa turbina (Pot. Aplicada<0, Pot. disponível>0) sendo a energia cedida a um gerador com uma certa potência gerada. A ‘potência gerada’ é dada pelo produto da (eficiência do gerador) pela (eficiência da turbina) e pela ‘potência disponível’: Pot. aplic.
Pot. gerada   gerador Pot. aplic.   gerador
Pot. disp.

Pot. disp.

1
 turbina 1
   gerador  turbina  Pot. disp. ; Pot. aplic.  Pot. disp.  Perda


1
9‐30b Numa bomba hidráulica (Pot. Aplicada>0, Pot. disponível<0) a energia é aplicada através de um motor sendo a energia disponível do fluido acumulada na forma de energia de pressão, cinética ou potencial gravítica. A ‘potência disponível’ em módulo é dada pelo produto da (eficiência da bomba) pela (eficiência do motor) e pela ‘potência consumida’ pelo motor: Pot. aplic.
Pot. disp.   bomba Pot. aplic.   bomba
Pot. cons.

Pot
.
cons
.
1

 motor 1
   bomba  motor  Pot. cons. ; Pot. disp.  Pot. aplic.  Perda



1
9.30c Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 19 9.4 ‐ Termodinâmica de Fluidos e Balanço de energia interna 9.4.1 – Energia interna Para além da energia cinética e da energia potencial, o fluido possui energia interna (U) dado que este pode ser considerado como um sistema termodinâmico ao sofrer variações de temperatura. A energia interna acumula a energia cinética de agitação molecular (entre colisões intermoleculares), a vibração molecular, a energia química que mantém a coesão das moléculas e eventualmente a energia nuclear que mantém a coesão dos núcleos atómicos. A energia interna por unidade de massa (J/kg) ou energia interna específica é representada por: u
U
( J / kg )
m
9.31
onde U é a energia de uma partícula de fluido de massa m. A energia interna, na situação de equilíbrio termodinâmico, pode exprimir‐se em função de várias quantidades macroscópicas mensuráveis (e.g. temperatura, pressão, potenciais químicos). As partículas de fluido podem considerar‐se como sistemas termodinâmicos simples em equilíbrio termodinâmico (Princípio do Equilíbrio Termodinâmico Local) que admite que a temperatura cinética (deduzida a partir da agitação média das moléculas) é coincidente com a temperatura de Planck que determina a quantidade de radiação electromagnética irradiada pela matéria. Desse modo a temperatura T é uma grandeza bem definida termodinamicamente, cuja unidade S.I. é o Kelvin (K). De acordo com a termodinâmica, a variação material (Lagrangeana) Du da energia interna no sistema ‘partícula de fluido’ é devida à permuta de calor Dq com o ambiente (Dq positivo se a partícula importar calor) e à realização de trabalho dW (positivo se o ambiente realizar trabalho sobre a partícula), o qual se decompõe numa parte reversível (positiva ou negativa) e noutra parte irreversível (positiva), isto é de sentido único em favor da energia interna. Assim: Du  Dq  DW  Dq  DWrev  DWirrev 9.32
onde Du é uma diferencial total e Dq, DW são Pfaffianos (não exprimíveis como diferenciais totais e cujo valor depende do processo e não apenas de variações das variáveis de estado). As derivadas Lagrangeanas vêm: Du Dq DWrev DWirrev



Dt Dt
Dt
Dt
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9.33
20 Lei de Fourier da condução de calor Por definição o calor permuta‐se de forma difusiva com o ambiente na vizinhança do sistema, isto é não exige transferência de massa e portanto o termo 
Dq
exprime‐se na forma de convergência Dt
da densidade difusiva de calor Ju (W/m2): 

Dq
   J u
Dt
9.34
A densidade de fluxo difusivo de calor aponta contra o gradiente de temperatura, isto é no sentido das menores temperaturas, o que é expresso através da lei de Fourier: 

Dq
   J u     kT   k  2T (k  cte.  0)
J u  k T ; 
Dt
9.35 em que o coeficiente de proporcionalidade é k= condutividade térmica e tem unidades W/(Kelvin m). Por exemplo kar =0.026 W/(K m), kágua=0.61 W/(Km), mostrando que o ar é mais fraco condutor de calor que a água, o que justifica a utilização de câmaras de ar no interior de certas paredes para efeito de isolamento térmico. O calor propaga‐se no sentido de diminuir o gradiente de temperatura ou seja no sentido de homogeneizar a temperatura do meio. Se o fluido não estiver em equilíbrio radiativo, há que incluir o balanço da importação e exportação de radiação electromagnética (radiação) no termo Dq/dt. Equação Lagrangeana da energia interna A equação de balanço da energia interna na forma Lagrangeana escreve‐se: 
Du
Dq
 DWrev DWirrev 




