Grupos-III

CONJUGADO
Seja G um grupo
Conjugado de x por y, que se denota por [x]y, é o elemento de G tal que
[x]y = y-1xy.
COMUTADOR
Comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G, tal que
[x, y] = xyx-1y-1.
EXERCÍCIOS: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por
a + b + ab.
Calcule:
(a) o conjugado de 3 por 5.
(b) O comutador de 3 e 5.
SUBGRUPOS
Definição 1 - Seja H um subconjunto não vazio de um grupo (G,*).
Diz-se que H é um subgrupo de G se (H, *) for também um grupo.
Denota-se então H < G.
EXEMPLOS:
(1) Seja H = { vi = (xi, yi, zi), (xi, yi, zi)  R3},onde v1  v2 =
(x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3).
H é um grupo, sendo (0, 0, 0) o elemento neutro e (-x, -y, -z)
o inverso de(x, y, z).
Se G = {vi = (0, yi, zi), yi, zi  R}, então (G,*) é um subgrupo de H.
(2) (Q+, x) com a operação multiplicação é um subgrupo de (R+, x)
(3) O conjunto das n-ésimas raízes da identidade um (1), n  N,
é um subgrupo do grupo C* (números complexos não nulos).
(4) O conjunto {1} é um subgrupo trivial de R* em relação à multiplicação.
Definição 2 - Um subgrupo H de G é dito impróprio ou trivial se H = {n}
onde n é o elemento neutro de G.
Todos os outros subgrupos são chamados próprios ou não triviais.
PROPRIEDADES
(1) Se (H, *) é um subgrupo de (G, *), o neutro de G coincide com o
neutro de H.
(2) (a * b)-1 = b-1* a-1
Demonstração:
(a *b)–1 é o inverso de (a* b). (i)
Inverso à direita
(a*b)*(b-1*a-1) = a*(b*b-1)*a-1 (pela propriedade associativa do grupo).
= a*n*a-1 (inverso) = a*a-1 (neutro) = n (inverso)
Inverso à esquerda
Do mesmo modo se prova que (b-1*a-1)* (a*b) = n
(3) (a-1)-1 = a
Demonstração: (a-1)-1*(a-1) = n (a-1) é o inverso de (a-1)-1.
Mas, (a-1) é o inverso de a.
Como o inverso é único, a = (a-1) -1.
CONDIÇÕES PARA EXISTÊNCIA DE SUBGRUPO
GRUPO INFINITO
1º CASO
(1) x, y  H, x*y  H (2)  x  H, x-1  H.
2º CASO
 x, y  H, x*y-1  H.
GRUPO FINITO
 x, y  H, x*y  H.
Pode-se também verificar o fechamento, a existência do neutro
e do inverso.
GRUPOS CÍCLICOS
Definição 1
Um elemento a  G é dito gerador do grupo (G, *) se,
m  G, existe m’  G, tal que m’ = a*m.
Definição 2
Todo grupo (G, *) gerado por um único elemento de G é denominado
grupo cíclico gerado por a.
O grupo gerado pelo elemento a é indicado por <a> .
Teorema 1
Se a  (G, *), então H = {am, m  Z} é o grupo cíclico de G, gerado
por a. Ou seja, <a> = {am | m  Z}.
Exemplo
1 - (Z, +) é um grupo gerado por 1 pois, para cada m’  Z, m’ = m + 1,
logo Z = {m + 1 | m  Z} = <1>.
Também, (Z, +), é gerado por qualquer outro elemento de Z.
2 – (Z4, +).
(a) Todo elemento de Z4 é gerador de Z4.
: 0 + 0 = 0,
: 1 + 0 = 1,
: 2 + 0 = 2,
: 3 + 0 = 3,
0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3
1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 0.
2 + 1 = 3, 2 + 2 = 0, 2 + 3 = 1.
3 + 1 = 0, 3 + 2 = 1, 3 + 3 = 2.
(b) (Z4, +) é um grupo cíclico pois pode ser existem x, tais que
xm = a, onde a é qualquer elemento de Z4.
Os geradores cíclicos de Z4 são 1 e 3.
<1> = {10 = 0, 11 = 1, 12 = 1 + 1 = 2, 13 = 1 + 1 + 1 = 3
<3> = {30 = 0, 31 = 3, 32 = 3 + 3 = 2, 33 = 3 + 3 + 3 = 1
<1> = <3>