Introdução à Dinâmica de Rotores

Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Mecânica
Grupo de Análise e Projeto Mecânico
Introdução à Dinâmica de Rotores
Prof. José Carlos Pereira
Florianópolis, janeiro de 2005
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 4
Modelo massa/mola ................................................................................................... 5
Movimento de um sistema rotativo .......................................................................... 7
Análise do modelo Jeffcott rotor ............................................................................ 10
Significado físico das soluções.
soluções.............................................................................. 12
Três formas de reduzir a amplitude do giro síncrono .......................................... 13
Algumas definições sobre amortecimento ............................................................ 14
Efeito de mancais flexíveis ..................................................................................... 14
Instabilidade em rotores.
rotores.......................................................................................... 18
Efeito da anisotropia dos mancais no amortecimento ......................................... 19
2 - EQUAÇÕES DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DE ROTOR .................................. 23
2.1 - Energia cinética do disco.
disco................................................................................ 23
2.1 - Energia de deformação do eixo em flexão .................................................... 25
2.3 - Energia de deformação do eixo devido a uma força axial ........................... 30
2.4 – Mancais ............................................................................................................ 31
2.5 – Equações de movimento do rotor ................................................................. 32
3 – MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ .............................................................................. 33
3.1 – Rotor isotrópico bi-apoiado ........................................................................... 33
3.1.1 – Diagrama de Campbell para rotores isotrópicos................................... 34
3.1.2 – Resposta do rotor a um desbalanceamento .......................................... 37
3.1.3 – Diagrama de Campbell do rotor com uma força axial........................... 43
3.1.4 – Resposta do rotor à uma força assíncrona............................................ 47
3.1.5 – Resposta do rotor à uma força fixa no espaço...................................... 49
3.2 – Rotor anisotrópico bi-apoiado ....................................................................... 53
3.3 – Efeito dos termos de acoplamento nos mancais ......................................... 59
3.4 – Efeito do amortecimento dos mancais ......................................................... 63
3.5 – Efeito do amortecimento interno ................................................................... 66
3.3 – Rotor isotrópico em balanço ......................................................................... 71
4 – RESPOSTA TRANSIENTE DO ROTOR ................................................................. 78
4.1 – Equações e soluções.
soluções...................................................................................... 78
4.2 – Exemplos de aplicação.
aplicação................................................................................... 82
Rotor isotrópico ....................................................................................................... 82
Rotor anisotrópico ................................................................................................... 85
4.3 – Fadiga em eixos de rotores.
rotores............................................................................ 89
5 – BALANCEAMENTO EM ROTORES.
ROTORES....................................................................... 94
5.1 – Introdução ....................................................................................................... 94
5.2 – Princípio básico do balanceamento .............................................................. 94
5.3 – Método dos Coeficientes de Influência ......................................................... 96
6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À DINÂMICA DE ROTORES
.................................................................................................................................... 108
5.1 – Matrizes de um elemento de disco .............................................................. 109
5.2 – Matrizes de um elemento de eixo ................................................................ 110
5.3 – Matrizes de rigidez e de amortecimento dos mancais.
mancais............................... 115
5.4 – Efeito de uma massa desbalanceadora ...................................................... 116
5.5 – Equações de movimento do rotor ............................................................... 118
5.6 – Propriedades dos modos ............................................................................. 121
5.7 – Técnica de montagem das matrizes globais .............................................. 123
5.8 – Exemplos de aplicação.
aplicação................................................................................. 124
Rotor bi-apoiado – caso 1 ..................................................................................... 124
Rotor bi-apoiado – caso 2 ..................................................................................... 125
Rotor bi-apoiado – caso 3 ..................................................................................... 126
Rotor em balanço – caso 1.
1.................................................................................... 127
Rotor em balanço – caso 2.
2.................................................................................... 128
Rotor em balanço – caso 3.
3.................................................................................... 129
6 – ANEXOS ............................................................................................................... 131
6.1 – Vibrações forçadas (Jeffcott rotor) ............................................................. 131
6.2 – Vibrações livres (Jeffcott rotor) ................................................................... 139
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 143
4
Introdução à Dinâmica de Rotores
1 - INTRODUÇÃO
As mais comuns máquinas rotativas, também denominadas de rotores, podem
ser turbo-compressores, turbinas de aviões, turbinas à vapor para a produção de
energia elétrica, etc.
A grande capacidade dos rotores de gerar energia mecânica vem da alta
velocidade a qual seus eixos são submetidos. Associado à essa alta velocidade estão
altas cargas devido a inércia de seus componentes e potenciais problemas de vibração
e instabilidade dos rotores. A previsão do comportamento de rotores através de
modelos matemáticos é relativamente bem sucedida quando comparado com medições
experimentais. No entanto, a intuição humana pode muitas vezes levar à conclusões
incorretas, como por exemplo, a massa desbalanceadora permanecerá internamente à
órbita realizada pelo eixo do rotor em altas velocidades, assim como o aumento do
amortecimento pode causar instabilidade também em altas velocidades.
Em análises do comportamento dinâmico de rotores, os estudos mais
freqüentemente realizados são:
o Previsão das velocidades críticas: Velocidades nas quais a vibração devido ao
desbalanceamento do rotor é máxima;
o Modificações de projeto de forma a alterar as velocidades críticas: Quando é
necessário alterar a velocidade de operação do rotor, modificações no projeto do
rotor são necessárias para alterar as velocidades críticas;
o Prever as freqüências naturais das vibrações torsionais: Quando vários eixos
estão acoplados (por exemplo, caixa de engrenagens) e estes eixos são
excitados pelas pulsações do motor durante o start-up;
o Calcular as massas de correção e suas localizações a partir de dados de
vibração: Balanceamento de rotores;
o Prever as amplitudes de vibração causadas pelo desbalanceamento do rotor;
o Prever as freqüências de vibração nas instabilidades dinâmicas: Nem sempre
simples de ser alcançado, haja visto que nem todas as forças desestabilizadoras
são conhecidas;
o Modificações de projeto para eliminar instabilidades dinâmicas.
Introdução à Dinâmica de Rotores
5
Modelo massa/mola
O modelo mais simples para análise de vibração de rotores é o modelo
massa/mola, com somente um grau de liberdade, no qual a massa é considerada
rígida, Figura 1.1c. A primeira velocidade crítica de um sistema rotor/mancais pode ser
aproximado por um modelo massa/mola, da forma:
N1 =
60 k
2π m
(1.1)
rpm
Z
m
(a)
Y
KB
KB
Z
(b)
EI
EI
Y
m
F(t) = mω2u senωt
(c)
Z(t)
m
t
k = 2KB ou 48EI/
3
Figura 1.1 – Modelo rígido e flexível de rotor modelados como massa/mola
6
Introdução à Dinâmica de Rotores
onde k é a rigidez efetiva do rotor para o primeiro modo e m é a massa efetiva.
Para um rotor que é relativamente rígido comparado à rigidez do mancal, a
massa efetiva é a massa do disco e do eixo, e a rigidez efetiva é a rigidez de todos os
mancais trabalhando em paralelo, Figura 1.1a. Para um rotor que é relativamente
flexível comparado à rigidez do mancal, a rigidez efetiva é determinada pela rigidez em
flexão do eixo. Neste caso somente uma porção da massa do eixo contribui para a
massa efetiva no modelo, já que a massa do rotor próxima dos mancais quase não
participa do movimento de vibração, Figura 1.1b.
Deve ser enfatizado que este modelo simples não pode ser utilizado em
análises mais complexas de dinâmica de rotores, já que neste modelo se executa um
movimento em uma única direção, enquanto que, um rotor executa movimentos em
duas direções ortogonais X e Z, formando uma órbita de diferentes forma. A forma da
órbita depende das amplitudes e das fases entre os movimentos em X e Z, Figura 1.2a.
Z
X
t
Z
m
t
.
k
X
(a)
(b)
Z
Z
α
X
X
(c)
(d)
Figura 1.2 – Combinações dos movimentos em X e Z produzindo órbitas: (b) circular, (c)
eliptica e (d) translacional
Introdução à Dinâmica de Rotores
7
Um modelo mais elaborado para evidenciar o surgimento das velocidades
críticas em rotores consiste de um disco rígido desbalanceado montado sobre um eixo
flexível e mancais rígidos, Figura 1.3. Este modelo de rotor chamado de Jeffcott rotor,
explica como a amplitude se torna máxima na velocidade crítica e porque a massa
desbalanceadora se movimenta internamente à órbita do rotor.
Massa desbalanceadora
Disco rígido
Eixo elástico
Mancal rígido
/2
Figura 1.3 – Modelo Jeffcott rotor
Movimento de um sistema rotativo
Um sistema rotativo, que ser pode composto basicamente de um eixo, um disco
e mancais, realiza dois movimentos rotativos superpostos: rotação em torno de si
próprio (rotação própria ou spin) e rotação do eixo defletido em torno de sua
configuração não defletida (precessão ou whirl). A órbita que realiza o centro
geométrico pode ter uma trajetória no mesmo sentido que a rotação própria do rotor,
movimento caracterizado como precessão direta (forward whirl), ou ter sentido oposto,
caracterizado como precessão retrógrada ou inversa (backward whirl), Figura 1.4. Os
problemas mais destrutivos em máquinas rotativas ocorrem quando as precessões são
inversas.
8
Introdução à Dinâmica de Rotores
Z
Z
rotação do
rotor
X
X
sentido da
órbita
sentido da
órbita
(b) precessão inversa
(a) precessão direta
Figura 1.4 – Movimentos de precessão (a) direta (forward) e (b) inversa (backward)
Os movimentos de precessão podem também ser sincronizados com a rotação
do rotor ou não. Normalmente, as precessões síncronas ocorrem devido ao
desbalanceamento de um rotor, no entanto, nem todas as precessões são síncronas.
Para o entendimento deste comportamento do rotor, considere a Figura 1.5 na
qual é mostrado a precessão do rotor a partir da vista de uma de suas extremidades. O
elemento hachurado representa uma massa desbalanceadora. Na Figura 1.5a, a taxa
i
de variação do ângulo φ ( φ ) é a velocidade de precessão. Se o ângulo β, entre o vetor
força de excitação (U) e o vetor velocidade de precessão (V) (ou resposta), permanecer
constante, a velocidade de precessão e a rotação do eixo (Ω) são as mesmas
i
(precessão síncrona). Na Figura 1.5b, a taxa de variação do ângulo β ( β ) é a
velocidade de rotação do rotor, relativa ao vetor velocidade de precessão V. Portanto, a
i
i
i
velocidade do rotor é a soma de Ω = β+ φ . Neste caso, a velocidade da precessão φ e
a velocidade do rotor Ω não são as mesmas (precessão não síncrona).
Introdução à Dinâmica de Rotores
9
O motivo pelo qual as precessões inversas são destrutivas vem do fato deste
movimento altenar as tensões normais na seção transversal do eixo, podendo levá-lo a
falha por fadiga. As Figuras 1.6 e 1.7 ilustram a evolução das tensões na seção
transversal ao longo de uma trajetória orbital em diferentes situações.
V
Z
φ
i
Z
V
φ=Ω
i
β
φ
U
X
X
i
eixo
disco
β
(a)
(b)
Figura 1.5 – (a) Precessão síncrona e (b) precessão não síncrona
A'
A'
i
A'
A
φ = −Ω
A
A
A'
A'
i
- A
φ=Ω
A
(a) precessão direta
A'
Ω
A
i
Ω = φ+ β
i
+
(b) precessão inversa
Figura 1.6 – (a) Precessão direta e (b) precessão inversa (ambos síncronos)
Ω
10
Introdução à Dinâmica de Rotores
A
A'
ΩA
φ=−
2
i
A'
A'
Ω
A'
A
i
φ=
Ω
2
A
A'
(a) precessão direta
Ω
A'
A
A
(b) precessão inversa
Figura 1.7 – (a) Precessão direta e (b) precessão inversa (ambos não síncronos)
Análise do modelo Jeffcott rotor
A Figura 1.8 apresenta a vista de uma das extremidades do modelo Jeffcott
rotor realizando uma precessão. O centro de massa está em M. O ponto C localiza o
centro geométrico do disco. O deslocamento estático do desbalanceamento é d = CM e
a deflexão do eixo do rotor devido as cargas dinâmicas é r = OC . A força de gravidade
é considerada desprezível comparada às forças dinâmicas.
O eixo do rotor é considerado ter rigidez k, o disco tem massa m, o
amortecimento viscoso do conjunto é c e a velocidade de rotação do rotor é Ω. As
equações diferenciais que fornecem o movimento do centro disco em coordenadas
cartesianas X e Z são da forma :
ii
i
ii
i
m X + c X + kX = mΩ2d senΩt
2
mZ + c Z + kZ = mΩ d cosΩt
(1.2)
Introdução à Dinâmica de Rotores
11
A solução da eq. (1.2) para a precessão síncrona é1:
X=
Z=
Ω 2d
(k / m − Ω )
2 2
+ ( cΩ / m )
sen(Ωt − β)
2
Ω 2d
(k / m − Ω )
2 2
+ ( cΩ / m )

cΩ
β = tan−1 
 m k / m − Ω2

(
)
cos(Ωt − β)
2
(1.3)




Da Figura 1.8, conclue-se que a deflexão do eixo do rotor é:
r = X2 + Z 2 =
Ω2 d
(k / m − Ω )
2
2
+ ( cΩ / m )
(1.4)
2
Z
φ
β
M
X
d
r
C
O
Figura 1.8 – Jeffcott rotor realizando uma precessão
1
A determinação das equações diferenciais de movimento se encontram em anexo
12
Introdução à Dinâmica de Rotores
Significado físico das soluções
A Figura 1.9a mostra como a amplitude da precessão síncrona aumenta com a
aproximação da velocidade crítica, e após a passagem pela velocidade crítica, diminui e
se aproxima assintoticamente do deslocamento estático d do desbalanceamento nas
velocidades supercríticas (acima das velocidades críticas). Desta forma, em altas
velocidades, a amplitude em precessão síncrona pode ser pequena com o
balanceamento do rotor.
Amplitude do
giro síncrono r
pequeno
amortecimento
grande
amortecimento
d
k
Velocidade
do eixo Ω
m
(a)
Ângulo de fase β
180°
grande
amortecimento
90°
Velocidade
do eixo Ω
pequeno
amortecimento
0°
k
m
(b)
Figura 1.9 – Resposta à um desbalanceamento do Jeffcott rotor
Introdução à Dinâmica de Rotores
13
Em velocidades próximas da velocidade crítica, pode ser visto que o parâmetro
mais importante para a redução da amplitude é o amortecimento.
A Figura 1.9a também fornece a definição de velocidade crítica: velocidade na
qual a resposta síncrona devido ao desbalanceamento é máxima. A Figura 1.9b
explica a razão pela qual a amplitude se aproxima assintoticamente do deslocamento
estático d do desbalanceamento. Quando a velocidade crítica é atravessada, o ângulo β
passa por 90° e se aproxima de 180° nas velocidades supercríticas. Assim, para altas
velocidades, o centro de massa M gira internamente à órbita realizada pelo disco, e o
centro do disco C gira em torno do centro de massa M com uma amplitude igual ao
deslocamento estático d do desbalanceamento. Este fenômeno é chamado de inversão
da velocidade crítica. Observa-se que o centro de massa M se mantém externamente a
órbita realizada pelo disco nas baixas velocidades Ω < k
m
, e o desbalanceamento
está defasado de 90° do vetor V na velocidade crítica não amortecida ( k
m
).
Três formas de reduzir a amplitude do giro síncrono
Da observação da Figura 1.9, pode-se concluir que as três formas de reduzir a
amplitude do giro síncrono são: (1) balancear o rotor (minimizando a massa M), (2)
alterar a velocidade de rotação do rotor Ω (distante da velocidade crítica) e (3) adicionar
amortecimento no sistema rotor/mancais. Balancear o rotor é a forma mais direta de
resolver o problema, já que isto ataca o problema na sua fonte. A segunda opção pode
ser alterar a velocidade de operação do rotor ou alterar a velocidade crítica,
modificando a rigidez dos mancais. Se o rotor deve atravessar uma velocidade crítica e
isto não pode ser evitado, então a forma mais efetiva de reduzir a amplitude é
adicionando amortecimento em mancais flexíveis ou utilizando mancais com filme de
óleo.
14
Introdução à Dinâmica de Rotores
Algumas definições sobre amortecimento
É muito comum quantificar o amortecimento presente em rotores em termos de
porcentagem do amortecimento crítico ccr. O coeficiente de amortecimento crítico é o
valor requerido de amortecimento para suprimir completamente qualquer vibração no
sistema. Assim a relação de amortecimento é ξ = c / c cr . Para o modelo Jeffcott rotor, o
coeficiente de amortecimento crítico é c cr = 2 km e é assumido ser concentrado no
centro do disco.
Introduzindo o coeficiente de amortecimento crítico na eq. (1.3) e após na eq.
(1.4), a amplitude do giro síncrono em ω = k
m
é r= d
2ξ
e a velocidade crítica é
ω2 (1 − ξ2 ) . O fator 1 é as vezes referido como fator de amplificação ou Q factor
2ξ
do sistema rotor/mancais.
Colocando a eq. (1.4) em uma forma adimensional temos:
( )
( ) (
2
Ω
r
ω
=
2
d
2