    J u   u
Dt 
Dt
Dt
Dt




 J u
 u
9.36

onde se exibe o termo de densidade de fluxo difusivo J u e o termo de fonte  u que representa a potência (reversível e irreversível) por unidade de tempo e massa (W/kg). Energia total e Primeira lei da Termodinâmica A energia total e por unidade de massa (J/kg) é a soma da energia mecânica (soma da cinética, potencial e potencial aparente) com a energia interna: e  u  em  u  k     ap
9.37 A primeira Lei da termodinâmica estabelece o princípio da conservação da energia total ou seja a inexistência de fontes de energia total ou ainda o facto de a taxa de geração de energia total ser Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 21 nula. Tal mostra que a taxa de geração de energia interna só pode equivaler à taxa de destruição de energia mecânica ou doutro modo à taxa de conversão de energia mecânica em energia interna donde: 
DW
DW
Crev ( em ,u )
Cirrev ( em ,u )
rev
irrev
p  v  
D 
 u  C (em , u )    e  



 DW
Dt 
Dt


DW
m

rev

irrev
Dt
Dt
9.38 A taxa de dissipação aparece como um termo intrinsecamente positivo na equação da energia interna e por isso é o termo de potência irreversível. Substituindo o termo de geração de energia interna  u obtém‐se a equação de balanço Lagrangeana de energia interna: 
Du


   J u  p  v  D Dt
9.39 A equação Euleriana de balanço da energia interna, apropriada para estabelecer balanços em volumes de controle obtém‐se da equação Lagrangeana por introdução do densidade de fluxo 
advectivo de energia interna  uv , seguindo o procedimento habitual. A equação Euleriana é: 
 u


   J u   uv  p  v  D
t


9.40
Equação de balanço da energia interna num volume de controle  Integrando num volume de controle  e aplicando o teorema do transporte de Reynolds tem‐se que a taxa dU/dt de variação da energia interna U em  é a soma de 4 termos: 
dU d
   u dv  Tu  Q Crev (E m ,U)  Cirrev (E m , U) 
dt dt 


 


  nint    v  vsup  ud    nint  J u d    p  vdv   D dv






 
 
Transporte de energia interna Tu

Importação de calor Q
Crev (E m ,U)
Cirrev (E m ,U)
9.41

onde Tu é a taxa de importação de energia interna por fluxos de massa nas fronteiras abertas, Q é a taxa de importação de calor por difusão e eventualmente radiação eletromagnética, Crev (E m ,U) , Cirrev (E m , U) são as taxas de conversão, respetivamente reversível e irreversível de energia mecânica (neste caso apenas cinética) em energia interna. Em várias aplicações práticas 
admite‐se que não há transferência de calor Q  0 ou seja admite que o sistema sofre uma transformação adiabática. No caso de um sistema fluido em escoamento, diz‐se um escoamento adiabático. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 22 Equação de balanço da energia total A equação de balanço Lagrangeana da energia total obtém‐se como soma das equações de balanço Lagrangeanas da energia mecânica (9.27) e da energia interna (9.36). A taxa de variação material reduz‐se aos termos difusivos não existindo termo de geração volúmica porque a energia total apenas se pode converter entre energia mecânica e energia interna. A energia total apenas se pode transferir de um lado para o outro permanecendo invariante (constante) num sistema isolado em que por definição não há fluxos difusivos nem fluxos de massa na fronteira nem forças aplicadas. Essa é a manifestação do Primeiro Princípio da Termodinâmica ou conservação da energia total. Desse modo a equação Lagrangeana local da energia total é: 

De

   J em  J u
Dt


9.42
A equação Euleriana ou seja a apropriada para estabelecer balanços nos volumes de controle é: 

 e

   J em  J u   ev
t


9.43

onde se incluiu o termo de densidade de fluxo advectivo  ev . No caso particular de um fluido 


