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Lista 6 de CF368 - Eletromagnetismo I
Fabio Iareke <[email protected]>
1 de novembro de 2013
Exercı́cios propostos pelo prof. Ricardo Luiz Viana <[email protected]>, retirados de [1].
Obs.:
Resoluções (Soluçãorlv ) foram ’baseadas’ na resolução do professor.
Capı́tulo 8
8-1 Uma partı́cula carregada, de massa m e carga q, desloca-se num campo de indução magnética
~ 0 . Demonstre que o movimento mais geral da partı́cula descreve uma hélice cuja
uniforme B
seção reta é um cı́rculo de raio R = mv⊥ /qB. (Aqui v⊥ é a componente da velocidade da
~0.
partı́cula perpendicular a B
8-3 Um próton de velocidade 107 m/s é lançado em ângulo reto com um campo de indução
magnética uniforme de 0, 1 T. (a) De quanto a trajetória da partı́cula se desvia de uma linha
reta depois de percorrida uma distância de 1 cm? (b) Quanto tempo leva o próton para
percorrer um arco de 90o ?
Soluçãorlv :
(a)
mv1
= 1, 043 m
eB
l
l = Rθ → θ =
= 9, 59 × 10−3 rad
R
δx = R − R cos θ = R(1 − cos θ)
2
θ2
R l
l2
cos θ ≈ 1 −
∴ δx ≈
=
≈ 4, 8 × 10−5 m
2
2 R
2R
R=
(b)
v1 =
2πR
T
∴
T =
2πm
eB
(c)
t=
1
T = 1, 64 × 10−7 s
4
1
8-7 Dado um circuito de corrente na forma de um hexágono regular de lado a, se o circuito
conduzir a corrente I, encontre a indução magnética no centro do hexágono.
Soluçãorlv :
Bhexa = 6B
Z ~
dl1 × (~r2 − ~r1 )
~ r2 ) = µ0 I
B(~
4π
|~r2 − ~r1 |3
onde ~r2 é o ponto de observação e ~r1 é de integração.
√
a
a 3
~r2 = a cos θx̂ + a sin θŷ = x̂ +
ŷ
2
2
~r1 = xx̂ , d~l1 = dxx̂
√
a
a 3
~r2 − ~r1 =
− x x̂ +
ŷ
2
2
√
a 3
dxẑ
d~l × (~r2 − ~r1 ) =
2
então,
√ Z a
µ
I
a
3
0
~ r2 ) =
B(~
ẑ
h
4π 2
0
a
2
dx
2
−x +
3a2
4
i3/2 =
µ0 I
√ ẑ
2πa 3
∴
0I
~ r2 )hexa = 4µ√
B(~
ẑ
πa 3
8-12 A indução magnética num ponto sobre o eixo (eixo z) de uma espira circular que conduz uma
corrente I é dada pela Equação
µ0 I
a2
~
B(z)
=
B
k̂
2 (z 2 + a2 )3/2
~ = 0, obtenha uma expressão aproximada para Br (componente
Tendo em vista que ∇ · B
radial do campo magnético) que seja válida para pontos muito próximos do eixo.
Solução:
Da equação fornecida temos que a componente Bz do campo é
Bz (z) =
µ0 Ia2
2(a2 + z 2 )3/2
Para encontrar Br , próximo ao eixo (r a) partimos de
~ =0
∇·B
tal que
0 (simetria)
>
1 ∂B
∂Bz
1 ∂
θ
(rBr ) + +
=0
∇·B =
r ∂r
r ∂θ
∂z
2
assim
1 ∂
(rBr )
r ∂r
1 ∂
(rBr )
r ∂r
∂
(rBr )
∂r
∂
µ0 Ia2
−
∂z 2(a2 + z 2 )3/2
−5/2
µ0 Ia2
3
2z
−
−
a2 + z 2
2
2
3µ0 Ia2
z
r
2
2
(a + z 2 )5/2
Z
3µ0 Ia2
z
r dr
2
(a2 + z 2 )5/2
3µ0 Ia2
z
r2
+C
2
(a2 + z 2 )5/2 2
=
=
=
rBr
=
rBr
=
∴
Br ≈
3µ0 Ia2
zr
2
4
(a + z 2 )5/2
8-16 Usando a lei circuital de Ampère, encontre a indução magnética a uma distância r do centro
de um fio comprido que conduz uma corrente I. Faça isso para r > R e r < R, onde R é o
raio do fio. Demonstre explicitamente que a indução magnética se anula sobre o eixo do fio.
8-17 Um condutor cilı́ndrico, de raio b, contém uma cavidade cilı́ndrica de raio a; o eixo da cavidade
é paralelo ao eixo do condutor e está a uma distância s deste, a < s < b − a. O condutor
~ na cavidade, sobre o
~ Encontre o campo B
J.
cond uz uma densidade de corrente uniforme J
diâmetro que coincide com um diâmetro do condutor. (Sugestão: Trate uma distribuição de
corrente equivalente com densidade J~ em toda a extensão da cavidade e condutor, mais −J~
na cavidade.)
Soluçãorlv :
~ =
B
~ 1 (J)
~
B
| {z }
sem cavidade
:0
J)
~ 2
~
B
(−
+
| {z }
cavidade
I0
J= 2
πs
I
~ 1 · d~l = µ0 I 0 = µ0 πs2 J
B
B1 (2πs)
∴
B1 =
µ0 Js
2
8-19 Um toróide é enrolado uniformemente, como é mostrado na Fig. 11-2. Tem N espiras que
conduzem uma corrente I. O raio interno do toróide é a, o externo é b. Encontre a indução
magnética em vários pontos no interior do enrolamento toroidal. Encontre a razão b/a que
~ não varie no anel por mais de 25%.
permitirá que B
3
Soluçãorlv :
I
(
B1 (2πr) =
~ 1 · d~l = µ0 N I
B
0N I
B = µ2πr
B=0
B(a) =
µ0 N I
2πa
,
(a < r < b)
(r < a) ou (r > b)
B(b) =
µ0 N I
2πb
variação relativa:
1
B(a) − B(b)
× 100% = 25% = 0, 25 =
B(a)
4
1−
B(b)
1
B(b)
3
a
= ⇒
= =
B(a)
4
B(a)
4
b
∴
b
4
=
a
3
8-20 Demonstre que o potencial vetorial magnético para dois fios compridos, retos e paralelos, que
conduzem à mesma corrente, I, em sentidos opostos é dado por
~ = µ0 I ln r2 n̂
A
n̂,
2π
r1
onde r2 e r1 são as distâncias do ponto do campo até os fios e n̂ é um vetor unitário paralelo
aos fios.
Soluçãorlv :