Ω
Ω
 1 − ω  + 2ξ ω


)
(1.5)
2
Efeito de mancais flexíveis
A forma dos modos como o rotor irá vibrar é determinada pela distribuição da
massa e da rigidez ao longo do mesmo, assim como da rigidez dos mancais. Os três
primeiros modos, associados com as três mais baixas freqüências naturais de um eixo
uniforme, muda com o aumento da rigidez dos mancais (ver Figura 1.10). Note que
para baixa rigidez do mancal (K ≈ 0), os dois primeiros modos causam uma flexão no
eixo do rotor quase desprezível. Nestes dois primeiros modos, o eixo do rotor
permanece rígido (modo de corpo rígido) e percorre uma trajetória cilíndrica no primeiro
modo e cônica no segundo.
Introdução à Dinâmica de Rotores
15
Se a velocidade do rotor é acrescida, o terceiro modo será atingido, causando
flexão no eixo do rotor, Figura 1.10. Se a rigidez dos mancais é muito baixa, este modo
é praticamente o modo livre-livre.
Para rotores com mancais hidrodinâmicos, o amortecimento pode ser suficiente
para fazer desaparecer um ou os dois modos de corpo rígido.
K
K
3° modo
2° modo
1° modo
K≈0
Valor intermediário
de K
K→∞
Figura 1.10 – Forma dos modos de vibração em função da rigidez dos mancais
É desejável em qualquer máquina rotativa que os mancais sejam mais flexíveis
que o eixo do rotor. Os motivos para isso são:
o A baixa rigidez dos mancais reduz a transmissão das cargas dinâmicas para a
sua fundação, prolongando a vida útil dos mancais e reduzindo as vibrações
estruturais;
o A baixa rigidez dos mancais permite que o amortecimento, em mancais
hidrodinâmicos ou com amortecedores ditos externos, opere com maior
eficiência, atenuando a amplitude do rotor nas velocidades críticas.
O primeiro motivo pode ser explicado utilizando um rotor curto de rigidez k = 2 KB
e amortecimento c = 2 CB. A deflexão r = OC é a deflexão de todo o rotor e não mais
16
Introdução à Dinâmica de Rotores
somente do disco.
CB
m
KB
CB
KB
CB
KB
KB
CB
Figura 1.11 – Rotor curto amortecido por mancais flexíveis
Considerando que a força transmitida pelo mancal é a resultante da força
devido a rigidez (proporcional ao deslocamento) e a força devido ao amortecimento
(proporcional à velocidade tangencial), temos que:
( força devido a rigidez )
Fc = CB Ω r ( força devido ao amortecimento )
Fk = K B r
Ft = Fk2 + Fc2 = r K B2 + ( CBΩ )
(1.6)
2
Utilizando a eq. (1.4), a expressão da força transmitida é:
1
Ft = mΩ2d
2
(
( 2KB )
2
+ ( 2CBΩ )
2K B − mΩ2
)
2
2
+ ( 2CBΩ )
2
(1.7)
Considere que, se o mancal fosse rígido, a força no mancal fosse dada por :
F∞ =
1
mΩ2d
2
(1.8)
Introdução à Dinâmica de Rotores
17
Pode ser demonstrado através de um exemplo simples que, para um rotor de
massa m = 10 kg, com um deslocamento estático d = 0,001 m e operando em uma alta
velocidade, como por exemplo Ω = 5000 rpm = 5000
2π
rad / s , a força transmitida pode
60
ser intolerável, da ordem de 1370 N. Portanto, a relação entre a força transmitida Ft e a
força transmitida considerando o mancal rígido F∞ é:
Ft
=
F∞
1 + ( 2ξΩ / ω)
(1+ ( 2ξΩ / ω) )
2 2
2
+ ( 2ξΩ / ω)
(1.9)
2
onde a velocidade crítica não amortecida é ω = k
amortecimento é ξ = c / c cr = 2CB
2 km
= CB
mω
m
= 2 KB
m
e a relação de
.
Observa-se na Figura 1.12 que :
o A transmissibilidade tem o mesmo valor para qualquer amortecimento na
velocidade de rotação Ω* = 2 ω ;
o O amortecimento nos mancais aumenta a força transmitida nas altas velocidades
(Ω > Ω ) , onde o efeito da flexibilidade dos mancais é favorável;
*
o O amortecimento nos mancais pode ser necessário para manter a força
transmitida dentro de limites aceitáveis na passagem pela velocidade crítica ;
o Baixa rigidez de mancal não é um fator incondicional, já que um valor
impropriamente escolhido pode produzir forças dinâmicas superiores quando
considerado o mancal rígido, eq. (1.8).
18
Introdução à Dinâmica de Rotores
Ft
F∞
3
pequeno
amortecimento
2
Ω = Ω*
grande
amortecimento
1
1
2
Ω
ω
Figura 1.12 – Transmissibilidade vs. relação de velocidade do rotor
Através da comparação da Figura 1.12 com a Figura 1.9, pode-se concluir que
o efeito do amortecimento sobre a força transmitida é diferente do efeito do
amortecimento sobre a amplitude de vibração. Enquanto que, o efeito do
amortecimento sobre a amplitude de vibração é favorável ao longo de toda a faixa de
rotações, o efeito do amortecimento sobre a força transmitida é favorável somente para
Ω < 2 ω.
Instabilidade em rotores
A instabilidade em máquinas rotativas é normalmente produzida por forças que
são tangenciais à órbita de giro do rotor, chamadas de forças desestabilizadoras,
agindo no mesmo sentido do movimento instantâneo. Se a intensidade da força
desestabilizadora é proporcional a velocidade instantânea da órbita, esta força é
classificada como uma força de amortecimento negativa. Se a intensidade da força é
proporcional ao deslocamento do rotor (raio instantâneo da órbita), ela é classificada
como força de rigidez de acoplamento. O termo acoplamento vem do fato de um
deslocamento na direção X produzir uma força na direção Z, e vice-versa, Figura 1.13.
A força tangencial Fφ é a força resultante das componentes FX e FZ. A instabilidade
Introdução à Dinâmica de Rotores
19
pode também ser causada por forças axiais compressivas, menos freqüentes em
rotores.
Z
φ
Fφ
FZ = KZXX
C
FX = -KXZZ
X
KXZ > 0
KZX < 0
O
Figura 1.13 – Representação das forças de acoplamento (desestabilizadoras)
Efeito da anisotropia dos mancais no amortecimento
Um mancal é dito anisotrópico ou assimétrico quando os coeficientes de rigidez
nas direções X e Z são diferentes, KXX ≠ KZZ (ver Figura 1.14).
KZZ CZZ
KXZ CXZ
Z
KXX CXX
X
KZX CZX
Figura 1.14 – Rotor com mancais anisotrópicos – KXX ≠ KZZ
20
Introdução à Dinâmica de Rotores
Vários estudos já comprovaram a relação entre o amortecimento interno2 do
material e a taxa de deformação a qual ele é submetido. Assim considerando, a tensão
normal à seção transversal do eixo do rotor pode ser colocada da forma (ver figura
1.15):
i
σ = E ε + ηv E ε
(1.10)
onde E é o módulo de elasticidade do material do eixo, ηv é o fator de amortecimento
i
viscoso do material do eixo, e ε é a taxa de deformação normal à face.
Tensão normal compressiva
M
Tensão normal trativa
Figura 1.15 – Distribuição da tensão normal à seção transversal do eixo do rotor
Em um desses estudos, foi observado que o amortecimento interno em um
sistema rotativo não afeta a resposta ao desbalanceamento em rotores com mancais
2
O amortecimento interno é inerente ao material do eixo do rotor, enquanto que, o amortecimento
externo é devido aos mancais.
Introdução à Dinâmica de Rotores
21
isotrópicos (KXX = KZZ), ao contrário do que acontece com mancais anisotrópicos (KXX ≠
KZZ). Se os mancais são isotrópicos, o eixo do rotor defletirá e girará em torno do eixo
neutro na velocidade de rotação Ω, seguindo uma órbita circular. Ou seja, a forma de
deflexão do eixo permanece inalterada durante o movimento. Portanto, em um eixo
i
movimento de precessão síncrona (Ω = φ) e órbita circular, as deformações não variam
durante o movimento de precessão, Figura 1.16a. Conseqüentemente, o amortecimento
interno, inerente ao material, não afeta o estado de tensão na seção transversal do eixo
do rotor. Porém, se o rotor está apoiado sobre mancais anisotrópicos, a órbita do
movimento de precessão é elíptica, fazendo com que as deformações variem
proporcionamente à diferença entre os eixos da elipse, Figura 1.16b. Neste caso, o
amortecimento interno do eixo pode afetar consideravelmente o estado de tensão na
seção transversal do eixo do rotor.
Uma forma do amortecimento interno afetar a resposta de um rotor com
i
mancais isotrópicos é através de uma excitação assíncrona (Ω ≠ φ) . Neste caso, apesar
do rotor movimentar seguindo uma órbita circular, as deformações na seção transversal
do eixo irão variar na medida que este gira, pois a velocidade de precessão é diferente
da velocidade de rotação do rotor, Figura 1.16c.
22
Introdução à Dinâmica de Rotores
A'
A'
A
A
i
φ=Ω
Ω
A'
A
(a)
A'
A
A'
A
A'
A'
A
A
i
φ=
i
φ=Ω
A
A'
Ω
Ω
2
A
A'
Ω
(c)
(b)
Figura 1.16 – Evolução da tensão normal na seção transversal do eixo de um rotor:
(a) precessão síncrona e mancais isotrópicos; (b) precessão síncrona e mancais
i
anisotrópicos; (c) precessão sub-síncrona ( φ =
Ω
) e mancais isotrópicos.
2
Introdução à Dinâmica de Rotores
23
2 - EQUAÇÕES DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DE ROTOR
Este capítulo tem por objetivo avaliar o comportamento dinâmico de rotores
partindo de um modelo mais complexo do que o modelo Jeffcott rotor (ou de Laval). De
forma a facilitar a compreensão e evitar um número excessivo de equações, será
considerado um rotor com um eixo e somente um disco e dois mancais.
Para a obtenção das equações de movimento de rotores, é considerado
somente a energia cinética do disco, sendo a energia cinética do eixo considerada
desprezível com relação a energia cinética do disco. O disco é considerado rígido, logo
a energia de deformação é devido somente ao eixo e o efeito das forças dos mancais é
introduzido através do conceito de trabalhos virtuais. A equação de movimento do rotor
é obtida aplicando-se a equação de Lagrange sobre as energias cinética do disco e de
deformação do eixo, Lalanne et al, 1998.
2.1 - Energia cinética do disco
Da Figura 2.1, pode-se deduzir o vetor velocidade instantânea de rotação do
disco no sistema de coordenadas de referência (x, y, z) como sendo, Vance, 1988.
i
i
i
ω = ψ Z + θ x' + φ y
onde Z , x ' e y
(2.1)
são vetores unitários. Os eixos (X, Y, Z) formam o sistema de
coordenadas fixo (ou inercial), os eixos (x’, y’, z’) formam um sistema de coordenadas
intermediário e os eixos (x, y, z) formam o sistema de coordenadas fixo no disco (ou de
referência).
Observa-se que a ordem das rotações deve ser: (1) ψ em torno de Z, (2) θ em
torno de x’ e (3) φ em torno de y, já que a rotação do rotor Ω é em torno do eixo
i
instantâneo y. A velocidade angular do disco é φ e as componentes do vetor
velocidade instantânea ω no sistema de coordenadas de referência é:
24
 ωx 
 
 ωy 
 
 ωz 
Introdução à Dinâmica de Rotores
i
 i

 − ψ cos θ sen φ + θ cos φ
i
i


=
φ + ψ sen θ

 i

i
 ψ cos θ cos φ + θ sen φ 


(2.2)
Z
z’
i
ψ
θ
Ω
φ
i
Z
θ
z
X
X
y
ψ
ψ
i
θ
x’
w
φ
φ=Ω
y’
Y
Y
u
x
Figura 2.1- Sistema de coordenadas de referência para um disco em um eixo flexível
A energia cinética do disco pode ser expressa por:
1
TD = MD
2
2
i 2
1
i
2
2
2
 u + w  + 2 IDz ωz + IDy ωy + IDz ωz


(
)
(2.3)
onde u e w são coordenadas nas direções x e z do centro de inércia do disco, MD é a
massa do disco de densidade volumétrica ρ e, IDx, IDy e IDz são momentos de inércia de
massa do disco com relação ao sistema de coordenadas de referência, Figura 2.2.
Introdução à Dinâmica de Rotores
25
z
dm
x
x
∆
z
y
Figura 2.2- Momentos de inércia de massa do disco no sistema de referência
IDx = ∫ z2 ρ dV ,
V
IDz = ∫ x 2 ρ dV , IDy = ∫ ∆2 ρ dV
V
V
Considerando que os ângulos θ e ψ são pequenos, que a velocidade de rotação
i
é φ = Ω e a simetria do disco, IDx = IDz, segue que, a partir da eq. (2.3):
TD =
1
MD
2
 i2 i 2 1
 u + w  + IDx

 2


i
 i2 i 2
1
θ
+
ψ
+
I
Ω
ψ
θ + IDy Ω2

 Dy


2


(2.4)
Os deslocamentos transversais u, w e as rotações θ e ψ são as coordenadas
ditas generalizadas.
2.1 - Energia de deformação do eixo em flexão
A expressão geral para a energia de deformação é:
U=
1
σ ε dV
2 V∫
(2.5)
26
Introdução à Dinâmica de Rotores
onde, dentro do regime elástico linear, a relação dada pela Lei de Hooke é, σ = E ε :
O campo de deslocamento de um ponto qualquer sobre o eixo é definido como
sendo (ver Figuras 2.3 e 2.4):
u = uo
w = wo
v = vo − x
(2.6)
∂u
∂w
−z
∂y
∂y
onde os deslocamentos uo, wo e vo são os deslocamentos de um ponto situado no eixo
neutro da seção transversal do eixo.
A partir do campo de deslocamento definido pela eq. (2.6), as deformações
lineares são tais que:
∂u
= εx o
∂x
∂w
εz =
= εz o
∂z
∂v
∂ 2u
∂2w
εy =
= εy o − x 2 − z 2
∂y
∂y
∂y
εx =
(2.7)
θ
Mx (positivo)
θ = ∂w/∂y (positivo)
z
wo
x
P
y, vo
configuração não
deformada
(a)
configuração
deformada
Introdução à Dinâmica de Rotores
27
ψ
Mz (negativo)
P
ψ =–∂u/∂y (negativo)
x
z
uo
configuração
deformada
y, vo
configuração não
deformada
(b)
Figura 2.3 – Campo de deslocamentos de um ponto do eixo – (a) Plano zy (b) Plano xy
Desprezando as deformações normais à espessura do eixo, εx0 e εz0, e a
deformação
de
membrana
εy0,
somente
as
deformações
de
flexão
 ∂ 2u

∂2w
2 , −z
2  são consideradas. Assim, a expressão de tensão normal na
 −x
∂y
∂y 

direção y é da forma:

∂ 2u
∂2w 
σy = E εy = E  − x 2 − z 2 
∂y
∂y 

(2.8)
Sabe-se que a relação entre curvatura e momento fletor é da forma:
∂ 2 w Mx
=
∂y 2 E Ix
M
∂ 2u
=− z
2
E Iz
∂y
⇒
⇒
∂θ Mx
=
∂y E Ix
∂ψ Mz
=
∂y E Iz
(2.9)
28
Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo as eqs. (2.9) na eq. (2.8), tem-se uma nova expressão de tensão
normal:
σy = x
Mz
M
−z x
Iz
Ix
(2.10)
As deformações são medidas sobre o sistema de coordenadas de referência
i
colocado no centro do eixo que gira a uma velocidade de rotação de φ = Ω . Para efeito
de distinção, são denotados u* e w* como sendo componentes do deslocamento do
centro do eixo no sistema de coordenadas de referência, Figure 2.4. A passagem para
o sistema de coordenadas global (ou inercial), onde as componentes do deslocamento
são u e w, é feita pela relação:
u* = − w sen Ω t + u cos Ω t
w* = w cos Ω t + u sen Ω t
(2.11)
onde Ωt é o ângulo entre o sistema de coordenadas de referência (x, y, z) e o sistema
de coordenadas global (X, Y, Z) medido num instante t.
Z
z
z
Ωt
P
x
X
x
w*
w
z
u
u*
x
Figure 2.4 – Campo de deslocamento de um ponto P na seção transversal do eixo
Introdução à Dinâmica de Rotores
29
Assim, a deformação longitudinal medida na direção y pode ser escrita sob a
forma:
εy = − x
∂ 2u *
∂2w *
z
−
∂y 2
∂y 2
(2.12)
Substituindo a expressão de deformação, eq. (2.12), na expressão de energia
de deformação, eq. (2.1), obtém-se a expressão final de energia de deformação do eixo
em flexão:
1
U= E
2
∫
V
2
 ∂ 2u *
∂2w * 
−
x
−
z

 dV
∂y 2
∂y 2 

(2.13)
Desenvolvendo a eq. (2.13), temos:
1
U= E
2

 x2

V 
∫
2
 ∂ 2u * 
2
 2  +z
 ∂y 
2
 ∂2w * 
 ∂ 2u *   ∂ 2 w *  
 dV
+ 2 x z 2 

2 
2 
∂
∂
∂
y
y
y




 
(2.14)
As integrais da eq. (2.14) podem ser separadas em um integral na seção
transversal A e outra ao longo do comprimento L do eixo:
L
L
2
2

 ∂ 2u * 
 ∂2w * 
1  2
2
U = E x dx dz  2  dy + z dx dz 
 dy +
2 
∂y 
∂y 2 


 A
0
A
0
L

 ∂ 2u *  ∂ 2 w *  
dy
+ x z dx dz  2 
2 

 ∂y  ∂y  
A
0

∫
∫
∫
∫
∫
∫
(2.15)
30
Introdução à Dinâmica de Rotores
As integrais
∫
x 2 dx dz = Iz e
A
∫
z2 dx dz = Ix são os momentos inércia de seção
A
com relação aos eixos z e x, e a integral
∫ x z dx dz = 0 , já que os eixos x e z são eixos
A
principais de inércia. Como Iz = Ix = I para o caso de um eixo simétrico, temos que a
energia de deformação do eixo em flexão é da forma:
L
  ∂ 2u* 2  ∂ 2 w * 2 
1
U= EI   2  +
  dy
2
  ∂y   ∂y 2  

0 
∫
(2.16)
Substituindo a eq. (2.11) na eq. (2.16), pode-se determinar a equação de
energia de deformação no sistema de coordenadas global:
1
U= EI
2
L
∫
0
 ∂ 2u 2  ∂ 2 w 2 

 +
  dy
 ∂y 2   ∂y 2  


(2.17)
2.3 - Energia de deformação do eixo devido a uma força axial
Considere que o rotor está submetido à uma força axial Fo sobre a seção
transversal A do eixo. A energia de deformação devido a esta força é da forma:
U=
∫
Fo
ε dV
A
(2.18)
V
As deformações são como aquelas obtidas na eq. (2.7), com exceção dos
termos não lineares, que são agora adicionados.
Introdução à Dinâmica de Rotores
31
∂u
= εx o
∂x
∂w
εz =
= εz o
∂z
εx =
(2.19)
2
1  ∂w 
∂v
∂ 2u
∂ 2 w 1  ∂u 
εy =
= εy o − x 2 − z 2 +   + 

2  ∂y 
2  ∂y 
∂y
∂y
∂y
2
Desprezando novamente as deformações normais à espessura do eixo, εxo e
εzo, e a deformação de membrana εyo, e substituindo a eq. (2.19) na eq. (2.18), obtémse a expressão de energia de deformação devido a momentos fletores e à uma força
axial no eixo:
F
U= o
A
∫
V
2
2

∂ 2u
∂ 2 w 1  ∂u 
1  ∂w  
− x 2 − z 2 +   + 
  dV
2  ∂y 
2  ∂y  
∂y
∂y


(2.20)
2.4 – Mancais
A influência da rigidez e do amortecimento viscoso dos mancais no
comportamento do rotor é considerada a partir do trabalho virtual das forças atuando no
eixo (ver Figura 1.13).
δW = −k xxu δu − k xz w δu − k zz w δw − k zxu δw
i
i
i
i
− c xx u δu − c xz w δu − c zz w δw − c zx u δw
(2.21)
ou :
δW = Fu δu + Fw δu
(2.22)
onde, Fu e Fw são as componentes das forças generalizadas, colocadas da forma:
32
Introdução à Dinâmica de Rotores
 Fu 
k xx
  = −
Fw 
k zx
k xz   u  c xx
 −
k zz   w   c zx
i
c xz   u 
 
c zz   i 
w 
(2.23)
onde o sinal negativo significa que as forças nos mancais são no sentido contrário aos
i
i
deslocamentos u e w e às velocidades u e w .
2.5 – Equações de movimento do rotor
As eqs. (2.4), (2.17), (2.20) e (2.22) associadas à um método analítico do tipo
Rayleigh-Ritz ou à um método numérico, permitem determinar as equações de
movimento do rotor a partir da aplicação da equação de Lagrange, Lalanne et al.
(1998).
d  ∂T  ∂T ∂U ∂D
+
+
= Fpi

−
dt  ∂pi  ∂pi ∂pi ∂pi
(2.24)
onde T é a energia cinética, U é a energia de deformação, D é uma energia dissipativa
e Fpi são forças generalizadas correspondentes as coordenadas generalizadas pi (u, w,
θ e ψ).
Introdução à Dinâmica de Rotores
33
3 – MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ
O método de Rayleigh-Ritz é utilizado para a determinação das n freqüências
naturais mais baixas de um sistema, a partir de uma hipótese razoável do
deslocamento dos pontos da estrutura. Logo:
 p1 
 
u = ( γ1, , γ n )  
p 
 n
(3.1)
onde u é o vetor deslocamento, γi são funções deslocamento que devem verificar as
condições cinemáticas ou as condições de contorno e pi são novas variáveis em função
do tempo.
3.1 – Rotor isotrópico bi-apoiado
Como exemplo de utilização do método de Rayleigh-Ritz, determine a evolução
da primeira freqüência natural em função da velocidade de rotação Ω de um rotor
simplesmente apoiado como apresentado na Figure 3.1. O mancal é considerado
rígido, não tendo portanto influência nas equações de movimento do rotor.
z
L/3
2L/3
y
2° modo
x
1° modo
Ω
Figura 3.1 – Rotor simplesmente apoiado3
3
Para fins de simplificação, o sistema de coordenadas inercial (X, Y, Z) será substituído por (x, y, z).
34
Introdução à Dinâmica de Rotores
Uma hipótese razoável do deslocamento em flexão do rotor para esta
configuração pode ser da forma:
mπy
p1(t)
L
m πy
w(y,t) = sen
p2 (t)
L
u(y,t) = sen
(3.2)
Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do
problema para y = 0 e y = L onde u = w = 0. O parâmetro m representa o número do
modo em flexão a ser analisado. Neste caso, todas as análises serão realizadas
considerando somente o 1° modo em flexão, logo m = 1.
As rotações de seção são determinadas fazendo (ver Figura 2.3):
θ(y,t) =
∂w π
πy
p2
= cos
L
∂y L
∂u
π
πy
p1
ψ(y,t) = −
= − cos
L
L
∂y
(3.3)
3.1.1 – Diagrama de Campbell para rotores isotrópicos
Introduzindo as eq. (3.2) e (3.3) na eq. (2.4), a energia cinética do disco é dada
por:
2
2
 i 2 i 2 
1
π
π
 πy  i
2  πy 
2  πy 
TD = MD sin   + IDx   cos     p1 + p2  − IDy Ω   cos2   p1 p2

2 
 L 
L
 L   
L
 L 

(3.4)
Substituindo a eq. (3.2) na eq. (2.17), a energia de deformação do eixo é dada
da forma:
Introdução à Dinâmica de Rotores
L

4
1
 π 
2
2
2  πy  
U= EI 
sen   dy p1 + p2


2
L
 L 
 0

∫
(
35
)
(3.5)
Da aplicação da equação de Lagrange, eq. (2.24), nas eqs. (3.4) e (3.5), temos:
ii
i
ii
i
m p1− a Ω p2 + k p1 = 0
(3.6)
m p2 + a Ω p1+ k p2 = 0
2
2
3


π
π
 π  π
2  π.y 
2  π.y 
2  π.y 
com: m = MD sin 
 + IDx  L  cos  L   , a = IDy  L  cos  L  , k = EI  L   2  .
 L 
 

 
 


   

