MATEMÁTICA 1° ANO ENSINO MÉDIO PROF. ALEXANDRE DOS SANTOS PROF. EMERSON MARÃO CONTEÚDOS E HABILIDADES Unidade II Progressões 2 CONTEÚDOS E HABILIDADES Aula 14.2 Conteúdo •• Progressão aritmética - conceito e aplicação 3 CONTEÚDOS E HABILIDADES Habilidade •• Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. 4 REVISÃO Sequências A sequência de Fibonnaci Definição: É uma sucessão de números que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século 12 pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... 5 REVISÃO Ao transformar esses números em quadrados e dispôlos de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. 6 REVISÃO Matemática e a natureza sequência de Fibonacci 7 DESAFIO DO DIA Utilize os 8 primeiros números da sequência de Fibonacci. Pegue dois números consecutivos e divida o maior pelo menor e observe o comportamento do resultado dessas divisões. Qual a conclusão que você chegou? 8 AULA Progressão Aritmética Definimos Progressão Aritmética (P.A.) como sendo uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior com uma constante. Na P.A temos a presença de uma constante chamada de razão (r), sendo a mesma obtida por meio da diferença de um termo da sequência pelo seu anterior. Confira alguns exemplos: 9 AULA A sequência (1, 4, 7, 10, 13, 16) é uma P.A. A razão da P.A é representada por r = 4 - 1 = 3 A sequência (1, 6, 11, 16, 21...) é uma P.A. A razão da P.A é representada por r = 6 – 1 = 5 10 AULA Classificação das Progressões aritméticas As progressões aritméticas podem ser classificadas em: crescente, decrescente e constante. 11 AULA Crescente: Para que uma P.A seja crescente a sua razão (r) deve ser positiva, ou seja, r > 0. A sequência numérica será crescente quando, cada termo a partir do segundo for maior que o antecessor. Exemplo: (1, 3, 5, 7, ...) é uma P.A crescente de razão 2. 12 AULA Decrescente: Uma P.A será decrescente se a sua razão (r) for negativa, ou seja, r < 0. A sequência numérica será decrescente quando, cada termo a partir do segundo for menor que o antecessor. Exemplo: (15, 10, 5, 0, -5 ...) é uma P.A decrescente de razão – 5. 13 AULA Constante: Para uma P.A ser constante a sua razão deve ser nula, ou seja, r = 0. Todos os seus termos serão iguais. Exemplo: (2, 2, 2, ...) é uma P.A constante de razão nula. 14 AULA Fórmula do enésimo termo Pela definição de P.A: 15 AULA Logo pode-se deduzir que para um termo qualquer an: an = a1 + (n – 1) . r 16 AULA Exemplos: 1. Dada a P.A. (2, 5, 8, 11, …). Calcule: a) A razão dessa P.A. b) O 20º termo 17 AULA 2. Em uma P.A. O 35º termo é igual a 201 a razão é - 3. Qual o primeiro termo? 18 DINÂMICA LOCAL INTERATIVA Das sequências a seguir, quais delas são progressões aritméticas e das que são, classificá- las em crescente, decrescente ou constante: a) ( 31, 29, 27, ... ) b) ( 15, 21, 27, ... ) c) ( 5, 20, 25, ... ) d) ( 7, 7, 7, ... ) e) ( -16, -12, -8 ) 19 DINÂMICA LOCAL INTERATIVA 2. Considere a P.A. (12, 7, 2, …), classifique-a como crescente, decrescente ou constante e calcule o 100º termo: 20 DINÂMICA LOCAL INTERATIVA 3. Dados em uma P.A. o primeiro termo sendo 6 e a razão igual a 10. Calcule: a) a5 b) a5 + a7 21 RESUMO DO DIA Sequência Numérica. Definição: É o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Progressão Aritmética I - Crescente, quando razão for positiva (r > 0). II - Decrescente, quando razão for negativa (r < 0). III - Constante, quando a razão for nula (r = 0). 22 INTERATIVIDADE FINAL Fórmula do termo geral de uma P.A. Definição: Toda P.A. pode ser definida pela expressão: Exemplo: an = a1 + (n – 1) . r 1. Dada a P.A. (8, 12, 16, … ), determine: a) A razão b) O 12º termo. 23