lista 10 - UNEMAT Sinop

Universidade Do Estado De Mato Grosso/Campus de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas - FACET
LISTA 10 - CDI I
Prof
a
Ma. Polyanna P. C. Petry
1. Encontre a linearização L(x) da função em a.
(a) f (x) = x3 , a = 1
(b) f (x) = ln x, a = 1
(c) f (x) = cos x, a = π/2
√
2. Encontre √a aproximação
linear da função f (x) = 1 − x em a = 0 e use-a para aproximar os
√
números 0, 9 e 0, 99. Ilustre fazendo o gráco de f e a reta tangente.
√
3. Encontre √
a aproximação
linear da função g(x) = 3 1 + x em a = 0 e use-a para aproximar os
√
números 3 0, 95 e 3 1, 1. Ilustre fazendo o gráco de f e a reta tangente.
4. Encontre a aproximação linear da função em a = 0. Então determine os valores de x para os
quais a aproximação linear é precisa dentro de 0, 1.
(a) f (x) =
√
3
1−x
1
(b) f (x) =
(1 + 2x)4
(c) f (x) = ex
5. Encontre dois números positivos cuja diferença seja 100 e cujo produto seja o menor possível.
6. Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a menor possível.
7. Encontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de 100m cuja área seja a maior
possível.
8. Um fazendeiro com 750 pés de cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la em
quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual a maior área possível das
quatro partes?
9. Se 1.200cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e
sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.
10. Encontre os pontos sobre a elipse 4x2 + y 2 = 4 que estão mais distantes do ponto (1, 0).
11. Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna de r
ohms, então a potência (em watts) no resistor externo é
E 2R
P =
(R + r)2
Se E e r forem xados, mas R variar, qual é o vlor mínimo da potência?
12. Em uma colmeia, cada alvéolo é um prisma hexagonal regular, aberto em uma extremidade
com um ângulo trédrico na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas formam esses alvéolos de modo a minimizar a área da superfície, usando assim uma quantidade mínima de
cera na construção. O exame desses alvéolos mostrou que a medida do ângulo do ápice θ é
surpreendentemente consistente. Baseado na geometria do alvéolo, pode ser mostrado que a
área da superfície S é dada por
√
3 2
2 3
) cossecθ,
S = 6sh − s cotgθ + (3s
2
2
onde s, o comprimento dos lados do hexágono, e h, a altura, são constantes.
(a) Calcule
dS
.
dθ
(b) Que ângulo as abelhas deveriam preferir?
(c) Determine a área da superfície mínima do alvéolo (em termos de s e h).
GABARITO
1. (a) L(x) = 3x − 2
1
2
1
3. g(x) ≈ 1 + x
3
2. f (x) ≈ 1 − x
(b) L(x) = x − 1
√
√
3
0, 9 ≈ 0, 95
0, 95 ≈ 0, 983̄
(c) L(x) = −x +
√
0, 99 ≈ 0, 995
√
3
1, 1 ≈ 1, 03̄
1
4. (a) f (x) ≈ 1 − x; −1.204 < x < 0.706
3
(b) f (x) ≈ 1 − 8x; −0.045 < x < 0.055
(c) f (x) ≈ 1 + x; −0.483 < x < 0.416
5. Os números são 50 e −50.
6. Os números são 10 e 10.
2
π
2
7. As dimensões do retângulo que fornecem área máxima são x = y = 25m.
8. A maior área possível é 14.062, 5p2 com x = 75 e y = 187, 5.
9. O maior volume possível é 4000cm3 com x = 20 e y = 10.
1 4√
10. Os pontos são − , ± 2 .
3 3
11. O valor mínimo da potência é
E2
e ocorre quando R = r.
4r
12.
√
dS
3
(a)
= s2 cossecθ( cossecθ − 3 cotgθ)
dθ
2
(b) A área da superfície mínima ocorre quando θ = cos
−1
1
(c) S = 6s h + √ s
2 2
3
1
√
3
≈ 55◦ .