Newtoniano e substituindo J em  pv  2 eˆ  v tem‐se: 0


 e
p  
 
0
    2  eˆ  v  J u    e   v 
t
 


9.44
A quantidade advetada (transportada pelo movimento), ou seja a que está multiplicada pela velocidade, é a soma: e

p
 em   u    em  h





p
h
9.45
que é a soma da energia mecânica específica e da entalpia específica h. A entalpia específica h é a soma da energia interna especifica u com a energia de pressão p/. Equação de balanço da Energia Total num Volume de Controle  Num sistema de energia em que flua fluido, quer o sistema seja uma aplicação da engenharia (e.g. gerador eólico, barragem hidroelétrica, turbina, bomba de fluido, compressor, permutador de calor, avião, barco, foguete), quer seja um sistema natural (e.g. camada limite atmosférica, camada limite oceânica), é necessário estabelecer o balanço da energia total num determinado volume de controle  (fixo, móvel ou deformável). Tal tem em vista a compreensão do sistema de forma a otimizá‐lo (maximização das eficiências) ou a controlá‐lo, desfrutando dele ou evitando acontecimentos extremos perigosos para atividade humana ou para o ambiente. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 23 A equação de balanço da energia total no volume de controle: E    e dv obtém‐se 
somando a equação da energia interna e da energia mecânica. Os termos de conversão de energia mecânica em energia interna cancelam‐se mutuamente e por isso a equação de balanço possui apenas termos fronteira e de potência das forças aplicadas. A taxa de variação da energia total é dada pela soma de cinco termos que já figuravam nas equações de balanço da energia mecânica e da energia interna: dE dEm dU



dt
dt
dt
•


  P  Q    Paplic  Ppres  mob 
 

 
Fluxos de energia mecânica
Potência Aplicada
9.46
T( em p /  u ) 


e entalpia na fronteira
Fluxos de calor e
e potência do atrito
na fronteira
Os termos agrupam‐se em três grupos: Fluxos de energia mecânica e entalpia nas fronteiras abertas (onde o caudal é não nulo), fluxos de calor nas fronteiras diatérmicas (as que deixam passar calor), fluxos de radiação, potência do atrito nas fronteiras e potência aplicada. Em condições estacionárias a soma dos vários termos anula‐se. 9.4.2 Equação de estado dos fluidos Na maioria das aplicações admite‐se que as partículas de fluido são sistemas termodinâmicos simples em equilíbrio termodinâmico local. Nessa hipótese admite‐se que a composição molecular de uma partícula de fluido se mantém inalterada, o que permite exprimir a variação material Du no sistema termodinâmico ‘partícula de fluido’ como combinação linear de variações materiais de entropia específica s (em J/(kg K) ) e do volume específico v=1/ (inverso da densidade) em m3/kg. Essa variação é: Du  TDs  pDv   Dq  DWirrev    DWrev  9.47 Onde T é a temperatura absoluta (em Kelvin K) e p é a pressão termodinâmica (em Pascal Pa). A parte relativa à variação do volume específico corresponde ao trabalho reversível. Essa parte exprime‐se em função da divergência da velocidade o que se pode provar usando a equação Lagrangeana da continuidade. De facto:  pDv 
p
2
D 
p D
p

Dt
v
Dt  DWrev 



2
 Dt

9.48
O trabalho reversível é nulo nos fluidos incompressíveis dado que D=0 ou seja a densidade mantém‐se na partícula. A variação da energia interna u associada à variação da entropia é a soma do trabalho irreversível com o calor permutado. Essa variação pode exprimir‐se em termos de variações materiais da temperatura e volume específico: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 24  p 
TDs  DWirrev  Dq  cv DT  T 
 Dv

T

v
9.49
onde cv é o calor específico a volume constante (em J/(kg K) ) ou seja a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1K a uma porção de 1kg do sistema fluido num processo isocórico (a volume constante). Num sistema termodinâmico simples u é exprimível como função da temperatura T e volume específico v ou seja u=(T,v), donde se tem: cv   u  . A  T v
 p 
 é obtida através da equação de estado do fluido que permite escrever o volume  T v
derivada 
específico v em função da pressão e da temperatura ou seja v=v(T,p). Escreva‐se antes a variação material Dv como:  v 
 v 
Dv  
DT

  Dp  v DT  vT Dp

p T
 T  p



 v T
v
9.50
Onde  é o coeficiente de expansão térmica isobárica e T é o coeficiente de compressibilidade isotérmica. Tem‐se pois: 1  v 
1  v 

 p 
    ; T     ;   
v  T  p
v  p T
 T v T
9.51
O calor específico a pressão constante cp (em J/ (kg K)) é o calor específico num processo isobárico (a pressão constante) e obtém‐se pela relação de Mayer: 
 u 
cp  