 Ar = 0
µ0 I
~
~
θ̂ = ∇ × A → Aθ = 0
B=

2πr

Az = Az (r)
∂Ar
∂Az
µ0 I
−
=
∂z
∂r
2πr
Z
Z
µ0 I
µ0 I
dr
dAz = −
⇒ Az (r) = −
ln r + C
2π
r
2π
Para dois fios infinitos (C = 0).
Az (r) = −
µ0 I
µ0 (−I)
ln r1 −
ln r2
2π
2π
∴
µ0 I
Az (r) =
ln
2π
r2
r1
8-21 É dado o seguinte conjunto de condutores: um fio reto, infinitamente longo, circundado por
uma fina casca cilı́ndrica de metal (de raio b), disposta coaxialmente com o fio. Os dois condutores conduzem correntes iguais porém opostas, I. Encontre o potencial vetorial magnético
do sistema.
I
~ = φ, onde φ é o fluxo magnético através da superfı́cie limitada pelo
~ dl
8-22 (a) Demonstre que
A
A·
C
~ a uma distância r
circuito C. (b) Use este resultado e os do Problema 8-18 para encontrar A
~ =B
~
fora (r > a) e dentro (r < a) de um solenóide muito comprido. (c) Verifique se ∇ × A
B.
4
~ externo a um fio reto, comprido, que conduz uma corrente I, é
8-25 Demonstre que o campo B
derivável de um potencial escalar
1
ϕ∗ = − θ
2π
em coordenadas cilı́ndricas, e que ϕ∗ satisfaz a equação de Laplace. Por que este ϕ∗ não é
um dos harmônicos cilı́ndricos (como seria no caso do potencial eletrostático de uma linha de
carga)?
Soluçãorlv :
~ = −µ0 ∇ϕ∗
B
µ0 I
θ̂
2πr
µ0 I
µ0 ∂ϕ∗
=
−
r ∂r
2πr
Z
Z
I
dϕ∗ = −
dθ
2π
−µ0 ∇ϕ∗ =
Iθ
2π
I
∇2 ϕ∗ = ∇ · ∇ϕ∗ = ∇ · − θ = 0
2π
ϕ∗ = −
(funções multivaloradas)
eletrostática → harmônicos cilı́ndricos (funções univaloradas)
Referências
[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética 3a edição, Editora Campus Ltda. Rio de Janeiro
5