Matriz identidade (I) É uma matriz quadrado onde todos os

Matriz identidade (I)
É uma matriz quadrado onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os
demais elementos são todos 0. É o elemento neutro da multiplicação.
Exemplo:
[
] .[
]=[
]
Matriz inversível
Uma matriz A é inversível se existe matriz A-1, tal que A . A-1 = A-1 . A = I. A matriz A-1 é a
inversa da matriz A.
Exemplo de matriz inversível: [
Exemplo de matriz não inversível: [
], pois ...
], pois ...
Fato 1: Todas as matrizes inversíveis são quadradas.
Fato 2: A inversa de uma matriz é única.
Fato 3: Se A é uma matriz inversível temos, (A-1)-1 = A.
Fato 4: Se o determinante de A é diferente de 0, A é uma matriz inversível.
Fato 5: Se duas matrizes A e B são inversíveis então a matriz produto também é inversível e
sua inversa é dada por (AB)-1 = B-1A-1.
Fato 6: Sendo At a transposta da matriz A vale a igualdade (At)-1 = (A-1)t.
Um procedimento para obter a inversa de uma matriz A
Antes vamos observar o seguinte:
Na resolução da equação matricial Ax = b (sistema de equações lineares), temos:
�
[
] . [� ] = [ ]
� +
�
� +
� ]
Normalmente resolvemos tal sistema escalonando a matriz ampliada do sistema:
�
]
]~…~[
[
�
A | b
I | solução
Onde a matriz Ax é [
Comparando-se as matrizes A e I, temos que
e
se tornaram 1 e
e
se
tornaram 0. Note que, substituindo esses valores na matriz Ax, ficamos com uma matriz coluna
com elementos x1 e x2, o que justifica o fato da última coluna da matriz ampliada na forma
escada ser a matriz coluna que é solução de um sistema possível e determinado.
�
Agora vamos tentar encontrar a matriz A-1= [�
matricial A . A-1 = I.
�
� ] resolvendo a equação
�
�
] . [�
]
� ]=[
� +
�
� +
�
Onde a matriz A . A-1 é [
� +
�
� +
� ]
Normalmente resolvemos tal sistema escalonando a matriz ampliada do sistema:
�
�
|
| �
[
]~…~[
� ]
A
I
Comparando-se as matrizes A e I, temos que
e
se tornaram 1 e
e
se
-1
tornaram 0. Note que, substituindo esses valores na matriz A . A , temos:
�
�
.� + .�
.� + .�
[
] = [�
� ]
.� + .�
.� + .�
Isso justifica o fato das últimas duas colunas da matriz ampliada na forma escada
formarem a matriz inversa da matriz inversa da matriz A.
[
=[
].
Exemplo 2: Determinar a matriz inversa de
=[
Exemplo 1: Determinar a inversa de
−
−
−
].
Observação: Utilizar a matriz inversa pode ajudar na resolução de sistemas de equações
lineares.
A.x=b
A-1 . A . x = A-1. b
I . x = A-1. b
x = A-1. b
Exemplo 3: Resolver o sistema de equações x + 2y = 7 e x = 3, utilizando a observação acima.