c

vT
v

T
 T  p
2
9.52
No presente caso consideramos apenas fluidos como gases ideais (compressíveis por natureza) ou líquidos (praticamente incompressíveis). Os gases ideais são caracterizados por uma constante do gás R (dependente da composição molecular) sendo a equação de estado, os coeficientes de compressibilidade e expansão, o calor específico cp e a energia interna específica dados respetivamente por: p
RT
1
1
; T 
; c p  cv  R ; u  cvT
  RT ;  
v
T
p
9.53
Note‐se que os calores específicos a pressão e volume constante diferem entre si. Por exemplo para o ar, R=287 J/(kg K), cv=718 J/(kg K), cp=1005 J/(kg K). Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 25 Os líquidos são muito menos compressíveis que os gases, o que leva a valores muito baixos de  e T dado que as variações materiais do volume específico e da densidade são muito reduzidas. Por exemplo para a água (pressão de 1 atm. e temperatura =25ºC), =2.57x10‐4 K‐1 e T=5.1×10‐10 Pa−1. Num fluido incompressível tem‐se =0 e T=0, pelo que os calores específicos a volume e pressão constante se igualam (cv=cp). Por exemplo para água líquida (a PTN), o calor específico é tomado como cw= 4181 J/(kg K)=1 caloria/(grama K). 9.4.3 Equação de balanço da entropia e Segundo Princípio da Termodinâmica A variação material da entropia específica pode exprimir‐se na forma: 
Ds 1  DWirrev
Dq 
 

Dt T 
Dt
Dt  9.54
Substituindo DWirrev/Dt e Dq/Dt vem: 

 D
 J u   D J u  T 
1
Ds
    J u         


2
Dt
T
T
T
T
T
 

 s
Js
9.55

Na equação exprime‐se a densidade difusiva de fluxo de entropia J s (W/(Km2) ) e a taxa de geração de entropia por unidade de massa s em unidades W/(kg K). O Segundo Princípio da Termodinâmica exige que a taxa de geração de entropia s seja positiva. Tal verifica‐se recorrendo à lei de Fourier. Na verdade tem‐se: 
J q  T
T
D
D
 s  


k
T
T2
T
T2
(dado que D, k , T são positivos)
2
0
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9.56
26 9.4.4 Balanço de energia em sistemas unicanal Energia transformada com dimensões de altura e de pressão Na equação da energia total surge o termo de transporte pelo fluido da energia mecânica com a entalpia. Uma forma intuitiva de exprimir o valor da energia mecânica e entalpia específicas é a sua conversão em grandezas com dimensões físicas de altitude (z) e equiparando‐as a energia potencial gravítica específica (gz). Para tal divide‐se a energia mecânica e a entalpia específicas pela aceleração da gravidade: 


 u
1
p
p
v 2  ap gz



 zu  zd  zh  zap  z (m)
u   em   



g  
g
g
2
g
g
z
     
z pz
z
 h
 zu
zh
zd
zap


zen
9.57
onde: z=cota, carga ou altura, zap=altura aparente, zh=altura hidrostática, zd=altura dinâmica, zu=altura da energia interna. Tem‐se ainda a soma zh  zap  z  z pz = altura piezométrica. A soma zd  zh  zap  z  zen = altura da energia. De igual forma pode transformar‐se a energia específica noutra quantidade com dimensões físicas de pressão. Para tal multiplica‐se a energia mecânica e entalpia específicas pela densidade:   em  h    u   ap 
v2
 gz  p   u  pap  ph  pd  p ( Pa )


 
2
ph
pstag
pap
pd
9.58
onde: p=pressão termodinâmica, pap=pressão aparente, ph=pressão hidrostática, pd=pressão dinâmica. A soma da pressão dinâmica com a pressão termodinâmica é a pressão de estagnação pstag e corresponde à pressão nos pontos de estagnação ou seja em que a velocidade é nula. Linha piezométrica e linha da energia Muitos sistemas fluidos de interesse são constituídos por um canal unicanal (canal único) , fixo e indeformável, em regime estacionário com uma única entrada (ponto 1) e uma única saída (ponto 2). Dado que a massa não varia, o caudal m’ à entrada é em valor absoluto o caudal da saída. Pelo canal poderão existir várias potências aplicadas (positivas ou negativas) e vários pontos de libertação ou consumo de calor. Além disso há dissipação, o que inevitavelmente diminuirá a energia mecânica do sistema correspondendo a perdas de carga. Vamos estudar o balanço de energia mecânica em . Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 27 O termo de transporte vem: 

