Erro verdadeiro - Professor Tenani

Capítulo
04
Erros de
arredondamento e
Truncamento
(Parcial)
Objetivos do capítulo
• Entender a diferença entre acurácia e precisão.
• Aprender como quantificar o erro.
• Aprender a usar estimativas de erros para decidir quando
encerrar um cálculo iterativo.
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Acurácia x Precisão
Acurácia se refere a quão próximo o valor calculado ou medido está
do valor verdadeiro.
Precisão se refere a quão próximo os valores individuais calculados
ou medidos estão uns dos outros.
a)
Inacurado e impreciso.
b)
Acurado e impreciso.
c)
Inacurado e preciso.
d)
Acurado e preciso
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Definição de Erro Verdadeiro
Erros numéricos são causados pelo uso de aproximações para
representar operações e quantidades matemáticas exatas.
Et  valor verdadeiro -aproximação
• O t vem do inglês true = verdadeiro.
• O erro verdadeiro normalmente é expresso como um
valor absoluto e referido com erro absoluto.
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Definição de Erro
O Erro verdadeiro não leva em conta a ordem de grandeza do valor
que está sendo examinado. Podemos definir então o erro relativo
percentual verdadeiro.
t  valor verdadeiro -aproximação 100%
valor verdadeiro
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
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Exemplo
Considere que você tenha a tarefa de medir os comprimentos de
uma ponte e de um rebite e que obteve 9.999 cm e 9 cm,
respectivamente. Se os valores verdadeiros forem 10.000 cm e 10
cm, respectivamente, o erro verdadeiro em ambos os casos é 1 cm.
Calculando o erro relativo temos:
t 10.000-9.999 100%  0,01%
10.000

t 10-9 100% 10%
10
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
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Erro aproximado
• Em situações do mundo real, o valor verdadeiro dificilmente é
conhecido, por isso, o cálculo do erro verdadeiro fica
prejudicado.
• Um dos desafios dos Métodos é determinar estimativas de erro
quando se desconhece o valor verdadeiro.
• Grande parte dos métodos numéricos utilizam uma abordagem
iterativa para calcular as respostas. Isto é, uma aproximação
atual é feira com base em uma aproximação anterior.
• Assim, podemos definir nosso erro aproximado como:
atual - aproximação anterior 100%
a  aproximaçãoaproximação
atual

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Erro tolerado
• Os sinais nas equações anteriores podem ser positivos ou
negativos dependendo se a aproximação é maior ou menor que
a aproximação anterior.
• Ao realizar cálculos não há preocupações com o sinal do erro.
• Estamos interessados em saber se o erro aproximado absoluto é
menor que um percentual de tolerância pré-estabelecido 𝜀𝑠
• Isto é, estamos interessados em saber se:
a  s
• Esta relação é chamada de critério de parada.
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Critério de Parada
• Se o critério de parada for satisfeito, supõe-se que o resultado
esteja dentro do nível aceitável pré-estabelecido 𝜀𝑠.
a  s
• É conveniente relacionar esses erros ao número de algarismos
significativos da aproximação.
• Para ter certeza que o resultado aproximado está correto até
pelo menos n algarismos significativos usamos o critério a seguir:
 s  (0,5102n)%
Exemplo: Se desejamos 4 algarismos significativos devemos ter
tolerância dada por:
 (0,51024)%  (0,5102)%  0,005%
s
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Critério de Parada
• Se o critério de parada for satisfeito, supõe-se que o resultado
esteja dentro do nível aceitável pré-estabelecido 𝜀𝑠.
a  s
• É conveniente relacionar esses erros ao número de algarismos
significativos da aproximação.
• Para ter certeza que o resultado aproximado está correto até
pelo menos n algarismos significativos usamos o critério a seguir:
 s  (0,5102n)%
Exemplo: Se desejamos 4 algarismos significativos devemos ter
tolerância dada por:
 (0,51024)%  (0,5102)%  0,005%
s
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Exemplo : Estimativa de Erro
2
3
n
x
x
x
e x  1 x    ... 
2 3!
n!
• Vamos usar a série de Maclaurim para aproximar valores para a função
exponencial para x=0,5.
• Conforme mais termos forem adicionados a sequência, a estimativa se
tornará cada vez mais próxima do valor verdadeiro de exp(x).
• Começaremos com 𝑒 𝑥 = 1 e depois de adicionar cada novo termo vamos
calcular o erro verdadeiro percentual e o erro relativo percentual estimado.
• Adicionaremos termos até que o valor absoluto do erro relativo percentual
estimado
esteja dentro do critério pré-estabelecido.
a  s
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Exemplo : Estimativa de Erro
2
3
n
x
x
x
x
e  1 x    ... 
2 3!
n!
• Vamos adotar o critério de erro que garante o resultado correto até pelo
menos três algarismos significativo.
 s (0,51023)% 0,05%
• Observe que o valor “verdadeiro” de
𝑒 0,5 calculado através do MATLAB é:
exp(0.5) = 1.648721270700128
• Olhando para a série acima, podemos adotar como uma primeira
aproximação como 1.
e
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0,5
1
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Exemplo : Estimativa de Erro
2
3
n
x
x
x
e x  1 x    ... 
2 3!
n!
Estimativa 02
Estimativa 03
ex 1 x  e0.5 1 0.5 1.5
2
2
0,5
x
x
0.5
e 1 x  2  e 1 0.5
1.625
2
t  1,6487211,5 x100%  9,02%
1,648721
 a  1,5 1 x100%  33,3%  0,05%
1,5
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t  1,6487211,625 x100% 1,44%
1,648721
 a  1,625 1,5 x100%  7,69%  0,05%
1,625
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Exemplo : Estimativa de Erro
2
3
n
x
x
x
e x  1 x    ... 
2 3!
n!
Estimativa 02
Estimativa 03
ex 1 x  e0.5 1 0.5 1.5
2
2
0,5
x
x
0.5
e 1 x  2  e 1 0.5
1.625
2
t  1,6487211,5 x100%  9,02%
1,648721
 a  1,5 1 x100%  33,3%  0,05%
1,5
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t  1,6487211,625 x100% 1,44%
1,648721
 a  1,625 1,5 x100%  7,69%  0,05%
1,625
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Exemplo : Estimativa de Erro
2
3
n
x
x
x
e x  1 x    ... 
2 3!
n!
Resumindo...
Termos
Resultados
Erro Verdadeiro(%)
1
1
39,3
2
1,5
9,02
33,3
3
1,625
1,44
7,69
4
1,645833333
0,175
1,27
5
1,648437500
0,0172
0,158
6
1,648697917
0,00142
0,0158 < 0,05
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Erro
Aproximado(%)
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Estimativa de Erro - Algoritmo
2
3
n
x
x
x
e x  1 x    ... 
2 3!
n!
• A implementação computacional envolve laços.
• A maior parte das soluções iterativas envolvem laços
condicionais ( while ).
• O processo é repetido até que o erro aproximado fique abaixo
de um critério de parada (es).
• Sempre devemos fornecer um número máximo de iterações
(maxIt) para não corrermos o risco de loop infinito.
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Estimativa de Erro – Algoritmo (I)
function [ fx, eA, it ] = MetodoIteracao( x, es, maxIt )
% Série de Maclaurin da função exponencial
% [ fx, eA, iter ] = MetIt( x, es, maxIt )
% Entradas:
% x : valor no qual a série é avaliada
% es : Critério de parada ( opcional com padrão = 0.0001)
% maxIt : Número máximo de iterações ( opcional com padrão = 50)
% Saída:
%
fx : valor estimado.
%
eA : erro relativo aproximado (%)
%
it: número de iterações
% padrões
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Estimativa de Erro – Algoritmo (II)
function [ fx, eA, it ] = MetodoIteracao( x, es, maxIt )
if nargin < 2
es = 0.0001;
end
if nargin < 3
maxIteracoes= 50;
end
it = 1; solucao =1; eA = 100;
while (eA > es) && (it < maxIt)
solucaoAnterior = solucao;
solucao = solucao + x^it/factorial(it);
if solucao ~= 0
eA = abs( (solucao - solucaoAnterior)/solucao)*100;
end
it = it + 1;
end
fx = solucao;
end
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Exercício 01
O método babilônico, um antigo sistema para aproximação
de raiz quadrada de qualquer número positivo a, pode ser
formulado como:
a
x
x
x
2
Escreva uma função para implementar esse algoritmo, com
base no exemplo apresentado anteriormente.
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Exercício 01 (Continuação)
function [fx,ea,iter] = RaizQuadrada(a,es,maxit)
% Entrada:
% a = value a ser calculado a raiz
% es = criterio de parada (padrão = 0.0001)
% maxit = número max iterações (padrão = 50)
% output:
% fx = valor estimado
% ea = erro relativo aproximado (%)
% iter = número de iterações
>> [fx,ea,iter] = RaizQuadrada(2)
fx = 1.414213562373095
ea = 1.127797413072556e-10
iter = 6
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Exercício 02
A expansão em série de Maclaurin para cos(x) é dada por:
2 x 4 x6 x8
x
cos  x   1     ...
2 4! 6! 8!
Começando com uma versão mais simples, cos(x)=1, some
termos um a um para estimar cos(x). Depois que cada novo
termo for somado, calcule os erros relativos percentuais
verdadeiro e aproximado. Some termos até que o valor
absoluto da estimativa aproximada de erro fique abaixo de
um critério de erro. Use valores padrões caso não sejam
informados o critério de erro e o número máximo de
iterações. Teste a função para pi/4 e es=0.001. Monte uma
tabela com os resultados obtidos.
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Exercício 02 ( Continuação)
function McCosseno(a,es,maxit)
% Entrada:
% a = value a ser calculado o cosseno
% es = criterio de parada (padrão = 0.0001)
% maxit = número max iterações (padrão = 50)
>> McCosseno(pi/4)
**************************************************************
Iteração Solução
Erro V
Erro A
1
1.0000000
41.421356
100.000000
2
0.6915749
2.196545
44.597506
3
0.7074292
0.045598
2.241121
4
0.7074256
0.045090
0.000508
5
0.7074256
0.045090
0.000000
*****************************************************************
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Tipos de Erros
Erros de Arredondamento
Os erros de arredondamento devem-se ao fato de que os
computadores digitais não podem representar algumas quantidades de forma
exata levando a resultados errados.
Os erros de arredondamento estão relacionados à maneira como os
números são armazenados no computador.
Erros de Truncamento
Os erros de truncamento resultam do uso de aproximação no lugar de
um procedimento matemático exato. Por exemplo, no capítulo 1 aproximamos
a derivada da velocidade do saltador de bungee jumping.
dv v v  ti 1   v  ti 


dt t
t
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