As eqs. (3.6) representam as equações de movimento do rotor. Observa-se que
i
i
estas equações são acopladas pelos termos a Ω p2 e − a Ω p1 . Estes termos
representam o efeito Giroscópico (ou efeito Coriolis) do disco e são função sua inércia
rotacional IDY e de sua posição y no eixo. Observa-se que, se o disco estiver
posicionado no centro do eixo, y = L/2, este efeito é nulo.
A solução para a eq. (3.6) pode ser da forma:
p1(t) = P1 est
p2 (t) = P2 est
(3.7)
onde s = ± j ω(Ω) são as freqüências naturais em flexão para cada rotação Ω do rotor.
Substituindo as eqs. (3.7) nas eqs (3.6), obtém-se as expressões:
m s2P1 est − a Ω s P2 est + k P1 est = 0
m s2P2 est + a Ω s P1 est + k P2 est = 0
(3.8)
36
Introdução à Dinâmica de Rotores
que colocadas em forma matricial, e considerando que est ≠ 0, são:
(
 m s2 + k

 aΩs

)
(
−a Ω s   P 
  1 = 0
2

m s + k P2 

(3.9)
)
A solução não trivial, P1 ≠ 0 e P2 ≠ 0, é determinada fazendo o determinante da
matriz igual a zero. Fazendo isto, obtêm-se a equação característica (ou polinômio
característico) do rotor onde as raízes são as freqüências naturais:
 2k a2 2  2 k 2
s +
+ 2Ω s + 2 =0
m
m m

4
(3.10)
A expressão para a primeira raiz, correspondente a primeira freqüência ω1 é :
2
s12
k
k
a2
a2
k2
2
2
Ω
Ω
= − +
−
+
−



2
2
2
 m 2m

 m 2m
 m
(3.11)
onde s1 = ± jω1. E, a expressão para a segunda raiz, correspondente a segunda
freqüência ω2 é :
2
s22
k
k
a2
a2
k2
2
2
Ω
Ω
= − +
+
+
−



2
2
2
 m 2m

 m 2m
 m
(3.12)
onde s2 = ± jω2.
Como exemplo de aplicação, considere a rotor com a configuração mostrada na
Figura 3.1, com os seguintes dados; disco rígido: IDx = 0,1225 kg.m2, IDy = 0,2450 kg.m2,
MD = 7,85 kg; eixo: L = 0,4 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 10
11
N/m2. Como o disco situa-se
a y = L/3 da origem do sistema inercial, m = 7,7766 e a = 3,7782, e k = 74578,8.
A Figura 3.2 apresenta a curva de evolução das freqüências naturais em função
Introdução à Dinâmica de Rotores
37
da rotação do rotor Ω, eqs. (3.11) e (3.12), também chamada de Diagrama de
Campbell. A curva tracejada representa a evolução da freqüência ω1 associada ao
movimento de precessão inversa (backward) e a curva contínua representa a evolução
da freqüência ω2 associada ao movimento de precessão direta (forward).
60
Frequencia (Hz)
50
40
30
Forward
Backward
20
10
0
0
20
40
60
80
Velocidade de rotação (rps)
100
Figure 3.2 – Diagrama de Campbell para o rotor isotrópico
3.1.2 – Resposta do rotor a um desbalanceamento
A velocidade crítica do rotor é determinada em função da força de excitação.
Para isto, suponha uma massa md = 0,001 kg situada em uma posição M sobre o disco
a uma distância d = 0,05 m do centro, a qual provocará um desbalanceamento do rotor
(ver Figura 3.3). O vetor posição M da massa desbalanceadora md medido no sistema
de coordenadas inercial, conforme mostra a Figura 3.4, é:
38
Introdução à Dinâmica de Rotores
 L

 u( 3 ,t) + d senΩt 


OM =  cons tan te 
 L

 w( ,t) + d cosΩt 
 3

(3.13)
z
L/3
2L/3
md
d
y
x
Ω
Figura 3.3 – Massa desbalanceadora md no disco
Z
Ωt
M
C
w
d
X
u
O
Figura 3.4 – Movimento de precessão do disco excitado por uma massa md
Considerando que a aproximação por Rayleigh-Ritz do deslocamento de um
ponto qualquer do rotor é da forma dada pela eq. (3.2), a eq. (3.13) se transforma em:
Introdução à Dinâmica de Rotores
π


 sen 3 p1 + d senΩt   0,866 p1 + d sen Ωt 

 

OM = 
cons tan te
cons tan te
=


 0,866 p + d cos Ωt 
π
2

sen p2 + d cosΩt  
3


39
(3.14)
A energia cinética da massa md é:
1
Tm = md
2
 dOM 


 dt 
2
(3.15)
Substituindo a eq. (3.14) na eq. (3.15) temos:
i2
i
md 
Tm =
 0,75 p1 + 1,732 d Ωcos Ωt p1 + d2Ω2 cos2 Ωt +
2 

0,75 p2 − 1,732 d Ω sen Ωt p2 + d2Ω2 sen2 Ωt 


i2
(3.16)
i
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (3.16) tem-se :


d  ∂Tm 
−
dt  i 
 ∂ p1 


d  ∂Tm 
−
dt  i 
 ∂ p2 
ii
∂Tm
= 0,75 md p1 − 0,866 md d Ω2 s enΩt
∂p1
(3.17)
ii
∂Tm
= 0,75 md p2 − 0,866 md d Ω2 cosΩt
∂p2
Introduzindo as eqs. (3.17) na eq. (3.6), e considerando que a massa
desbalanceadora md é muito inferior a massa do disco (0,001 << 7,85), os termos
ii
ii
0,75 md p1 e 0, 75 md p2 podem ser desprezados. Logo:
40
Introdução à Dinâmica de Rotores
ii
i
ii
i
m p1 − a Ω p2 + k p1 = 0,866 md d Ω2 senΩt
(3.18)
m p2 + a Ω p1 + k p2 = 0,866 md d Ω2 cosΩt
Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima são:
p1 = P1 senΩt
p2 = P2 cosΩt
(3.19)
Substituindo as eqs. (3.19) nas eqs. (3.18), e eliminado os termos em sen Ωt e
cos Ωt temos:
−m P1Ω2 + a P2Ω2 + k P1 = 0,866 md d Ω2
−m P2Ω2 + a P1Ω2 + k P2 = 0,866 md d Ω2
(3.20)
Subtraindo uma equação da outra na eq. (3.20) chega-se a P1 = P2. Logo:
P1 = P2 =
0,866 md d Ω2
k + (a − m) Ω2
(3.21)
Observa-se pela eq. (3.21) que a órbita percorrida pelo eixo do rotor é circular,
P1 = P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 teoricamente se tornam infinitas, o
que corresponde a anular o denominador da eq. (3.21).
Ωc =
k
m−a
(3.22)
A velocidade crítica, é o ponto onde a velocidade de rotação se iguala a
freqüência natural do rotor, Ωc = ω = 136,6 rad/s = 21,7 hz.
A resposta em freqüência (função da velocidade de rotação do rotor) de um
ponto qualquer ao longo do comprimento do rotor é determinada a partir da eq. (3.2),
onde p1 e p2 são dados pela eq. (3.8):
Introdução à Dinâmica de Rotores
u(y,t) = sen
41
πy  0,866 md d Ω2 

 senΩt
L  k + (a − m) Ω2 
(3.23)
πy  0,866 md d Ω2 
w(y,t) = sen

 cosΩt
L  k + (a − m) Ω2 
Como exemplo de aplicação, deseja-se determinar o deslocamento do centro
do disco, y = L/3. Na Figura 3.6 é traçado a resultante das componentes do
deslocamento, R = u2 + w 2 .
100
1.0E-3
90
1.0E-4
80
1.0E-5
60
velocidade
crítica
50
1.0E-6
40
Amplitude (M)
Frequencia (Hz)
70
1.0E-7
30
Forward
Backward
20
Resposta em Freqüência
10
1.0E-8
Freqüência = rotação
0
1.0E-9
0
20
40
60
80
Velocidade de rotação (rps)
100
Figure 3.5 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
O sentido do movimento de precessão do rotor é de bastante interesse no
estudo do seu comportamento dinâmico, uma vez que os problemas de fadiga em eixos
de rotores ocorrem nos movimentos de precessão não síncronos. Para isso, considere
a Figura 3.6, onde C é o centro do eixo e V é a velocidade tangente à órbita do centro
do eixo. Assim podemos colocar os vetores, posição do centro do rotor ( r ) e velocidade
tangencial ( V ) da seguinte forma (lembrando que, em uma excitação síncrona, do tipo
42
Introdução à Dinâmica de Rotores
massa desbalanceadora, a freqüência do movimento de precessão é igual a velocidade
de rotação do eixo, ω = Ω):
 P1 senΩt . i 


r=
0. j



P2 cosΩt . k 
 P1 ΩcosΩt . i 

d r 
V=
0. j
=

dt 

−P2 ΩsenΩt . k 
(3.24)
Z
Ω
ω=Ω
C
P2 cos Ωt
V
r
k̂
X
P1 sen Ωt
î
O
Figura 3.6 – Sentido do movimento de precessão do rotor
O produto vetorial r ∧ V fornece o sentido do movimento de precessão,
ˆ ˆi ∧ kˆ = − ˆj, ˆj ∧ kˆ = ˆi :
lembrando que: ˆi ∧ ˆj = k,
 0.i 


r ∧ V = P1 P2 Ω . j


0.k 


(3.25)
Então, se o produto P1P2 > 0, a precessão é direta (forward), e se o produto
Introdução à Dinâmica de Rotores
43
P1P2 < 0, a precessão é inversa (backward). Como P1 = P2, eq. (3.35), conclui-se que,
um rotor isotrópico excitado por uma massa desbalanceadora precessiona sempre em
sentido forward.
3.1.3 – Diagrama de Campbell do rotor com uma força axial
Substituindo as hipóteses de deslocamento, eq. (2.7), na eq. (2.20) e separando
a integral de volume em uma integral na seção transversal A e outra ao longo do
comprimento L do eixo, temos:
F
U= o
A
L
∫∫
A 0
2
2
 π 2
1 π
1 π
πy
πy
πy
  sen
( x p1 + z p2 ) +  cos p1  +  cos p2   dxdzdy
L
2L
L
2L
L

 
 L 
(3.26)
L
A primeira integral
∫∫
A 0
 π  2

πy
  sen ( x p1 + z p2 )  dxdzdy é nula quando feita
L
 L 

sobre toda a seção transversal, Figura 3.7:
z
x
x
ϕ
z ∆
de = 2 re
Figura 3.7 – Seção transversal do eixo do rotor
onde:
x = ∆ sen ϕ, y = ∆ cos ϕ, dxdz = dA = ∆ dϕ d∆
44
Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo as expressões de x, y e dxdy na segunda integral, temos:
re 2 π L
∫∫∫
0 0 0
 π 2

πy
( sen ϕ p1 + cos ϕ p2 ) δ2 dδ dϕ dy
  sen
L
 L 

(3.27)
Resolvendo a integral sobre a área, observa-se que os limites de integração em
ϕ se anulam, anulando assim a integral:
r L
3 e
2
2π δ
π
 L  ( − cos ϕ p1 + sen ϕ p2 ) 0 3
 
0
∫
sen
πy
dy
L
(3.28)
0
A expressão final de energia de deformação para uma força axial aplicada no
eixo é:
U=
Fo
A
L
∫∫
A 0
2
2
1  π
1π
πy 
πy  
cos
p
cos
p
+
 
1
2   dxdzdy
L
2  L
L

 
 2  L
(3.29)
2πy
πy 1 + cos
L , tem-se:
Resolvendo esta integral, e sabendo que cos
=
L
2
2
U=
Fo π2 2
p1 + p22
4L
(
)
(3.30)
Aplicando as equações de Lagrange, eq. (2.24), e introduzindo os termos
resultantes nas eqs. (3.6), temos:
Introdução à Dinâmica de Rotores
ii
i
 F π2

m p1 − a Ω p2 +  o + k  p1 = 0
 2L

 F π2

m p2 + a Ω p1+  o + k  p2 = 0
 2L

ii
i
45
(3.31)
Supondo uma força axial de Fo = 1.000 N, o Diagrama de Campbell é da forma
como apresentado pela Figura 3.8.
Considerando que o rotor sujeito a força axial Fo é excitado por uma massa
desbalanceadora md como visto anteriormente, as equações de movimento do rotor
são:
ii
i
 F π2

m p1− a Ω p2 +  o + k  p1 = 0,866 md d Ω2 senΩt
 2L

 F π2

m p2 + a Ω p1+  o + k  p2 = 0,866 md d Ω2 cosΩt
 2L

ii
i
(3.32)
A solução das eqs. (3.32) em regime permanente, é da forma apresentada pela
eq. (3.19). Eliminado os termos em sen Ωt e cos Ωt temos:
 Fo π2

−m P1Ω + a P2Ω + 
+ k  P1 = 0,866 md d Ω2
 2L

2
2
 Fo π2

−m P2Ω + a P1Ω + 
+ k  P2 = 0,866 md d Ω2
 2L

2
(3.33)
2
Sabendo-se que P1 = P2, temos que:
0,866 md d Ω2
P1 = P2 =
 Fo π2

+ k  + (a − m) Ω2

 2L

(3.34)
46
Introdução à Dinâmica de Rotores
Novamente, a órbita realizada pelo eixo do rotor é circular, P1 = P2. Na
velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 se tornam infinitas, o que corresponde a anular
o denominador da eq. (3.34).
 Fo π2

+ k

2L

Ωc = 
m−a
(3.35)
Assim, a velocidade crítica para um rotor sujeito à uma força axial Fo = 1.000 N
é Ωr = 147,4 rad/s = 23,5 ciclos/s = 23,5 hz.
A resposta em freqüência (função da velocidade de rotação do rotor) de um
ponto qualquer ao longo do comprimento do rotor devido a uma força axial, é também
determinada a partir da eq. (3.2) e da eq. (3.34):
u(y,t) = sen
0,866 md d Ω2
πy
senΩt
L  Fo π2

2
+ k  + (a − m) Ω

2
L


0,866 md d Ω2
πy
w(y,t) = sen
cosΩt
L  Fo π2

+ k  + (a − m) Ω2

2
L


(3.36)
Na Figura 3.8, é traçado a resultante do deslocamento do centro do disco
quando o rotor está sujeito à uma força axial Fo = 1.000 N. Comparando com a
amplitude do centro do disco na velocidade crítica sem força axial, Figura 3.5, a
amplitude neste caso é muito superior. Isto vem do fato da aplicação de uma força axial
de tração, que aumentou a rigidez do eixo, e conseqüentemente a amplitude de
vibração quando da passagem pela velocidade crítica.
Introdução à Dinâmica de Rotores
47
100
1E-3
90
1E-4
80
1E-5
60
velocidade
crítica
50
1E-6
40
30
Amplitude (m)
Frequencia (Hz)
70
1E-7
Forward
Backward
20
Resposta em freqüência
1E-8
Freqüência = rotação
10
0
1E-9
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figure 3.8 – Deslocamento do centro do disco, Fo = 1.000 N
Como P1 = P2, o sentido do movimento de precessão do rotor é forward.
3.1.4 – Resposta do rotor à uma força assíncrona
Considere agora, o rotor sendo excitado por forças assíncronas do tipo Fo sen
µΩt e Fo cos µΩt atuando no disco do rotor. Este caso pode ocorrer em rotores coaxiais
e as forças assíncronas podem surgir devido ao desbalanceamento de um rotor
secundário, Lalanne et al. (1998).
O trabalho virtual devido a força assíncrona é:
δW = Fo sen µ Ωt δu + Fo cos µ Ωt δw
(3.37)
onde δu e δw são os deslocamentos virtuais devidos à uma força assíncrona e µ ≠ 1.
Substituindo os deslocamentos da eq. (3.2) na eq. (3.37), as forças
generalizadas Fp1 e Fp2 aplicadas em uma posição qualquer do rotor principal são:
48
Introdução à Dinâmica de Rotores
πy
Fo sen µ Ωt = F sen µ Ωt
L
πy
Fp2 = sen
Fo cos µ Ωt = Fcos µ Ωt
L
Fp1 = sen
(3.38)
Introduzindo a eq. (3.38) na eq. (3.6), obtém-se as equações de movimento do
rotor sujeito à uma força assíncrona:
ii
i
ii
i
m p1 − a Ω p2 + k p1 = F sen µ Ωt
(3.39)
m p2 + a Ω p1 + k p2 = F cos µ Ωt
onde m = 7,7766; a = 3,7782 e k = 74578,8.
Em regime permanente, a solução das equações diferenciais acima são:
p1 = P1 sen µ Ωt
(3.40)
p2 = P2 cos µ Ωt
Substituindo a eq. (3.40) na eq. (3.39), temos:
P1 = P2 =
(
F
)
aµ − m µ 2 Ω 2 + k
(3.41)
Aqui novamente, a órbita do eixo do rotor é circular, P1 = P2. Na velocidade
crítica Ωc do rotor, as amplitudes P1 e P2 se tornam infinitas, logo da eq. (3.41):
Ωc =
k
2
m η − aη
(3.42)
Observa-se que para µ = 1, a velocidade crítica é a mesma obtida no caso de
Introdução à Dinâmica de Rotores
49
um desbalanceamento, Ωc = 136,6 rad/s = 21,7 ciclos/s = 21,7 hz.
Como P1 = P2, o sentido a precessão é também forward.
3.1.5 – Resposta do rotor à uma força fixa no espaço
Considere agora, o rotor sendo excitado por uma força assíncrona do tipo F sen
ωt atuando no disco do rotor principal. Este caso pode acontecer quando o rotor é
acoplado a um rotor secundário que gira a uma velocidade ω e a força de excitação
surge devido a um desbalanceamento no rotor secundário, Figure 3.9, ou excitando o
rotor através de um mancal colocado numa posição y qualquer ao longo do eixo do
rotor.
ω
Rotor
secundário
x
z
L/3
2L/3
Rotor
principal
Ω
y
Figura 3.9 – Rotor simplesmente apoiado acoplado
Supondo que há uma força de excitação atuando na direção x, o trabalho virtual
devido a esta força é:
δW = Fo sen ωt δu
(3.43)
onde δu é o deslocamento virtual devido a uma força assíncrona.
Substituindo os deslocamentos da eq. (3.2) na eq. (3.43), a força generalizada
Fp1 aplicada num ponto qualquer do rotor principal é:
50
Introdução à Dinâmica de Rotores
Fp1 = sen
πy
Fo sen ωt
L
(3.44)
Fp2 = 0
Introduzindo a eq. (3.44) na eq. (3.6), obtém-se as equações de movimento do
rotor sujeito à uma força assíncrona:
ii
i
ii
i
m p1− a Ω p2 + k p1 = F sen ωt
(3.45)
m p2 + a Ω p1+ k p2 = 0
onde m = 7,7766, a = 3,7782 e k = 74578,8.
Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima são:
p1 = P1 sen ωt
(3.46)
p2 = P2 cos ωt
Substituindo a eq. (3.46) na eq. (3.45), e resolvendo o sistema temos:
( k − mω )
P =
(k − mω ) − (aΩω)
2
1
P2 =
2
(
2
2
(3.47)
− ( aΩω)
k − mω2
)
2
− ( aΩω)
F
2
F
Pela eq. (3.47), observa-se que a trajetória do eixo do rotor não é mais circular,
mas sim elíptica, P1 ≠ P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 se tornam
infinitas, logo da eq. (3.47):
( k − mω )
2
2
− ( aΩω) = 0
2
(3.48)
Introdução à Dinâmica de Rotores
51
ou :
 2k a2 2  2 k 2
ω4 − 
+ 2Ω ω + 2 =0
m
m m

(3.49)
A eq. (3.49) é semelhante a eq. (3.10), onde as raízes da equação são as
velocidades críticas, em função da velocidade do rotor, dadas por:
2
ω12
k
k
a2 2 
a2 2 
k2
= +
−
+
−
Ω
Ω



2
2
2
 m 2m

 m 2m
 m
2
(3.50)
k
k
a
a
k
2
2
ω22 =  +
+
+
Ω
Ω


 − 2
2
2
 m 2m

 m 2m
 m
2
2
2
Diferentemente dos casos anteriores, desbalanceamento e força assíncrona, no
caso de uma força fixa no espaço, em um mesmo modo de vibração, podem ocorrer
duas velocidades críticas. Este comportamento é freqüentemente utilizado para
reproduzir experimentalmente o Diagrama de Campbell do rotor.
A resposta em freqüência de um ponto qualquer ao longo do comprimento do
rotor devido a uma força fixa no espaço, é também determinada a partir da eq. (3.2) e
da eq. (3.47):
(
)
k − mω2
πy
u(y,t) = sen
F sen ωt
L k − mω2 2 − ( aΩω)2
(
)
− ( aΩω)
πy
w(y,t) = sen
Fcos ωt
L k − mω2 2 − ( aΩω)2
(
(3.51)
)
A Figura 3.10 apresenta as duas freqüências naturais na rotação do rotor em Ω
= 80 rps. Uma comparação com a Figura 3.5 mostra que estas freqüências são ω1 ≅ 6
Hz e ω2 ≅ 42 Hz.
52
Introdução à Dinâmica de Rotores
Amplitude (m)
1E-4
1E-5
1E-6
Forward
Backward
15,59
1E-7
0
10
20
30
40
Frequencia (Hz)
50
60
Figure 3.10 – Deslocamento do centro do disco, Ω = 80 rps
O sentido do movimento de precessão é determinado da seguinte forma: P1P2 >
0 (Forward) e P1P2 < 0 (Backward). Das eqs. (3.47), o produto P1P2 fornece:
(
)
2
 − ( aΩω ) 
PP
1 2 = k − mω
(3.52)
ou:
2
PP
1 2 = −k + mω
(3.53)
Observa-se na eq. (3.53) que, como k é >> m, para pequenos valores de ω, a
equação é negativa, assim, a precessão é Backward, e para grandes valores de ω, a
equação é positiva, sendo a precessão portanto Forward. A mudança de sinal ocorre
quando a eq. (3.53) for nula, o que ocorre para ω = 15,59 hz, considerando que m =
7,7766 e k = 74578,8.
Introdução à Dinâmica de Rotores
53
3.2 – Rotor anisotrópico bi-apoiado
No estudo do comportamento de rotores anisotrópicos, serão considerados
mancais flexíveis, com Kxx = 10 104 N/m e Kzz = 20 104 N/m, Figura 3.11. Os termos de
amortecimento Cxx, Czz e os termos de acoplamento Kxz, Kzx, Cxz e Czx são considerados
nulos.
z
L/3
2L/3
y
Kxx
x
kzz
Kxx
o
1 modo
kzz
Figura 3.11 – Rotor com mancais flexíveis e anisotrópicos
Uma hipótese razoável do deslocamento em flexão do rotor para esta
configuração pode ser da forma:
u(y,t) =
1
mπy 
1 + sen
p1(t)

2
L 
1
mπy 
w(y,t) =  1 + sen
p2 (t)
2
L 
(3.54)
Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do
problema para y = 0 e y = L onde u ≠ 0 e w ≠ 0. Os deslocamentos uo e wo são função
das rigidezes kxx e kzz nos apoios e podem ser considerados unitários para a
determinação de freqüências e modos de vibração. O parâmetro m representa o
número do modo em flexão a ser analisado. Todas as análises serão realizadas
considerando somente o 1° modo em flexão, logo m = 1.
A partir da eq. (3.54), observa-se que as rotações de seção e a energia de
deformação do eixo têm as mesmas expressões que as dadas pela eq. (3.3) e (3.5)
respectivamente.
54
Introdução à Dinâmica de Rotores
Introduzindo as eq. (3.54) e (3.3) na eq. (2.4), a energia cinética do disco é
dada por:
1  M
TD =  D
2 4

2
2
2
 i 2 i 2 
i

 πy  
π
π
2  πy  
2  πy 
+
+
+
−
1
sin
I
cos
p
p
I
Ω
cos
p


Dx  
2 
Dy  
 
   1
  1 p2

L
 L 
L 
 L   


 L 


(3.55)
Substituindo as eqs. (3.54) na eq. (2.22), a expressão que fornece o trabalho
virtual devido a flexibilidade dos mancais é:
δW = −k xx
π0  1 
π0  
π0 
π0  
1
1
1 
1 + sen  p1 δ  1 + sen  p1  − k zz  1 + sen  p2 δ  1 + sen  p2 

2
L  2 
L  
2
L  2 
L  
− k xx
πL  1 
πL  
πL 
πL  
1
1
1 
1 + sen  p1 δ  1 + sen  p1  − k zz  1 + sen  p2 δ  1 + sen  p2 

2
L  2 
L  
2
L  2 
L  
(3.56)
Logo, a eq. (3.56) se resume em:
δW = −
1
1
k xx p1 δp1 − k zz p2 δp2
2
2
(3.57)
Assim, as forças generalizadas Fp1 e Fp2 são:
Fp1 = −5 104 p1
Fp2 = −10 104 p2
(3.58)
Considerando a eq. (3.6), e a equação de Lagrange eq. (2.18), as equações de
movimento para o rotor anisotrópico são:
Introdução à Dinâmica de Rotores
ii
i
i
i
55
m p1 − a Ω p2 + k p1 = −5 104 p1
(3.59)
m p2 + a Ω p1 + k p2 = −10 104 p2
ou:
ii
i
ii
i
m p1− a Ω p2 + k1 p1 = 0
(3.60)
m p2 + a Ω p1+ k 2 p2 = 0
M
onde, m = D
4
2
2

 πy  
π
4
4
2  πy 
1 + sin  L   + IDx  L  cos  L  , k1 = k + 5 10 e k2 = k + 10 10 . As
 
 
 

constantes a e k são as mesmas apresentadas na eq. (3.6).
A solução para a eq. (3.60) é também da forma apresentada pela eq. (3.7), que
quando substituída na eq. (3.58) fornece a seguinte equação matricial:
(
 m s 2 + k1

 aΩs

)

  P1  = 0
m s2 + k 2  P2 

−a Ω s
(
(3.61)
)
O polinômio característico obtido na procura da solução não trivial é:
 k1 k 2 a 2 2  2 k1 k 2
s + +
+ 2Ω s +
=0
m m
m m m

4
(3.62)
A expressão para a primeira raiz, correspondente a primeira freqüência ω1 é :
2
s12
k
 k1 k 2
k
k1 k 2
a2
a2
2
2
Ω
Ω
= − 1 + 2 +
−
+
+
−



2
2
mm
 2m 2m 2m

 2m 2m 2m

(3.63)
56
Introdução à Dinâmica de Rotores
onde s1 = ± j ω1. E, a expressão para a segunda raiz, correspondente a segunda
freqüência ω2 é :
2
s22
k
 k1 k 2
k
k1 k 2
a2
a2
2
2
Ω
Ω
= − 1 + 2 +
+
+
+
−



2
2
mm
 2m 2m 2m

 2m 2m 2m

(3.64)
onde s2 = ± j ω2.
Considerando o eixo e o disco do rotor da Figura 3.11 tendo as mesmas
propriedades que o rotor da Figura 3.1, chega-se a m = 8,7226, a = 3,7782, k1 =
124578,8 e k2 = 174578,8, o Diagrama de Campbell para o rotor anisotrópico é como
apresentado pela Figura 3.12.
A resposta a um desbalanceamento em um rotor anisotrópico é analisada
considerando o deslocamento da massa desbalanceadora da forma:
L
π 
u
u( ,t) = r senΩt + d senΩt =  o (1 + sen ) + d sen Ωt
3
3 
2
L
π 
w
w( ,t) = r cosΩt + dcosΩt =  o (1 + sen ) + d cos Ωt
3
3 
 2
(3.65)
Usando o mesmo procedimento usado nas eqs. (3.15), (3.16) e (3.17), as
equações de movimento em um rotor anisotrópico são da forma:
ii
i
ii
i
m p1 − a Ω p2 + k1 p1 = 0,933 md d Ω2 senΩt
2
m p2 + a Ω p1 + k 2 p2 = 0,933 md d Ω cosΩt
A substituição da solução, eqs. (3.19), nas eqs. (3.66) resulta em:
(3.66)
Introdução à Dinâmica de Rotores
57
(k − (m + a ) Ω ) 0,933 m d Ω
P =
(k − mΩ )(k − mΩ ) − a Ω
(k − (m + a ) Ω ) 0,933 m d Ω
P =
(k − mΩ )(k − mΩ ) − a Ω
(3.67)
2
2
1
2
1
d
2
2
2
2
1
2
2
1
d
2
2
2
2
4
2
4
Observa-se pela eq. (3.67) que a órbita percorrida pelo eixo do rotor é elíptica,
P1 ≠ P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 teoricamente se tornam infinitas, o
que corresponde a anular o denominador da eq. (3.67). Rearranjando a eq. (3.67), o
polinômio, cujas raízes são as velocidades críticas do rotor, é:
(m
2
)
− a 2 Ω4 − m (k1 + k 2 ) Ω2 + k1k 2 = 0
(3.68)
A primeira velocidade crítica, onde a velocidade de rotação se iguala a
freqüência natural do rotor, é Ωc1 = ω = 106,8 rad/s = 17,0 hz e a segunda velocidade
crítica é Ωc2 = ω = 175,9 rad/s = 28,0 hz.
100
1.0E-1
Backward
90
Forward
1.0E-2
Resposta em frequencia
80
Frequencia = rotacao
1.0E-3
1.0E-4
60
50
1.0E-5
40
1.0E-6
30
velocidades
críticas
20
1.0E-7
1.0E-8
10
28
17
0
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
1.0E-9
90 100
Amplitude (m)
Frequencia (Hz)
70
58
Introdução à Dinâmica de Rotores
Figure 3.12 – Diagrama de Campbell e deslocamento do eixo de um rotor anisotrópico
Da observação da Figura 3.12, pelo fato da amplitude ser maior, conclui-se que
a segunda velocidade crítica, correspondente ao movimento de precessão forward, é a
que apresenta maior perigo. O sentido do movimento de precessão é determinado pelo
sinal do produto P1P2, logo:
(
)(
2
PP
k 2 − (m + a ) Ω2
1 2 = k1 − ( m + a ) Ω
)
(3.69)
Como k1 < k2:
Ω<
k1
m+a
P1 > P2
Ω=
k1
m+a
P1 ≠ 0
k1
< Ω < ω1
m+a
P1 > P2
k2
ω1 < Ω <
m+a
P1 < P2
Ω=
k2
m+a
P1 = 0
Ω>
k2
m+a
P1 < P2
Forward
e
P2 = 0
Backward
(3.70)
Backward
e
P2 ≠ 0
Forward
As eqs. (3.70) podem ser melhor interpretadas com as Figuras 3.13 e 3.14.
P2
P1
P2
P1
P2
+
P1
P2
P1
Forward
0
-
P2
Backward
k1
m+a
P2
-
+
P1
P1
Forward
Backward
ω1
k2
m+a
Ω
ω2
Introdução à Dinâmica de Rotores
59
Figure 3.13 – Órbita do centro do eixo em um rotor anisotrópico
1.0E-1
1.0E-2
1.0E-4
1.0E-5
1.0E-6
1.0E-7
1.0E-8
Forward
15,9
1.0E-9
0
10
Backward
Amplitude (m)
1.0E-3
Forward
18,8
20
30
40
Velocidade de rotação (rps)
50
Figure 3.14 – Sentido da precessão do centro do eixo de um rotor anisotrópico
3.3 – Efeito dos termos de acoplamento nos mancais
No estudo do comportamento de rotores com termos de acoplamento nos
mancais, as propriedades consideradas são: Kxx = 2,5 104 N/m, Kzz = 5 104 N/m, Kxz = Kzx = 4 103 N/m. Os termos de amortecimento Cxx, Czz, Cxz e Czx são neste caso
considerados nulos.
60
Introdução à Dinâmica de Rotores
Considerando o procedimento utilizado no item 3.2 para a obtenção das
rigidezes nos mancais, as forças generalizadas Fp1 e Fp2 são:
Fp1 = −5 104 p1 − 8 103 p2
Fp2 = −10 104 p2 + 8 103 p1
(3.71)
As equações de movimento para o rotor nesta configuração são então da
forma:
ii
i
ii
i
m p1 − a Ω p2 + k1 p1 + k12 p2 = 0
(3.72)
m p2 + a Ω p1 + k 2 p2 + k 21 p1 = 0
onde k1 = k + 5 104, k2 = k + 10 104, k12 = 8 103 e k21 = - 8 103. Para fins de simplificação
de notação, será considerado k = k1.
A eq. (3.72) pode também ser colocada de uma forma matricial:
 ii 
i 
m 0   p1   0 −aΩ   p1   k1 k12   p1 
 +
 =0
 0 m   ii  + aΩ
0   i  k 21 k 2  p2 

 p  
 2
p2 
(3.73)
A solução da eq. (3.73) é também a eq. (3.7), que pode ser também colocada
de uma forma vetorial:
 p1   P1  st
 = e
p2  P2 
(3.74)
ou de forma compacta:
p = P est
A eq. (3.75) pode também ser colocada de forma compacta:
(3.75)
Introdução à Dinâmica de Rotores
ii
61
i
M p+ Cp + K p = 0
(3.76)
onde M é a matriz de massa, C é a matriz giroscópica e de amortecimento e K é a
matriz de rigidez do sistema. Substituindo a eq. (3.75) na eq. (3.76), o sistema de
equações a ser resolvido pode ser colocado da forma:
 0 MP 
M 0   P 
 −K −C  sP  = s  0 M sP 

 

 
(3.77)
A eq. (3.77), colocada desta forma é um problema de autovalor-autovetor do
tipo
[ A ] {X} = s [B] {X} ,
onde s representa os autovalores e
{X}
seus autovetores
correspondentes. Os autovalores são complexos do tipo s = λ ± jω, onde um valor
positivo de λ indica um aumento exponencial da amplitude do rotor, tornando-o instável,
logo para λ < 0: rotor estável e λ > 0: rotor instável. A variável ω representa as
freqüências naturais do rotor.
Vale ressaltar que o sistema de equações dado pela eq. (3.76) é de ordem 2,
enquanto o sistema de equações dado pela eq. (3.77) é de ordem 4.
As
equações
de
movimento
do
rotor
quando
submetido
à
um
desbalanceamento, levando em consideração os termos de acoplamento são da forma:
ii
i
ii
i
m p1 − a Ω p2 + k1 p1 + k12 p2 = 0,866 md d Ω2 senΩt
(3.78)
2
m p2 + a Ω p1 + k 2 p2 + k 21 p1 = 0,866 md d Ω cosΩt
Em regime permanente, a solução das equações diferenciais acima são:
p1 = P1 senΩt + Q1 cosΩt
p2 = P2 senΩt + Q2 cosΩt
(3.79)
62
Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo a eq. (3.79) na eq. (3.78), e isolando os termos em senΩt e cosΩt,
o sistema a ser resolvido se colocada da forma:
k1 − mΩ2

0


 k 21
2

 aΩ
0
k12
k1 − mΩ2
−aΩ2
−aΩ2
k 2 − mΩ2
k 21
0
  P  m* dΩ2 
 1 

k12
  Q1   0 
 P  =  0 
0

 2 
*
2




k 2 − mΩ2  Q2  m dΩ 
aΩ2
(3.80)
Com a resolução do sistema, obtém-se P1, Q1, P2 e Q2, que quando
substituídos em (3.79) fornecem p1 e p2, e que conseqüentemente, quando substituídos
em (3.54) fornecem a resposta em freqüência de um ponto qualquer ao longo do
comprimento do rotor. Logo:
u(y,t) =
πy 
1
1 + sen  (P1 senΩt + Q1 cosΩt )

2
L 
1
πy 
w(y,t) =  1 + sen  (P2 senΩt + Q2 cosΩt )
2
L 
(3.81)
Como exemplo de aplicação, deseja-se traçar o Diagrama de Campbell e
determinar o deslocamento do centro do disco, y = L/3, considerando m = 8,7226, a =
3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,8, k12 = 8 103 e k21 = - 8 103, conforme mostra a
Figura 3.15.
Da resolução da eq. (3.77) para cada velocidade Ω, observa-se que a parte real
dos autovalores λ é sempre positiva, o que faz com que o rotor esteja em uma situação
de instabilidade.
Introdução à Dinâmica de Rotores
100
63
1.0E-1
90
1.0E-2
80
1.0E-3
1.0E-4
60
instável
50
1.0E-5
40
1.0E-6
Amplitude (m)
Frequencia (Hz)
70
30
1.0E-7
20
1.0E-8
10
0,0
0
1.0E-9
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figura 3.15 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
3.4 – Efeito do amortecimento dos mancais
Considere um rotor com propriedades de mancais do tipo: Kxx = 2,5 104 N/m,
Kzz = 5 104 N/m, Kxz = Kzx = 0, Cxx = 0,5.102 N/m/s, Czz = 1.102 N/m/s e Cxz = 0 e Czx = 0
(ver Figura 1.13).
Substituindo as derivadas no tempo das eqs. (3.54) na eq. (2.22), obtém-se a
expressão que fornece o trabalho virtual. Logo, as forças generalizadas Fp1 e Fp2 são:
i
Fp1 = −5. 104 p1 − 1. 102 p1
4
2
i
Fp2 = −10. 10 p2 − 2. 10 p2
(3.82)
64
Introdução à Dinâmica de Rotores
Considerando a eq. (3.6), e a equação de Lagrange eq. (2.18), as equações de
movimento para o rotor com amortecimento externo são:
ii
i
ii
i
i
m p1 − a Ω p2 + k p1 = −5 104 p1 − 2 102 p1
5
2
(3.83)
i
m p2 + a Ω p1 + k p2 = −5 10 p1 − 4 10 p2
ou :
ii
i
i
ii
i
i
m p1− a Ω p2 + c1 p1+ k1 p1 = 0
(3.84)
m p2 + a Ω p1+ c 2 p2 + k 2 p2 = 0
onde c1 = 1.102 e c2 = 2.102.
A eq. (3.84) pode ser colocada de uma forma matricial:
 ii 
i 
m 0   p1   c1 −aΩ  p1  k1 0   p1 
 0 m  ii  + aΩ c   i  +  0 k  p  = 0

 p  
2  
2  2
 
 2
p2 
(3.85)
A eq. (3.85) pode também ser colocada na forma da eq. (3.74). A solução
representa os autovalores e seus autovetores associados.
As
equações
de
movimento
do
rotor
quando
submetido
à
um
desbalanceamento, levando em consideração o amortecimento externo é do tipo:
ii
i
i
ii
i
i
m p1 − a Ω p2 + c1 p1 + k1 p1 = 0,933 md d Ω2 senΩt
2
m p2 + a Ω p1 + c 2 p2 + k 2 p2 = 0,933 md d Ω cosΩt
(3.86)
Introdução à Dinâmica de Rotores
65
Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima é
também dada pela eq. (3.75), que quando substituída na eq. (3.86), e isolando os
termos em senΩt e cosΩt, o sistema a ser resolvido se coloca da forma:
k1 − mΩ2
0
aΩ2   P1  m*dΩ2 
−c1Ω

  

−aΩ2
k1 − mΩ2
0
 c1Ω
  Q1   0 

 P  =  0 
2
2
−
−
−
0
aΩ
k
mΩ
c
Ω

2
2

 2 
Q2  m*dΩ2 
2 
 aΩ2
0
c 2Ω
k 2 − mΩ 



(3.87)
Com a resolução do sistema, obtém-se P1, Q1, P2 e Q2, que quando
substituídos em (3.76) fornecem p1 e p2, e que conseqüentemente, quando substituídos
em (3.54) fornecem a resposta em freqüência de um ponto qualquer ao longo do
comprimento do rotor (ver eq. (3.81)).
Como exemplo de aplicação, deseja-se traçar o Diagrama de Campbell e
determinar o deslocamento do centro do disco, y = L/3, considerando m = 8,7226, a =
3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,8, c1 = 100 e c2 = 200, conforme mostra a Figura
3.16.
66
Introdução à Dinâmica de Rotores
100
1.0E-1
Backward
90
80
Resposta em frequencia
1.0E-3
1.0E-4
60
50
1.0E-5
40
1.0E-6
Amplitude (m)
Frequencia = rotacao
70
Frequencia (Hz)
1.0E-2
Forward
30
1.0E-7
20
velocidades
críticas
10
0
1.0E-8
1.0E-9
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figure 3.16 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
Comparando a Figura 3.16 com a Figura 3.12, verifica-se que houve uma leve
alteração no Diagrama de Campbell, no entanto, houve uma redução bastante sensível
na amplitude de vibração do eixo.
3.5 – Efeito do amortecimento interno
O efeito do amortecimento interno em uma estrutura, inerente ao seu material, é
considerado matematicamente da seguinte forma:
i
σ = E ε + ηE ε
(3.88)
Introdução à Dinâmica de Rotores
67
onde η e ε são o fator de amortecimento interno viscoso e a taxa de deformação,
respectivamente.
Substituindo a eq. (3.88) na eq. (2.5), tem-se:
U=
i
E  2

ε
+
η
ε
ε  dV

∫
2 V

(3.89)
A taxa de deformação calculada no sistema de coordenadas de referência,
segundo a eq. (2.7), pode ser colocada da forma:
i
ε = −x
2
i
*
2
i
∂ u
∂ w*
−
z
∂y 2
∂y 2
(3.90)
i
i
*
onde u e w * são as velocidades de um ponto arbitrário da seção transversal do eixo
nas direções x e z do sistema de referência, respectivamente. Considerando a eq.
(2.11), estas velocidade são:
i
i
i
i
i
i
u* = u cosΩt − w senΩt − Ω u senΩt − Ω w cosΩt
(3.91)
w * = u senΩt + w cosΩt + Ω u cosΩt − Ω w s enΩt
Substituindo as eq. (3.90) na eq. (3.89), temos:
1
U= E
2
∫
V
+
1
ηE
2
2
 ∂ 2u *
∂2w * 
−
−
x
z
dV

2
2 
y
y
∂
∂


∫
V
i
i


2
2
 ∂ 2u *
u*
w*
∂
∂
∂ 2w * 
−x

−z
−z
−x
dV

∂y 2
∂y 2  
∂y 2
∂y 2 


e, substituindo as eq. (2.11) e (3.91) na eq. (3.92), temos:
(3.92)
68
Introdução à Dinâmica de Rotores
L
1
U = EI
2
 ∂ 2u 2  ∂ 2 w  2 
1
 2  +  2   dy + η E I
2
 ∂y   ∂y  


∫
0
L
+
∫
1
ηEI
2
0
L
∫
0
i 
 2 2 i   2

2
u
u
w
w
∂
∂
∂
∂

+
  dy
 ∂y 2 ∂y 2   ∂y 2 ∂y 2  

 
 
(3.93)
  ∂ 2u ∂ 2 w 
 ∂ 2 w ∂ 2u  
−
+
Ω
Ω
  2 2
 2 2   dy
  ∂y ∂y 
 ∂y ∂y  
Substituindo a eq. (3.2) na eq. (3.93), a energia de deformação do eixo
considerando o amortecimento interno é:
L

4
1
π 
2
2
2  πy  
U = EI 
sen   dy p1 + p2 +
2
L 
 L 
 0

∫
(
)
L

4
i
1
 i

π 
2  πy  
+ ηEI 
sen   dy  p1 p1+ p2 p2 


2
L
 L 


 0

∫
(3.94)
L

4
π
1
  
2  πy  
+ ηEI 
sen   dy ( −Ω p1 p2 + Ω p2 p1 )
2
L 
 L 
 0

∫
Aplicando as equação de Lagrange, (2.18), nas eq. (3.4) e, considerando agora
o amortecimento interno do eixo na expressão de energia de deformação, eq. (3.94), a
equação de movimento do rotor é da forma:
ii
i
i
ii
i
i
m p1− a Ω p2 + η k p1+ k1 p1 − η k Ω p2 = 0
m p2 + a Ω p1+ η k p2 + k 2 p2 + η k Ω p1 = 0
A eq. (3.95) pode também ser colocada de uma forma matricial:
(3.95)
Introdução à Dinâmica de Rotores
69
 ii 
i 
−η k Ω  p1 
m 0   p1   η k −aΩ  p1   k1
 =0
 0 m  ii  +  aΩ η k   i  +  η k Ω
k 2  p2 

 p  
 p  
 2
 2
(3.96)
A eq. (3.96) pode também ser colocada na forma da eq. (3.74). A solução
representa os autovalores e seus autovetores associados.
Como exemplo de aplicação, deseja-se traçar o Diagrama de Campbell e
determinar o deslocamento do centro do disco, y = L/3, considerando m = 7,7766, a =
3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,7, k = 74578,8. As Figuras 3.17, 3.18 e 3.19
ilustram o efeito do amortecimento interno com os respectivos valores: η = 0,005, η =
0,05 e η = 0,5.
100
Backward
90
Forward
80
Resposta em frequencia
1.0E-1
1.0E-2
1.0E-3
instável
1.0E-4
60
50
1.0E-5
40
1.0E-6
Amplitude (m)
Frequencia (Hz)
70
30
1.0E-7
20
1.0E-8
10
27,0
0
1.0E-9
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figura 3.17 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco (η = 0,005)
70
Introdução à Dinâmica de Rotores
100
1.0E-1
Backward
90
Forward
80
1.0E-2
Resposta em frequencia
1.0E-3
instável
1.0E-4
60
50
1.0E-5
40
1.0E-6
Amplitude (m)
Frequencia (Hz)
70
30
1.0E-7
20
1.0E-8
10
29,0
0
1.0E-9
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figura 3.18 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco (η = 0,05)
100
1.0E-1
Backward
Forward
80
Resposta em frequencia
Frequencia (Hz)
70
instável
60
50
1.0E-2
1.0E-3
1.0E-4
1.0E-5
40
1.0E-6
Amplitude (m)
90
30
1.0E-7
20
1.0E-8
10
28,0
0
1.0E-9
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figura 3.19 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco (η = 0,5)
Introdução à Dinâmica de Rotores
71
Observa-se pelas Figuras 3.17, 3.18 e 3.19 que com o aumento do
amortecimento, o modo de vibração backward tender a desaparecer e que a
instabilidade inicia a partir da segunda velocidade crítica.
No exemplo a seguir, é considerado um rotor com as seguintes propriedades:
m = 7,7766, a = 3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,7, k = 74578,8 e η = 0,5. Além do
amortecimento interno, será introduzido amortecimento externo nos mancais com c1 =
25 e c2 = 50, conforme mostra a Figura 3.20.
A comparação entre as Figuras 3.20 e 3.19 mostra que a introdução de
amortecimento externo nos mancais faz com que a instabilidade do rotor se dê em
velocidades maiores que a segunda velocidade crítica (90,0 rps).
100
1.0E-1
Backward
90
1.0E-2
Forward
80
Resposta em frequencia
1.0E-3
1.0E-4
60
instável
50
1.0E-5
40
1.0E-6
Amplitude (m)
Frequencia (Hz)
70
30
1.0E-7
20
1.0E-8
10
90,0
0
1.0E-9
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figura 3.20 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
3.3 – Rotor isotrópico em balanço
O método de Rayleigh-Ritz, permite também prever o comportamento de
72
Introdução à Dinâmica de Rotores
rotores em balanço como mostra a Figura 3.21 a partir de uma aproximação do campo
de deslocamento no primeiro modo de vibração da forma como apresentado pela eq.
(3.97). Os mancais são inicialmente considerados rígidos, não tendo influência nas
equações de movimento do rotor.
z
L/2
L/2
y
x
1° modo
Ω
Figura 3.21 – Rotor isotrópico em balanço
2
y
y 
u(y,t) =  − 2    p1(t)
 L  
 L
2
y
y 
w(y,t) =  − 2    p2 (t)
 L  
 L
(3.97)
Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do
problema para y = 0 e y = L/2 onde u = w = 0.
As rotações de seção são determinadas fazendo (ver Figura 2.3):
y
∂w  1
=  − 4 2  p1
∂y  L
L 
∂u
y
1
ψ(y,t) = −
= −  − 4 2  p2
∂y
L 
L
θ(y,t) =
(3.98)
As equações de movimento do rotor são obtidas a partir das energia cinética do
disco energia de deformação do eixo. Assim, introduzindo as eq. (3.97) e (3.98) na eq.
(2.4), a energia cinética do disco é dada por:
Introdução à Dinâmica de Rotores
73
2

2
2
2
2
i 2
y
1
y   i
y i
y 
1
1
TD = MD  − 2    + IDx  − 4 2    p1 + p2  − IDy Ω  − 4 2  p2 p1

2
L   
L 
 L  
L
L
 L



(3.99)
Como o disco está situado a y = L, a expressão de energia cinética do disco é
da forma:
TD =
2
i 2
1
9  i
9 i
M
I
p
p
+
+
− IDy Ω 2 p2 p1
 D Dx 2   1
2 

2
L 
L

(3.100)
Substituindo a eq. (3.97) na eq. (2.17), a energia de deformação do eixo é dada
da forma:
2
L
 4 
1
U = E I   2   dy p12 + p22
2
 L  
0

∫
(
)
(3.101)
Da aplicação da equação de Lagrange, eq. (2.24), nas eqs. (3.99) e (3.101),
temos:
ii
i
ii
i
m p1− a Ω p2 + k p1 = 0
(3.102)
m p2 + a Ω p1+ k p2 = 0
com: m = MD + IDx
9
2
L
, a = IDy
9
2
L
,k=
16 EI
L3
.
O procedimento de resolução da eq. (3.102) é o mesmo apresentado
anteriormente, não necessitando de maiores comentários.
74
Introdução à Dinâmica de Rotores
Como exemplo de aplicação, considere a rotor com a configuração mostrada na
Figura 3.21, com os seguintes dados; disco rígido: IDx = 0,1225 kg.m2, IDy = 0,2450
kg.m2, MD = 7,85 kg; eixo: L = 0,4 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 10
11
N/m2. Substituindo
estes dados nas equações acima tem-se: m = 14,74 e a = 13,78 e k = 24500.
A Figura 3.22 apresenta o Diagrama de Campbell e a resposta em freqüência
considerando uma massa desbalanceadora, md = 0,001 kg, colocada sobre o disco a
uma distância de 0,05 m do centro.
Comparando o rotor na configuração bi-apoiado com a configuração em
balanço, verifica-se uma redução na freqüência com o rotor parado (ω(Ω=0) = 15,5 hz
contra ω(Ω=0) = 6,5 hz), enquanto que a velocidade crítica aumentou (Ωc = 21,7 hz
contra Ωc = 25,4 hz). Observa-se que o efeito giroscópico é neste caso muito mais
acentuado (a = 3,7782 contra a = 13,78).
1.00E-1
Backward
90
Forward
Resposta em frequencia
80
Frequencia = rotacao
Frequencia (Hz)
70
60
1.00E-2
1.00E-3
1.00E-4
50
1.00E-5
40
velocidade
crítica
30
Amplitude (m)
100
1.00E-6
20
1.00E-7
10
0
1.00E-8
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figure 3.22 – Diagrama de Campbell e resposta em freqüência para o rotor isotrópico
em balanço
Pelo método de Rayleigh-Ritz, é possível verificar a influência de uma massa
distribuída entre y = L/8 e y = 3L/8 como mostra a Figura 3.23. O efeito desta massa no
Introdução à Dinâmica de Rotores
75
comportamento do rotor pode ser considerado de duas formas: a) concentrando toda a
massa em y = L/4 e b) concentrando 1/3 da massa em y = L/8, y = L/4 e y = 3L/8.
z
L/2
L/2
x
y
Mc
L/8
Ω
3L/8
Figura 3.23 – Rotor isotrópico em balanço
a) Concentrando Mc em y = L/4:
A energia cinética da massa nesta situação é:

1
TD = Mc
2

2
1
 1 
 − 2  
 4  
 4
2
i
 i
  p1 + p2
 
2
2




(3.103)
Logo a massa efetiva da massa distribuída é mc = 0,015625 Mc. E a massa
efetiva de todo o conjunto girante é m = MD + IDx
9
L2
+ 0,015625Mc . A energia de
deformação da massa distribuída pode ser calculada da forma:
2
3L / 8

1
4 
U= EI
dy p12 + p22

2  
2
L  

 L/8

∫
(
)
(3.104)
Logo a rigidez efetiva da massa distribuída é k c =
todo o conjunto girante é k =
16EI
3
L
+
4EIc
L3
4EIc
L3
. E a rigidez efetiva de
. A Figura 3.24 mostra o comportamento do
76
Introdução à Dinâmica de Rotores
rotor para uma massa distribuída com: Mc = 6 kg, E = 2 10
11
N/m2 e Ic = 7,36 10-9 m4,
para esta situação, onde m = 14,83, a = 13,78 e k = 116538,84. A velocidade crítica
para esta situação é (ver eq. (3.22)) Ωc = 53,02 hz.
100
1.00E-1
90
1.00E-2
velocidade
crítica
Frequencia (Hz)
70
1.00E-3
60
1.00E-4
50
1.00E-5
40
Backward
30
1.00E-6
Forward
20
Resposta em frequencia
Frequencia = rotacao
10
Amplitude (m)
80
0
1.00E-7
1.00E-8
0
10
20
30 40 50 60 70 80
Velocidade de rotação (rps)
90 100
Figure 3.24 – Diagrama de Campbell e resposta em freqüência para o rotor isotrópico
em balanço com massa distribuída
b) Concentrando 1/3 da massa em y = L/8, y = L/4 e y = 3L/8:
A energia cinética da massa nesta situação é:

1 M
TD =  c
2 3

2
2
2
2
2
1
M 1
M 3
 1 
 1 
3 
 − 2   + c  − 2   + c  − 2  
3  4
3  8
 8  
 4  
 8  
 8
2
i
 i
+
p
p

 1
2
 
2
2




(3.105)
Logo a massa efetiva da massa distribuída é mc = 0,0111075 Mc. E a massa
efetiva de todo o conjunto girante é m = MD + IDx
9
L2
+ 0,011075Mc . Considerando a
Introdução à Dinâmica de Rotores
77
mesma massa acima têm-se que: m = 14,81, a = 13,78 e k = 116538,84. A velocidade
crítica para esta situação é (ver eq. (3.22)) Ωc = 53,53 hz.
78
Introdução à Dinâmica de Rotores
4 – RESPOSTA TRANSIENTE DO ROTOR
O presente capítulo avalia o comportamento dinâmico de rotores em função do
tempo a partir da definição do campo de deslocamentos definido pelo método de
Rayleigh-Ritz.
4.1 – Equações e soluções
A expressão de energia cinética de um disco, considerando agora a velocidade
i
i
de rotação do rotor como função do tempo φ = φ (t) é colocada da forma (ver eq. (2.4)):
TD =
1
MD
2
 i2 i 2  1
 u + w  + IDx

 2


i
i
i2
 i2 i 2 
1
θ
+
ψ
+
ψ
θ
φ
+
φ
I
I

 Dy
Dy


2


(4.1)
Introduzindo as eq. (3.2) e (3.3) na eq. (4.1), a energia cinética do disco é:
2
2
i
 i 2 i 2 
1
π
π
 πy  i
2  πy 
2  πy 
TD = MD sin   + IDx   cos     p1 + p2  − IDy   cos2   p1 p2 φ

2 
 L 
L
 L   
L
 L 

(4.2)
A aplicação das equações de Lagrange, eq. (2.24) na eq. (4.2) fornece:


2
2
i i
ii 
 ii
d  ∂TD  ∂TD 
π
π
2  πy 
2  πy 
2  πy  
M
sin
I
cos
p
I
cos
p
p
−
=
+
−
φ
+
φ


D
2 
 L  Dx  L 
 L  1 Dy  L 
 L  2
dt  i  ∂p1 
 
 
  
 
 

p
∂
 1


2
i i
 ii   π 2
d  ∂TD  ∂TD 
π
2  πy 
2  πy 
2  πy 
+
M
sin
I
cos
p
I
cos
−
=
+

 p1 φ


D
Dx
2
Dy










dt  i  ∂p2 
L 
L
L  
L
L  







 ∂ p2 
(4.3)
A expressão de energia de deformação do eixo é (ver eq. (3.5)) :
Introdução à Dinâmica de Rotores
L

4
1
 π 
2
2
2  πy  
U= EI 
sen   dy p1 + p2


2
L
 L 
 0

∫
(
79
)
(4.4)
A aplicação das equações de Lagrange, eq. (2.24) na eq. (4.2) fornece:
4 L
∂U
π 
 πy  
= E I    ∫ sen2    dy p1
∂p1
 L   0
 L  
L
∂U
π 
 πy  
= E I    ∫ sen2    dy p2
∂p2
 L   0
 L  
4
(4.5)
A expressão de energia cinética de uma massa desbalanceadora, considerando
que φ = Ωt é (ver eq. (3.15)) :
m
Tm = d
2
2
2

i
i
i
i
 
 
 0,866 p1 + d φ cos φ  +  0,866 p2 − d φ senφ  

 
 
(4.6)
Desenvolvendo a eq. (4.6), tem-se:
Tm =
md
2
i2
i i
i2
i i
i2

2
0,75 p1 + 1,732 d cos φ p1 φ+ 0,75 p2 − 1,732 d senφ p2 φ+ d φ 


(4.7)
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (4.7):


ii
i2
 ii

d  ∂Tm  ∂Tm
−
=
+
φ
φ
−
φ
0,75
m
p
0,866
m
d
cos
senφ 

d
1
d
i
 ∂p1


dt 


 ∂ p1 


ii
i2
 ii

d  ∂Tm  ∂Tm
0,75
m
p
0,866
m
d
sen
cos
−
=
−
φ
φ
+
φ
φ


d
2
d


dt  i  ∂p2


 ∂ p2 
(4.8)
80
Introdução à Dinâmica de Rotores
Considerando que a massa desbalanceadora é muito inferior a massa do disco
ii
ii
(md << MD), os termos 0, 75 md p1 e 0, 75 md p2 podem ser desprezados. Logo as
equações de movimento do rotor considerando a velocidade do rotor função do tempo
são colocadas da forma:
ii
ii
i i

m p1 − a  φ p2 + φ p2  + k p1 = 0,866 md


i2
 ii

d  φ cos φ − φ senφ 




i2
 ii

m p2 + a φ p1 + k p2 = −0,866 md d  φ senφ + φ cos φ 




ii
(4.9)
i i
A eq. (4.9) pode também ser colocada de uma forma matricial:
i i 
 ii  
m 0   p1   0 −a φ  p1  k
i +  1
 0 m   ii  +  i



 p  a φ
0  p2   0
 2  

i2
 ii


0,866
m
d
φ
cos
φ
−
φ
sen
φ



d 
ii 


p


−a φ  1  = 
  

2
i
 ii

k 2  p2  
 −0,866 md d  φ senφ + φ cos φ  


 
(4.10)
Colocando a eq. (4.10) de forma compacta :
ii
i
M p(t) + C(t) p(t) + K(t) p(t) = F(t)
(4.11)
A eq. (4.11) deve ser resolvida a cada instante t, ou seja:
ii
i
M p(t + ∆t) + C(t + ∆t) p(t + ∆t) + K(t + ∆t) p(t + ∆t) = F(t + ∆t)
(4.12)
É comum usar o método de Newmark para resolver a eq. (4.11) onde considerase que as velocidades e os deslocamentos no instante (t+∆t) são da forma:
Introdução à Dinâmica de Rotores
81
ii
∆t  ii

p(t) + p(t + ∆t)

2 

(4.13)
i
i
p(t + ∆t) = p(t) +
e:
∆t 2
p(t + ∆t) = p(t) + p(t) ∆t +
4
i
ii
 ii

p(t)
p(t
+
+ ∆t)



(4.14)
A eq. (4.14) pode ser colocada como:
ii
i
ii

 4
p(t + ∆t) = p(t + ∆t) − p(t) − p(t) ∆t  2 − p(t)

 ∆t
(4.15)
Substituindo a eq. (4.15) na eq. (4.13) resulta em:
i
p(t + ∆t) =
i
2
[p(t + ∆t) − p(t)] − p(t)
∆t
(4.16)
Substituindo as eqs. (4.15) e (4.16) na eq. (4.12) e rearranjando os termos:
 4M 2

 2 + C(t + ∆t) + K(t + ∆t) p(t + ∆t) = F(t + ∆t)
∆t
 ∆t

ii
 4M 2

 4M
i
+  2 + C(t + ∆t) p(t) + 
+ C(t + ∆t) p(t) + Mp(t)
∆t
 ∆t

 ∆t

(4.17)
A solução da eq. (4.17) fornece p(t + ∆t) , e as eqs. (4.15) e (4.16) fornecem
ii
i
respectivamente, p(t + ∆t) e p( t + ∆t) . O procedimento se inicia em t0 = 0 com as
i
ii
condições iniciais p(0) e p(0) conhecidas. A aceleração p(0) é facilmente obtida
i
ii
introduzindo as quantidades p(0), p(0) e p(0) na eq. (4.11). No primeiro passo ∆t, a eq.
(4.17) é colocada da forma:
ii
 4M 2

 2 + C(∆t) + K(∆t) p(∆t) = F(∆t) + Mp(t)
∆t
 ∆t

(4.18)
82
Introdução à Dinâmica de Rotores
i
ii
Assim, p(∆t) é obtido e, p( ∆t) e p(∆t) são obtidos das eqs. (4.16) e (4.15)
respectivamente.
4.2 – Exemplos de aplicação
Rotor isotrópico
Considere um rotor isotrópico, onde por conveniência os eixos coordenados são
colocados conforme apresentado pela Figura 4.1. Desta forma, os dados são os
seguintes: disco rígido: IDy = IDz = 0,0081 kg.m2, IDx = 0,0162 kg.m2 e MD = 4 kg; eixo : L
= 0,36 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 1011 N/m2. O produto massa desbalanceadora
colocada sobre o disco pela sua distância é md.d = 0,0001 kg.m. Vale ressaltar que o
vetor rotação do rotor Ω é paralelo à direção x e evolui linearmente no tempo da forma:
Ω = C0.t, sendo C0 a aceleração do rotor.
y
L/3
2L/3
x
z
Ω
Figura 4.1 – Disco em y = L/3
O Diagrama de Campbell para o rotor em questão está apresentado na Figura
4.2.
Introdução à Dinâmica de Rotores
83
Figura 4.2 – Diagrama de Campbell – rotor isotrópico
A Figura 4.3 ilustra a resposta transiente medida na posição onde se encontra o
disco sendo a aceleração C0 = 40 rad/s2 e o número de passos 1000 (time steps).
Figura 4.3 – Resposta transiente com C0 = 40 rad/s2 – rotor isotrópico
84
Introdução à Dinâmica de Rotores
A Figura 4.4 ilustra a resposta transiente medida na posição onde se encontra o
disco com a aceleração C0 = 60 rad/s2 e o número de passos 1000 (time steps).
Observa-se que com a aceleração de 60 rad/s2, as amplitudes do rotor são menores
que com a aceleração de 40 rad/s2.
Figura 4.4 – Resposta transiente com C0 = 60 rad/s2 – rotor isotrópico
A Figura 4.5 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 2,5 a 3
s. Pode-se observar que a órbita é circular e, de acordo com a direção do vetor rotação
do rotor apresentado na Figura 4.1, o movimento de precessão é direto.
Introdução à Dinâmica de Rotores
85
Figura 4.5 – Órbita circular de um rotor isotrópico
Rotor anisotrópico
Considere um rotor anisotrópico, conforme apresentado pela Figura 4.6 com os
seguintes dados: disco rígido: IDy = IDz = 0,0225 kg.m2, IDx = 0,045 kg.m2 e MD = 4 kg;
eixo: L = 0,36 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 1011 N/m2 e rigidez dos mancais: kyy = 1.106
N/m e kzz = 1.108 N/m. O produto massa desbalanceadora colocada sobre o disco pela
sua distância é md.d = 0,0001 kg.m. O vetor rotação do rotor Ω é também paralelo à
direção x e evolui linearmente no tempo da forma: Ω = C0.t, sendo C0 a aceleração do
rotor.
y
L/3
Kzz
z
Kyy
2L/3
Kzz
x
Kyy
Ω
Figura 4.6 – Rotor com mancais flexíveis e anisotrópicos
O Diagrama de Campbell para o rotor em questão está apresentado na Figura
4.7.
86
Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.7 – Diagrama de Campbell – rotor anisotrópico
A Figura 4.8 ilustra a resposta transiente medida na posição onde se encontra o
disco com a aceleração C0 = 60 rad/s2 e o número de passos 1000 (time steps).
Figura 4.8 – Resposta transiente com C0 = 60 rad/s2 – rotor anisotrópico
Introdução à Dinâmica de Rotores
87
A Figura 4.9 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 2 a 2,5
s. Pode-se observar que a órbita não é mais circular e, de acordo com a direção do
vetor rotação do rotor apresentado na Figura 4.6, o movimento de precessão é direto.
t = 2,5 s
Figura 4.9 – Órbita de um rotor anisotrópico (de 2 a 2,5 s) – precessão direta
A Figura 4.10 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 3 a
3.2 s. Pode-se observar que a órbita é não circular e, de acordo com a direção do vetor
rotação do rotor apresentado na Figura 4.6, o movimento de precessão é inverso.
A Figura 4.11 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 4 a
4,5 s. Pode-se também observar que a órbita é não e, de acordo com a direção do vetor
rotação do rotor apresentado na Figura 4.6, o movimento de precessão é direto.
88
Introdução à Dinâmica de Rotores
t=3s
Figura 4.10 – Órbita de um rotor anisotrópico (de 3 a 3,2 s) – precessão inversa
t=4s
Figura 4.11 – Órbita de um rotor anisotrópico (de 4 a 4,5 s) – precessão direta
Introdução à Dinâmica de Rotores
89
4.3 – Fadiga em eixos de rotores
No projeto de máquinas rotativas, devem ser considerados diferentes aspectos
técnicos para o seu perfeito funcionamento. Um dos aspectos que devem ser
considerados é a análise de tensões de seus componentes, mais particularmente de
seu eixo.
Em virtude das grandes amplitudes de vibração da máquina rotativa, e
conseqüentemente da grande intensidade das tensões que atuam na seção transversal
do eixo, é importante considerar neste contexto, a posição da velocidade de operação
da máquina rotativa com relação à suas velocidades críticas, o sentido do movimento
de precessão do eixo (direto ou inverso), o número de vezes que a máquina passa
pelas velocidades críticas (nas acelerações e nas desacelerações), etc. Em função das
características da máquina rotativa e da posição de sua velocidade de operação, as
tensões atuantes na seção transversal do eixo poderiam exceder a resistência do
material do eixo causando a sua falha. Em função do movimento de precessão do eixo
e do número de vezes que a máquina acelera e desacelera, a falha no eixo poderia
ocorrer por fadiga do material. Portanto, além dos aspectos dinâmicos que devem ser
analisados no comportamento de uma máquina rotativa, é interessante proceder-se a
uma análise de tensões, sobretudo ao que diz respeito à falha por fadiga.
A falha por fadiga começa na borda da seção transversal em um ponto do eixo
que apresenta descontinuidade de material (mudança de seção transversal, rasgo de
chaveta, etc.). A ruptura se propaga no sentido diametral de forma lenta em boa parte
da seção transversal até a ruptura rápida do eixo na sua última porção (ver Figuras 4.12
e 4.13).
90
Introdução à Dinâmica de Rotores
Origem da fratura
Zona de crescimento lento da
fratura (marcas de praia)
Zona de fratura instantânea
(aspecto de fratura frágil)
Figura 4.12 – Comportamento da fratura por fadiga na seção transversal do eixo
Figura 4.13 – Seção transversal de um eixo exibindo falha por fadiga
Contrariamente a resistência estática de um material obtida em ensaio de
tração simples, a qual apresenta baixa dispersão nos resultados medidos, a resistência
à fadiga de um material necessita de um número muito grande de ensaios e
posteriormente de processamento estatístico. Esse é um dos motivos pelo qual o
fenômeno de falha por fadiga não ser totalmente conhecido.
Introdução à Dinâmica de Rotores
91
A Figura 4.14 apresenta um exemplo de curva de resistência à fadiga para um
número finito de ciclos, também chamada de Diagrama S-N (Stress-Number of cyclos)
com corpos-de-prova de um mesmo material.
5
4
3
Limite de
resistência à fadiga
Sn
S (MPa)
2
100
1E+3
1E+4
1E+5
Ciclos, N
1E+6
1E+7
Figura 4.14 – Exemplo de Diagrama S-N
A experiência mostra que para um número de ciclos menor que 103, a
resistência à fadiga pode ser considerada como sendo a própria resistência estática do
material.
Uma pesquisa realizada usando uma grande quantidade de dados de testes de
tração simples e testes rotativos de fadiga, mostra que há uma relação entre a
resistência à fadiga e a resistência à tração, que para aços pode variar de 40 a 60%
para uma resistência de até 400 MPa. Para valores maiores que 400 Mpa, o limite de
resistência à fadiga fica em torno de 200 MPa. Por causa da dispersão nos valores do
limite de resistência à fadiga, adota-se um limite médio de resistência à fadiga:
92
Introdução à Dinâmica de Rotores
Sn' = 0,50 Sr
para
Sn' = 200 MPa
para
Sr ≤ 400 MPa
Sr > 400 MPa
(4.19)
O limite de resistência a fadiga pode ser modificado por uma série de fatores:
acabamento superficial (ka), dimensões da peça (kb), confiabilidade (kc), temperatura
(kd), concentração de tensões (ke), efeitos diversos (kf), etc. Assim
Sn = k a k b k c k d k e k f S'n
(4.20)
A evolução das tensões na seção transversal do eixo do rotor em função do
tempo são determinadas da forma:4

∂ 2u(t)
∂ 2 w(t) 
σ y (t) = E ε y (t) = E  − x
−
z

∂y 2
∂y 2 

(4.21)
Considerando os deslocamentos dados pela eq. (3.2) e a solução da equação
diferencial de movimento do rotor quando submetido a uma força de excitação síncrona
dada pela eq. (3.19), a eq. (4.21) pode ser colocada da forma:
2
πy
πy
π 

σ y (t) = E ε y (t) = E    x sen p1(t) + z sen p2 (t)
L
L
L 

(4.22)
Colocando a eq. (4.22) de forma mais compacta:
2
π
σ y (t) = E   [ x u(y,t) + z w(y,t)]
L
4
(4.23)
Para manter a mesma simbologia usada no início do texto, a tensão normal à seção transversal do eixo
será mantida σy e não S como na análise de falha por faiga.
Introdução à Dinâmica de Rotores
93
onde y é a posição do ponto ao longo do comprimento do rotor, e x e z são as
coordenadas do ponto na seção transversal do eixo onde se deseja obter o valor de
tensão.
Como exemplo de aplicação, considere o rotor isotrópico visto no item 4.2
acelerando a 60 rad/s2. A distribuição das tensões no tempo de 3,1s é conforme mostra
a Figura 4.15 (ver Figura 4.4):
Figura 4.15 – Distribuição das tensões normais em t = 3,1s
Observa-se que a maior tensão situa-se no ponto ao longo do eixo onde está
posicionado o disco e é de 63,5 MPa. Sem considerar a redução da resistência à fadiga
por fatores diversos conforme apresentado pela eq. (4.20), o eixo desse rotor teria vida
infinita, conforme mostra a Figura (4.14).
94
Introdução à Dinâmica de Rotores
5 – BALANCEAMENTO EM ROTORES
5.1 – Introdução
Segundo a norma brasileira NBR8007/83, o desbalanceamento é aquela
condição que existe em um rotor, quando forças e movimentos vibratórios são
imprimidos em seus mancais, por forças centrífugas. Estas forças centrífugas surgem
quando o centro de massa do rotor não coincide com o seu centro geométrico. Em
função destas forças centrífugas, a amplitude de vibração em um rotor pode ultrapassar
valores admissíveis por norma, podendo levar a máquina rotativa ao colapso.
Para evitar ou diminuir as vibrações devido ás forças centrífugas, deve-se
realizar o balanceamento da máquina que, segundo a norma brasileira NBR8008/83, o
balanceamento é um procedimento que procura melhorar a distribuição de massa de
um corpo, de modo que este gire em seus mancais sem forças de desbalanceamento.
Antes de realizar o balanceamento em um rotor, é necessário inicialmente
identificar se as vibrações têm origem no desbalanceamento ou se têm uma outra
origem como por exemplo: o empenamento do eixo, desalinhamento entre seus
componentes, folga nos mancais, trinca no eixo, etc.
5.2 – Princípio básico do balanceamento
Em todos os métodos de balanceamento, o princípio básico do balanceamento
é o de gerar esforços que compensem (anulem) o efeito das forças centrífugas
geradas. A Figura 5.1 apresenta uma situação de um rotor operando a uma velocidade
Ω, em uma órbita de raio r excitado por uma massa desbalanceadora, md, que gera
uma força centrífuga Fc = mdrΩ2. Se existe somente uma massa única massa
desbalanceadora, a compensação pode ser feita em um único plano, chamado de plano
de compensação.
Vale lembrar que, se a velocidade de operação do rotor Ω é menor que a
primeira velocidade crítica do rotor ω1, a amplitude da órbita r e a força centrífuga estão
em fase (β = 0°), e se a velocidade de operação do rotor Ω é maior que a primeira
velocidade crítica do rotor ω1, a amplitude da órbita r e a força centrífuga estão
Introdução à Dinâmica de Rotores
95
defasados (β = 180°) (ver Figura 1.8). Como normalmente o que se mede é a amplitude
r, isto significa que, se Ω < ω1, a força restauradora Fr deve estar defasada de r de 180°
e se Ω > ω1, a força restauradora Fr deve estar em fase com r.
Fc = mdrΩ2
md
r
Ω
Fr
Plano de compensação
Figura 5.1 – Efeito da força restauradora em um plano de compensação.
Podem ocorrer situações onde a massa desbalanceadora gera um força
centrífuga Fc = mdrΩ2 e um momento Mc = mdrΩ2 yd, conforme mostra a Figura 5.2.
Z
Fc
Plano de compensação - 2
yd
md
r
y1
Plano de compensação - 1
Fr 1
y2
Y
Ω
Fr 2
Figura 5.2 – Efeito das forças restauradoras em dois planos de compensação.
Como nem sempre é possível identificar o plano onde atua a força centrífuga,
para balancear o rotor nestas situações são necessários no mínimo dois planos de
compensação de maneira que o equilíbrio de força e momento seja restabelecido:
96
Introdução à Dinâmica de Rotores
Fc − Fr1 − Fr2 y 2 = 0
(5.1)
Fc y d − Fr1 y1 + Fr 2 y 2 = 0
(5.2)
Em função das características dos componentes dos rotores (eixo, disco,
mancais, etc.), estes podem ser considerados rígidos ou flexíveis. De maneira geral, um
rotor rígido é aquele que opera em uma velocidade em cujo modo de vibração o eixo se
comporta como se fosse rígido (deformação somente dos mancais). Enquanto que, um
rotor flexível é aquele que opera em uma velocidade em cujo modo de vibração o eixo
se comporta como se fosse flexível (ver Figura 1.10).
Existem vários métodos para o balanceamento de rotores, porém um dos mais
utilizados é o Método dos Coeficientes de Influência.
5.3 – Método dos Coeficientes de Influência
O Método dos Coeficientes de Influência é um dos métodos mais utilizados para
o balanceamento de rotores rígidos e que pode também ser utilizado para o
balanceamento de rotores flexíveis, Vance, J. M., 1988 e Seve, F., 2002. O Método dos
Coeficientes de Influência é baseado nos seguintes conceitos: o campo de
balanceamento requer geralmente a quantificação da resposta do eixo do rotor, da
força aplicada e da relação entre elas expressa da forma:
Re sposta =
Força
Re strição
(5.3)
No campo do balanceamento de rotores, a restrição na eq. (5.3) pode ser
considerada como um parâmetro do tipo rigidez do rotor associado a uma deflexão (ou
amplitude de vibração) devido a um desbalanceamento específico. Logo, a eq. (5.3)
pode ser reescrita da forma:
Vibração =
Desbalanceamento
Sensibilidade
(5.4)
Introdução à Dinâmica de Rotores
97
As variáveis da eq. (5.4) são quantidades vetoriais, contendo uma magnitude e
uma direção. Se uma vibração inicial do rotor é descrita por um vetor A e o
desbalanceamento é definido por um vetor U, então o vetor sensibilidade S do rotor a
este balanceamento específico é da forma:
→
→
A=
U
(5.5)
→
S
O vetor sensibilidade S pode ser experimentalmente determinado pela adição de
uma massa de calibração conhecida colocada em uma posição angular conhecida e
medindo-se a amplitude de vibração do rotor. Assumindo que o novo vetor
desbalanceamento devido a introdução da massa de calibração seja definido por W e o
vetor amplitude de vibração resultante definido por B medido nas mesmas condições de
operação quando medido o vetor vibração inicial A, a eq. (5.5) pode ser expandida
como:
→
→
B=
→
U+ W
(5.6)
→
S
Expandindo a eq. (5.6) e considerando a eq. (5.5) tem-se:
→
→
B=
U
→
→
+
S
W
→
S
→
= A+
→
W
→
(5.7)
S
ou:
→
→
B− A =
→
W
→
S
(5.8)
98
Introdução à Dinâmica de Rotores
Logo, o vetor sensibilidade pode ser obtido:
 → 
 W 
S = → → 
 B − A 
→
(5.9)
Assim, o vetor desbalanceamento U, que em princípio é desconhecido, pode ser
determinado por:
→
→
→
U = SxA
(5.10)
O procedimento para o balanceamento de um rotor considerando o Método dos
Coeficientes de Influência pode ser exemplificado da seguinte forma: considere um
rotor com dois mancais e um disco (plano de compensação). Dois sensores de vibração
instalados em cada uma das extremidades medem as amplitudes de vibração (ver
Figura 5.3). O centro geométrico do disco é C, o centro de massa é M e a origem do
sistema de coordenadas é O.
X
Z
45° 45°
X
Z
Vista do plano
de compensação
45° 45°
Z
X
M
C≈O
Figura 5.3 – Configuração de um rotor para o procedimento de balanceamento em um
plano de compensação
Introdução à Dinâmica de Rotores
99
A configuração deformada do rotor quando submetido a uma velocidade de
operação Ω é da seguinte forma:
U
A
θ=Ωt
β
X
Z
M
C
O
Ω
Figura 5.4 – Configuração deformada do rotor submetido a um desbalanceamento U
A representação da evolução no tempo da vibração do rotor pode ser captada
pelos sensores instalados em X e Z pode ser como ilustrado na Figura 5.5.
X
OC
t
Z
OC
Figura 5.5 – Evolução da amplitude de vibração captada pelos sensores em X e Z.
100
Introdução à Dinâmica de Rotores
Após a introdução da massa de calibração M’ conhecida em uma posição
angular conhecida, o desbalanceamento gerada por esta massa será W e a amplitude
de vibração resultante será B, quando o rotor é submetido a mesma velocidade de
operação Ω (ver Figura 5.6):
U
B
θ=Ωt
X
Z
M
W
M’
C
O
Ω
Figura 5.6 – Configuração deformada do rotor devido a introdução da massa de
calibração M’
A medição dos ângulos é feita a partir de uma referência e deve seguir uma
convenção como, por exemplo, a apresentado na Figura 5.7:
X
Z
45°
0°
315°
90°
135°
270°
180°
225°
Ω
Figura 5.7 – Convenção de sinais para a medição dos ângulos
Para fins de exemplificação do Método dos Coeficientes de Influência,
Introdução à Dinâmica de Rotores
101
considere um rotor bi-apoiado de comprimento de 4,4958 m, diâmetro de 380 mm e
massa total de 3158,08 kg (ver Figura 5.3). A primeira velocidade crítica deste rotor é
ω1 = 1500 rpm e o rotor será balanceado na velocidade de Ω = 1650 rpm.
A Figura 5.8 apresenta a seção transversal do eixo do rotor em uma posição
deformada devido ao seu desbalanceamento inicial U, o qual deseja-se medir. O vetor
→
A representa o deslocamento medido devido ao desbalanceamento inicial U e
→
é A = 5,6µm∠322 .
Z
X
A
322°
β
M C
O
U
Ω
Figura 5.8 – Vibração inicial devido ao desbalanceamento U
Introduzindo uma massa de calibração M’ = 567 gramas a 40° de X, o
→
desbalanceamento adicional gerado pela massa de calibração é W = 567 gramas∠40 ,
conforme mostra a Figura 5.9. O deslocamento resultante da adição da massa de
→
calibração é B = 7,54µm∠226 . Recomenda-se por norma que a massa de calibração
deve ser tal que a força centrífuga gerada por ela deve estar entre 5% e 15% do peso
do rotor.
Assim, o vetor sensibilidade é obtido com a eq. (5.9) e é da forma:
→

567 gramas∠40

S=

 7,54µm∠226 − 5,6µm∠322 
(5.11)
102
Introdução à Dinâmica de Rotores
W
Z
X
40° M’
O
M
U
C
Ω
226°
B
Figura 5.9 – Vibração com massa de calibração M’
Usando as regras de subtração e divisão de vetores (ver anexo 6.3), tem-se:
→

 567 gramas∠40   567 gramas
S=
∠ 40 − 192 
=

 9,85 µm∠192   9,85 µm
(
)
(5.12)
Portanto, o vetor sensibilidade é da forma:
→
S = 57,56 gramas / µm∠208
(5.13)
→
O vetor desbalanceamento U pode ser determinado a partir da eq. (5.10):
→
→
→
{
}{
U = S x A = 57,56 gramas / µm∠208 x 5,6 µm∠322
}
(5.14)
Usando as regras de multiplicação de vetores, tem-se que o desbalanceamento
→
inicial do rotor dado pelo vetor U é (ver Figura 5.10):
→
→
→
(
U = S x A = 57,56x5,6 gramas∠ 208 + 322
) = 322gramas∠170
(5.15)
Introdução à Dinâmica de Rotores
103
Z
X
A
C M
O
Ω
170°
U
β=180°
Figura 5.10 – Identificação de debalanceamento inicial U
Conclusão: Como o rotor foi balanceado em uma velocidade Ω > ω1, a defasagem entre
a resposta e a excitação é 180°. Logo, a força restauradora deverá ser tal que
→
Ur = 322gramas∠350 (ver Figura 5.11). Este efeito mode ser obtido adicionando uma
massa de correção M’ de 322 gramas a 350° de X, ou retirando uma massa de 322
gramas a 170° de X.
Z
X
Ur
350°
M’
O
C M
Ω
U
Figura 5.11 – Localização da força restauradora Ur
104
Introdução à Dinâmica de Rotores
O Método dos Coeficientes de Influência pode ser aplicado em dois ou mais
planos de compensação (W1 e W2) (ver Figura 5.12).
X
Z
45° 45°
W1
X
W2
Z
45° 45°
1
2
Figura 5.12– Configuração de um rotor para o procedimento de balanceamento em dois
planos de compensação
No caso de dois planos de compensação a eq. (5.5) se torna:
→
A1 =
→
U1
→
S11
→
A2 =
→
U1
→
S21
→
U2
+→
S12
→
U2
+→
S22
onde:
→
A1 = vetor vibração inicial medido no mancal 1,
→
A 2 = vetor vibração inicial medido no mancal 2,
→
U1 = vetor desbalanceamento no plano 1,
→
U2 = vetor desbalanceamento no plano 2,
→
S11 = vetor sensibilidade no mancal 1 devido a W1,
(5.16)
Introdução à Dinâmica de Rotores
105
→
S12 = vetor sensibilidade no mancal 1 devido a W2,
→
S21 = vetor sensibilidade no mancal 2 devido a W1,
→
S22 = vetor sensibilidade no mancal 2 devido a W2.
Devido a introdução de uma massa de calibração no plano 1 (W1), os novos
vetores vibração são:
→
B11 =
→
→
U1 + W 1
→
S11
→
B 21 =
→
→
U1 + W 1
→
S21
→
U2
+→
S12
→
(5.17)
U2
+→
S22
onde:
→
W 1 = vetor desbalanceamento no plano 1,
→
B11 = vetor vibração medido no mancal 1 devido a W1,
→
B 21 = vetor vibração medido no mancal 2 devido a W1,
e, retirando a massa de calibração do plano 1 (W1) e introduzindo a massa de
calibração do plano 2 (W2), os novos vetores vibração são:
→
B12 =
→
U1
→
→
+
→
S11
→
B 22 =
U1
S21
onde:
S12
→
→
→
U2 + W 2
→
+
→
U2 + W 2
→
S22
(5.18)
106
Introdução à Dinâmica de Rotores
→
W 2 = vetor desbalanceamento no plano 2,
→
B12 = vetor vibração medido no mancal 1 devido a W2,
→
B 22 = vetor vibração medido no mancal 2 devido a W2,
As eqs. (5.16), (5.17) e (5.18) podem ser arranjadas a obter as sensibilidades
→
S11 ,
→
S12 ,
→
S21
→
e
S22 . Substituindo as sensibilidades nas eqs. (5.16), os
→
→
desbalanceamentos U1 e U2 podem ser determinados:
→  →
→ 
→
S12 x A1  −  S22 x A 2 

→
 

U1 = 
→
→

 

 S12  −  S22 
 →   → 
 S11   S21 
→  →
→ 
→
S
x
A
S
x
A
−
2
1
 21
  11
→




U2 =
→
→

 

 S21  −  S11 
 →   → 
 S22   S12 
(5.19)
Em rotores flexíveis, o Método dos Coeficientes de Influência deve ser utilizado
em conjunto com uma avaliação modal. A Figura 5.13 apresenta o efeito das massas
de correção (balanceadoras) nos diferentes modos de vibração de um rotor flexível.
Considerando que as massas de correção devem ser tais que as forças
centrífugas por elas geradas devem anular a força centrífuga gerada pela massa
desbalanceadora, as forças centrífugas geradas pelas massas de correção podem ser
diferentes em função da velocidade de operação do rotor que excitará um ou outro
modo de vibração. Tem sido demonstrado experimentalmente que, se somente dois
planos de correção são usados, um rotor flexível pode ser balanceado em somente
uma única velocidade, Vance, J. M. 1988. Kellenberger, W. 1972, considera que, o
Introdução à Dinâmica de Rotores
107
número de planos de correção deveria ser igual ao número de velocidades críticas a
serem atravessadas
Massa
desbalanceadora
plano de
compensação
plano de
compensação
1
1/2
1/2
Massas de
correção
1° Modo
2° Modo
Figura 5.13 – Distribuição das massas de correção em rotores flexíveis
.
108
Introdução à Dinâmica de Rotores
6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À DINÂMICA DE ROTORES
O método dos elementos finitos aplicado à dinâmica de rotores é um método
numérico que discretiza o rotor em ne elementos de eixo (e conseqüentemente nn nós)
e nd elementos de disco. As equações de movimento de rotor discretizado, são obtidas
aplicando as equações de Lagrange (ver eq. (5.1) ) sobre: a) a energia cinética dos
discos (os discos são considerados rígidos), b) energia cinética e de energia de
deformação dos elementos de eixo e, c) sobre a energia cinética das massas
desbalanceadoras. As forças atuantes nos mancais são consideradas através do
cálculo do trabalho virtual.
A discretização do rotor faz com que a sua cinemática (deslocamentos,
velocidades e acelerações) seja transferida para os seus nós através de suas
coordenadas generalizadas, chamadas de graus de liberdade (gdl) (u, w, que são os
deslocamentos transversais e, θ e ψ que são as inclinações de seção transversal).
A Figura 5.1 apresenta um rotor genérico discretizado em ne elementos de eixo
de comprimento , nd elementos de disco e mancais flexíveis.
z
nd
...
ne
Kxx
x
Kxx
kzz
y
nn
kzz
Ω
dy
Figura 6.1 – Rotor discretizado em elementos de eixo e de disco
A grande vantagem do método dos elementos finitos quando comparado ao
método de Rayleigh-Ritz é que a aproximação do campo de deslocamento é polinomial
ao longo de um elemento de eixo, o que faz com que a forma dos modos de vibração
do rotor seja melhor representada, independente de sua configuração.
Introdução à Dinâmica de Rotores
109
A equação de Lagrange aplicada sobre todas as formas de energia dos
componentes do rotor é colocada da forma:
d  ∂T  ∂T ∂U
+
= Fpi

−
dt  ∂pi  ∂pi ∂pi
(5.1)
onde T representa a energia cinética dos elementos de disco e de eixo do rotor e a
energia cinética de uma massa desbalanceadora, U representa a energia de
deformação do eixo, Fpi são as forças generalizadas oriundas dos mancais e pi são as
coordenadas generalizadas.
5.1 – Matrizes de um elemento de disco
As matrizes de um elemento de disco são obtidas a partir da formulação de sua
energia cinética calculada da seguinte forma (ver eq. (2.3)):
TD =
1
MD
2
 i2 i 2 1
 u + w  + IDx

 2


i
 i2 i 2
1
2
 θ + ψ  + IDy Ω ψ θ + IDy Ω


2


(5.2)
Aplicando as equações de lagrange, eq. (5.1), sobre a eq. (5.2), obtêm-se as
matrizes de massa e giroscópica (ou Coriolis) de um disco:
0 0
MD 0
0 M
0 0 
d  ∂TD  ∂TD 
D
−
=
0 IDx 0 
dt  ∂δ  ∂δ  0


0
0 IDx 
0
matriz de massa
 ii 
u 
0 
0 0 0
 ii 
0 0 0
0 
w 

 ii  + Ω 0 0 0 −I 
Dy
θ


 
0 
0 0 IDy

ii
 
ψ 
matriz de Coriolis
i
u 
i
w 
i
θ
 
i
ψ 
(5.3)
110
Introdução à Dinâmica de Rotores
onde δ = ( u,w, θ, ψ ) é o vetor com as coordenadas generalizadas ou deslocamentos
t
nodais.
5.2 – Matrizes de um elemento de eixo
As matrizes de um elemento de eixo são obtidas a partir da formulação de sua
energia cinética e sua energia de deformação em flexão. A energia cinética de um
elemento de eixo de densidade volumétrica ρ, área de seção transversal A e
comprimento
, a partir da aplicação da eq. (5.2) em um elemento de volume
infinitesimal dV e comprimento dy, tem a forma:
2
2
i 2
i 2
i
1 i
1 i
Ω2
2
2
TE = ∫  u + w  ρ dV + ∫  θ + ψ  z ρ dV + Ω ∫ ψ θ ∆ ρ dV +


2 V 
2 V 
2
V


∫ ∆ ρ dV
2
(5.4)
V
Expandindo as integrais da eq. (5.4), temos:
TE =
 i2 i 2 
ρ
dA
u + w d

2 A∫ ∫0 

+
i
 i2 i 2 
Ω2 ρ
ρ 2
2
θ
+
ψ
+
+
ρ
ψ
θ
+
z
dA
dy
Ω
∆
dA
dy
∆2 dA ∫ dy


∫
∫
∫
∫
∫


2A
2 A
0
A
0
0

(5.5)
o que resulta em:
2
2
i 2
i 2
i
ρA  i
ρΙ  i
+
+
θ
+
ψ
+
ρ
ψ
θ dy + ρ I Ω2
TE =
u
w
dy
dy
2
IΩ




∫
∫
∫




2 0
2 0
0


(5.6)
A energia de deformação de um elemento de eixo de material E, momento de
inércia de área I, área de seção transversal A, comprimento
e força axial Fo aplicada
sobre a seção transversal do elemento, tem a forma (ver (eq. 2.17) e eq. (2.20)):
Introdução à Dinâmica de Rotores
1
U= EI
2
∫
0
 ∂ 2u 2  ∂ 2 w 2 
F

 dy + o
+



2
 ∂y 2   ∂y 2  


111
∫
0
 ∂u 2  ∂w 2 
  + 
  dy
 ∂y   ∂y  
(5.7)
Um elemento de eixo é modelado como uma viga com 2 nós, que flexiona em
dois planos ortogonais (x, y) e (z, y). Os eixos (x, y, z) formam o sistema de eixos local
do elemento. A cada nó estão associados 4 gls de forma que o vetor deslocamento
nodal
do
elemento
é
colocado
da
forma
δ = ( u1,w1, θ1, ψ1,u2 ,w 2 , θ2 , ψ 2 )
t
ou
δu = ( u1, ψ1,u2 , ψ 2 ) e δw = ( w1, θ1,w 2 , θ2 ) .
t
t
z
ψ2
ψ1
u1
θ1
2
1
w1
θ2
u2
y
w2
x
Figura 5.2 – Graus de liberdade de um elemento de eixo
O método dos elementos finitos define o campo de deslocamentos transversais
dentro do elemento como sendo um polinômio de grau 3 e tem a forma :
u(y,t) = N1 ( y ) δu(t)
w(y,t) = N2 (y) δw(t)
(5.8)
As inclinações de seção estão relacionadas com os deslocamentos transversais
por :
112
Introdução à Dinâmica de Rotores
∂w(y,t) ∂N2 (y)
=
δw(t)
∂y
∂y
∂N (y)
∂u(y,t)
ψ(y,t) = −
=− 1
δu(t)
∂y
∂y
θ(y,t) =
(5.9)
onde N1(y) e N2(y) são funções de forma de um elemento de viga em flexão de EullerBernoulli:
 3y 2 2y 3
2y 2 y 3 3y 2 2y 3 y 2 y 3 
− 2; 2 − 3 ; − 
N1 ( y ) = 1 − 2 + 3 ; − y +
L
L
L
L
L L
L L

(5.10)
 3y 2 2y 3
2y 2 y 3 3y 2 2y 3 y 2 y 3 
+ 2 ; 2 − 3 ;−
+ 
N2 ( y ) = 1 − 2 + 3 ;y −
L
L
L
L
L
L L
L

Substituindo as eqs. (5.8) e (5.9) na eq. (5.6), a expressão de energia cinética
de um elemento de eixo pode ser colocada da forma:
TE =
i
i
i
i 
ρA  t t
ρΙ
t
t
δ
δ
+
δ
δ
u
N
N
u
w
N
N
w

 dy +
1 1
2 2
∫
2 0
2

i
i
t
i 
 it dN1t dN1 i
t dN2 dN2
δ
δ
+
δ
δ
u
u
w
w
 dy
∫  dy dy
dy
dy

0
dN1t dN2
+ 2 ρ IΩ ∫ δ u
δw dy + ρ I Ω2
dy dy
0
t
(5.11)
Substituindo as funções de forma, eqs. (5.10) e suas derivadas, na eq. (5.11) e
integrando tem-se:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
1
1
1
1
TE = δ ut M1δ u + δ w t M2δ w + δ ut M3 δ u + δ w t M4 δ w + δ ut M5 δw + ρ I Ω2
2
2
2
2
2
(5.12)
As matrizes M1 e M2 são matrizes clássicas de massa, M3 e M4 fornecem a
influência da inércia rotacional de seção transversal, e M5 fornece o efeito giroscópico
(ou de Coriolis) de um elemento de eixo.
Introdução à Dinâmica de Rotores
113
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (5.12), tem-se :
ii
i
d  ∂TE  ∂TE
−
=
+
δ+
δ
(M
M
)
C
s
dt  ∂δ  ∂δ
(5.13)
onde M e Mssão obtidas respectivamente de M1, M2 e M3, M4 e a matriz C é obtida de
M5.
u1
θ1
w1
ψ1
u2
θ2
w2
ψ2
0
−22L 54
0
0
13L  u
156 0

 1
−
156
22L
0
0
54
13L
0

 w1
2
2

4L
0
0
13L −3L
0  θ1


2
2

 ψ1
−
−
4L
13L
0
0
3L
ρ SL
M=


−22L  u2
420 
156
0
0

156 −22L
0  w2


sim.
4L2
0  θ2



4L2  ψ 2

u1
w1
θ1
ψ1
0
−3
36 0

36 3
0


4 2
0

4 2
ρI 
Ms =

30 


sim.



u2
w2
−36 0
−36
0
θ2
ψ2
0
3
−3  u
1
0  w
1
0  θ1

− 2  ψ1

3  u2
0  w2

0  θ2

4 2  ψ2
2
0
−3
−
3L
36
0
0
36
0
0
−3
4
2
(5.14)
(5.15)
114
Introdução à Dinâmica de Rotores
u1
w1
θ1
ψ1
−3
0
0 −36

0
0
−3


0
−4 2

ρ IΩ 
0
C=

15 


anti − sim.



u2
w2
θ2
ψ2
0
36
−3
−36
0
0
−3
0
0
0
−3
−
0
−36
3
0
0
0 u
1
−3  w
1
2 
θ
 1
0  ψ1

0  u2
3  w2

−4 2  θ2
0  ψ 2
0
2
(5.16)
Substituindo as eqs. (5.8) e (5.9) na eq. (5.7), a expressão de energia de
deformação em flexão de um elemento de eixo pode ser colocada da forma:
2
t 2

EI  t d2N1t d2N2
t d N2 d N2
u
u
w
δ
δ
+
δ
δw  dy

∫
2
2
2
2

2 0 
dy dy
dy dy


F 
dN1t dN1
dN2t dN2
+ o ∫  δut
δu + δw t
δw  dy

2 0 
dy dy
dy dy

U=
(5.17)
Substituindo as funções de forma, eqs. (5.10) e suas derivadas, na eq. (5.17) e
integrando tem-se:
U=
1 t
1
1
1
δu K1 δu + δw t K 2 δw + δut K 3 δu + δw t K 4 δw
2
2
2
2
(5.18)
As matrizes K1 e K2 são matrizes clássicas de rigidez, K3 e K4 são matrizes de
rigidez devido a força axial Fo. O efeito do cisalhamento transverso em eixos cujo
diâmetro têm a mesma ordem de grandeza que o comprimento é levado em conto
através do seguinte fator:
a=
12EI
GA
(5.19)
Introdução à Dinâmica de Rotores
115
onde G é o módulo de cisalhamento.
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (5.18), tem-se :
∂U
= K c + K Fo δ
∂δ
(
)
(5.20)
onde Kc e K Fo são obtidas respectivamente de K1, K2 e K3, K4..
u1
Kc =
EI
(1 + a)
3
u1
KFo
w1
θ1
0
12 0

12
6


(4 + a)






sim.



w1
θ1
ψ1
0
−3
36 0

36 3
0


4 2
0

4 2
F 
= o 
30 


sim.



2
ψ1
u2
−6
0
−12 0
−12
0
0
(4 + a)
2
w2
0
−6
6
12
0
0
12
θ2
ψ2
0
6
−6
0
(2 − a)
0
0
−6
(4 + a)
u2
w2
−36 0
−36
0
θ2
ψ2
0
3
−3  u
1
0  w
1
0  θ1

− 2  ψ1

3  u2
0  w2

0  θ2

4 2  ψ2
2
0
−3
−
3
36
0
0
36
0
0
−3
4
2
2
2
u
 1
 w1
θ
0
 1
2
(2 − a)  ψ1 (5.21)

6
 u2
 w2
0

0
 θ2

(4 + a) 2  ψ 2
(5.22)
5.3 – Matrizes de rigidez e de amortecimento dos mancais
A influência da rigidez e do amortecimento viscoso dos mancais no
116
Introdução à Dinâmica de Rotores
comportamento em flexão do rotor é considerada a partir do trabalho virtual das forças
atuando no eixo. As forças generalizadas são então colocadas da forma :
i
i
Fu = −k xxu − k xz w − c xx u− c xz w
i
(5.23)
i
Fw = −k zz w − k zxu − c zz w − c zx u
A eq. (5.23) pode ser colocada de uma forma matricial:
 Fu 
k xx
  = −
Fw 
k zx
k xz   u  c xx
 −
k zz   w   c zx
i
c xz   u 
 
c zz   i 
w 
(5.24)
A eq. (5.24) pode ser expandida de forma à introduzir os graus de liberdade
relativos a inclinação de seção, θ e ψ.
 Fu 
k xx
F 
k
 w
 zx
=
−
 
F
 0
 θ

 
 0
Fψ 
k xz
k zz
0
0
0
0
0
0
0   u  c xx
0   w  c zx
 −
0  θ   0


0   ψ   0
c xz
c zz
0
0
0
0
0
0
i
u
0  
i 

0   w 
 
0  i 
 θ
0  i 
 
ψ 
(5.25)
5.4 – Efeito de uma massa desbalanceadora
O efeito de uma massa desbalanceadora é introduzido nas equações de
movimento do rotor através do cálculo de sua energia cinética. Considere então uma
massa desbalanceadora de massa md, situada no ponto M distante d do centro
geométrico do disco O, conforme mostra a Figura 4.3.
Introdução à Dinâmica de Rotores
117
Z
Ωt
M
C
w
d
X
u
O
Figura 4.3 – Deslocamento de uma massa desbalanceadora md
A posição da massa desbalanceadora é data pelo vetor OM é então:
 u + d senΩt 


OM =  cons tan te 
 w + d cosΩt 


(5.26)
Logo, o vetor velocidade instantânea da massa desbalanceadora é:
V md
i

 u+ dΩ cosΩt 
dOM 

=
=
0

dt
i

 w − dΩ senΩt 
(5.27)
A expressão de energia cinética de uma massa desbalanceadora pode então
ser colocada da forma:
Tmd =
1
md Vm2
d
2
(5.28)
118
Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo a eq. (5.27) na eq. (5.28):
Tmd
2
2
 i
1
  i
 
= md  u+ dΩ cosΩt  +  w − dΩ senΩt  
2

 
 
(5.29)
Desenvolvendo a eq. (5.29) tem-se :
Tmd
i
i 2
i
 i2

1
= md  u + 2u dΩ cosΩt + w − 2 w dΩ senΩt + Ω2 d2 


2


(5.30)
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (5.30), tem-se :
ii
d  ∂TE 
2
m
u
=
d − md dΩ senΩt
i

dt 
 ∂u 
ii
d  ∂TE 
m
w
=
− md dΩ2 cosΩt
d
dt  i 
 ∂w 
(5.31)
Como uma massa desbalanceadora é desprezível quando comparada a massa
ii
ii
dos outros componentes do rotor, os termos md u e md w podem ser desconsiderados.
5.5 – Equações de movimento do rotor
Após determinar todas as matrizes elementares dos componentes do rotor, é
possível obter a equação diferencial de movimento do rotor da forma:
ii
i
M δ+ C δ+ K δ = F(t)
(5.32)
Introdução à Dinâmica de Rotores
119
onde M é a matriz de massa global, C é a matriz de Coriolis global (mais a matriz de
amortecimento), K a matriz de rigidez global e F(t) são as forças generalizadas
deduzidas do trabalho virtual. A ordem das matrizes e dos vetores é função do número
total de gdls do rotor (N).
As freqüências naturais e os modos de vibração do rotor são determinados a
partir do sistema de equações homogêneas obtidas do sistema não amortecido ou não
giroscópico do tipo:
ii
M δ+ K δ = 0
(5.33)
A solução da eq. (5.33) é do tipo:
δ = φ e jωt
(5.34)
onde φ é a amplitude e ω é a freqüência natural.
Substituindo a eq. (5.34) na eq. (5.33), temos:
( −ω
2
)
M+K φ = 0
(5.35)
A eq. (5.35) consiste de um problema típico de autovalores-autovetores onde os
autovalores são as freqüências naturais do rotor, ωi, e os autovetores são os modos de
vibração associados às freqüências, φi.
Como a solução trivial, φ = 0, não nos interessa, o determinante da matriz deve
ser nulo.
(
)
det −ω2 M + K = 0
(5.36)
A partir da eq. (5.36) determina-se o polinômio característico do problema no
qual as freqüências ωi são as raízes. Uma vez determinadas as freqüências ωi, os
120
Introdução à Dinâmica de Rotores
modos de vibração φ i são determinados substituindo cada ωi na eq. (5.35).
A resposta em regime permanente (resposta em freqüência) do rotor é obtida a
partir da eq. (5.32). Como visto anteriormente no método de Rayleigh-Ritz, a resposta
de um ponto pode ser obtida a partir de uma hipótese razoável do deslocamento do
rotor. Fazendo uso do método dos elementos finitos, nesta hipótese é freqüentemente
utilizado os modos de vibração φi, o qual é chamado de método Modal. Normalmente, o
número total de gdls do rotor N é muito elevado, sendo considerados somente os n
primeiros autovetores (n <<N).
δ=φp
(5.37)
Substituindo a eq. (5.37) na eq. (5.32) e pré-multiplicando por φt, temos:
φt M φ p + φt C φ p + φt K φ p = φt F(t)
(5.38)
As freqüências naturais em função da rotação do rotor, ω = ω(Ω), são obtidas
resolvendo a equação homogênea:
φt M φ p + φ t C φ p + φ t K φ p = 0
(5.39)
A resposta em regime permanente, devido a um desbalanceamento é uma
solução do tipo:
p = P1 sen Ω t + P2 cos Ω t
(5.40)
e a resposta devido a uma força assíncrona é uma solução do tipo:
p = P1 sen µ Ω t + P2 cos µ Ω t
(5.41)
Introdução à Dinâmica de Rotores
121
5.6 – Propriedades dos modos
Considere a eq. (5.35) após a determinação da freqüência ωi e do modo de
vibração φi.
ωi2 M φi = K φi
(5.42)
A freqüência ωj e modo de vibração φj é uma outra solução do problema:
ω2j M φ j = K φ j
(5.43)
Pré-multiplicando a eq. (5.42) por φjt e a eq. (5.43) por φit, tem-se:
ωi2 φtj M φi = φtj K φi
ω2j φit M φ j = φit K φ j
(5.44)
Como as matrizes M e K são simétricas, a igualdade existe:
φit M φ j = φtj M φi
φit K φ j = φtj K φi
(5.45)
Substituindo as eq. (5.45a) e (5.45b) na eq. (5.44b), tem-se:
ω2j φtj M φi = φtj K φi
(5.46)
Subtraindo a eq. (5.46) da eq. (5.44a), temos:
(ω
2
i
)
− ω2j φtj M φi = 0
(5.47)
122
Introdução à Dinâmica de Rotores
Como as freqüências naturais são diferentes, ωi ≠ ωj, com exceção dos modos
de corpo rígido, ωi = ωj = 0:
φtj M φi = 0
(5.48)
e levando em consideração a eq. (5.44a):
φtj K φi = 0
(5.49)
Considere a eq. (5.42), pré-multiplicada desta vez por φit:
ωi2 φit M φi = φit K φi
(5.50)
ou:
ωi2 =
φit K φi k i
=
φit M φi mi
(5.51)
onde ki e mi são a rigidez modal e a massa modal associadas ao modo ωi e φi.
Da eq. (5.31), observa-se que a matriz Coriolis é anti-simétrica. Assim, da eq.
(5.39), conclui-se que a matriz φtCφ não é diagonal como as matrizes φtMφ e φtKφ, o que
corresponde ao não desacoplamento entre as n equações do sistema.
Para a resposta em regime permanente, solução da eq. (5.38), deve então ser
utilizado o método “pseudo-modal”.
m1


 0
0
0
0 
mn 
 p1 
k1
  + φt C φ p + 
 

pn 
 0
0
0
0 
k n 
 p1   f1(t) 
 =

  

pn   fn (t)
(5.52)
Introdução à Dinâmica de Rotores
123
5.7 – Técnica de montagem das matrizes globais
Considere o rotor visto anteriormente discretizado em três elementos de eixo
(ou viga) de igual comprimento
= L/3 (1, 2, e 3) e um elemento de disco (4), com
quatro nós, Figura 4.4:
4
1
1
1
2
3
3
2
2
1
4
21
2
Figura 4.4 – Malha do rotor simplesmente apoiado
No modelo acima, os nós de cada elemento de eixo ou de disco, estão
relacionados aos nós do rotor segundo a tabela abaixo:
Vetor deslocamento δ
N° do elemento
Tipo de elemento
Nós do rotor
1
Viga
1–2
u1, w1, θ1, ψ1, u2, w2, θ2, ψ2
2
Viga
2–3
u2, w2, θ2, ψ2, u3, w3, θ3, ψ3
3
Viga
3–4
u3, w3, θ3, ψ3, u4, w4, θ4, ψ4
4
Disco
2
u2, w2, θ2, ψ2
As matrizes globais de massa, rigidez e de Coriolis são obtidas superpondo as
matrizes elementares de acordo com a tabela acima. A seguir é mostrado a matriz de
rigidez global após a superposição das matrizes de rigidez elementares dos elementos
1 e 2:
124
Introdução à Dinâmica de Rotores
u1 w1 θ1
0
12 0

12 6L


4L2








EI
K= 
L3 












ψ1
u2
w2
θ2
−6L
0
ψ2
−12
0
0
6L
0
−12
6L
0
2
u3
θ3
w3
ψ3 u4 ...
0
0
−6L
2L
0
4L2
6L
0
0
2L2
12 + 12
0
0
6L − 6L
−12
0
0
6L
12 + 12
−6L + 6L
0
0
−12
6L
0
4L2 + 4L2
0
0
−6L
2L2
0
6L
0
0
2L2
12
0
0
6L
12
−6L
0
2
0
2
2
4L + 4L
sim.
4L
4L2

 u1
w
 1
 θ1
ψ
 1
 u2

 w2
 θ2

 ψ2
 u3

 w3
θ
 3
 ψ3
u
 4
 w4

 θ4
 ψ4

(5.55)
5.8 – Exemplos de aplicação
Serão apresentados a seguir resultados obtidos pelo método dos elementos
finitos de rotores com mancais isotrópicos em configurações diferentes: bi-apoiado e
em balanço, conforme ilustram as figuras abaixo. As propriedades do eixo e do disco
são as mesmas apresentadas nos exemplos anteriores.
Rotor bi-apoiado – caso 1
z
L/6
5L/6
y
x
Ω
Figura 4.5 – Disco em y = L/6
Introdução à Dinâmica de Rotores
125
Figura 4.6 – Diagrama de Campbell e modos 1 e 2 para o disco em y = L/6
Rotor bi-apoiado – caso 2
z
L/3
2L/3
y
x
Ω
Figura 4.7 – Disco em y = L/3
126
Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.8 – Diagrama de Campbell e modos 1 e 2 para o disco em y = L/3
Rotor bi-apoiado – caso 3
z
L/2
L/2
y
x
Ω
Figura 4.9 – Disco em y = L/2
Introdução à Dinâmica de Rotores
127
Figura 4.10 – Diagrama de Campbell e modos 1 e 2 para o disco em y = L/2
Rotor em balanço – caso 1
z
5L/6
L/6
y
x
Ω
Figura 4.11 – Segundo apoio em y = L/6
128
Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.12 – Diagrama de Campbell e modo 1 para o segundo apoio em y = L/6
Rotor em balanço – caso 2
z
2L/3
L/3
y
x
Ω
Figura 4.13 – Segundo apoio em y = L/3
Introdução à Dinâmica de Rotores
129
Figura 4.14 – Diagrama de Campbell e modo 1 para o segundo apoio em y = L/3
Rotor em balanço – caso 3
z
L/2
L/2
y
x
Ω
Figura 4.15 – Segundo apoio em y = L/2
130
Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.16 – Diagrama de Campbell e modo 1 para o segundo apoio em y = L/2
Introdução à Dinâmica de Rotores
131
6 – ANEXOS
6.1 – Vibrações forçadas (Jeffcott rotor)
As equações diferenciais que descrevem o movimento do centro geométrico de
um disco de massa m, acoplado a um eixo de rigidez k e o conjunto tendo um
amortecimento viscoso c e velocidade de rotação Ω, são obtidas a partir da
determinação da energia cinética do disco, energia de dissipação do conjunto e energia
de deformação do eixo:
A energia cinética do disco é da forma:
i
i

1  2
T = m  Vx + Vz2 

2 

i
(5.1)
i
onde Vx e Vz são as velocidades transversais nas direções X e Z do centro de massa
M do disco e são da forma (ver Figura 5.1):
i
dVx
d
= r senφ + d sen ( φ + β )
dt
dt
i
dVz d
Vz =
= r cos φ + d cos ( φ + β )
dt
dt
Vx =
(5.2)
Considerando as coordenadas do centro geométrico do disco como sendo X e
Z e sabendo que para uma precessão genérica (não síncrona),
i
i
d
( φ + β ) = φ+ β = Ω , as
dt
velocidades transversais são :
i
i
i
i
Vx = X + d Ω cos ( φ + β )
Vz = Z − d Ω sen ( φ + β )
(5.3)
132
Introdução à Dinâmica de Rotores
Z
φ
β
M
d
r
C
d cos (φ+β)
r cos φ
X
r sen φ
d sen(φ+β)
O
Figura 5.1 – Jeffcott rotor realizando um movimento de precessão
Logo, a expressão para a energia cinética do centro de massa do disco é:
2
2
1   i
 i
 
T = m   X+ d Ω cos ( φ + β )  +  Z− d Ω sen ( φ + β ) 
2 
 
 

(5.4)
A energia de dissipação do conjunto é da forma:
D=
i
i

1  2
c  X + Z2 

2 

(5.5)
E, a energia de deformação do eixo é da forma:
U=
(
1
k X 2 + Z2
2
)
(5.6)
As equações de movimento são determinadas aplicando as equações de
Lagrange sobre todas as formas de energia ou trabalho encontradas no sistema
Introdução à Dinâmica de Rotores
133
rotativo:


d  ∂T  ∂T ∂U ∂D
−
+
+
= Fpi
dt  i  ∂pi ∂pi ∂pi
 ∂ pi 
(5.7)
onde pi são as coordenadas generalizadas, X e Z, e Fpi são forças generalizadas.
Desta forma:
ii
d  ∂T 
 i  = m X − m d Ω2sen ( φ + β )

dt 
∂X
(5.8)
ii
d  ∂T 
 i  = m Z − m d Ω2 cos ( φ + β )

dt 
 ∂Z 
(5.9)
∂T
=0
∂X
(5.10)
∂T
=0
∂Z
(5.11)
∂U
=k X
∂X
(5.12)
∂U
=kZ
∂Z
(5.13)
∂D
i
i
=cX
(5.14)
∂X
∂D
i
i
=cZ
(5.15)
∂Z
As forças generalizadas são nulas pois os mancais não são flexíveis. Somando
as eqs. (5.8), (5.10), (5.12) e (5.14) e somando as eqs. (5.9), (5.11), (5.13) e (5.15), as
equações diferencias que descrevem o movimento do centro geométrico do disco são:
134
Introdução à Dinâmica de Rotores
ii
i
ii
i
m X + c X + kX = mΩ2d senΩt
(5.16)
mZ + c Z + kZ = mΩ2d cosΩt
onde Ωt = ( φ + β )
As soluções das eqs. (5.16) podem ser colocadas da forma:
X = r sen ( Ωt − β )
(5.17)
Z = r cos (Ωt − β )
onde r é a amplitude da órbita do centro geométrico do disco. Observa-se que, na
presença de amortecimento, os deslocamentos estão defasados (atrasados) de β com
relação à força de excitação devido ao desbalanceamento.
Desenvolvendo as eqs. (5.17), tem-se :
X = r ( senΩt cos β − cosΩt senβ )
(5.18)
Z = r ( cosΩt cos β + senΩt senβ )
Substituindo as eqs. (5.18) nas equações de movimento, (5.16), tem-se :
  −mΩ2 senΩt cos β + mΩ2 cosΩt senβ  + 
 



2
r [cΩ cosΩt cosβ + cΩ s enΩt senβ ] +
 = mΩ d s enΩt


[k s enΩt cos β − k cosΩt senβ]

  −mΩ2 cosΩt cos β − mΩ2 senΩt senβ  + 
 



2
r [ −cΩ senΩt cosβ + cΩ cosΩt senβ ] +
 = mΩ d cosΩt


[k cosΩt cos β + k senΩt senβ]

(5.19)
Igualando os termos em cosΩt e senΩt, as eqs. (5.19) se subdividem em :
Introdução à Dinâmica de Rotores
135
{
}
r {mΩ senβ + cΩ cosβ − k senβ}cosΩt = 0
r {−mΩ cos β + cΩ senβ + k cos β}cosΩt = mΩ d cosΩt
r {−mΩ senβ − cΩ cosβ + k senβ}senΩt = 0
r −mΩ2 cos β + cΩ senβ + k cos β senΩt = mΩ2d s enΩt
2
2
2
(5.20)
2
Observa-se que as eqs. (5.20a) e (5.20c) são iguais, assim como as eqs.
(5.20b) e (5.20d) são também iguais. Como: r ≠ 0, senΩt ≠ 0 e cosΩt ≠ 0, da eq. (5.20b)
ou (5.20d) tem-se que :
senβ =
(
cΩ
−mΩ2 + k
)
cosβ
(5.21)
ou :
senβ
cΩ
= tan β =
cosβ
−mΩ2 + k
(
(5.22)
)
Substituindo a eq. (5.21) na eq. (5.20a) ou (5.20c) tem-se :


cΩ


2
β
r  k − mΩ2 cos β + cΩ
cos
 = mΩ d
2
k − mΩ


(
)
(
)
(5.23)
Rearranjando a eq. (5.23) :
(
)
k − mΩ2
mΩ2d
cos β =
2
r
k − mΩ2 + c 2Ω2
(
)
Substituindo a eq. (5.24) na eq. (5.21) :
(5.24)
136
Introdução à Dinâmica de Rotores
mΩ2d
cΩ
senβ =
2
r
k − mΩ2 + c 2Ω2
(
(5.25)
)
Sabe-se que sen2β + cos 2 β = 1 , logo, das eqs. (5.24) e (5.25):
2
(
)
2

 

2
2
k − mΩ2
cΩ
 mΩ d
  mΩ d


 +
 =1
2
2
2
2
2
2
2
2
r
r

k − mΩ
k − mΩ
+c Ω  
+c Ω 

 

(
)
(
)
(5.26)
Rearranjando a eq. (5.26) :
r=
mΩ2d
(k − mΩ )
2 2
(5.27)
2
+c Ω
2
ou:
r=
Ω 2d
(k / m − Ω )
2 2
+ ( cΩ / m )
(5.28)
2
Substituindo a eq. (5.28) nas eqs. (5.17) e considerando a eq. (5.22) tem-se:
X=
Z=
Ω 2d
(k / m − Ω )
2 2
+ ( cΩ / m )
2
Ω 2d
(k / m − Ω )
2 2
+ ( cΩ / m )

cΩ
β = tan−1 
 m k / m − Ω2

(
)




2
s en(Ωt − β)
cos(Ωt − β)
(5.29)
Introdução à Dinâmica de Rotores
137
As eqs. (5.29) fornecem o movimento do centro geométrico do disco, chamado
de precessão. Observa-se que, como as amplitudes de X e Z são iguais, a órbita é
circular. Da Figura 5.1, conclue-se que a deflexão do eixo do rotor é:
r = X2 + Z 2 =
Ω2 d
(k / m − Ω )
2
2
+ ( cΩ / m )
(5.30)
2
Como a massa do disco m > 0, a rigidez do eixo k > 0, o amorteimento do
conjunto c > 0 e a distância do centro de massa ao centro geométrico d > 0, pode
concluir das eqs. (5.24) e (5.25) que:
Î Para Ω <
senβ > 0 

cos β > 0 
sen β
k
m
⇒
π/2
0<β<
π
2
β
0 cos β
π
sen β
Î Para Ω >
senβ > 0 

cos β < 0 
k
m
⇒
π/2
π
<β< π
2
β
π
0 cos β
Uma forma alternativa de descrever o movimento do rotor é utilizando uma
formação complexa que fornece duas informações no mesmo instante: a posição do
dentro geométrico C e o sentido da órbita. Assim:
R(t) = Z(t) + j X(t)
Desta forma, as eqs. (5.16) se reduzem em uma única equação :
(5.31)
138
Introdução à Dinâmica de Rotores
ii
ii
i
i
m (Z + j X) + c (Z + j X) + k ( Z + j X ) = mΩ2d ( cosΩt + j d senΩt )
(5.32)
Substituindo a eq. (5.31) na eq. (5.32), tem-se :
ii
i
m R + c R + k R = mΩ2d e jΩt
(5.33)
As soluções dadas pelas eq. (5.17), podem também ser colocadas da forma:
R=r e(
j Ωt −β )
(5.34)
Substituindo a eq. (5.34) na eq. (5.33), a equação resultante é :
( −mΩ
2
)
+ jΩc + k r e (
j Ωt −β )
= mΩ2d e jΩt
(5.35)
Logo :
r=
mΩ2d
( −mΩ
2
)
+ k + j Ωc
(5.36)
Como apresentado pela eq. (5.34), a solução é complexa, portanto ela pode ser
apresentada em termos de sua amplitude r e de sua fase β (ver Figura 5.2).
Considerando o complexo conjugado da eq. (5.36), a amplitude e a fase são :
r =
mΩ2d
(k − mΩ )
2 2
+ Ω 2c 2
 Ωc 
β = tan−1 
2
 k − mΩ 
(5.37)
Introdução à Dinâmica de Rotores
139
Observa-se que as eqs. (5.29) e (5.37) são equivalentes.
real
φ
mΩ2d
(k − mΩ )
2
r
2
2 2
+Ω c
cos φ
imaginário
mΩ2d
(
k − mΩ2
)
2
+ Ω 2c 2
senφ
Figura 5.2 – Representação da amplitude e da órbita no movimento de precessão
6.2 – Vibrações livres (Jeffcott rotor)
Quando o sistema está vibrando livremente sem ser excitado por uma força, as
eqs. (5.16), quando colocadas de uma forma complexa, são:
ii
i
mR + cR + kR = 0
(5.38)
onde a solução da eq. (5.38) para vibrações livres (sem força excitadora) é :
R = r est = r ( cos st + j sen st )
(5.39)
Substituindo a solução dada pela eq. (5.39) na eq. (5.38) para o problema de
vibração livre tem-se:
140
Introdução à Dinâmica de Rotores
m s2 + c s + k = 0
(5.40)
As raízes do polinômio dado pela eq. (5.40) fornecem a solução do problema e
são:
s1,2
2
1  c
4k 
c
= − ±   −

2 m
m
m


(5.41)
O amortecimento crítico ccr, é definido como sendo o valor requerido para
suprimir completamente qualquer vibração no sistema, é obtido quando:
2
4k
 c cr 
 m  − m =0


(5.42)
Logo :
c cr = 2 km
(5.43)
A relação entre o amortecimento do sistema pelo amortecimento crítico é:
ξ=
c
c cr
(5.44)
Introduzindo a eq. (5.44) na eq. (5.30), temos :
r=
Ω 2d
(k / m − Ω )
2 2
+ ( ξc crΩ / m )
2
(5.45)
Introdução à Dinâmica de Rotores
141
Quando a rotação do rotor for igual a freqüência natural do mesmo,
Ω=
k
= ω , a amplitude será:
m
r=
(k / m ) d
2
(k / m − k / m ) + ξ2 4kmk / m2
=
d
2ξ
(5.46)
Introduzindo a eq. (5.44) na eq. (5.41), as raízes do polinômio podem ser
colocadas da forma:
s1,2
2


 ξ2 km 
1  ξ2 km
4k 
= −
± 
−

 m 
2
m
m




(
s1,2 = −ξω ± ω − 1 − ξ2
)
s1,2 = −ξω ± jω 1 − ξ2
(5.47)
(5.48)
(5.49)
A eq. (5.49) pode ser colocada de uma forma compacta :
s1,2 = λ ± jωa
(5.50)
onde o fator λ determina a estabilidade do sistema rotativo (λ < 0, estável e λ > 0,
instável) e ωa é a freqüência amortecida do sistema rotativo (ver Figura 5.3).
142
Introdução à Dinâmica de Rotores
r
eλt
r
T=2π/ωa
eλt
t
t
estável
T=2π/ωa
instável
Figura 5.3 – Composição da resposta do rotor à uma excitação
Substituindo as raízes do polinômio (5.49) na solução dada pela eq. (5.39),
temos:
R=r e

2
 −ξω± jω 1−ξ  t


(5.51)
Da eq. (5.51), observa-se que λ = – ξω, ou seja, nesta configuração, o rotor
será sempre estável.
Introdução à Dinâmica de Rotores
143
REFERÊNCIAS
Lalanne, M. and Ferraris, G., Rotordynamics Prediction in Engineering, John Wiley &
Sons, 1998.
Vance, J. M., Rotordynamics of Turbomachinery, John Wiley & Sons, 1988.
Childs, D. Turbomachines Rotordynamics, Phenomena, Modeling, & Analysis, John
Wiley & Sons, 1993.
Yamamoto, T. and Ishida Y., Linear and Non Linear Rotordynamics, A Modern
Treatement with Applications, John Wiley & Sons, 2001.
Lalanne, M., Berthier, P. and Der Hagopian, J., Mécanique des Vibrations Lineaires,
Masson, 1986.
Meirovith, L., Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill.