Matrizes - GEOCITIES.ws

30/5/2017, 02:12:26
Matrizes _____________________________________________________________ 2
Definição _________________________________________________________________ 2
Notação de uma matriz _________________________________________________ 2
Matriz Quadrada ______________________________________________________ 2
Matriz Diagonal _______________________________________________________ 2
Matriz linha __________________________________________________________ 2
Matriz coluna _________________________________________________________ 2
Matrizes iguais ________________________________________________________ 2
Exercício _________________________________________________________________ 3
Matriz Transposta _____________________________________________________ 3
Propriedades da matriz transposta ____________________________________________ 3
Matriz Oposta _________________________________________________________ 3
Matriz Nula __________________________________________________________ 3
Matriz identidade ou Matriz unidade ______________________________________ 4
Adição de Matrizes_____________________________________________________ 4
Exercício _________________________________________________________________ 4
Produto de Matrizes ____________________________________________________ 4
Exercícios_________________________________________________________________ 4
Matriz inversa A-1 de uma matriz _________________________________________ 5
Ambiente e Preservação ________________________________________________ 6
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Matrizes
Definição
— São números dispostos em linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais), formando uma tabela.
— Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas
(filas verticais).
Notação de uma matriz
a
a13 
a
 .
B   11 12
 a21 a22 a23 
 4  3 0
 é uma matriz 2x3, com 6 elementos, onde a11=4, a12=-3, a21=2/5, a13=0,
Exemplo: D   2

1 6
 5

1.
Uma matriz de ordem 2x3:
a22=1, a23=6.
 a11 a12

 a`21 a`22
2. Uma matriz genérica de ordem mxn: A   a31 a32

...
 ...
a
 m1 am 2
a13
a23
a33
...
am3
... a1n 

... a2 n 
... a3n  , a11, a12, a13, ... , a1n são

... ... 
... amn 
os elementos da primeira linha e a12, a22, a32, ... , an2 são os elementos da segunda coluna, etc.
Matriz Quadrada
— é toda matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplo:
a)
b)
1
A  
0
4

B  9
8

7
 é uma matriz quadrada de ordem 2x2;
2 
0 1

2 5  é uma matriz quadrada de ordem 3x3.
0 3
Matriz Diagonal
— É a matriz quadrada na qual os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.
  2 0 0


Exemplos: A   0
7 0 ;
 0 0 8


9

0
B
0

0

Matriz linha
— é toda matriz do tipo 1xn. Exemplo:
0
4
0
0
0 0 

0 0 
3 0 

0  10 
 0 0 0


e C   0 0 0
 0 0 0


C  3 0 1 8 , matriz de ordem 1x4.
Matriz coluna
2
 
— é toda matriz do tipo mx1. Exemplo: M   7  , matriz de ordem 3x1.
 40 
 
Matrizes iguais
— duas matrizes A e B são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são iguais.
Arquivo: matrice01.doc page 3/6
Exemplo:
 5 1

D  
0
3


e
 5 1
 logo
E  
0
3


D=E.
Exercício
1.
 x y mn 
 8 6
 e B  
 , achar os valores de x, y, m e n
x

2
y
3
m

n

1
10




Sendo as matrizes A  
para que se tenha A=B.
Resolução:
x  y  8

 x  2 y  1
2.

® x=5; y=3; m=4 e n= -2.
m  n  6

3m  n  10
Determine x e y, sabendo que as matrizes
 2x  5 y 

 =
 x y 
1
4
3
  são iguais. ® x   e y 
7
7
 1
 x  y a  b   5  1

 = 
 , determine x, y, a e b.
® x=3; y=2; a=1 e b=2
 x  y a  b 1 3 
1 2
 4 2
 e B  
 , encontre as X e Y do sistema
4. Dadas as matrizes A  
0 1
10 6 
X  Y  A
5 / 2 2 
 e Y=?
® X  

X  Y  B
 5 7 / 2
3.
Se
Matriz Transposta
— quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz é dita uma matriz
transposta.
 2 5 7


Exemplo: A   4 6 8 
10 1 0 


 2 4 10 


a sua transposta é A   5 6 1  .
7 8 0 


4 
 1 2 3


0
0

1

2


5. Encontrar a matriz transposta At da matriz A  
. ® A=?
3 4 5
6 


 7 8 9 10 


t
Propriedades da matriz transposta
1.
2.
3.
A   A
t t
 A  B t  At  Bt
 . At   . At
Matriz Oposta
— matriz oposta de uma matriz A é uma que somada com a matriz A, resulta na matriz Nula.
  7 0
 a sua oposta é:
A  
 3 1
Matriz Nula
Exemplo:
0
 7

 A  
  3  1
— É a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
Exemplo:
Arquivo: matrice01.doc page 4/6
 0 0 0


B   0 0 0
 0 0 0


a)
b)
0 0


0 0
Matriz identidade ou Matriz unidade
— de ordem n  2 , é a matriz quadrada de ordem n que tem os elementos da diagonal principal iguais a
1 e os demais elementos iguais a zero.
Exemplos:
1 0
 , matriz identidade de ordem 2;
I 2  
0 1
1