T( em  p /  )  m  em1  p1 / 1    em 2  p2 /  2    m g  zen (1)  zen (2) 
9.59
onde os índices (1) e (2) se referem à entrada e saída respetivamente. Dividindo os termos da 
energia mecânica por m g , obtém‐se uma equação com dimensões de altura (m). Utilizando o conceito de altura de energia, pode‐se exprimir a altura de energia a juzante (ponto 2) em função da altura de energia a montante (ponto 1), das potências aplicadas e conversões de energia mecânica em interna. A variação da altura de energia é: Paplic  Ppres  mob
Crev U , Em   Cirrev  Em , U   P


  zen   zen (2)  zen (1) 







 m g
mg
m
g
m
g
   

zrev
z 
zloss
zaplic
9.60
ou em síntese, a variação da altura de energia de montante para juzante é:   zen     z pz  zd   zen ( juzante:2)  zen (montante:1)  zrev  zloss  z  zaplic
9.61
onde zloss é a perda de carga. Em escoamentos turbulentos é comum restringir a energia mecânica apenas à energia mecânica do escoamento médio (energia útil) tal como indicado na secção 9.3.2. Desse modo a perda de carga é a soma de dois termos positivos: zloss=zloss(U)+zloss(T) onde zloss(U) é a perda de carga devido à dissipação irreversível e que por sua vez leva ao aquecimento do sistema e ganho de energia interna. O termo zloss(T) é a perda de carga para a energia cinética turbulenta, sendo nulo em escoamentos laminares. Desse zrev é o ganho ou perda de carga devido, respetivamente à expansão ou compressão do fluido no interior do sistema. zaplic é a altura aplicada, positiva em bombas e compressores, com o objetivo de bombear o fluido e levá‐lo até ao local desejado e fazendo aumentar a altura de energia; zaplic é negativa em turbinas, fazendo decrescer a altura de energia. z é a variação de altura devido à potência da força viscosa na superfície (por regra negativa). A equação estacionária da energia interna no sistema unicanal  pode ser obtida igualmente com termos com dimensão de altura. Assim a variação, de montante para juzante da altura da energia interna é: 
 (u ) u2  u1
Q
  zu  

 zrev  zloss (U )     zrev  zloss (U )   zq
g
g
mg

zq
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9.62
28 onde zq é a variação da altura da energia interna devido à transferência de calor. No caso de aquecimento ou arrefecimento, zq >0 ou zq <0 respetivamente. Em condições adiabáticas zq=0. Em condições invíscidas (viscosidade nula ou desprezável), zloss(U)=0. Em condições isentrópicas, zq=zloss(U)=z=0. Para fluidos incompressíveis (boa aproximação nos líquidos), não há conversão reversível entre energias mecânica e interna, donde rev=0. Combinando as equações da energia mecânica do escoamento médio e energia interna na forma de alturas, vem:   zen     zu   zloss (T )  z q  z   z aplic
9.63
Os valores de zen e zu são determinados pelas condições a montante e juzante e são facimente mensuráveis, pois dependem dos valores medidos da velocidade, pressão, altitude e temperatura. A transferência de calor é normalmente estimada ou imposta (ex. libertação quantificada de calor para o sistema). A altura aplicada é em regra fornecida ou requerida em função das condições desejadas a juzante (ex. elevar água a um certo ponto). O valor da perda de carga turbulenta em escoamentos turbulentos é em muitas situações parametrizado como um termo proporcional à altura dinâmica a juzante: zloss (T )  Closs zd ( juzante)  Closs
v 2juzante
2g
9.64
onde Closs é um coeficiente adimensional, no intervalo da ordem de 10‐40. Em escoamentos laminares zloss (T )  0 . Os gases perfeitos (maioria dos gases de interesse) satisfazem à equação de estado p/=RT e às relações u=cvT, h=cpT, cp=cv+R onde R é a constante do gás e cp, cv são os calores específicos a pressão e volume constantes. Os líquidos são praticamente incompressíveis e a sua energia interna específica vem: u=cwT onde cw é o calor específico. Desse modo têm‐se as particularizações: 

v2
  zen     zu        ap 
 c pT  ( gases perfeitos )
2g




v2
p
  zen     zu        ap 

 cwT  (líquidos )
2g  g


9.65
O gráfico da altura piezométrica zpz ao longo de um sistema de fluxo unicanal é a chamada linha piezométrica zpz (HGL= hydraulic grade line). O gráfico da linha de energia zen é a chamada linha da energia (EGL=energy grade line). A diferença positiva zen‐zpz entre as duas linhas é a altura dinâmica. Mostra‐se a seguir um exemplo dos gráficos de HGL e EGL. Há descidas de EGL sempre que há perdas de carga (em válvulas, tubagens, turbinas) e subidas sempre que há bombas e compressores. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 29 Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires