3º SÉRIE E. M.

GEOMETRIA
3º SÉRIE E. M.
MATEMÁTICA CAIO
DESIGUALDADES TRIANGULARES
1. (INSPER) Um menino tem como passatempo construir
triângulos com palitos de fosforo idênticos, como o
mostrado na figura abaixo.
Observe que, para formar cada lado do triangulo, os palitos
são colocados alinhados, com suas extremidades se
tocando. Além disso, ele sempre usa um número inteiro de
palitos em cada lado.
a) Se quiser usar exatamente 8 palitos para construir um
triangulo nessas condições, quantos palitos serão usados
em cada lado?
b) Considerando que cada palito tem comprimento 1
“palito”, calcule a área do triangulo descrito no item (a) em
“palitos quadrados”.
2. (INSPER) A desigualdade triangular é um princípio da
geometria que estabelece o seguinte:
“Qualquer lado de um triangulo é sempre menor do que a
soma dos outros dois”.
Considere que A, B, C e D são vértices de um quadrilátero.
Se AC é uma das diagonais desse quadrilátero, a única
afirmação que não é necessariamente verdadeira é:
a) AC < AB + BC
b) AC < AD + DC
c) AB < AC + BC
d) DC < AC + DC
e) DC < AB + BC
3. Num triângulo ABC tem-se AB = 9, AC = x e BC = 15 −
2x. Quais são os valores possíveis de x?
4. Prove que se dois ângulos de um triângulo não são
congruentes, então os lados opostos a eles não são
congruentes, e o maior lado é oposto ao maior ângulo.
5. Considere os números 8, 8 e x². Dê os valores inteiros de
x de modo que esses números possam ser as medidas dos
lados de um triangulo?
6. Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triangulo. Se
a é a medida do maior lado, prove que a < (a + b + c)/2.
7. Mostre que a = r.s, b = (r² - s²)/2 e c = (r² + s²)/2, r > s,
são as medidas dos lados de um triangulo retângulo.
8. (ENEM) Uma criança deseja criar triângulos utilizando
palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada
triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo
menos um dos lados do triângulo deve ter o
comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um
triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a
dois que podem ser construídos é:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
9. Dois lados de um triângulo medem 8 cm e 12 cm.
Responda:
a) Qual a menor número par que pode ser o terceiro lado
deste triângulo?
b) Qual a maior número ímpar que pode ser o terceiro lado
deste triângulo?
c) Qual o menor número primo que poder ser o terceiro lado
deste triângulo?
10. (UNICAMP) a) Quantos são os triângulos não
congruentes cujas medidas dos lados são números inteiros
e cujos perímetros medem 11 metros?
b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são
equiláteros? E quantos são isósceles?
11. (PUC-MG) Sabe-se que, em um triângulo, a medida de
cada lado é menor que a soma dos comprimentos dos
comprimentos dos outros dois lados. Uma afirmativa
equivalente a essa é:
a) A menor distância entre dois pontos é igual ao
comprimento do segmento da reta que os une.
b) Em um triangulo retangulo, a hipotenusa é o mair dos
lados
c) Ao lado menor de um triangulo, opõe-se o menor angulo
d) Em um triangulo isósceles, a altura relativa à base dividese em dois segmentos do mesmo comprimento.
12. Num triangulo ABC, tem-se que AB = x, BC = y e AC =
z. Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) x < y + z
b) y < x + z
c) z < x + y
d) |y – z| < x < y + z
e) x + y < z
GABARITO
1) a) 3, 3 e 2
8) A
b) 2√
9) a) 6 b) 19
2) B
c) 5
3) 2 < x < 6
5) {-3, -2, -1, 1, 2, 3}
10) a) 4 b) 0 e 3
11) C
12) E