0
I4  
0

0

0
1
0
0
0
0
1
0
1 0 0


I 3   0 1 0  , matriz identidade de ordem 3;
0 0 1


0

0
, matriz identidade de ordem 4.
0

1 
Adição de Matrizes
– A soma de duas matrizes A  aij  e B  bij  é a matriz A  B  aij  bij  , ambas do mesmo
tipo mxn , (ambas da mesma ordem).
Exercício
6.
Dadas as matrizes
 2  6
 2  6
  3 6
 , B  
 e C  
 , calcular:
A  
8
10
8
10
2
4






A B C
 2  6
 
Resolução: 
 8 10 
a)
b)
7.
 2  6    3  6   7  18 

  
  

 8 10    2  4  14 16 
A B C
Determinar x, y e z sabendo que:
®
 x  2 4   1 2 z  3

 + 
=
1 
 y  1 3   3
 3  6


  2  4
3 z

 .
 2 4
® 4, 4 e -1
Produto de Matrizes
Requisito: O número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
Assim: a) A2 x 3 XB3 x 4  P2x 4 ;
b) M 3 x 4 . A4 x1  D3x1
Exercícios
 2 5 


 1 2  1
 e B   4  3  , determine AxB.
8. Sejam as matrizes A  
3 1 4 
 2
1 

Arquivo: matrice01.doc page 5/6
Resolução:
 2 5 
 1x(2)  2 x4  (1x2) 1x5  2 x(3)  (1) x1
 1 2  1 
 x  4  3   
=
AxB  
3x5  1x(3)  4 x1 
3 1 4  
 3x(2)  1x4  4 x2

1 
 2
 4  2


(Regra:
Primeira linha com a primeira coluna; primeira linha com a segunda coluna;
 6 16 
segunda linha com a primeira coluna; segunda linha com a segunda coluna).
9.
Sejam as matrizes
a) A.B
d) A2
 1 1
0 0
 , calcule os produtos de matrizes abaixo::
 e B  
A  
1 1
 0 1
b) B.A
c) A.B=B.A ?
V ou F.
e) B2
1 1
0 0 
b) 
c) não vale a propriedade comutariva
1 1



1 1
0 0 
2
e) B  

1 1
Matriz inversa A-1 de uma matriz
Respostas: a)
d)
1 2
0 1 


Definição:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se A-1 é a matriz inversa da matriz A então o
produto A.A-1=A-1.A= In.
10. Encontrar a matriz inversa A_1 da matriz
 0 2
 .
A  
  1 4
a) Usando o escalonamento.
Resolução:
coloca-se à direita da matriz dada, a matriz identidade; faz-se o escalonamento de modo
que a matriz identidade passe a ocupar a posição da matriz dada.
1  4 0 1
0 2 1 0
1 4 0 1
1 0 2 1



0 2 1 0
1 4 0 1
0 2 1 0
0 2 1 0
1 0 2 1

, observe que a posição da matriz A foi ocupada pela matriz identidade e na
0 1 1/ 2 0
 2  1
1
 .
posição da matriz identidade encontra-se a matriz inversa A  
1 / 2 0 
a b 
1
 )
b) Usando a definição. (obs: faça A  
c d 
Solução:
11. Encontrar a matriz inversa A_1 da matriz
 2

A_1=  3
 1

 3
1  1
 usando o escalonamento. ®
A  
1 2 
1

3
1

3
 1 0 1


12. Encontrar a matriz inversa A_1 da matriz A   0 1  2  usando o escalonamento.
1 2 1 


Arquivo: matrice01.doc page 6/6
 5 / 4  1/ 2 1/ 4


®  1/ 2
0
1/ 2
 1/ 4  1/ 2 1/ 4


1 2
 4 2
 e B  
 , encontre a matriz X, tal que
Dadas as matrizes A  
0 1
10 6 
a) A. X  B
13.
1
A
Resolução:
b) B. X
B. X 1  A  B. X 1. X  A. X  B.I  A. X  A. X  B
Ambiente e Preservação
(bb18, page 198) Um modelo matricial em um estudo ecológico
Os professores Bem Noble e James W. Daniel, no livro Álgebra Linear Aplicada,
apresentam um modelo matricial para o estudo do equilíbrio entre o crescimento de
duas populações: uma de 1000 galinhas e outra de 100 raposas, predadoras das galinhas.
Admitindo certas taxas de variação para o número de indivíduos das duas populações,
em n unidades de tempo, os autores obtiveram a equação matricial:
n
 Rn   0,6 0,5   100 
   
 .
 , em que Rn e Gn são, respectivamente, o número de
 Gn    k 1,2  1000 
raposas e o número de galinhas na enésima unidade de tempo, e k é a taxa de predação
(razão do número de galinhas mortas para o número total de galinhas em cada unidade
de tempo).
A partir dessa equação, os professores mostram que, mantendo-se a taxa de predação
dentro de certos limites, as duas populações crescem indefinidamente; mas, para taxas
altas além do limite superior, as duas populações desaparecem.
Esse exemplo mostra o quanto a Matemática pode ajudar no equilíbrio ecológico. Resta
saber o quanto a ambição desmedida e a sede de poder do homem, como predador da
natureza, pode interferir na taxa de predação.
Referências Bibliográficas
Bb18. Paiva, Manoel — Matemática, volume único — 2ª. Edição, Editora Moderna, 2003,
Volume 2, Atual Editora, 1994, São Paulo.